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Chapter 2 · Introduction to Linear Polynomials

line खींचने के लिए दो points काफ़ी क्यों हैं

Linear relationships and their graphs10 मिनट

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2 points मिलकर line तय कर देते हैं, इसलिए linear rule की drawing 2 rows की table है। पर सीधी drawing अपने आप में कोई सबूत नहीं — सबूत वह तीसरा pair है जो rule से निकाला गया हो और substitution से जाँचा जाए।

मुख्य idea

किसी linear equation को plot करना हर input की गिनती नहीं, दो rows की एक table है, और यह किफ़ायत lines के बारे में एक तथ्य पर टिकी है, algebra पर नहीं: दो अलग points से होकर ठीक एक ही सीधी line जाती है। पर drawing अभी दावा नहीं है। chapter का अपना तरीक़ा एक क़दम और उठाता है — दो plot करो, जोड़ो, आगे बढ़ाओ, फिर एक तीसरी जोड़ी लो और substitution से उसे जाँचो — और substitution ही तस्वीर को ऐसी चीज़ बनाता है जो सही या ग़लत हो सकती है। कसौटी तीखी है और दोनों तरफ़ चलती है: कोई point line पर तभी होता है जब उसके coordinates equation को संतुष्ट करें, इसलिए graph और equation उन्हीं जोड़ियों के set के दो नज़ारे हैं।

आपको क्या आना चाहिए

  • किसी linear equation के लिए दो सुविधाजनक inputs चुनना और उनके मिलते हुए outputs निकालना
  • जो points बनें उन्हें plot करना, ruler से जोड़ना और line को दोनों तरफ़ बढ़ाना
  • किसी point के line पर होने की कसौटी कहना, और उसे substitution से लगाना
  • किसी और point को आँख से नहीं, equation से जाँचना
  • दी हुई linear equation के लिए जोड़ी values की table पूरी करना
  • plot किए हुए points के set से line की equation वापस निकालना, हर y को उसके x से मिलाकर
  • यह समझाना कि linear rule मोड़ क्यों नहीं बना सकता, §2.3 वाली constant-step ख़ासियत से
  • ऐसी line plot करना जिसका coefficient fraction हो, और एक ऐसी जिसका coefficient negative हो

जानने लायक़ शब्द

Termएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
coordinate planeदो axes का वह grid जिस पर numbers की एक जोड़ी किसी point की जगह बताती हैनिर्देशांक तलp. 28 पर छपा; Chapter 1 में स्थापित
x-coordinateजोड़ी का पहला number, horizontal axis पर पढ़ा हुआx-निर्देशांकp. 28 पर छपा
y-coordinateजोड़ी का दूसरा number, vertical axis पर ऊपर की ओर पढ़ा हुआy-निर्देशांकp. 28 पर छपा
x-axisplane की horizontal reference linex-अक्षp. 28 पर Fig. 2.5 में छपा
y-axisplane की vertical reference liney-अक्षp. 28 पर छपा
straight lineदो plot किए हुए points को जोड़कर और दोनों तरफ़ बढ़ाकर बनी आकृतिसरल रेखाp. 28 पर Fig. 2.5 के caption में छपा
plotcoordinates से plane पर कोई point अंकित करनाआलेखित करनाpp. 27 और 28 पर छपा
graphकिसी rule से बनने वाली सारी जोड़ियों की drawingग्राफ़p. 29 पर Example 14 में छपा
graph paperवह छपा हुआ चौकोर ख़ानों वाला काग़ज़ जो chapter माँगता हैग्राफ़ पेपरp. 28 पर छपा
satisfy the equationकिसी coordinate जोड़ी का: रखने पर दोनों पक्षों को बराबर कर देनासमीकरण को संतुष्ट करनाp. 28 पर छपा
third-point testखींची हुई line पर भरोसा करने से पहले किसी और जोड़ी को substitution से जाँचनातीसरे बिंदु की जाँचयहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा, जो जाँच तो करता है पर उसे नाम नहीं देता

मानक हिंदी शब्दावली; मैंने कक्षा 9 के लिए Ganita Manjari का हिंदी संस्करण नहीं देखा।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "line खींचने से पहले मुझे बहुत सारे points चाहिए।" उसे तय करने के लिए दो काफ़ी हैं। और points जाँच के काम आते हैं, बनाने के नहीं — और यही फ़र्क़ p. 28 वाली chapter की table का मक़सद है।
  • "दो points काफ़ी हैं, तो मुझे कुछ जाँचने की ज़रूरत नहीं।" कोई भी दो points एक line दे देते हैं। वह line तुम्हारी equation का graph है या नहीं, इसकी जाँच तीसरी जोड़ी से होती है, substitution से। chapter ठीक इसी वजह से (7, 15) जाँचता है।
  • "line वहीं ख़त्म हो जाती है जहाँ मैंने दो points plot किए।" chapter कहता है कि उसे दोनों दिशाओं में बढ़ाओ, और Fig. 2.5 के दोनों सिरों पर arrowheads हैं। plot की गई window से बहुत बाहर के inputs पर भी rule का एक output है।
  • "सीधी drawing साबित करती है कि relationship linear है।" ruler सीधा ही खींच सकता है, और कुछ नहीं। तस्वीर पर भरोसा करने से पहले तीसरी जोड़ी निकालो।
  • "हर line origin से गुज़रती है।" y = 3x और y = –2x गुज़रते हैं; y = 2x + 1 नहीं गुज़रता, और Fig. 2.5 उसे vertical axis को एक unit ऊपर काटते हुए दिखाता है। chapter के पास दोनों तरह की lines आमने-सामने के pages पर हैं।
  • "(3, 7) और (7, 3) एक ही point हैं।" नहीं हैं। जोड़ी का क्रम तय है, और Chapter 1 ने यह स्थापित कर दिया था। फ़र्क़ दिखाने के लिए दोनों plot करो।
  • "x = 1 और x = 2 चुनो — यही सबसे आसान हैं।" ये पास-पास हैं, तो किसी एक में भी ज़रा-सी चूक line को बुरी तरह घुमा देती है। chapter 0 और 3 चुनता है y = 2x + 1 के लिए, और 0 और 4 y = ½x के लिए; दोनों चुनाव fractions से बचते हैं और लंबा span देते हैं।
  • "y = ½x के लिए मुझे x = 1 लेना चाहिए।" उससे y = ½ मिलता है, जिसे दो grid lines के बीच plot करना पड़ता है। x = 4 लो, जैसा chapter का hint करता है।
  • "axis के नीचे वाले points के लिए अलग तरीक़ा चाहिए।" Example 13 के points और Example 12 का (–1, –3) वही substitution और वही plotting इस्तेमाल करते हैं; सिर्फ़ चिह्न बदलते हैं।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains End-of-Chapter Exercises Q9

पूरा transcript1,618 शब्द

यहाँ rule है y बराबर 2x plus 1। इसमें हर input का एक output है। जैसे input 0 पर यह 1 देता है, input 3 पर 7, input minus 50 पर minus 99, और input 100 पर 201। यह list कभी ख़त्म नहीं होती, पर drawing तो पूरी करनी ही है। तो असली सवाल यह है कि कम से कम कितने points से काम चल जाएगा? अब सिर्फ़ 2 inputs चुनो।

यहाँ rule में x की जगह 0 रखो तो output मिलता है 1, यानी point 0 और 1, जिसे A कहते हैं। फिर x की जगह 3 रखो तो output मिलता है 7, यानी point 3 और 7, जिसे B कहते हैं। और ये 2 inputs चुने गए हैं, यूँ ही उठाए नहीं गए। दोनों के outputs पूरे numbers हैं, और दोनों inputs आपस में 3 की दूरी पर हैं।

यह दूरी आगे काम आएगी। अब दोनों points पर ruler रखो और उन्हें जोड़ दो। फिर उसी line को दोनों points से आगे तक बढ़ाओ, और दोनों सिरों पर arrowhead लगा दो। और line वहाँ ख़त्म नहीं होती जहाँ plotting ख़त्म हुई थी। यह rule input minus 50 पर minus 99 देता है और input 100 पर 201, और ये दोनों उस window से बहुत बाहर हैं जो यहाँ खींची गई है।

अब line को लिखने के बजाय उसे चलकर बनाओ। उस point से शुरू करो जहाँ x बराबर 0 है, और सिर्फ़ 1 निर्देश दोहराओ, 1 step दाएँ और 2 steps ऊपर। ऐसा 6 बार करो, तो जो outputs निकलते हैं वे ठीक वही हैं जो यह rule देता है। अब देखो कि उस walk ने किया क्या। उसका हर hop एक ही displacement था, 1 दाएँ और 2 ऊपर, और इसमें 1 भी अपवाद नहीं है।

और एक ही displacement का मतलब है कि direction कभी बदलती ही नहीं। जिस रास्ते की direction कभी न बदले, वह straight होता है। पर ध्यान रखो कि हर step पर एक जितना मुड़ना बिलकुल अलग चीज़ है। हर बार 90 degrees मुड़ो तो रास्ता square बनकर बंद हो जाता है। अब उसी तरीक़े से एक ऐसी machine को चलाओ जो अपने input का square करती है। उसके hops 1 बार भी आपस में नहीं मिलते।

यहाँ 6 hops में 6 अलग displacements निकलते हैं, जो बढ़ते जाते हैं, 1, फिर 3, फिर 5, फिर 7, फिर 9, और फिर 11। जिस rule के steps बढ़ते जाते हैं, उसे ruler से खींचा ही नहीं जा सकता। और यही वह फ़र्क़ है जो पहली walk दिखा रही थी। अब गिनकर देखो कि 2 points काफ़ी क्यों हैं। यहाँ 1681 सम्भावित rules की एक lattice बनाई गई, जिसमें coefficient और constant आधे step से चलते हैं।

अकेले point 0 और 1 से होकर उनमें से 41 rules गुज़रते हैं। पर दोनों points से होकर, यानी 0 और 1 तथा 3 और 7 दोनों से, सिर्फ़ 1 rule गुज़रता है, और वह है y बराबर 2x plus 1। यही मतलब है इस बात का कि 2 points काफ़ी हैं, और यह कही हुई बात नहीं, गिनी हुई है। और दोनों points का अलग-अलग inputs पर होना ज़रूरी है।

अगर x बराबर 3 पर ही 2 readings ली जाएँ, तो lattice पर 1 के बजाय 14 rules की family खड़ी रह जाती है। और अगर वे 2 readings आपस में लड़ जाएँ, तो कुछ भी नहीं बचता। अब वह शर्त लिखो जो पूरे topic को पकड़ती है। कोई point line पर ठीक तभी होता है जब उसके coordinates उस equation को संतुष्ट करते हों। और यह बात दोनों तरफ़ चलती है।

अब rule में x की जगह 7 और y की जगह 15 रखो। यहाँ 2 गुणा 7 plus 1 बनता है 15, दोनों तरफ़ बराबर, तो यह point line पर है। अब 7 और 16 रखो। यहाँ दोनों तरफ़ बराबर नहीं होते, तो यह point line पर नहीं है। और यह शर्त कही नहीं गई, जाँची गई है। यहाँ 1525 coordinate pairs की एक window पर, line पर होना और rule को संतुष्ट करना 1 बार भी अलग नहीं हुए, और उनमें से 25 pairs line पर बैठते हैं।

अब एक बात जो अक्सर फिसलती है। यहाँ point 3 और 7 इस line पर है। पर point 7 और 3 बिलकुल अलग point है, और वह इस line पर नहीं है। और इसे drawing देखे बिना substitution तय कर देता है। यहाँ input 7 पर यह rule 15 लौटाता है, 3 नहीं। अब एक table को rule से भरो। यहाँ inputs हैं 1, 2, 5, 7, 9, 12 और 20।

इन पर rule लौटाता है 3, 5, 11, 15, 19, 25 और 41। और इनमें से हर pair line पर बैठता है, जबकि 1 भी pair drawing से पढ़ा नहीं गया। यही फ़र्क़ है उन points में जो line बनाते हैं और उनमें जो उसे जाँचते हैं। अब एक सवाल जिसका जवाब ज़्यादातर लोग ग़लत देते हैं। यह drawing सीधी निकली, तो क्या यही इस बात का सबूत है कि relationship linear है?

अब सबसे ज़रूरी चेतावनी। वही 2 inputs, 0 और 3, अब उस machine में डालो जो square करती है। वह लौटाती है 0 और 9, और उन 2 points से होकर जो line जाती है वह है y बराबर 3x, उसी ruler से खींची हुई और दोनों points से गुज़रती हुई। अब तीसरा input निकालो। यहाँ input 1 पर खींची हुई line कहती है 3, जबकि machine कहती है 1।

और 81 inputs पर जाँचो तो यह line उस machine से ठीक उन्हीं 2 जगह मिलती है जहाँ से वह खींची गई थी। किसी भी ruler से तो सीधी ही खिंचेगी, इसलिए drawing के सीधे होने से कुछ साबित नहीं होता। सिर्फ़ तीसरा pair कुछ बताता है, और वह भी तब जब उसे निकाला जाए, आँख से देखा न जाए। अब वह वजह जो पहले टाल दी गई थी। दूसरे point को आधा square इधर-उधर रख दो।

जब दोनों inputs 3 की दूरी पर हों, तो निकला हुआ coefficient छठे हिस्से जितना खिसकता है। और वही ग़लती जब inputs सिर्फ़ 1 की दूरी पर हों, तो वह आधे जितना खिसकता है, यानी 3 गुना ज़्यादा। और 1 से 12 तक हर span पर यह खिसकाव वही निकलता है, ग़लती बटा span। इसका मतलब है कि जितनी बड़ी दूरी चुनोगे, उतनी छोटी ग़लती मिलेगी, हर बार। अब उल्टा काम करो, points से rule निकालो।

यहाँ 5 points हैं, minus 1 और minus 3, फिर 0 और 0, फिर 1 और 3, फिर 3 और 9, और 4 और 12। इनमें से हर point y बराबर 3x को मानता है, और इनमें से कोई भी 2 उठाओ तो वही rule वापस मिलता है। पर इसे कहो कैसे, यह ध्यान से। कहो कि हर output अपने input का 3 गुना है, यह मत कहो कि output को input से भाग देने पर 3 आता है।

क्योंकि origin पर वह भाग zero बटा zero बनता है, जिसका कोई जवाब नहीं होता। और बाक़ी 4 points पर वह भाग चलता है, और हर बार 3 ही देता है। इसीलिए यह ग़लती इतनी आसानी से छूट जाती है। अब वही पढ़ाई उन points पर करो जो दूसरी तरफ़ गिरते हैं। यहाँ 6 points हैं, minus 3 और 6, फिर minus 2 और 4, फिर 0 और 0, फिर 1 और minus 2, फिर 2 और minus 4, और 3 और minus 6।

हर point y बराबर minus 2x को मानता है, और इनमें से कोई भी 2 उसे वापस दे देते हैं। और यहाँ भी वही सावधानी रखनी है। बाक़ी 5 points पर output बटा input हर बार minus 2 देता है, और origin पर उस भाग का कोई जवाब नहीं है। अब दोनों को साथ रखो। एक हर step पर 3 चढ़ता है और दूसरा 2 गिरता है, और यह दोनों तरफ़ 9 steps पर जाँचा गया।

दोनों origin से गुज़रते हैं, क्योंकि दोनों में constant zero है। पर y बराबर 2x plus 1 origin से नहीं गुज़रता, वह x बराबर 0 पर 1 unit ऊपर होता है। और 289 rules पर देखो तो line origin से ठीक तभी गुज़रती है जब उसमें कुछ जोड़ा न गया हो। अब एक rule लो जिसका coefficient भिन्न है, y बराबर आधा x। यहाँ x की जगह 1 रखो तो output आता है आधा, जिसे 2 grid lines के बीच में plot करना पड़ेगा।

और x की जगह 4 रखो तो output आता है 2, जो ठीक कोने पर बैठता है। और 0 से 12 तक के inputs में सिर्फ़ सम numbers पूरा output देते हैं, जिनमें सबसे छोटा 2 है। अगर coefficient के नीचे 3 होता तो 3 के गुणकों की ज़रूरत पड़ती। यानी input उस number के हिसाब से चुना जाता है जो नीचे बैठा है। अब यह तय करो कि इस drawing ने क्या साबित किया और क्या नहीं।

किन्हीं 2 points को जोड़ोगे तो हमेशा एक straight line ही बनेगी, चाहे वे points किसी भी rule से आए हों। इसलिए तुम्हारी drawing का सीधा होना इस बात का सबूत नहीं है कि relationship linear है। सबूत वह pair है जो अलग से निकाला गया हो और उसी line पर आकर बैठे। यही फ़र्क़ है एक तस्वीर और एक दावे में। तो आख़िर में 4 बातें याद रखो। पहली, ऐसे 2 inputs चुनो जिनका जवाब rule साफ़ देता हो, और उन्हें दूर-दूर रखो।

दूसरी, points को plot करो, जोड़ो, और दोनों सिरों से आगे बढ़ाओ। तीसरी, फिर तीसरा pair निकालो और उसे substitution से जाँचो, आँख से नहीं। और चौथी, वह शर्त दोनों तरफ़ याद रखो, कि point line पर ठीक तभी होता है जब उसके coordinates equation को संतुष्ट करते हों। और यही पढ़ाई किसी भी points के समूह पर चलती है जो तुम्हें दिया जाए। हर output की तुलना उसके input से करो, rule निकालो, और फिर उसे ऐसे pair पर जाँचो जो उस rule को बनाने में शामिल ही नहीं था।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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