PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 9 Mathematics · Chapter 1, Orienting Yourself: The Use of CoordinatesPrepShorts

Chapter 1 · Orienting Yourself: The Use of Coordinates

2 axes, एक origin, और pair का order क्यों मायने रखता है

The Cartesian plane11 मिनट

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एक number line पर हर point का ठीक 1 address है. उसे कमरे की एक wall के साथ रख लो, और वह अब भी बता सकती है कि कोई चीज़ corner से 8 feet दूर है. लेकिन उँगली कमरे के बीच में ले जाओ, और line के पास कहने को कुछ नहीं बचता. 1 number 1 direction ख़रीदता है, और कमरे में 2 हैं.

मुख्य idea

दो number lines को right angle पर काट दो, और एक line जितना addressing था वह पूरे plane जितना हो जाता है — और यह काम वे हर point से दो अलग सवाल पूछकर करती हैं: कितना across, और कितना ऊपर। सवाल अलग हैं, इसलिए जवाब आपस में बदले नहीं जा सकते — pair अपना मतलब अपने slots के order में रखता है, और numbers पर ख़ुद कहीं यह दर्ज नहीं होता कि वे किस slot से आए थे। तो (a, b) और (b, a) अलग points का नाम हैं, जब तक a और b बराबर न हों; origin वह अकेला point है जिसे दोनों axes zero कहते हैं; और किसी axis पर बैठा point कोई ख़ास हालत नहीं, बल्कि वही आम हालत है जिसमें एक जवाब zero के बराबर है।

आपको क्या आना चाहिए

  • axes की एक जोड़ी बनाना: दो perpendicular lines, दोनों पर बराबर units, और intersection का नाम O
  • हर axis पर कौन-सी direction positive मानी गई है यह बताना, और page के किनारे से गिने बिना coordinates से point mark करना
  • Fig. 1.2 में mark किए गए किसी भी point के coordinates पढ़ना, उन points समेत जो पूरी संख्या वाली दूरी पर नहीं हैं
  • हर axis पर बैठे point के coordinates का रूप बताना, और वह अकेला point पहचानना जो दोनों रूपों पर खरा उतरता है
  • coordinate pair के दोनों numbers आपस में क्यों नहीं बदले जा सकते यह समझाना, और वह ठीक-ठीक शर्त बताना जिसमें बदलने से कुछ नहीं बदलता
  • एक ही point के लिए छपे दोनों notations को एक-दूसरे की जगह इस्तेमाल करना, और यह कहना कि plotting के लिए छोटा वाला क्यों बेहतर है
  • Reiaan के कमरे पर Exercise Set 1.1 हल करना: हर axis से दूरी बताना, mark किए गए point के coordinates देना, और दो coordinates से door की चौड़ाई निकालना

जानने लायक़ शब्द

Termएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
x-axisजोड़ी की horizontal reference linex-अक्षइसी chapter में छपा, §1.3, p. 3
y-axisजोड़ी की vertical reference liney-अक्षइसी chapter में छपा, §1.3, p. 3
coordinate axesदोनों reference lines, एक साथनिर्देशांक अक्षइसी chapter में छपा, §1.3, p. 3
originवह point जो दोनों axes का साझा है, जिसके दोनों coordinates zero हैं, लिखा जाता है Oमूल बिंदुइसी chapter में छपा, §1.3, p. 3
coordinatesnumbers की वह जोड़ी जो axes के हिसाब से किसी point की जगह बताती हैनिर्देशांकइसी chapter में छपा, §1.1, p. 1, और §1.3, p. 3 पर इस्तेमाल में परिभाषित
number lineaxes की जोड़ी से पहले वाली one-dimensional चीज़, पिछली classes में मिली हुईसंख्या रेखाइसी chapter में छपा, §1.3, p. 3
one-dimensionalजिसमें जगह तय करने के लिए अकेला number चाहिएएकविमीयइसी chapter में छपा, §1.3, p. 3
2-D spaceplane, जिसमें जगह तय करने के लिए दो numbers चाहिएद्विविमीय समष्टिइसी chapter में छपा, §1.3, p. 3
unitतय किया हुआ step, दोनों axes पर बराबर mark किया हुआइकाईइसी chapter में छपा, §1.3, p. 3
graph sheetlines वाला paper जिस पर axes और points बनाने हैंग्राफ शीटइसी chapter में छपा, Exercise Set 1.2, p. 7
ordered pairतय order में दो numbers, और order ख़ुद मतलब का एक हिस्सा उठाता हैक्रमित युग्मइस chapter में नहीं छपा — chapter जिसे (x, y) लिखता है उसके लिए यहाँ जोड़ा गया शब्द; chapter p. 7 पर order वाली बात रखता है, बिना उसे नाम दिए
slotजोड़ी की दो जगहों में से एक, पहली x-axis के सामने पढ़ी जाती है और दूसरी y-axis के सामनेस्थानयहाँ जोड़ा गया शब्द, letters आने से पहले जोड़ी की बात करने के लिए

Hindi column में standard Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। मैंने Ganita Manjari का Hindi संस्करण नहीं देखा, इसलिए इसे standard चलन मानें, किसी दूसरे संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "(3, 4) और (4, 3) एक ही point हैं, आख़िर वही तो दोनों numbers हैं।" pair numbers की थैली नहीं है। पहले slot का जवाब x-axis के सामने बनता है और दूसरे का y-axis के सामने, और numeral 3 पर कहीं दर्ज नहीं होता कि उसने किस सवाल का जवाब दिया था। chapter यह बात p. 7 पर सीधे student के सामने रखता है और p. 15 की अपनी summary में कहता है।
  • "अगर तुम्हें पता है कि तुम्हारा मतलब क्या था, तो swap से कभी फ़र्क़ नहीं पड़ता।" फ़र्क़ ठीक तब पड़ता है जब दोनों numbers अलग हों। बराबर coordinates ही अकेली safe हालत है, और इसीलिए chapter इस शर्त को सलाह की तरह नहीं, बराबरी की तरह लिखता है।
  • "origin वहीं है जहाँ से मैंने बनाना शुरू किया।" वह वह point है जो दोनों axes का साझा है, और axes तय होते ही वह तय हो जाता है। Reiaan का कमरा यह चुनाव होते हुए दिखाता है: किसी ने तय किया कि नीचे-बायाँ corner O होगा, और Fig. 1.3 का हर coordinate उसी तय से निकलता है।
  • "किसी axis पर बैठे point का सिर्फ़ एक coordinate होता है।" उसके दो होते हैं, जिनमें से एक zero है। इसी वजह से उसे बाक़ी किसी भी point की तरह plot और नापा जा सकता है।
  • "coordinates steps की पूरी संख्याएँ होती हैं।" Fig. 1.2 में 4.5, −4.5 और −2.9 mark हैं, और Reiaan के bathroom का door 1.5 पर बैठा है। axes हर असली दूरी उठाती हैं, सिर्फ़ ticks वाली नहीं।
  • "x-coordinate page के बाएँ किनारे से नापा जाता है।" वह y-axis से नापा जाता है, और y-axis paper पर कहीं भी बैठ सकती है। axes को page पर खिसका दो, कोई coordinate नहीं बदलेगा।
  • "बाएँ और नीचे बस इसलिए negative हैं कि किसी ने ऐसा कह दिया।" वे उलटी हुई directions हैं, और उलटने को ही negative sign दर्ज करता है — वही चलन जो एक अकेली number line पर −3 को 3 के सामने बिठाता है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Exercise Set 1.1 Q1, End-of-Chapter Exercises Q1

पूरा transcript1,745 शब्द

यह रही एक number line। इस पर हर point का ठीक 1 address है, और यह कहने के लिए कि तुम्हारा मतलब किस point से है, 1 number काफ़ी है। अब इस line को एक कमरे की नीचे वाली wall के साथ रख लो। यह तुम्हें बता सकती है कि कोई चीज़ corner से 8 feet दूर खड़ी है, उसी wall के साथ। लेकिन कमरा एक wall नहीं है। अपनी उँगली floor से उठाओ और उसे कमरे के बीच में ले जाओ, और अब line के पास कहने को कुछ नहीं बचा।

बीच वाले point को भी ठीक वही जवाब मिलता है, जो wall वाले point को मिला था। 1 number तुम्हें 1 direction की आज़ादी देता है। कमरे में 2 directions हैं। तो हम 1 number से कम पड़ रहे हैं, और पहले number पर चाहे जितनी मेहनत करो, वह कमी पूरी नहीं होगी। मरम्मत में कोई चालाकी नहीं है। पहली जैसी ही एक दूसरी number line लो, और उसे पहली पर right angle पर खड़ा कर लो।

अब कमरे के हर point से 1 की जगह 2 सवाल पूछे जा सकते हैं। कितना across, और कितना ऊपर। 1 point, 2 सवाल, 2 जवाब। दोनों lines ठीक 1 point पर एक-दूसरे को काटती हैं, और वही point है जहाँ दोनों जवाब 0 हैं। हम उसे एक नाम देते हैं, origin, और उसे letter O से लिखते हैं। ग़ौर करो कि अभी क्या हुआ। origin कमरे की कोई ख़ूबी नहीं है।

किसी ने उसे चुना, यह चुनकर कि दोनों lines कहाँ बिछानी हैं, और एक बार वह चुन लिया गया, तो बाक़ी सब कुछ उसी से तय हो जाता है। 2 कटी हुई lines अभी frame नहीं हैं। किसी 1 number का कोई मतलब बने, उससे पहले 2 समझौते और चाहिए। पहला, बराबर steps, दोनों lines पर एक ही size के। दूसरा, हर line पर एक direction जो positive गिनी जाएगी, horizontal line पर दाईं तरफ़, और vertical line पर ऊपर की तरफ़।

उल्टी directions को minus sign मिलता है, और यहाँ minus sign बस इतना ही कर रहा है। 3 और minus 3 origin से बराबर दूर हैं, बस उल्टी तरफ़। minus 3 कोई छोटा number नहीं है। यह वही distance है, बस दूसरी तरफ़ गिनी हुई। और एक बात, जिस पर साफ़ रहना ज़रूरी है। पहला number vertical line से नापा जाता है, तुम्हारे काग़ज़ के किनारे से नहीं। पूरी तस्वीर को काग़ज़ पर एक तरफ़ खिसकाओ, और 1 भी coordinate नहीं बदलता।

चलो कुछ points mark करते हैं। यह रहा O, 0 और 0 पर। यह रहा B, दाईं तरफ़ 4.5 steps, और ऊपर 1 भी नहीं। यह रहा E, बाईं तरफ़ 2.9 steps, यानी minus 2.9। यह रहा H, 4 steps ऊपर। और यह रहा G, 4.5 steps नीचे, यानी minus 4.5। अब देखो कि इन 5 points में क्या common है, क्योंकि यह इत्तेफ़ाक़ नहीं है। इनमें से हर एक इन 2 lines में से किसी 1 पर बैठा है।

यह जान-बूझकर रखी गई एक तंग शुरुआत है। ये आसान cases हैं, और हम इन्हीं से rules को बिल्कुल ठीक करेंगे, इससे पहले कि किसी point को खुले मैदान में भटकने दें। इनमें से 2 numbers तुम्हें थोड़ा खटकने चाहिए। B का 4.5, और E का minus 2.9। एक मज़बूत instinct है कि coordinates पूरे steps की गिनती होते हैं। सोचो, क्या यह सच है? नहीं है। minus 3 के mark और minus 2 के mark के बीच zoom करो, और उस 1 step को 10 हिस्सों में काटो।

E उस रास्ते के 1 बटा 10 पर बैठा है, minus 3 से minus 2 की तरफ़ चलते हुए। यही बात दूसरे सिरे से भी कही जा सकती है, minus 2 से minus 3 की तरफ़ वापस 9 बटा 10 रास्ता। दोनों readings सही हैं, और दोनों जोड़कर 1 बनता है, यानी पूरा step। line हर distance को रखती है, सिर्फ़ उन्हें नहीं जिन पर हमने tick लगाने की ज़हमत की।

क्योंकि वे 5 points lines पर बैठे हैं, वे 2 families में बँट जाते हैं, और हर family की एक पहचान है जो सीधे pair से पढ़ी जा सकती है। जिस pair का दूसरा number 0 है, वह horizontal line पर है। origin के दाईं तरफ़ जब पहला number positive हो, बाईं तरफ़ जब negative। जिस pair का पहला number 0 है, वह vertical line पर है। origin के ऊपर जब दूसरा number positive हो, नीचे जब negative।

तो यह रहा एक सवाल, जिसका जवाब बहुत साफ़-सुथरा है। सोचो, कौन से points एक साथ दोनों families में हैं? दोनों में होने के लिए point का पहला number 0 होना चाहिए, और दूसरा number भी 0। ऐसा ठीक 1 point है, और वह origin है। यह कहने का एक और तरीक़ा है कि 2 lines 1 बार मिलती हैं, जो हमें पहले से पता था, और अब arithmetic भी यही कहता है।

अब वह हिस्सा जो सबसे ज़्यादा मायने रखता है, और जिसमें लोग सालों बाद तक ग़लती करते रहते हैं। coordinates के 1 pair में 2 slots होते हैं। पहला slot इस सवाल का जवाब रखता है कि कितना across। दूसरा इसका कि कितना ऊपर। ये अलग-अलग सवालों के जवाब हैं। और यहीं जाल है। numeral 3 के बारे में कुछ भी यह दर्ज नहीं करता कि उसने किस सवाल का जवाब दिया था।

अकेले लिखा हुआ 3 बस एक 3 है। slots का order ही वह जानकारी ढो रहा है, और सिर्फ़ वही ढो रहा है। order हटाओ, और तुमने उसका आधा हिस्सा मिटा दिया जो pair बता रहा था। देखो। 3, 4 को plot करने के लिए origin से 3 across जाओ, और फिर 4 ऊपर। 4, 3 को plot करने के लिए 4 across जाओ, और फिर 3 ऊपर। वही 2 numerals।

कमरे में 2 अलग-अलग जगहें। यही बात एक शहर के map पर भी होती है, जहाँ streets की हर crossing को 1 pair से पुकारा जाता है। 4, 3 नाम की ठीक 1 crossing है। 3, 4 नाम की भी ठीक 1 crossing है। और वे 2 अलग-अलग crossings हैं। 1 ग़लत order, और तुम ग़लत चौराहे पर खड़े हो। तो 2 numbers को आपस में बदलने से point आम तौर पर हिल जाता है।

सोचो, यह कब नहीं हिलता? वह line खींचो जो origin से होकर 45 degree पर जाती है, वह line जहाँ across वाला जवाब और ऊपर वाला जवाब बराबर हैं। किसी point के 2 numbers बदलना उसे इस line में reflect करना है। यह कोई rule नहीं है जो हम थोप रहे हैं। point से line पर perpendicular गिराओ, उतनी ही दूरी उसके पार जाओ, और जहाँ तुम उतरते हो, वही point है जिसके numbers बदल दिए गए।

हर बार। और यह reflection 2 बार करो, तो point वापस वहीं आ जाता है, जैसा एक mirror से उम्मीद होती है। और reflection ठीक उन points को छोड़ देता है जो पहले से mirror पर थे। तो swap ठीक तब कुछ नहीं बदलता, जब दोनों numbers शुरू से बराबर थे, और बाक़ी हर case में कुछ न कुछ बदलता है। यह रहा एक concrete pair। minus 5, 3 ऊपर और बाईं तरफ़ बैठा है।

3, minus 5 नीचे और दाईं तरफ़। वही 2 numerals, तस्वीर के उल्टे कोने। लिखने पर एक छोटी सी बात, क्योंकि तुम्हें दोनों रूप मिलेंगे। तुम लिख सकते हो B equals 4.5, 0। या तुम लिख सकते हो B, और फिर pair, बिना किसी equals sign के। दोनों एक ही बात कहते हैं। दूसरा वाला तब इस्तेमाल करो जब तुम सच में points mark कर रहे हो, क्योंकि तब तुम एक drawing पर एक dot को label दे रहे हो, किसी quantity के बारे में statement नहीं बना रहे।

अब frame को वापस उस कमरे में ले चलो जिसे हम बयान नहीं कर पाए थे। origin को पास वाले बाएँ corner पर रखो। horizontal line को नीचे वाली wall के साथ चलाओ, और vertical line को बाईं wall के साथ ऊपर। फ़ौरन corners ख़ुद अपना नाम बता देते हैं। corner पर 0, 0। फिर 12, 0। फिर 12, 10। और फिर 0, 10। और floor का area सीधे इन्हीं से निकल आता है, 12 गुणा 10, यानी 120 square feet, बिना दोबारा कुछ नापे।

नीचे वाली wall का doorway 8, 0 से 11.5, 0 तक जाता है। दोनों सिरे horizontal line पर हैं, तो चौड़ाई एक subtraction है, 11.5 minus 8, यानी 3.5 feet। और इसी से यह भी तय हो गया कि door vertical line से 8 feet दूर है, और horizontal line से 0 feet, क्योंकि वह उसी wall में बैठा है। bathroom का doorway 0, 1.5 से 0, 4 तक जाता है।

दोनों सिरे vertical line पर। 4 minus 1.5, यानी 2.5 feet। 1 foot ज़्यादा तंग। 42 inch के मुक़ाबले 30 inch। यह फ़र्क़ तुम्हें किसी भी चीज़ को उसमें से ले जाते हुए महसूस होगा, और हमने इसे 4 numbers से निकाला, बिना किसी ruler के। एक जाँच और। wardrobe के 4 corners पढ़ो। पहला 3, 0। फिर 7, 0। फिर 7, 2। और फिर 3, 2। 7 minus 3 चौड़ाई देता है, 4 feet, और 2 minus 0 गहराई, 2 feet।

4 गुणा 2, वही 8 square feet, जो हमने पिछली बार plan पर लिखे थे। coordinates drawing पर सजावट नहीं हैं। उन्हें नापा जा सकता है। एक आख़िरी बात, और यह अब तक बनाई हुई चीज़ की ईमानदार सीमा है। हमने अब तक जो भी point mark किया है, वह किसी line पर बैठा था। देखो कि इससे तस्वीर का कितना बड़ा हिस्सा अनछुआ रह जाता है। horizontal line पर minus 7 से 7 तक tick लगाओ, और vertical line पर minus 5 से 5 तक, और हमारे बनाए हुए इस हिस्से में 165 whole number points हैं।

उनमें से 25 किसी line पर हैं। यानी एक line पर 15, दूसरी पर 11, और 1 साझा, क्योंकि origin 2 बार गिना गया। जिससे 140 points खुले मैदान में बचते हैं, दोनों lines से दूर, और हमने उनमें से 1 भी mark नहीं किया। मशीनरी उन तक पहले से पहुँचती है। 2 सवाल, 2 जवाब, और उन points में से हर एक के लिए 1 pair इंतज़ार कर रहा है।

तो सोचो, दूसरी line ने हमें असल में क्या दिलाया? कोई तस्वीर नहीं। एक ही point के बारे में 2 अलग सवाल पूछने का एक तरीक़ा, और दोनों जवाब ऐसे लिखने का एक rule कि कोई एक दूसरे से गड्ड-मड्ड न हो। origin एक चुनाव है। unit एक चुनाव है। कौन सी direction positive है, यह भी एक चुनाव है। और 2 slots का order एक चुनाव है। उसके बाद सब कुछ मजबूरन तय है।

4 चुनाव, और फिर 1 भी नहीं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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