PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 9 Mathematics · Chapter 7, The Mathematics of Maybe: Introduction to ProbabilityPrepShorts

Chapter 7 · The Mathematics of Maybe: Introduction to Probability

हर outcome को सूचीबद्ध करना: sample space

Sample spaces and events12 मिनट

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एक सिक्का उछालिए। नतीजा क्या आएगा, यह पहले से नहीं बताया जा सकता, पर जो-जो आ सकता है वह पूरी तरह तय है। उन सब जवाबों को एक ही सूची में लिख देना — इसी सूची को sample space कहते हैं, और इसमें बैठा एक-एक जवाब element कहलाता है। सूची पर आम तौर पर 2 शर्तें लगाई जाती हैं: जो कुछ भी हो सकता है उसमें से कुछ छूटे नहीं, और कोई जवाब दोबारा न लिखा जाए। यह cut इन्हीं 2 शर्तों को नाकाफ़ी साबित करता है।

मुख्य idea

Sample space चुना जाता है, खोजा नहीं जाता, और chapter जो दो नियम छापता है — कुछ भी छूटे नहीं, कुछ भी दो बार न लिखा जाए — वे दाख़िले की क़ीमत हैं, पूरा किराया नहीं: कोई list दोनों मान सकती है और फिर भी बेकार हो सकती है, और यही वह बात है जो किसी एक को चुनने को हिसाब-किताब की जगह समझ का काम बना देती है। Think and Reflect वह जगह है जहाँ chapter यह खुलकर कहता है: वही एक आने वाला कल दो outcomes से भी सँभाला जा सकता है और चार से भी, और आप कौन सी list लेते हैं यह आपके पूछे गए सवाल से तय होता है, मौसम से नहीं। पर सूक्ष्मता का यह चुनाव एक ऐसी बात तय कर देता है जो chapter कभी कहता ही नहीं — कि आपकी list के अवयव समान रूप से संभावित हैं या नहीं — और यही वजह है कि तीन लाल और सात नीली marbles वाली थैली का एक ऐसा दो अवयवों वाला sample space मौजूद है जो पूरी तरह जायज़ है और जिसमें आपको कभी भाग नहीं देना चाहिए।

आपको क्या आना चाहिए

  • किसी बताए गए experiment का sample space braces के अंदर लिखिए, और उसका आकार n(S) बताइए
  • chapter sample space के लिए जो दो नियम देता है वे बताइए, कहिए कि हर एक किस चीज़ को रोकता है, और ऐसी list दीजिए जो दोनों मानती हो और फिर भी काम की न हो
  • S और n(S) चिह्नों का सही इस्तेमाल कीजिए, और किसी sample space के एक अवयव का नाम लीजिए
  • एक ही स्थिति के लिए दो अलग-अलग sample spaces दीजिए और बताइए कि हर एक किस सवाल पर फ़िट बैठता है
  • समझाइए कि sample space की सूक्ष्मता यह क्यों तय कर देती है कि उसके अवयव समान रूप से संभावित हैं या नहीं
  • किसी दो हिस्सों वाले experiment का sample space बनाइए — जैसे die के साथ एक coin — और उसका आकार बताइए
  • रंगीन गेंदों की थैली के सहारे समझाइए कि कोई जायज़ sample space भी गिनती के लिए ग़लत sample space क्यों हो सकता है
  • ऐसी प्रस्तावित list पहचानिए जो sample space नहीं बन पाती, और बताइए कि वह कौन सी शर्त तोड़ती है
  • किसी sample space का आकार list लिखे बिना, experiment से ही निकालिए

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
sample spaceकिसी यादृच्छिक experiment के हर संभावित outcome की list, जिसे S लिखा जाता हैप्रतिदर्श समष्टि§7.2.1 (p. 160) में bold में छपा है, और §7.3.1 (p. 166) में इसे चिह्न S दिया गया है
elementsample space में बैठा एक outcomeअवयव§7.3.1 (p. 166) में छपा है
sample sizeS में कितने अवयव हैं, जिसे n(S) लिखा जाता हैप्रतिदर्श आकार§7.3.1 (p. 166) में bold में छपा है
outcomeएक नतीजा जो experiment दे सकता हैपरिणाम§7.2.1 (p. 160) में अपनी परिभाषा के साथ bold में छपा है
possible outcomeऐसा outcome जो experiment सचमुच दे सकता हैसंभावित परिणाम§7.3.1 के पहले नियम (p. 166) में bold में छपा है
every possible outcomesample space में क्या-क्या होना चाहिए, इसके लिए chapter का वाक्यांशप्रत्येक संभावित परिणाम§7.3.1 (p. 166) में bold में छपा है
listed more than oncechapter का दूसरा नियम जिसे मना करता हैएक से अधिक बार सूचीबद्ध§7.3.1 (p. 166) में bold में छपा है
experimentवह व्यवस्था जिसके outcomes सूचीबद्ध किए जा रहे हैंप्रयोग§7.3.1 के पाँचों उदाहरणों (p. 166) में छपा है
simultaneouslyएक ही समय पर — पाँचवें उदाहरण के दोनों coins इसी तरह उछाले जाते हैंएक साथ§7.3.1 के पाँचवें उदाहरण (p. 166) में छपा है
grain of a sample spaceoutcomes को सूचीबद्ध करने से पहले उन्हें कितनी बारीकी से बाँटा गया हैसूक्ष्मता का स्तरयहाँ जोड़ा गया शब्द; chapter तीन बार सूक्ष्मता चुनता है और इस चुनाव को कभी नाम नहीं देता
impossible entryकिसी प्रस्तावित list में बैठी ऐसी चीज़ जो experiment दे ही नहीं सकताअसंभव प्रविष्टियहाँ जोड़ा गया शब्द, section 10 के लिए ज़रूरी; chapter के दोनों नियम इस मामले को नहीं ढकते

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Manjari का हिंदी संस्करण मैंने नहीं देखा।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "sample space experiment का गुण है।" वह उस सवाल का गुण है जो आप experiment के बारे में पूछ रहे हैं। p. 167 का Think and Reflect इसी को स्थापित करने के लिए मौजूद है।
  • "बड़ा sample space बेहतर sample space होता है।" {No Rain, Drizzle, Light Rain, Heavy Rain} तभी बेहतर है जब आपको इससे मतलब हो कि बारिश कितनी तेज़ है।
  • "हर sample space के अवयव समान रूप से संभावित होते हैं।" {Win, Lose, Draw} के नहीं होते। heads की गिनती वाली {0, 1, 2, 3} के भी नहीं। इनमें से कोई भी ख़राब sample space नहीं है।
  • "HT और TH एक ही outcome हैं।" chapter की अपनी table उन्हें अलग करती है, और n(S) = 4 होना इसी अलगाव पर टिका है। जो students उन्हें जोड़ देते हैं उन्हें 1/3 मिलता है जबकि जवाब 1/4 है।
  • "n(S) ही हर है।" वह हर सिर्फ़ तब है जब अवयव समान रूप से संभावित हों। यह अकेला वाक्य chapter के तारांकित सवालों की ज़्यादातर ग़लतियाँ रोक देता है।
  • "किसी असंभव outcome को list में रहने दिया जा सकता है; उसे बस 0 प्रायिकता मिल जाएगी।" इस chapter के गिनती वाले सूत्र के तहत नहीं, जहाँ वह हर को फुला देता है और हर जवाब ग़लत कर देता है।
  • "आकार जानने के लिए list लिखनी ही पड़ती है।" छह faces और coin के दो faces मिलकर बारह देते हैं, बिना कुछ लिखे; चार गेंदें, वापस रखकर दो बार निकाली जाएँ, तो सोलह।
  • "गेंद का रंग एक outcome है।" हो सकता है, और अगर आप उसे outcome चुन लेते हैं तो आपने गिनने का हक़ छोड़ दिया। गेंदें चुनिए।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Exercise Set 7.3 Q1, Exercise Set 7.3 Q2, Exercise Set 7.3 Q3, End-of-Chapter Exercises Q14, End-of-Chapter Exercises Q15

पूरा transcript1,907 शब्द

एक सिक्का उछालिए। नतीजा क्या आएगा, यह पहले से नहीं बताया जा सकता। पर जो आ सकता है, वह पूरी तरह तय है — head, या tail, और इनके सिवा कुछ नहीं। जो-जो जवाब आ सकते हैं, उन सबको एक साथ, एक ही सूची में लिख देना — इसी सूची को sample space कहते हैं। लिखते वक़्त इसे S नाम दिया जाता है। इस सूची में बैठा हुआ एक-एक जवाब element कहलाता है।

और सूची में कुल कितने element हैं, वह उसका sample size है। एक सिक्के की सूची में 2 element हैं — head और tail। एक पासे की सूची में 6, यानी 1 से लेकर 6 तक। कल बारिश होगी या नहीं, यह भी एक experiment है, और उसकी सूची में 2 element हैं। किसी match का नतीजा — जीत, हार, या बराबरी — 3 element। ध्यान रखिए, sample size सिर्फ़ गिनती है।

यह अपने आप नहीं बताता कि किस जवाब का मौका कितना है — वह अलग सवाल है, और वह आगे आएगा। अब इस सूची पर शर्तें लगती हैं। पहली शर्त यह है कि जो कुछ भी हो सकता है, उसमें से कुछ भी छूटना नहीं चाहिए। अगर एक भी जवाब छूट गया, तो जिस दिन वही जवाब आएगा, सूची उसके लिए कोई जगह ही नहीं रखती। इसलिए छूटा हुआ जवाब वापस डालिए, और सूची पूरी हो गई।

दूसरी शर्त यह है कि कोई जवाब दोबारा नहीं लिखा जाना चाहिए। एक ही जवाब को दोबारा लिख देने से गिनती बढ़ जाती है, और सूची चुपचाप यह दावा करने लगती है कि उस जवाब का मौका ज़्यादा है। तो नकल काट दीजिए। अब एक साथ 2 सिक्के उछालिए। पहले सिक्के पर head आ सकता है या tail, और दूसरे पर भी head या tail। चारों जोड़ बनाकर देखिए तो सूची में 4 element आते हैं — head-head, head-tail, tail-head, और tail-tail।

यहाँ 4 हैं, 3 नहीं। हर पंक्ति यही बताती है कि पहले सिक्के पर क्या आया, फिर दूसरे पर क्या आया, और उन दोनों से कौन सा जोड़ बना। कुल 4 पंक्तियाँ और 4 जोड़, इससे ज़्यादा कुछ नहीं। head-tail और tail-head अलग-अलग element हैं, क्योंकि सिक्के भी अलग-अलग हैं। पहले पर head और दूसरे पर tail आना, उससे उलटी बात नहीं है। बहुत से students इन दोनों को जोड़कर एक कर देते हैं, यानी सिर्फ़ इतना लिखते हैं कि एक head और एक tail आया।

तब सूची में 3 element रह जाते हैं। अब पूछिए कि एक head और एक tail आने का मौका कितना है। जुड़ी हुई सूची में गिनने पर जवाब आता है 3 में से 1। अलग रखने पर 2 में से 1। दोनों जवाब एक जैसे नहीं हैं, और सही जवाब 2 में से 1 है। यानी चौथी पंक्ति को अलग रखना सफ़ाई का मामला नहीं है — वही सूची को गिनने लायक बनाती है।

अब 3 सिक्के एक साथ उछालिए, पर लिखिए सिर्फ़ इतना कि कितने head आए। पूरा नतीजा नहीं, बस head की गिनती। सामने 4 सूचियाँ रखी हैं। इनमें से sample space कौन सी है, और बाकी कहाँ चूक जाती हैं? पहली सूची 1, 2, 3 है। पर तीनों सिक्कों पर tail भी आ सकता है, यानी 0 head, और वह इस सूची में है ही नहीं। दूसरी सूची 0, 1, 2 है, और उसमें 3 head वाला जवाब छूटा हुआ है।

दोनों पहली शर्त तोड़ती हैं। तीसरी सूची 0, 1, 2, 3, 4 है। पहली शर्त पर देखें तो इसमें कुछ भी छूटा हुआ नहीं है, और दूसरी शर्त पर देखें तो कुछ भी दोबारा लिखा हुआ नहीं है। यानी यह सूची दोनों शर्तें पूरी करती है। दोनों खानों पर सही का निशान लग जाता है। फिर भी यह sample space नहीं है। 3 सिक्कों पर 4 head आ ही नहीं सकते, और वह 4 सूची में बैठा हुआ है।

तो एक तीसरी शर्त भी चाहिए, जो कहीं लिखी हुई नहीं मिलती — सूची में जो कुछ भी है, वह experiment से निकल सकता होना चाहिए। तीनों शर्तों पर चारों सूचियाँ जाँचिए तो आपस में 3 अलग-अलग नतीजे निकलते हैं। यही दिखाता है कि तीनों शर्तें सचमुच अलग-अलग जाँच हैं। चारों में से सिर्फ़ 1 सूची तीनों शर्तें पूरी करती है, और वह 0, 1, 2, 3 वाली है। सिर्फ़ लिखी हुई 2 शर्तों से 2 सूचियाँ पास हो जातीं।

एक और सूची लीजिए जिसमें एक जवाब दोबारा लिखा है। पहली शर्त वह पूरी करती है, तीसरी भी, पर दूसरी नहीं। और सिर्फ़ इतनी सी बात से वह sample space नहीं रह जाती। किसी एक शर्त का टूटना काफ़ी है। अब 0, 1, 2, 2 पर आइए। इसमें 4 खाने हैं, उतने ही जितने असली जवाब हैं, पर 3 इसमें है ही नहीं। तो खाने गिन लेना और जवाब ढँक लेना, ये एक ही बात नहीं हैं।

लंबाई ठीक होने से सूची ठीक नहीं हो जाती। एक आम सोच यह है कि जो हो ही नहीं सकता, उसका मौका अपने आप शून्य रहेगा, तो उसे सूची में पड़ा रहने दीजिए, नुकसान क्या है। यहाँ एक सवाल बनता है। वह 4 जो सूची में पड़ा था, उससे सचमुच कोई फ़र्क पड़ता है, या बस सूची गंदी दिखती है? पूछिए कि ठीक 2 head आने का मौका कितना है।

लंबी वाली सूची में गिनने पर जवाब आता है 5 में से 1। सही वाली, 4 खानों की सूची में गिनने पर जवाब आता है 4 में से 1। और जहाँ जवाब सचमुच बराबर मौके वाले हैं, यानी 3 सिक्कों के पूरे 8 नतीजों में, वहाँ गिनने पर 8 में से 3। तीनों गिनतियाँ अलग-अलग हैं। यानी जो हो ही नहीं सकता उसे सूची में छोड़ देना सफ़ाई का मामला नहीं था — उससे जवाब हिल गया।

और उसे हटा देना भी काफ़ी नहीं था। 4 में से 1 अब भी 8 में से 3 नहीं है। 3 सिक्कों के पूरे नतीजे 8 हैं, और ये आपस में बराबर मौके वाले हैं। पर ये 8 नतीजे कहीं से मिलते नहीं, इन्हें बनाना पड़ता है। 2 सिक्कों के 4 नतीजे लीजिए, और हर एक पर तीसरे सिक्के का head या tail जोड़ दीजिए। हर नतीजा 2 हिस्सों में बँट जाता है, तो 4 में से 8 बन जाते हैं।

और यहीं सूची पूरी हो जाती है, क्योंकि तीसरा सिक्का सिर्फ़ 2 ही तरह से गिर सकता है। अब इन्हें head की गिनती के हिसाब से समेट लीजिए। 4 group बनते हैं — 0 head, 1 head, 2 head और 3 head। पर ये group बराबर नहीं हैं। उनमें क्रमशः 1, 3, 3 और 1 नतीजे बैठे हैं। इसलिए चारों गिनतियों का हिस्सा बराबर नहीं है — 1 बटा 8, फिर 3 बटा 8, फिर 3 बटा 8, और आख़िर में 1 बटा 8।

यानी 0, 1, 2, 3 वाली सूची सही sample space है, और फिर भी उसमें गिनकर जवाब नहीं निकाला जा सकता। ठीक होना और गिनने लायक होना अलग बातें हैं। तो सवाल यह है कि समेटने पर बराबरी कब बची रहती है। जवाब group के आकार में है — जब हर group में उतने ही नतीजे हों, तभी। एक पासे को सम और विषम में बाँटिए। दोनों group में 3-3 नतीजे हैं, यानी बराबर, और हर एक का हिस्सा आधा रहता है।

अब उसी पासे को इस तरह बाँटिए कि एक तरफ़ 4 से बड़े चेहरे हों और दूसरी तरफ़ बाकी। अब group में 2 और 4 हैं, और हिस्से 1 बटा 3 और 2 बटा 3 हो जाते हैं। एक ही पासा, 2 तरह की बँटाई, और नतीजे अलग। तो समेटना अपने आप में गड़बड़ नहीं है — group का आकार तय करता है। एक box में 12 ball हैं — 5 हरी और 7 लाल।

उसमें से बिना देखे 1 ball निकालनी है। अगर सूची में बारहों ball अलग-अलग लिखी जाएँ, तो हर एक का हिस्सा बराबर है, यानी 1 बटा 12। अब उन्हीं को रंग के हिसाब से समेट लीजिए। हरी का हिस्सा 5 बटा 12 है और लाल का 7 बटा 12, और ये अब भी जुड़कर पूरा 1 बनते हैं। हरी और लाल वाली सूची तीनों शर्तें पूरी करती है। कुछ छूटा नहीं, कुछ दोबारा नहीं लिखा, और जो लिखा है वह निकल सकता है।

पर उसमें गिनकर देखें तो हरी आने का मौका आधा निकलता है। असली जवाब 12 में से 5 है। तो रंग को एक जवाब मान लेना गलत नहीं है, वह एक चुनाव है। पर उसी चुनाव के साथ गिनकर जवाब निकालने का हक़ चला जाता है। अब फिर से कल की बात लीजिए, और उसकी 2 अलग सूचियाँ। एक में सिर्फ़ इतना कि बारिश हुई या नहीं, यानी 2 element।

दूसरी में बारिश नहीं, हल्की बूँदाबाँदी, हल्की बारिश, तेज़ बारिश, यानी 4 element। दोनों सूचियाँ सही हैं। कौन सी लेनी है, यह मौसम तय नहीं करता — यह आपका सवाल तय करता है। लंबी सूची अपने आप बेहतर नहीं होती। 4 element वाली सूची तभी बेहतर है जब आपको यह जानना हो कि बारिश कितनी तेज़ हुई, वरना 2 वाली ही ठीक है। इन तीनों में से किसी में भी element बराबर मौके वाले नहीं हैं, match के नतीजे में भी नहीं।

फिर भी तीनों पूरी तरह सही sample space हैं। इसलिए sample size को सीधे नीचे वाली गिनती मान लेना गलत है। वह नीचे तभी जाती है जब सारे element बराबर मौके वाले हों। आख़िर में एक काम की बात। सूची पूरी लिखे बिना भी उसका आकार निकाला जा सकता है। एक पासा और एक सिक्का साथ में। पासे के हर चेहरे के साथ सिक्के के 2 चेहरे बैठ सकते हैं, तो जोड़े बनते हैं 12।

यानी जब experiment के 2 हिस्से हों, तो पहले हिस्से का आकार उतनी बार गिन लीजिए जितना दूसरे हिस्से का आकार है। सूची लिखने की ज़रूरत ही नहीं पड़ती। अब एक सिक्का और 1 से 6 तक गिने हुए 6 card। बनावट वही है, कपड़े अलग, और जोड़े फिर 12। 3 खाने की चीज़ें — muffin, bagel और cookie — और 2 पीने की, tea और juice। हर जोड़ी अलग है, और कुल 6 जोड़े बनते हैं।

एक box में 4 ball हैं, और उनमें से बारी-बारी 2 ball निकालनी हैं। पहली वापस डाल दी जाए तो जोड़े बनते हैं 16, और बाहर रख ली जाए तो 12। जो 4 जोड़े गायब हुए, वे ठीक वही हैं जिनमें एक ही ball दोबारा निकलती है। इनके अलावा कोई नहीं गया। इसी तरह पहले 1 सिक्का, फिर 2, फिर 3 — आकार 2, 4 और 8 होता जाता है, हर बार पिछले का दुगना।

एक आख़िरी सवाल। कोई integer जो ऋण 5 और 5 के बीच में हो — ऐसे कितने हैं? अगर दोनों सिरे छोड़ दिए जाएँ तो 9 हैं। अगर सिरे भी गिन लिए जाएँ तो 11। फ़र्क ठीक 2 का है, और वे 2 यही सिरे हैं। शब्दों में ऐसा कुछ नहीं है जो बता दे कि सिरे गिनने हैं या नहीं। अपने-अपने पढ़ने पर दोनों सूचियाँ ईमानदार हैं। और दूसरे के पढ़ने पर दोनों गलत हैं।

इसीलिए sample space मान लेने की चीज़ नहीं है, तय करके बताने की चीज़ है। और जब शब्द खुद तय न करें, तो सबसे ईमानदार काम यह है कि आप साथ में लिख दें कि आपने कौन सा पढ़ना लिया। तभी आपका जवाब जाँचा जा सकता है। तो सूची पर 3 शर्तें हैं — कुछ छूटे नहीं, कुछ दोबारा न लिखा जाए, और जो लिखा है वह निकल सकता हो।

और तीनों पूरी होने के बाद एक सवाल और बचता है, जो सूची के ठीक होने से अलग है — क्या इसके सारे element बराबर मौके वाले हैं? sample space मिलता नहीं है, चुना जाता है। और वही चुनाव तय करता है कि आप उसमें गिन सकते हैं या नहीं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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