PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 9 Mathematics · Chapter 7, The Mathematics of Maybe: Introduction to Probability
Chapter 7 · The Mathematics of Maybe: Introduction to Probability
न्यायसंगत, अनभिनत और स्मृतिहीन: जुआरी का भ्रम
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एक सिक्का लगातार 6 बार head दे चुका है, और मन कहता है कि अब tail आना ही चाहिए। यह सोच सही होने के लिए सिक्के को 2 काम करने पड़ेंगे — अपना पिछला रिकॉर्ड याद रखना, और उस रिकॉर्ड को देखकर अगली उछाल को एक तरफ झुकाना। पर न्यायसंगत सिक्के की परिभाषा ही यह है कि वह किसी तरफ झुका हुआ नहीं है। यानी यह सोच हिसाब में कुछ जोड़ती नहीं, उसे काटती है — दोनों बातें एक साथ नहीं टिक सकतीं।
मुख्य idea
जुआरी का भ्रम गणित की कोई चूक नहीं है। वह इस बारे में एक ग़लत सिद्धांत है कि दीर्घ अवधि की स्थिरता आती कहाँ से है। लोग सही मानते हैं कि चित का अनुपात आधे के आसपास बैठ जाता है, और फिर ग़लत नतीजा निकाल लेते हैं कि ऐसा होने के लिए सिक्के को कोई उधार चुकाना पड़ रहा होगा। वह अनुपात तनुकरण से बैठता है, सुधार से नहीं: छह चितों की लड़ी कभी काटी नहीं जाती, वह बस बढ़ती जाती उछालों की संख्या से बाँट दी जाती है, इसलिए हज़ार उछालें और हो जाने पर वही तीन की बढ़त एक पूर्णांकन-त्रुटि भर रह जाती है। इसीलिए स्मृतिहीन सिक्का दीर्घ अवधि की स्थिर बारंबारता के साथ महज़ निभ ही नहीं जाता — वही तो उसे पैदा करता है। और "न्यायसंगत" तथा "अनभिनत" उस भौतिक सममिति के लिए chapter के दिए नाम हैं, जो वे बराबर chances देती है जिनसे पूरी दलील शुरू होती है।
आपको क्या आना चाहिए
- जुआरी का भ्रम बताइए और किसी बताए हुए तर्क में उसे पहचानिए
- समझाइए कि पहले आए नतीजों की किसी भी लड़ी से अगली उछाल की प्रायिकता क्यों नहीं बदलती
- संख्याओं वाली तनुकरण की दलील से समझाइए कि किसी outcome पर उधार हुए बिना दीर्घ अवधि का अनुपात आधे की ओर कैसे बैठ सकता है
- बताइए कि वह भ्रम सही होने के लिए किसी सिक्के के बारे में क्या सच होना पड़ता, और कहिए कि इससे वह सिक्का क्या बन जाता
- परिभाषित कीजिए कि कोई सिक्का न्यायसंगत और अनभिनत किस बात से होता है, और कहिए कि यादृच्छिक उछाल इसमें क्या जोड़ती है
- स्वतंत्र परीक्षणों की एक काम चलाऊ परिभाषा दीजिए
- यही तर्क किसी board game के पासे पर, और पहले से दर्ज सिक्के के प्रयोग पर लागू कीजिए
- समझाइए कि किसी एक नतीजे की लंबी लड़ी किस बात का प्रमाण है, और किस बात का प्रमाण नहीं है
जानने लायक़ शब्द
| शब्द | एक पंक्ति में अर्थ | हिंदी / क्षेत्रीय समकक्ष | पहली बार कहाँ |
|---|---|---|---|
| Gambler's Fallacy | यह मान्यता कि जो नतीजा कुछ समय से नहीं आया वह अगली बार ज़्यादा संभावित है | जुआरी का भ्रम | p. 164 पर bold में, और अपने ही box के heading की तरह छपा है |
| fair | ऐसे सिक्के के बारे में जो सममित हो, ताकि किसी पक्ष को तरजीह न मिले | न्यायसंगत / निष्पक्ष | FAIR AND UNBIASED box (p. 164) में अपनी परिभाषा के साथ उद्धरण चिह्नों में छपा है |
| unbiased | सिक्के के उसी गुण के लिए chapter का दिया नाम | अनभिनत | FAIR AND UNBIASED box (p. 164) में अपनी परिभाषा के साथ उद्धरण चिह्नों में छपा है |
| random toss | ऐसी उछाल जिसमें सिक्का बिना किसी दख़ल के आज़ाद गिरे | यादृच्छिक उछाल | FAIR AND UNBIASED box (p. 164) में अपनी परिभाषा के साथ उद्धरण चिह्नों में छपा है |
| symmetrical | ऐसे गढ़ा हुआ कि किसी भी पक्ष को कोई बढ़त न हो | सममित | FAIR AND UNBIASED box (p. 164) में छपा है |
| independent event | ऐसी घटना जिसकी प्रायिकताओं पर पहले जो हुआ उसका कोई असर न पड़े | स्वतंत्र घटना | Example 6 (p. 164) में छपा है; §7.4 (p. 168) में परीक्षणों के बारे में दोबारा बरता गया, और दोनों में से कहीं परिभाषित नहीं |
| no memory | सिक्का अपने अतीत का हिसाब नहीं रखता, इसके लिए chapter का वाक्यांश | स्मृतिहीन | GAMBLER'S FALLACY box में दो बार और Example 6 के Key Idea (p. 164) में फिर छपा है |
| Law of Large Numbers | यह तथ्य कि देखा गया अनुपात सैद्धांतिक मान की ओर बैठ जाता है | बृहत् संख्याओं का नियम | §7.2.3 के सिरे पर (p. 163) bold में छपा है |
| long run | बहुत परीक्षणों वाली वह स्थिति जिसका वर्णन नियम करता है | दीर्घ अवधि | p. 163 के Think and Reflect में छपा है |
| Snakes and Ladders | वह board game जिसमें Example 6 रखा गया है | साँप-सीढ़ी | Example 6 (p. 164) में और Did you know? box (p. 161) में छपा है |
| dilution | वह तंत्र जिससे कोई तय बढ़त एक नगण्य अनुपात बन जाती है | तनुकरण | यहाँ जोड़ा गया शब्द; chapter नतीजा बताता है और तंत्र कभी नहीं देता |
| self-correcting | ऐसी प्रक्रिया के बारे में जो किसी असंतुलन का उधार चुका देती हो — जो न्यायसंगत सिक्का नहीं है | स्वतः सुधारक | यहाँ जोड़ा गया शब्द, section 2 में सिर्फ़ इसलिए लाया गया कि उसे गिरा दिया जाए |
हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Manjari का हिंदी संस्करण यहाँ नहीं देखा गया।
लोग कहाँ चूकते हैं
- "पट का उधार बकाया है।" कुछ भी बकाया नहीं है। chapter का box इसी एक वाक्य के लिए मौजूद है।
- "बृहत् संख्याओं का नियम गारंटी देता है कि गिनतियाँ बराबर हो जाएँगी।" वह अनुपात के बैठ जाने की गारंटी देता है। उछालें जमा होते जाने पर चित की गिनती और पट की गिनती के बीच का अंतर आम तौर पर बढ़ता है; जो घटता है वह अनुपात है। दोनों को एक कर देना ही भ्रम है, गणित के भेस में, और इसीलिए यह topic बृहत् संख्याओं के नियम के बाद आता है, पहले नहीं।
- "लंबी लड़ी का मतलब है कि सिक्के को याद है।" मतलब यह है कि आपने एक लड़ी देखी। न्यायसंगत सिक्के पर छह चित छह-उछाल वाली लगभग हर 64 कोशिशों में एक बार होते हैं।
- "न्यायसंगत सिक्का लगातार छह चित दे ही नहीं सकता।" दे सकता है, प्रायिकता 1/64 के साथ।
- "स्वतंत्र का मतलब है कि दोनों चीज़ों का विषय के स्तर पर आपस में कोई लेना-देना नहीं।" मतलब यह है कि एक का नतीजा दूसरे की प्रायिकताएँ नहीं बदलता। एक ही सिक्के की दो उछालें एक ही सिक्के की हैं और फिर भी स्वतंत्र हैं।
- "'न्यायसंगत' उछालने वाले का वर्णन करता है।" अनभिनत सिक्के का वर्णन करता है; यादृच्छिक उछाल उछालने का। chapter दोनों को एक ही box में अलग करता है और वही अलगाव ही सामग्री है।
- "लंबी लड़ी के बाद अपनी भविष्यवाणी बदल दीजिए।" दोनों में से कोई भविष्यवाणी बेहतर नहीं है। सिक्के पर शक करने की वजह हो तो सिक्के पर शक कीजिए — छह उछालों के बल पर उसके ख़िलाफ़ दाँव मत लगाइए।
- "यह सिर्फ़ जुए में मायने रखता है।" यही वजह है कि कोई student Exercise Set 7.2 Q3 में अपनी ही बीस उछालों की table ग़लत पढ़ लेता है, और यही वजह है कि लोग उम्मीद करते हैं कि मानसून सूखे हफ़्ते की "भरपाई" कर देगा।
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पूरा transcript1,751 शब्द
एक सिक्का उछाला गया, और लगातार 6 बार head आया। अब अगली उछाल से पहले मन में एक बात उठती है। लगता है कि अब tail आना ही चाहिए — जैसे सिक्के पर tail का कोई उधार चढ़ गया हो। यह भ्रम इतना आम है कि इसका अपना नाम है। पर एक पल रुकिए — यह बात सही होने के लिए सिक्के को करना क्या पड़ेगा? पहले तो उसे अपना पिछला रिकॉर्ड याद रखना पड़ेगा।
और फिर उस रिकॉर्ड को देखकर अगली उछाल को tail की तरफ झुकाना पड़ेगा। पर न्यायसंगत सिक्के की परिभाषा ही यही है कि वह किसी तरफ झुका हुआ नहीं है। यानी यह सोच पुराने हिसाब में कुछ जोड़ती नहीं, उसे काटती है। दोनों बातें एक साथ नहीं टिक सकतीं। या तो सिक्का दोनों तरफ से एक जैसा है, या उस पर tail का उधार चढ़ा है। सीधा जवाब यह है: सिक्के को कुछ याद नहीं रहता, और अगली उछाल पर tail का मौका अब भी आधा है।
पर सिर्फ इतना कह देना अधूरा है। लंबी दौड़ में heads का हिस्सा सचमुच आधे के पास जाकर बैठ जाता है, और कोई तो वजह होगी जो उसे वहाँ ले जाती है। वह वजह उधार चुकाना नहीं है। वह बँटवारा है — वही 6 heads एक बड़ी गिनती में बँटकर छोटे होते जाते हैं। शुरुआत यहीं से कीजिए। 6 उछाल में 6 heads, यानी heads का चलता हुआ हिस्सा पूरा 1।
अब आगे उछालते रहिए। औसतन, कुल 100 उछाल तक heads की गिनती 53 पहुँचती है, यानी हिस्सा 0 दशमलव 5 3। 1000 उछाल तक यह 503 बनती है, यानी 0 दशमलव 5 0 3। और 10000 तक 5003, यानी 0 दशमलव 5 0 0 3 — आधे से बस इतना ऊपर। हर कदम पर हिस्सा घटता है, और फिर भी आधे तक कभी पहुँचता नहीं। अब वही गिनतियाँ दूसरी तरफ से पढ़िए।
आधे से ऊपर कितने heads बचे — 100 पर 3, 1000 पर 3, और 10000 पर भी 3। जो 6 heads पहले आए थे, वे कहीं कटे नहीं। जो 3 ज्यादा थे, वे चारों जगह वैसे के वैसे हैं। जो घटता है वह 3 है, उछालों से बँटा हुआ — पहले आधा, फिर 100 में से 3, फिर 1000 में से 3, फिर 10000 में से 3। heads में से tails घटाइए तो आगे की बढ़त औसतन 6 है — और चारों जगह 6 ही रहती है।
यह किसी शॉर्टकट का जवाब भर नहीं है। उछाल 6 से उछाल 16 तक, हर मुमकिन आगे की चाल पर चलकर देखा गया, और बढ़त हर बार 6 ही निकली। गिनती 2 अलग तरीकों से की गई — एक हर चाल पर चलकर, दूसरा यह गिनकर कि बाकी उछाल कितने तरीकों से गिर सकते हैं। दोनों को 11 जगह आमने-सामने रखा गया, और वे हर जगह एक ही जवाब देते हैं।
बड़ी गिनतियों का नियम यही करता है। वह बढ़त मिटाता नहीं, उसे एक बड़ी गिनती में बाँट देता है। यहाँ एक बात साफ कर देनी चाहिए। यह कहना कि बढ़त कभी मिटती ही नहीं, गलत है — मौका उसे मिटा देता है। 6 की बढ़त अगले 6 उछाल में बराबरी पर लौट आती है 64 में से एक बार। अगले 20 उछाल में करीब 0 दशमलव 1 9, अगले 100 में करीब 0 दशमलव 5 5, और अगले 300 में करीब 0 दशमलव 7 3।
यह मौका उछालों के साथ बढ़ता जाता है, पर 300 उछाल के बाद भी 3 चौथाई से नीचे ही रहता है। पर मिटना और चुकाना एक बात नहीं है। जो कभी नहीं होता वह चुकाना है — औसत बढ़त घटती ही नहीं, चाहे उछाल 6 हों या 10000। अब वह सिक्का बनाकर देखिए जो यह भ्रम माँगता है। हर उछाल के बाद वह उस तरफ झुक जाता है जो पीछे चल रही है।
उस सिक्के पर 6 heads के बाद head आने का मौका 8 में से एक रह जाता है, और tail का 8 में से 7। और उसकी औसत बढ़त सचमुच 6 से गिरने लगती है। अगले 8 उछाल में वह आधे से ज्यादा लौटा देती है। चुकाना ऐसा दिखता है। और यह सिक्का बनाया जा सकता है — बस वह न्यायसंगत नहीं रहता। और इस याददाश्त की कीमत है। उस सिक्के पर लगातार 8 heads अब भी मुमकिन हैं, पर 9 मुमकिन ही नहीं — वह इतनी लंबी लगातार गिनती को सिरे से मना कर देता है।
और लगातार आए जिन जवाबों को समझाने के लिए वह बना था, उसी को वह और दुर्लभ कर देता है। उस सिक्के पर वही 6 heads आने का मौका न्यायसंगत सिक्के के मौके का करीब 13 में से एक हिस्सा रह जाता है। अब एक सवाल, जिसका जवाब चौंकाता है। क्या वह उधार चुकाने वाला सिक्का किसी तरफ झुका हुआ है? नहीं, वह किसी तरफ झुका हुआ नहीं है। 8 उछाल में से हर एक पर अलग-अलग नापने पर उसका head का मौका ठीक आधा निकलता है — बिलकुल न्यायसंगत सिक्के जैसा।
यानी किसी तरफ न झुका होना वह चीज नहीं है जो सिक्के को स्मृतिहीन बनाती है। झुकाव एक-एक उछाल के बारे में है; याद न रखना इस बारे में है कि पिछला रिकॉर्ड अगली उछाल को क्या बताता है। एक तीसरा सिक्का सोचिए जो पहली उछाल पर आधा-आधा है और उसके बाद 4 में से 3 बार head देता है। इसीलिए यह शब्द हर उछाल के बारे में कहना पड़ता है, किसी एक के बारे में नहीं।
इसी बात का नाम है एक-दूसरे से बेअसर होना। मतलब यह कि पिछले जवाब जान लेने से अगले जवाब के मौके बदलते नहीं। न्यायसंगत सिक्के पर यह नापकर देखा गया। 6 या उससे कम उछाल के कुल 127 पिछले रिकॉर्ड बनते हैं, और उन 127 के 127 के बाद अगली उछाल आधे पर ही रहती है। और यह सिर्फ 6 उछाल तक की बात नहीं — 13 उछाल तक के कुल 16383 रिकॉर्ड पर भी जवाब आधा ही निकलता है।
और यह जवाब तब भी नहीं बदलता जब आगे एक उछाल की जगह 3 उछाल तक चलकर देखा जाए। इसी जगह दोनों सिक्के अलग हो जाते हैं। उन सब रिकॉर्ड पर न्यायसंगत सिक्का ठीक एक जवाब देता है, और उधार चुकाने वाला सिक्का 13 अलग जवाब — उस पर तो अगली के बाद वाली उछाल भी एक अलग सवाल है, 64 में से 11। अब 2 शब्द अलग-अलग कर लीजिए, क्योंकि लोग उन्हें मिला देते हैं।
न्यायसंगत होना सिक्के के बारे में बात है: वह दोनों तरफ से एक जैसा है, इसलिए किसी एक तरफ के पास ज्यादा आने की कोई वजह नहीं। इसी बात को अनभिनत कहा जाता है। यह सिक्के की बनावट की बात है, उछालने वाले की नहीं। पासे पर भी यही चलता है। जिस घन के सारे फलक एक जैसे हों, उसमें किसी फलक के पास ज्यादा आने की कोई वजह नहीं होती।
बिना दखल की उछाल दूसरी बात है। इसका मतलब है कि सिक्का अपने आप गिरे, कोई उसे न साधे और न रखे। एक बिलकुल सही सिक्का लीजिए और उसे संभालकर मेज पर head ऊपर रख दीजिए। बनावट की शर्त पूरी है, और उछाल की शर्त टूट गई। इसीलिए ये 2 अलग शब्द हैं। एक चीज के बारे में है, दूसरा उसे उछालने के तरीके के बारे में। अब यही भ्रम पासे पर देखिए।
एक board game में लगातार 3 बार 6 आ चुका है, और लगता है कि अब चौथी बार 6 आ ही नहीं सकता। इसे अंदाजे से नहीं, गिनकर देखिए। 4 रोल के कुल 1296 तरीके हैं, उनमें से 6 तरीके 3 छक्कों से शुरू होते हैं, और उन 6 में से ठीक एक में चौथा भी 6 है। यानी चौथे रोल पर 6 आने का मौका 6 में से एक है।
और रोल शुरू होने से पहले भी यही था। लगातार 3 छक्के अपने आप में 216 में से एक बार होते हैं। इसीलिए वह कुछ खास लगता है। पर चौथे रोल को यह पता नहीं है। उसके सामने वही 6 फलक हैं, और वही एक मौका। पहले भी 6 में से एक, बाद में भी 6 में से एक। बीच में जो हुआ, वह इस गिनती में कहीं आता ही नहीं।
अब एक छोटी बात, जो ठीक इसी जगह पर खटकती है। 6 में से एक को दशमलव में लिखिए तो 0 दशमलव 1 6 6 6 चलता ही जाता है। 3 जगह तक रोंदिए तो 0 दशमलव 1 6 7 आता है, और सैकड़े में एक जगह तक 16 दशमलव 7। पर आगे का हिस्सा काट देने पर 0 दशमलव 1 6 6 और 16 दशमलव 6 आता है। दोनों चलन में हैं, और रोंदा हुआ जवाब असली कीमत के ज्यादा पास है।
फर्क सैकड़े में 0 दशमलव 1 का है। छोटा है — पर यह ठीक उसी पाठ के बीच में आता है जो कहता है कि numbers से धोखा मत खाइए। एक सवाल इस भ्रम को जान-बूझकर सामने रखता है। सिक्का 20 बार उछालिए, हर जवाब लिखिए, और फिर बताइए कि एक और उछाल पर tail का मौका क्या है। 20 उछाल के कुल 21 अलग हिसाब बन सकते हैं — एक भी head नहीं, से लेकर पूरे 20 head तक।
उन 21 के 21 के बाद अगली उछाल पर मौका आधा ही है। पूरे 20 head के बाद भी, और पूरे 20 tail के बाद भी। और वे 20 जवाब किस क्रम में आए थे, इससे भी कुछ नहीं बदलता। तो क्या लगातार आए जवाबों की कोई कीमत ही नहीं है? कीमत है, पर किसी और सवाल के लिए। न्यायसंगत सिक्के पर 6 heads आने का मौका 64 में से एक है, यानी ठीक 0 दशमलव 0 1 5 6 2 5।
अब एक ऐसा सिक्का सोचिए जो 4 में से 3 बार head देता है। उसी 6 heads के लिए वह 729 बटा 4096 माँगता है। यानी वे 6 heads उस झुके हुए सिक्के के पक्ष में 729 बनाम 64 का सबूत हैं। यह 12 से एक से भी कम है — ध्यान देने लायक, सबूत नहीं। 100 heads की बात बिलकुल अलग है। वहाँ वही हिसाब 18 अंकों का एक number दे देता है, यानी पलड़ा सचमुच भारी।
तो लगातार आए वही जवाब 2 सवालों के 2 अलग जवाब देते हैं। सिक्के के बारे में 729 बनाम 64, और अगली उछाल के बारे में ठीक बराबर। पूरे पाठ का नियम एक वाक्य में। लगातार आए जवाब सिक्के के बारे में सबूत हैं, और अगली उछाल के बारे में कुछ भी नहीं — बशर्ते सिक्का वही रहे। कहीं कोई उधार नहीं चढ़ता। जो हिस्से को आधे के पास ले जाता है वह चुकाना नहीं, बँटवारा है।
और अगर सिक्के पर शक हो तो सिक्के पर शक कीजिए। 6 उछाल के दम पर अगली उछाल का जवाब मत बदलिए।
यह कहाँ बैठता है
यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.
किस पर टिका है
- Experimental probability: relative frequency over many trialsकक्षा 9 · Ch 7, The Mathematics of Maybe: Introduction to Probability
- Theoretical probability: counting favourable outcomes when all are equally likelyकक्षा 9 · Ch 7, The Mathematics of Maybe: Introduction to Probability
- What we mean by randomकक्षा 9 · Ch 7, The Mathematics of Maybe: Introduction to Probability
आगे फिर कहाँ आता है
- Tree diagrams make the sample space of a two-step experiment visibleकक्षा 9 · Ch 7, The Mathematics of Maybe: Introduction to Probability
इसके ठीक पहले और ठीक बाद
- Estimating from statistical data, and scaling the estimate upकक्षा 9 · Ch 7, The Mathematics of Maybe: Introduction to Probability
- Listing every outcome: the sample spaceकक्षा 9 · Ch 7, The Mathematics of Maybe: Introduction to Probability