PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 9 Mathematics · Chapter 1, Orienting Yourself: The Use of CoordinatesPrepShorts

Chapter 1 · Orienting Yourself: The Use of Coordinates

4 quadrants, और point की position से उसके signs पढ़ना

The Cartesian plane11 मिनट

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2 lines, right angle पर, plane के साथ बस 1 काम करती हैं: उसे काटती हैं. खड़ी line सब कुछ बाएँ और दाएँ में बाँटती है, पड़ी line नीचे और ऊपर में. किसी भी point से ये 2 सवाल पूछो, हर एक के 2 जवाब, तो 4 combinations, और इसीलिए plane 4 regions में आता है, 3 या 5 में नहीं. हर region का sign pattern रटने की चीज़ नहीं है: वह वही 2 जवाब हैं, हाँ और नहीं की जगह signs में लिखे हुए.

मुख्य idea

दोनों axes plane को चार regions में काट देती हैं, और हर region के अंदर दोनों signs टिके रहते हैं — यानी quadrant और sign pattern एक ही बात के दो नाम हैं, और एक बार यह दिख जाए कि हर coordinate सिर्फ़ इतना दर्ज करता है कि तुम किसी एक axis की किस तरफ़ हो, तो इनमें से कुछ भी रटने की ज़रूरत नहीं रहती। chapter दिखाता है कि यह सिर्फ़ हिसाब-किताब नहीं है: वह Reiaan का पूरा घर axes पर रख देता है — bedroom पहले quadrant में आता है, bathroom y-axis के बाईं तरफ़, और dining room x-axis के नीचे, इसलिए exercise ऐसी axes माँगता है जो −7 to 13 और −15 to 12 तक चलें — यानी थोड़ी जगह बची हुई, क्योंकि plan ख़ुद across में सिर्फ़ −6 से 12 तक और नीचे −15 तक पहुँचता है। negatives वहाँ symmetry के लिए नहीं हैं। वे इसलिए हैं कि origin एक कमरे के corner में रखा गया और घर आगे चलता रहा।

आपको क्या आना चाहिए

  • plane और उसकी axes को chapter के छपे तीनों नामों से पुकारना
  • चारों quadrants की गिनती और हर एक में टिकने वाला sign pattern बताना, और हर pattern को याद करने के बजाय निकालना
  • हर coordinate को दूसरी axis से perpendicular distance की तरह समझाना, और यह कहना कि इस तरह कहने से sign pattern अपने आप क्यों निकल आता है
  • point के coordinates दिए हों तो उसका quadrant बताना; quadrant दिया हो तो उसमें का कोई point लिखना
  • यह समझाना कि axes ख़ुद किसी quadrant की क्यों नहीं होतीं
  • plot करने से पहले तय range और scale पर axes बनाना, और यह कहना कि पहला point mark होने से पहले ही range क्यों चुननी पड़ती है
  • एक से ज़्यादा quadrant में फैले scaled floor plan से coordinates पढ़ना, और उनसे लंबाइयाँ, चौड़ाइयाँ तथा चौथा corner निकालना
  • coordinates की तुलना करके एक असली सवाल तय करना — खुलता हुआ door wardrobe से टकराएगा या नहीं

जानने लायक़ शब्द

Termएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
Cartesian planeवह तल जिस पर दोनों axes हैंकार्तीय तलइसी chapter में छपा, §1.3, p. 6
coordinate planeवही तल, chapter के दूसरे नाम के साथनिर्देशांक तलइसी chapter में छपा, §1.3, p. 6
xy-planeवही तल, chapter के तीसरे नाम के साथxy-तलइसी chapter में छपा, §1.3, p. 6
quadrantaxes plane को जिन चारों regions में काटती हैं, उनमें से एकचतुर्थांशइसी chapter में छपा, §1.3, p. 6
Quadrant I, II, III, IVचारों regions, अपनी छपी गिनती में, उस region से anticlockwise चलते हुए जहाँ दोनों coordinates positive हैंचतुर्थांश I, II, III, IVइसी chapter में छपा, §1.3, p. 6, और Fig. 1.4 के अंदर नाम दिए हुए
x-coordinateजोड़ी का पहला number, x-axis के सामने पढ़ा हुआx-निर्देशांकइसी chapter में छपा, §1.3, p. 6
y-coordinateजोड़ी का दूसरा number, y-axis के सामने पढ़ा हुआy-निर्देशांकइसी chapter में छपा, §1.3, p. 6
perpendicular distanceकिसी point से किसी line तक की दूरी, उसी line पर right angle बनाते हुए नापी गईलंबवत दूरीइसी chapter में छपा, §1.3, p. 6
showering areaplan में bathroom का वह हिस्सा जिस पर SHWR लिखा हैस्नान क्षेत्रइसी chapter में छपा, Exercise Set 1.2, p. 8
trapeziumऐसा quadrilateral जिसमें ठीक एक जोड़ी parallel भुजाएँ होंसमलंब चतुर्भुजइस chapter में नहीं छपा — exercise p. 8 पर student से जिस शक्ल का नाम पूछता है, उसके लिए व्याख्या का शब्द; यह शब्द इसी volume में और जगह छपा है
sign patternsigns की वह जोड़ी जो कोई quadrant अपने अंदर के हर point पर मजबूरन लगाता हैचिह्न-युग्मयहाँ जोड़ी गई छोटी बात; chapter चारों हालतें गिनाता है, इस बात को नाम दिए बिना

Hindi column में standard Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। मैंने Ganita Manjari का Hindi संस्करण नहीं देखा, इसलिए इसे standard चलन मानें, किसी दूसरे संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "quadrants चार इसलिए हैं कि किसी ने चार डिब्बे बना दिए।" वे चार इसलिए हैं कि चुनने को दो आज़ाद तरफ़ें हैं — एक axis के बाएँ या दाएँ, दूसरी के ऊपर या नीचे — और दो-दो option वाले दो चुनावों से चार हालतें बनती हैं।
  • "हर quadrant का sign pattern रटना ही पड़ता है।" उसके बजाय उसे position से पढ़ो: क्या point y-axis के दाईं तरफ़ है, और क्या वह x-axis के ऊपर है? दो जवाब, हर बार, उसी order में दोनों signs दे देते हैं।
  • "quadrants की गिनती नीचे बाएँ से शुरू होती है, table की तरह।" वह वहाँ से शुरू होती है जहाँ दोनों coordinates positive हैं, और anticlockwise चलती है, जैसा Fig. 1.4 पर नाम लिखे हैं।
  • "किसी axis पर बैठा point सबसे पास वाले quadrant में होता है।" axes तो boundaries हैं; उन पर बैठा point किसी quadrant में नहीं होता। इसीलिए chapter की हर quadrant वाली बात ऐसे points की है जिनके दोनों coordinates zero से अलग हैं।
  • "negative coordinates सिर्फ़ textbook के गढ़े हुए सवालों में आते हैं।" वे एक bathroom में आते हैं। origin एक कमरे के corner में रखा गया, और उस corner के उस पार की हर चीज़ negatives से ही बतानी पड़ती है — और इसीलिए exercise की y-axis को नीचे −15 तक जाना पड़ता है।
  • "y, y-axis से दूरी है।" बात उलटी है: y-coordinate x-axis से नापा जाता है। नाम यह दर्ज करता है कि number किस axis के सामने पढ़ा जाता है, यह नहीं कि किस axis से नापा जाता है, और p. 6 पर chapter का perpendicular-distance वाला वाक्य ही वह जगह है जहाँ इसे ठीक करना है।
  • "बड़ा coordinate मतलब origin से ज़्यादा दूर वाला point।" (−6, 9), (8, 0) से origin से ज़्यादा दूर है, पहला number छोटा होने के बावजूद। दूरी अगले module का काम है, और अकेली जोड़ी points को उस हिसाब से क्रम में नहीं लगाती।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Exercise Set 1.2 Q1, Exercise Set 1.2 Q2, Exercise Set 1.2 Q3, Exercise Set 1.2 Q4, End-of-Chapter Exercises Q2

पूरा transcript1,703 शब्द

अब तक हमने जो भी point mark किया, वह 2 lines में से किसी 1 पर बैठा था। वह जान-बूझकर था। उससे 2 numbers में से 1 हमेशा 0 पर टिका रहता था। अब उस पकड़ को छोड़ते हैं। खुले में कहीं एक point लो, दोनों lines से दूर, और पूछो कि उसका pair कैसा दिखता है। जवाब पूरी तरह 2 चीज़ों से तय होता है, और उनमें से कोई भी ऐसी नहीं जो तुम्हें याद करनी पड़े।

दोनों तुम पहले से जानते हो। इन 2 lines वाले पूरे तल के 3 नाम चलते हैं, Cartesian plane, coordinate plane, और xy-plane। 3 नाम, 1 ही चीज़, और हम उसे बस plane कहेंगे। और ये 2 lines तल के साथ सिर्फ़ 1 काम करती हैं। वे उसे काटती हैं। vertical line हर चीज़ को बाएँ और दाएँ में बाँटती है। horizontal line हर चीज़ को नीचे और ऊपर में बाँटती है।

2 कट, एक-दूसरे से आज़ाद। खुले में किसी भी point से 2 सवाल पूछो। क्या यह vertical line के दाईं तरफ़ है, हाँ या नहीं। क्या यह horizontal line के ऊपर है, हाँ या नहीं। 2 सवाल, हर एक के 2 जवाब, तो जवाबों के 4 मुमकिन जोड़े। 3 नहीं, 5 नहीं, ठीक 4 जोड़े। और इसीलिए तल 4 टुकड़ों में निकलता है। इन 4 टुकड़ों को quadrant कहते हैं।

इनके numbers हैं, और जिस order में वे चलते हैं, वह देखने लायक है। वहाँ से शुरू करो जहाँ दोनों जवाब हाँ हैं, ऊपर और दाईं तरफ़, और उसे पहला quadrant कहो। फिर anticlockwise घूमो। बाएँ और ऊपर दूसरा है। बाएँ और नीचे तीसरा। दाएँ और नीचे चौथा। यह नीचे-बाएँ से शुरू नहीं होता, जैसे तुम किसी table की rows गिनते हो। यह वहाँ से शुरू होता है जहाँ दोनों numbers positive हैं, और यह उसी तरह घूमता है जैसे कोई angle घूमता है।

अब वह हिस्सा जिसे लोग रटने की कोशिश करते हैं, और वहाँ रटने को कुछ है ही नहीं। पहला number ठीक तब positive है जब point दाईं तरफ़ है। दूसरा ठीक तब positive है जब point ऊपर है। ये 2 rules नहीं हैं। ये वही 2 सवाल हैं जो हम पहले ही पूछ चुके थे, बस हाँ और नहीं की जगह signs में लिखे हुए। तो घूमते हुए, plus plus, minus plus, minus minus, plus minus।

अगर तुम देख सकते हो कि point कहाँ है, तो तुमने उसके signs पहले ही पढ़ लिए। और अगर तुम देख नहीं सकते, तो कोई रटंत काम नहीं आएगी। यही बात कहने का एक दूसरा तरीक़ा भी है, और वह एक ऐसी गड़बड़ ठीक करता है जो सालों तक लोगों के marks खाती है। अपने point से हर line पर एक perpendicular गिराओ। horizontal line तक गिराए गए perpendicular की लंबाई दूसरा number है, 3।

vertical line तक की लंबाई पहला number है, 4। इसे दोबारा पढ़ो, क्योंकि यह उल्टा-सा है। पहला number vertical line से नापा जाता है। दूसरा horizontal line से। coordinate का नाम तुम्हें बताता है कि तुम उसे किस line के सामने पढ़ते हो, यह नहीं कि किस line से नापते हो। इन 2 को उल्टा कर लो, और तुम्हारा बनाया हर plot उसका mirror image होगा जो तुम बनाना चाहते थे।

और एक भ्रम, जो इसी से जुड़ा है। बड़ा number, दूर का point, ऐसा नहीं होता। minus 6, 9 origin से 8, 0 के मुक़ाबले ज़्यादा दूर है, हालाँकि उसका पहला number छोटा है। pair अकेला points को दूरी के हिसाब से नहीं लगाता। चलो 2 points रखते हैं। एक point minus 5, 3 पर। दूसरा point 3, minus 5 पर। वही 2 numerals। उल्टा order। और देखो वे कहाँ उतरते हैं, एक ऊपर और बाईं तरफ़, एक नीचे और दाईं तरफ़।

तिरछे आमने-सामने के quadrants। हर सवाल जो तुम इनसे पूछ सकते हो, उल्टा निकलता है। क्या यह vertical line के दाईं तरफ़ है? पहले के लिए नहीं, दूसरे के लिए हाँ। horizontal के ऊपर? हाँ, फिर नहीं। दोनों जवाब पलट जाते हैं, तो point तिरछे सामने वाले quadrant में चला जाता है। 2 slots को बदलना हर बार यही करता है। एक चीज़ जो इन 4 quadrants में शामिल नहीं है, ख़ुद ये 2 lines।

एक point लो और उसे vertical line की तरफ़ खिसकाओ। उसका पहला number सिकुड़ता जाता है, 4 से 1.6। ठीक उस पल तक जब वह line पर उतरता है, वह किसी quadrant में है। फिर वह उतरता है, पहला number 0 हो जाता है, और 0 न positive है, न negative। point न उस quadrant में है जहाँ से आया था, न उसमें जहाँ जा रहा था। lines सीमाएँ हैं।

जो point किसी line पर बैठा है, वह किसी भी quadrant में नहीं है, और यह कोई technicality नहीं है। इसीलिए quadrants के बारे में हर बात उन points के बारे में है जिनका कोई number 0 नहीं है। अब हम चारों quadrants को किसी असली चीज़ के लिए इस्तेमाल करेंगे, और पहला क़दम वही है जिसे लोग छोड़ देते हैं। 1 भी point mark करने से पहले तय करो कि तुम्हारी lines को कितनी दूर तक पहुँचना है।

across, minus 7 से 13 तक। ऊपर और नीचे, minus 15 से 12 तक। यह 20 units चौड़ा और 27 units ऊँचा है, और 1 centimetre बराबर 1 unit पर यह 20 गुणा 27 centimetre की एक sheet है। ये numbers ही क्यों? क्योंकि जो चीज़ fit होनी है, उसकी वजह से। plan ख़ुद across में minus 6 से 12 तक जाता है, और ऊपर 10 तक, नीचे minus 15 तक।

बाईं तरफ़ 1 unit ख़ाली है, दाईं तरफ़ 1, ऊपर 2, और नीचे कुछ भी ख़ाली नहीं है। drawing ठीक minus 15 तक पहुँचती है। range कोई सजावट नहीं है जो बाद में जोड़ी जाती है। इसे ग़लत चुनो, और तुम्हें आधे रास्ते में पता चलता है, आधा plan बना हुआ, और बाक़ी रखने की कोई जगह नहीं। यह है वह जिसे fit होना है। एक पूरा घर, जिसमें origin एक कमरे के एक corner में बैठा है।

bedroom across में 0 से 12 तक और ऊपर 0 से 10 तक चलता है। दोनों numbers हर जगह positive। यह पूरा का पूरा पहले quadrant में है। bathroom उस corner की दूसरी तरफ़ है। 6 feet across और 9 feet ऊपर, और क्योंकि यह बाईं तरफ़ है, इसके हर पहले number का sign negative है। दूसरा quadrant। और dining room नीचे है। 18 feet लंबा, 15 feet गहरा, horizontal line के नीचे लटका हुआ, और तीसरे और चौथे quadrant, दोनों में फैला हुआ।

यही जवाब है कि negatives क्यों हैं। symmetry के लिए नहीं, और तस्वीर को संतुलित दिखाने के लिए नहीं। किसी ने origin को एक bedroom के corner में रख लिया, और घर बाक़ी directions में चलता रहा। एक बार पूरा plan coordinates में आ जाए, तो जो चीज़ें तुम नापते, वे अब निकाली जा सकती हैं। एक छोटी table के 3 पैर mark हैं, 8, 9 पर, 11, 9 पर, और 11, 7 पर।

सोचो, चौथा पैर कहाँ है? देखने की ज़रूरत नहीं। 2 पैरों का पहला number 11 है, 2 का दूसरा number 9 है, तो जो बचा है वह चौथे को मिलता है, 8 और 7। table की नाप 3 गुणा 2 है, 6 square feet। और इस table की height? plan उसके बारे में कुछ नहीं कहता। plan 2 नाप रखता है, तीसरा कभी नहीं। अब shower, जो एक बेहतर पहेली है।

उसके 4 कोने हैं। पहला minus 6, 6। फिर minus 3, 6। फिर minus 2, 9। और फिर minus 6, 9। इसकी 2 भुजाएँ horizontal हैं, एक 3 feet लंबी और एक 4, एक-दूसरे से 3 feet दूर। एक भुजा vertical है। और एक तिरछी है, और इसीलिए यह rectangle नहीं है। यह एक trapezium है, और इसका area 10.5 square feet है, bathroom के 54 square feet के floor में से।

shower के बाद 43.5 square feet का floor बचता है। यह रहा एक सवाल जो सुनने में physical लगता है और निकलता arithmetic है। एक door vertical line पर 0, 1.5 पर hinge किया हुआ है, और वह अंदर की तरफ़ खुलता है। उसका पल्ला 2.5 feet लंबा है। wardrobe का पास वाला किनारा 3 across पर खड़ा है, 0 और 2 ऊपर के बीच। सोचो, क्या door उससे टकराएगा?

door घुमाओ, और उसका सिरा एक circle का हिस्सा बनाता है, हमेशा hinge से ठीक 2.5 feet दूर। तो सवाल यह है कि wardrobe hinge से कितनी दूर है। उस wardrobe का सबसे पास वाला कोना ठीक 3 feet दूर है। 2.5, 3 से कम है। door उससे बच जाता है, आधे foot से, और उसका सिरा कभी 2.5 across के पार नहीं जाता। और यही तुम्हें वह बात भी बताता है जो drawing अकेले नहीं बताती।

उस door को 3 feet चौड़ा बनाओ, और वह बस छूता है। उससे ज़्यादा चौड़ा, और वह अंदर तक झाड़ू फेरता है। तो चौड़ा door चाहिए, तो wardrobe हटाना पड़ेगा, या door को उसके दूसरे किनारे पर टाँगना पड़ेगा। एक आख़िरी कमरा, और यह horizontal line के नीचे है। dining room के 4 कोने हैं। पहला minus 6, 0। फिर 12, 0। फिर 12, minus 15। और फिर minus 6, minus 15।

इसका centre बीच में है, 3, minus 7.5 पर। दूसरा number negative है, क्योंकि पूरा कमरा line के नीचे है। अब एक 5 गुणा 3 की table ठीक इसी centre पर रखो, लंबी भुजा horizontal line के साथ। उसके पैर 0.5, minus 6 पर, 5.5, minus 6 पर, 5.5, minus 9 पर, और 0.5, minus 9 पर आते हैं। table को घुमाकर दूसरी तरफ़ रखो, और पैर बदल जाते हैं, 1.5, minus 5 से 4.5, minus 10 तक।

वही area, 15 square feet, वही centre, और कोनों का एक बिल्कुल अलग set। दोनों सही हैं। सवाल ने यह तय नहीं किया कि table किस तरफ़ घुमी है, इसलिए जवाब एक अकेला set नहीं है, बल्कि एक पूरा परिवार है। 4 quadrants, और उनमें से 1 भी रटना नहीं पड़ा। 4 इसलिए हैं क्योंकि 2 आज़ाद सवाल हैं, और हर एक के 2 जवाब। हर quadrant के signs वही 2 जवाब हैं, order में लिखे हुए।

lines ख़ुद किसी quadrant की नहीं हैं, क्योंकि 0 किसी भी तरफ़ नहीं है। और negatives कोई बनावटी सवाल नहीं हैं। वे वह हैं जो तब होता है जब कोई गिनने के लिए एक corner चुनता है, और दुनिया उसके पार हर direction में चलती रहती है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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