PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 9 Mathematics · Chapter 7, The Mathematics of Maybe: Introduction to ProbabilityPrepShorts

Chapter 7 · The Mathematics of Maybe: Introduction to Probability

Tree diagrams दो चरणों वाले experiment का sample space दिखा देते हैं

Multi-step experiments16 मिनट

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tree diagram को अक्सर "नतीजों की सूची, बस थोड़ी साफ़-सुथरी" समझ लिया जाता है। वह उससे कहीं ज़्यादा है: एक ही drawing में 2 अलग गुणा एक साथ खिंचे होते हैं। पहला — branch की गिनतियाँ आपस में गुणा होकर बताती हैं कि path कितने हैं। दूसरा — एक path पर पड़ने वाले हिस्से आपस में गुणा होकर बताते हैं कि वह path कितने का है। यह cut इन्हीं 2 गुणा को अलग-अलग पहचानता है, और फिर उस शर्त पर आता है जिसे tree कभी लिखकर नहीं देता।

मुख्य idea

कोई tree list लिखने का कोई सुथरा तरीक़ा नहीं है; वह खींचे हुए दो गुणन-तथ्य है। पूरे पथों की संख्या हर चरण की शाखाओं का गुणनफल होती है, और किसी पथ की प्रायिकता उस पर लिखी संख्याओं का गुणनफल। Fig. 7.6 दोनों खींचती है — छह शाखाएँ, हर एक पर आधा लिखा हुआ, चार पथ — और फिर chapter दो heads की प्रायिकता चार में से एक पथ गिनकर निकाल लेता है। वह छोटा रास्ता यहाँ सिर्फ़ इसलिए जायज़ है कि इस ख़ास tree की हर शाखा पर एक ही संख्या है, और chapter की अपनी अगली exercise उसे तोड़ देती है: Basket A में एक सेब और दो संतरे हैं, इसलिए फलों की चारों जोड़ियाँ समान रूप से संभावित नहीं हैं, और गिनती एक-चौथाई देती है जहाँ गुणा एक-छठा देता है। tree इस टूट से बच जाता है। गिनती नहीं बचती।

आपको क्या आना चाहिए

  • chapter की अपनी परिभाषा के सहारे बताइए कि बहु-चरणीय experiment क्या है
  • कोई tree diagram पढ़िए: शाखा, पथ, चरण और outcome वाला column पहचानिए
  • समझाइए कि पूरे पथों की संख्या शाखाओं का गुणनफल क्यों होती है
  • बताइए कि किसी शाखा पर लिखी संख्या किस चीज़ की प्रायिकता है
  • किसी outcome की प्रायिकता पथ गिनकर निकालिए, और बताइए कि यह कब जायज़ है
  • किसी पथ की प्रायिकता उसके अनुदिश गुणा करके निकालिए, और दिखाइए कि दो बार उछाले गए सही coin के लिए दोनों तरीक़े एक ही जवाब देते हैं
  • ऐसे experiment का tree बनाइए जिसकी शाखाओं पर अलग-अलग संख्याएँ हैं, और समझाइए कि अब पथ गिनने से ग़लत जवाब क्यों आता है
  • प्रतिस्थापन के बिना किए गए उठाव का tree बनाइए, और समझाइए कि दूसरी परत पर क्या बदल जाता है
  • किसी बहु-चरणीय sample space का आकार tree खींचे बिना निकालिए
  • किसी दिए हुए दो चरणों वाले experiment के लिए tree और table में से चुनिए

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
tree diagramशाखाओं वाला एक चित्र जो किसी बहु-चरणीय experiment का हर outcome बिछा देता हैवृक्ष आरेख§7.4 (p. 168) के शीर्षक और पहले ही शब्द के रूप में छपा है
multi-step experimentएक के बाद एक चलते परीक्षणों की शृंखला से बना experimentबहु-चरणीय प्रयोग§7.4 (p. 168) में bold में छपा है
branchtree की एक रेखा, जो किसी एक चरण के एक संभावित नतीजे के लिए खड़ी हैशाखा§7.4 (p. 168) में छपा है
independent trialsऐसे परीक्षण जिनमें एक का नतीजा अगले की प्रायिकताएँ नहीं बदलतास्वतंत्र परीक्षण§7.4 की बहु-चरणीय experiment वाली परिभाषा (p. 168) में छपा है; शब्द इस्तेमाल होता है और कभी परिभाषित नहीं होता
single-step experiment§7.4 तक chapter जिस तरह के experiment सँभालता आया हैएक-चरणीय प्रयोग§7.4 (p. 168) में छपा है
outcomeपूरे experiment का एक पूरा नतीजा, जो किसी पथ के सिरे से पढ़ा जाता हैपरिणाम§7.2.1 (p. 160) में bold में छपा है; Fig. 7.6 का column शीर्षक यही शब्द इस्तेमाल करता है (p. 168)
sample spaceसभी पूरे नतीजों की list, जो tree बना देता हैप्रतिदर्श समष्टि§7.2.1 (p. 160) में छपा है, और §7.4 (p. 168) में tree से पढ़ा गया है
theoretical probabilityअनुकूल outcomes बटे संभव outcomes, जिसे p. 169 की शुरुआत में दोबारा बताया गया हैसैद्धांतिक प्रायिकता§7.2.2 (p. 161) में bold में छपा है और उसका सूत्र p. 169 पर दोबारा छपा है
without replacementऐसे उठाव के बारे में जो पहले की कोई चीज़ बाहर रख देने के बाद किया गया होप्रतिस्थापन के बिनाEnd-of-Chapter Q12 (ii) (p. 172) में छपा है; Q10 और Q13 (ii) यही बात शब्दों में कहते हैं (pp. 171–172)
pathtree की शुरुआत से उसके किसी एक सिरे तक का पूरा रास्तापथ§7.4 की उस list में छपा है जो बताती है कि tree किस काम आता है (p. 168)
multiplication along a pathकिसी पूरे outcome की प्रायिकता पाने के लिए शाखाओं की संख्याओं का गुणापथ के अनुदिश गुणनयहाँ जोड़ा गया शब्द; chapter संख्याएँ खींचता है और उन्हें कभी गुणा नहीं करता
branchings multiplyयह तथ्य कि पूरे outcomes की संख्या हर चरण के चुनावों का गुणनफल होती हैशाखाओं का गुणनफलयहाँ जोड़ी गई कहन; chapter चार तक गिनता है और कभी सामान्यीकरण नहीं करता

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Manjari का हिंदी संस्करण मैंने नहीं देखा।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "tree तो बस list लिखने का सुथरा तरीक़ा है।" वह खींचा हुआ गुणन-नियम है। चार चीज़ों की list आपको यह कुछ नहीं बताती कि चार आया कहाँ से।
  • "शाखाओं की संख्याएँ जुड़ती हैं।" किसी एक विभाजन पर वे जुड़कर 1 बनती हैं। किसी पथ के अनुदिश वे गुणा होती हैं। इन दोनों को गड्डमड्ड करना ही मानक ग़लती है, और सही coin वाला tree इसे छिपा लेता है क्योंकि 1/2 + 1/2 और 1/2 × 1/2, दोनों ही लिख डालने में आसान संख्याएँ हैं।
  • "हर पथ समान रूप से संभावित है।" सिर्फ़ तब, जब हर विभाजन की हर शाखा हो। Exercise Set 7.4 Q1 इसे figure के अगले ही page पर मार देता है।
  • "आख़िरी column की प्रविष्टियाँ गिन लीजिए।" फलों की टोकरियों के लिए इससे 1/4 आ जाता है जहाँ 1/6 चाहिए, और pens के लिए 1/3 जहाँ 29/81 चाहिए।
  • "प्रतिस्थापन के बिना उठाना अलग topic है।" वही tree, दूसरी परत पर अलग संख्याएँ। चित्र में कुछ भी नहीं बदलता।
  • "दो चरण, यानी जवाब को 2 से गुणा कर दीजिए।" दो चरणों का मतलब है शाखाओं की संख्या का गुणा, जो वही बात नहीं है और अक्सर 2 होती भी नहीं।
  • "tree हमेशा खींचना ही पड़ता है।" आकार के लिए शाखाओं को गुणा कर दीजिए। छह पोशाकों के लिए chapter ख़ुद table माँगता है।
  • "tree के लिए चरणों का स्वतंत्र होना ज़रूरी है।" chapter की परिभाषा यही कहती है और उसका अपना तारांकित Q10 इसे मानता नहीं। tree परतंत्र चरणों को बख़ूबी सँभालते हैं; दूसरी परत की बदली हुई संख्याएँ इसी के लिए हैं।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Exercise Set 7.4 Q1, Exercise Set 7.4 Q2, End-of-Chapter Exercises Q6, End-of-Chapter Exercises Q10, End-of-Chapter Exercises Q13

पूरा transcript2,491 शब्द

अब तक जितने भी experiment सामने आए, सब 1 चरण वाले थे। एक सिक्का 1 बार उछाला गया, एक पासा 1 बार फेंका गया, एक ball 1 बार निकाली गई। काम एक ही बार हुआ और जवाब सामने आ गया। पर बहुत सारे experiment ऐसे होते हैं जिनमें काम एक के बाद एक, कई बार होता है। एक सिक्के को 2 बार उछालिए। एक पासे को 3 बार फेंकिए। ऐसे experiment को कई चरणों वाला experiment कहते हैं, और हर बारी अपने आप में एक पूरा चरण होती है।

ऐसे पूरे experiment को एक ही जगह देखने का तरीक़ा tree है। एक शुरुआती बिंदु से पहले चरण के जितने जवाब आ सकते हैं, उतनी branch निकलती हैं। फिर उनमें से हर एक से दूसरे चरण की branch निकलती हैं। ऊपर column के नाम लिखे जाते हैं — पहला चरण, दूसरा चरण, और आख़िर में जवाब। tree में जो 1-1 खिंची हुई branch है, वह किसी 1 चरण का 1 जवाब दिखाती है।

पहली परत की branch पहले चरण के जवाब हैं, दूसरी परत की branch दूसरे चरण के। शुरू से आख़िर तक का पूरा रास्ता path कहलाता है। एक path पूरे experiment की एक बार की कहानी है — पहले चरण में यह हुआ, फिर दूसरे चरण में वह हुआ। और यहाँ, path के सिरे पर जो लिखा है, वही पूरे experiment का 1 जवाब है। सारे सिरों को एक साथ पढ़ लीजिए तो वही इस experiment का sample space है।

2 सिक्कों के लिए वह HH, HT, TH और TT है। इस tree को गिनकर देखिए। पहली परत में 2 branch हैं, और उन दोनों में से हर एक के नीचे 2 और। यानी कुल 6 branch खिंची हैं, पर सिरे सिर्फ़ 4 हैं। branch की गिनती और सिरों की गिनती अलग-अलग चीज़ें हैं। और 4 कहाँ से आया? पहले चरण में 2 जवाब थे, और उनमें से हर एक के आगे दूसरे चरण के 2 जवाब।

तो पूरे path की गिनती 2 गुणा 2, यानी 4 है। यही पहला गुणा है जो tree दिखाता है — हर चरण की branch की गिनतियाँ आपस में गुणा होती हैं। ध्यान दीजिए, इस गुणा में branch पर लिखे हिस्सों का कोई काम नहीं है। यह सिर्फ़ इतना गिनता है — हर जगह कितनी branch निकलीं। branch पर कुछ लिखा ही न हो, तब भी path की गिनती वही रहेगी।

अब इसका फ़ायदा देखिए। एक पासे को 3 बार फेंकिए। हर बार 6 जवाब आ सकते हैं, तो path की गिनती 6 गुणा 6 गुणा 6, यानी 216 है। 216 path कोई नहीं खींचेगा, पर गिनती निकल आई। अब हर branch पर उसका हिस्सा लिखिए। सिक्का ईमानदार है, तो पहले चरण में head का हिस्सा आधा और tail का हिस्सा आधा। दूसरे चरण में भी वही। इस पूरे tree की छहों branch पर आधा ही लिखा है।

यहाँ सबसे आम ग़लती होती है। आधा किस चीज़ का मौका है? सिर्फ़ 1 चरण का। यह उस 1 उछाल पर head आने का मौका है, पूरे experiment के किसी जवाब का नहीं। और HH आने का मौका आधा नहीं है, वह 1 बटा 4 है। इस पूरे tree पर कहीं भी 1 बटा 4 लिखा हुआ नहीं मिलेगा। जो branch पर लिखा है वह अलग चीज़ है, और जो सिरे पर मिलता है वह अलग।

HH का मौका निकालने का पहला रास्ता गिनती वाला है। इस tree के सिरे 4 हैं, और HH उनमें से 1 है। तो मौका 1 बटा 4। दूसरा रास्ता path के साथ-साथ चलने का है। देखिए, इस path पर 2 branch हैं, दोनों पर आधा। आधा गुणा आधा, यानी 1 बटा 4। वही जवाब, दूसरे रास्ते से। इन दोनों हिस्सों को जोड़ भी सकते हैं और गुणा भी, और दोनों के जवाब अलग हैं।

आधा और आधा जोड़िए तो पूरा 1 मिलता है। आधा गुणा आधा कीजिए तो 1 बटा 4। एक ही बँटवारे पर branch के हिस्से जुड़कर 1 बनाते हैं, और एक ही path पर वे आपस में गुणा होते हैं। यह tree का दूसरा गुणा है। पहला गुणा branch की गिनतियों का था और path की संख्या देता था। यह वाला branch पर लिखे हिस्सों का है और किसी 1 path का मौका देता है।

tree दोनों दिखाता है, पर लिखा सिर्फ़ पहला जाता है। अब आप सोचिए। 1 head और 1 tail आने का मौका कितना है? इस बार शर्त 1 path पर पूरी नहीं होती। देखिए, इनमें HT और TH, दोनों चलते हैं। यानी 4 में से 2 path इस शर्त को पूरा करते हैं, और उनमें से हर एक का हिस्सा 1 बटा 4 है। अब दोनों को जोड़िए। 1 बटा 4 और 1 बटा 4 मिलकर आधा बनाते हैं।

तो जो event एक से अधिक path से बनता है, उसका तरीक़ा यह है — हर path पर गुणा कीजिए, और फिर उन सब path को जोड़ दीजिए। अब एक अलग experiment। पहले basket में 1 apple है और 2 orange। दूसरे basket में 1 banana है और 1 mango। दोनों में से बिना देखे 1-1 फल निकालना है। पहले basket में कुल 3 फल हैं, और उनमें से 1 apple है।

तो apple वाली branch का हिस्सा 1 बटा 3 है और orange वाली branch का 2 बटा 3। यह tree दोनों तरफ़ आधा-आधा नहीं है। अब apple और banana वाला path लीजिए। यहाँ उस पर 1 बटा 3 लिखा है और फिर आधा। इन्हें गुणा कीजिए तो 1 बटा 6 मिलता है। यही इस जवाब का सही मौका है। इस tree के सिरे 4 हैं। तो क्या इनमें से हर एक का मौका 1 बटा 4 है?

गिनती वाला रास्ता कहेगा 1 बटा 4, क्योंकि सिरे 4 हैं और उनमें से 1 चाहिए। पर सही जवाब 1 बटा 6 है। दोनों के बीच का फ़ासला 1 बटा 12 का है, और यह छोटी बात नहीं है। वजह यहाँ tree पर ही लिखी है। इन 4 सिरों का हिस्सा बराबर नहीं है। apple वाले 2 सिरों पर 1 बटा 6 और 1 बटा 6 है, और orange वाले 2 सिरों पर 1 बटा 3 और 1 बटा 3।

orange वाली branch apple वाली से दुगनी भारी है। पर गिनती अपने आप में ख़राब नहीं है। फल एक-एक करके गिनिए तो 3 गुणा 2, यानी 6 तरह के जोड़े बनते हैं, और वे सब बराबर मौके वाले हैं। उनमें से apple और banana वाला 1 है। 6 में से 1, यानी 1 बटा 6। ग़लती गिनने में नहीं थी, 4 वाली सूची में थी। अब एक box में 3 लाल, 4 काली और 2 हरी pen हैं।

एक pen बिना देखे निकालिए, उसका रंग लिखिए, और वापस डाल दीजिए। फिर दूसरी बार वही कीजिए। box में कुल 9 pen हैं, तो पहली परत की 3 branch के हिस्से 3 बटा 9, 4 बटा 9 और 2 बटा 9 हैं। दोनों pen एक ही रंग की निकलें, इस event को देखिए। इसके लिए 3 path चलेंगे। लाल वाला 3 बटा 9 गुणा 3 बटा 9, यानी 9 बटा 81।

काली वाला 16 बटा 81। हरी वाला 4 बटा 81। इन तीनों को जोड़िए तो 29 बटा 81 मिलता है। गिनती वाला रास्ता यहाँ क्या कहेगा? tree के सिरे 9 हैं, और उनमें से 3 एक ही रंग वाले हैं, तो 3 बटा 9, यानी 1 बटा 3। पर सही जवाब 29 बटा 81 है। गिनती 2 बटा 81 से कम पड़ गई। और फिर वही जाँच। pen को एक-एक करके अलग मानिए तो जोड़े 9 गुणा 9, यानी 81 बनते हैं, और वे सब बराबर मौके वाले हैं।

उनमें से एक ही रंग वाले जोड़े गिनिए तो 29 निकलते हैं। 29 बटा 81, फिर से वही। अब एक basket में 4 लाल और 5 नीली ball हैं। एक ball निकालिए और उसे बाहर ही रख दीजिए। फिर दूसरी ball निकालिए। पहली परत सीधी है — कुल 9 ball, तो लाल की branch 4 बटा 9 और नीली की 5 बटा 9। अब दूसरी परत सोचिए। अगर पहली ball लाल निकली, तो basket में अब 3 लाल और 5 नीली बची हैं, कुल 8।

तो लाल वाली branch के नीचे 3 बटा 8 और 5 बटा 8 आएगा। और अगर पहली ball नीली निकली, तो 4 लाल और 4 नीली बचीं, फिर कुल 8। तो नीली वाली branch के नीचे 4 बटा 8 और 4 बटा 8 आएगा। दूसरी परत के हिस्से पहली परत पर टिके हुए हैं। यहाँ खींची हुई शक्ल में कुछ भी नहीं बदला। वही शुरुआती बिंदु, वही 2 branch, वही 4 सिरे।

सिर्फ़ दूसरी परत पर लिखे हिस्से बदले। बाहर रखकर निकालना कोई अलग विषय नहीं है — वही tree है, और उस पर दूसरे हिस्से हैं। अब 2 सवाल। पहले लाल फिर नीली आने का मौका उस path पर 4 बटा 9 और 5 बटा 8 का गुणा है, यानी 5 बटा 18। और दोनों नीली आने का? उस path पर 5 बटा 9 और 4 बटा 8 हैं, गुणा करके फिर 5 बटा 18।

दोनों जवाब एक ही निकले, और वजह tree पर दिख रही है। दोनों path में ऊपर 4 और 5 हैं, और नीचे 9 और 8 हैं। बस उनका क्रम बदला हुआ है। गुणा में क्रम से फ़र्क़ नहीं पड़ता, इसलिए जवाब एक ही आया। पर इसे नियम मत मान लीजिए। वही experiment 4 लाल और 4 नीली ball पर कीजिए। तब पहले लाल फिर नीली का जवाब 2 बटा 7 आता है, और दोनों नीली का 3 बटा 14।

अब दोनों अलग हैं। बराबरी सिर्फ़ इन्हीं गिनतियों की वजह से थी। अब एक फ़र्क़ जो अक्सर छूट जाता है। सिक्के वाले tree में दूसरी परत को देखिए। head के नीचे आधा और आधा, और tail के नीचे भी आधा और आधा। पहली उछाल का दूसरी उछाल पर कोई असर नहीं है। और ball वाले tree में क्या होता है? लाल के नीचे 3 बटा 8 और 5 बटा 8, नीली के नीचे 4 बटा 8 और 4 बटा 8।

यहाँ पहली बारी दूसरी को बदल देती है। दोनों परतें आपस में जुड़ी हुई हैं। कई जगह यह परिभाषा दी जाती है — कई चरणों वाला experiment वही है जिसमें एक बारी दूसरी को नहीं बदलती। पर ball वाला experiment इस शर्त को नहीं मानता, और tree फिर भी उसे पूरी तरह सँभाल लेता है। tree को ऐसी शर्त की ज़रूरत ही नहीं है। दूसरी परत के बदले हुए हिस्से उसी काम के लिए हैं।

तो गिनती वाला रास्ता कब चलता है? जवाब सीधा है। जब tree के सारे सिरों पर बराबर हिस्सा हो, तभी। यहाँ देखिए — सिक्के वाले tree पर हर सिरा 1 बटा 4 का था, इसलिए गिनती चली। फल वाले पर सिरे 1 बटा 6 और 1 बटा 3 के थे, इसलिए नहीं चली। और यह सिर्फ़ कहने की बात नहीं है। जाँच 6 tree पर हुई, और उन पर बनने वाला हर event लिया गया, कुल 4912।

हर एक पर दोनों रास्ते चलाकर देखे गए। दोनों ठीक उन्हीं 3 tree पर एक जैसा जवाब देते हैं जिनके सिरे बराबर भारी हैं, और बाक़ी 3 पर नहीं। यानी जाँचे गए 6 tree में से सिर्फ़ 3 ऐसे निकले जिन पर सिरे गिनकर जवाब निकाला जा सकता है। बाक़ी 3 पर path के साथ-साथ गुणा करना ही पड़ेगा। यहाँ एक बात साफ़ कर देनी चाहिए। बहुत लोग यह याद रखते हैं — हर branch बराबर हो, तभी गिनती चलेगी।

पर यह बात सही नहीं है। एक ऐसा tree बनाइए जिसके पहले बँटवारे पर 1 बटा 3 और 2 बटा 3 लिखा हो। पहली branch के नीचे 2 और दूसरी के नीचे 4 branch रखिए। अब सिरे 6 हैं, और हर सिरे पर 1 बटा 6 आता है। इस tree पर branch बराबर नहीं हैं, फिर भी सिरे बराबर हैं, इसलिए गिनती पूरी तरह सही है। और इसी tree पर branch की गिनतियाँ गुणा नहीं की जा सकतीं, क्योंकि दूसरी परत हर जगह एक जैसी चौड़ी नहीं है।

शर्त सिरों पर है, branch पर नहीं। अब सिर्फ़ गिनती का सवाल। एक box में 4 ball हैं, और हर एक पर अलग निशान लगा है। एक निकालकर वापस डालिए और फिर निकालिए — तब जोड़े 4 गुणा 4, यानी 16 बनते हैं। और अगर पहली ball बाहर ही रख दी, तो दूसरी बार 3 ही बचती हैं, और जोड़े 4 गुणा 3, यानी 12 बनते हैं। इसी तरह एक सिक्का उछालिए और साथ में 6 card में से 1 उठाइए — जवाब 2 गुणा 6, यानी 12 तरह के बनते हैं।

और 2 shirt के साथ 3 तरह की trousers पहननी हों, तो जोड़े 2 गुणा 3, यानी 6 बनते हैं। इनमें से कोई tree खींचे बिना निकला। पर यह गुणा हमेशा नहीं चलता। मान लीजिए पहले जवाब के नीचे 2 branch हैं और दूसरे के नीचे 3। अब दूसरी परत की कोई एक चौड़ाई है ही नहीं, इसलिए गुणा करने को कुछ बचा नहीं। ऐसे tree के path फिर भी गिने जा सकते हैं — यहाँ वे 5 हैं — बस गुणा से नहीं निकलते।

एक ही चीज़ को 2 तरह से खींचा जा सकता है। 2 shirt और 3 तरह की trousers के 6 जोड़े एक table में 2 row और 3 column की शक्ल में आ जाते हैं। वही 6 जोड़े tree में 2 branch और उनके नीचे 3-3 branch की शक्ल में आते हैं। चुनाव का नियम यह है। 2 चरण हों और हर चरण में कुछ ही जवाब हों, तो table छोटा और साफ़ रहता है।

पर branch के हिस्से आपस में अलग-अलग हों, या चरण 3 या उससे अधिक हों, तो tree ही काम आएगा, क्योंकि table में हिस्से लिखने की जगह ही नहीं होती। आख़िरी उदाहरण के लिए 3 सिक्के उछालिए। अब tree में 3 परतें हैं और सिरे 2 गुणा 2 गुणा 2, यानी 8। हर branch पर आधा लिखा है, तो हर path का हिस्सा आधा गुणा आधा गुणा आधा, यानी 1 बटा 8 है।

अब शर्त यह है — पहले सिक्के पर head आए, और कुल head 2 हों। HHT इसे पूरा करता है और HTH भी। बाक़ी कोई नहीं। तो 8 में से 2 path, और हर path का हिस्सा 1 बटा 8। दोनों को जोड़िए तो 2 बटा 8, यानी 1 बटा 4। यहाँ गिनती वाला रास्ता भी वही जवाब देता है — 8 सिरों में से 2, यानी 1 बटा 4।

और उसकी वजह साफ़ है। इस tree के आठों सिरे बराबर भारी हैं, इसलिए गिनने की इजाज़त है। तो tree कोई सजी हुई सूची नहीं है। वह 2 गुणा एक साथ खींचकर दिखाता है। पहला — हर चरण की branch की गिनतियाँ आपस में गुणा होती हैं, और उससे path की संख्या निकलती है। दूसरा — किसी 1 path पर लिखे हिस्से आपस में गुणा होते हैं, और उससे उस जवाब का मौका निकलता है।

और अगर पूरे video से 1 वाक्य याद रखना हो, तो यह — एक ही बँटवारे पर branch के हिस्से जुड़कर पूरा 1 बनाते हैं, और एक ही path पर वे आपस में गुणा होते हैं। जोड़ना और गुणा करना दोनों यहाँ होते हैं, बस अलग-अलग जगह। और सिरे गिनकर जवाब निकालने की इजाज़त सिर्फ़ तब है जब सारे सिरे बराबर भारी हों। यह शर्त tree पर लिखी नहीं मिलती, उसे हर बार खुद जाँचनी पड़ती है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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