axis के parallel segment की distance

0:00distance नापने का एक case है जिसे लोग obvious कहकर आगे बढ़ जाते हैं, और मैं उसी पर रुकना चाहता हूँ। 2 points हैं, और तुम्हें उनके बीच के segment की length चाहिए। अगर वह segment सीधा across जाता है, या सीधा ऊपर, तो सब मानते हैं कि बस subtract करो। यह सही है। लेकिन यह जानना ज़रूरी है कि यह सही क्यों है, क्योंकि कुछ ही minutes में general case इसी 1 case से बनने वाला है, और वह भी इसे 2 बार इस्तेमाल करके।

0:28जो step तुम बिना समझे लेते हो, उसे तुम check नहीं कर सकते, और यह step सैकड़ों बार लिया जाता है। ये रहे 2 points, पहला 3, 0 पर और दूसरा 7, 0 पर। कुछ भी करने से पहले देखो कि इनमें common क्या है। दूसरे numbers एक जैसे हैं। दोनों 0 हैं। वह shared number सजावट नहीं है। वह बता रहा है कि 2 नापों में से 1 कोई काम ही नहीं कर रही।

0:57दोनों points उतनी ही ऊँचाई पर हैं। तो जो भी इन्हें अलग करता है, वह ऊँचाई नहीं है। पूरा फ़ासला पहले slot में रहता है। अब उस line को देखो जिस पर ये 2 points बैठे हैं। वह सीधी across जाती है, और उस पर हर point का दूसरा number एक ही है। और यह दावा है, कि वह line एक number line है। number line जैसी नहीं। number line ही है।

1:25unit दोनों axes पर बराबर mark किया गया था, तो इस line के ticks और नीचे वाली axis के ticks ठीक एक सीध में आते हैं। वही spacing, वही steps, सब कुछ वही। और number line पर फ़ासला नापना तुम coordinates से बहुत पहले से जानते हो। तुम subtract करते हो। यही पूरी वजह है कि दोनों axes पर एक ही unit रखना ज़रूरी था। steps के size अलग करो, और यह line नीचे वाली से अलग ruler ले चलेगी, और subtraction एक अलग सवाल का जवाब देगा।

1:57एक ही unit है, इसलिए 4 across और 4 ऊपर एक ही length हैं। तो इसे किसी असली चीज़ पर करते हैं। यह wall के साथ खड़ी एक wardrobe का front edge है। इसके 2 सिरे 3, 0 और 7, 0 पर हैं। दूसरा number एक ही है, तो उसे काटो। वह इस्तेमाल नहीं होने वाला। 7 minus 3 बराबर 4। wardrobe 4 feet चौड़ी है। और यह रहा वह check जो मायने रखता है।

2:284 feet ठीक वही चौड़ाई है जो plan पहले से उस wardrobe के लिए देता है। subtraction ने कुछ भी approximate नहीं किया। उसने वह नाप वापस निकाली जो किसी और ने ली थी। उसी wardrobe का back edge 3, 2 से 7, 2 तक जाता है। वही subtraction, वही 4 feet। और side 3, 0 से 3, 2 तक जाती है, जो 2 है। 4 गुणा 2 की wardrobe, यानी 8 square feet का footprint।

2:59अब एक trap, जिसमें जान-बूझकर चलते हैं। यह एक bed का front edge है। इसके दोनों सिरे 5 feet ऊपर बैठे हैं। horizontal line पर नहीं। उससे 5 feet ऊपर। सोचो, क्या कुछ बदलता है? नहीं। दोनों points अब भी अपने दूसरे number में सहमत हैं, तो दूसरा number अब भी कोई काम नहीं करता, और length अब भी पहले 2 numbers का difference है। rule को जो चलाता है वह shared coordinate है।

3:29जगह नहीं। 5 feet ऊपर का segment ठीक वैसे ही behave करता है जैसे line पर बैठा हुआ। और इसे मैं जान-बूझकर अधूरा छोड़ रहा हूँ। जिस drawing से यह आया है, वह उस दूर वाले corner पर कोई number नहीं रखती। वह 2 marks के बीच बैठा है, और मैं उसका अंदाज़ा नहीं लगाऊँगा। method तय है। नाप मेरी बनाई हुई नहीं हो सकती। पूरी चीज़ को उसकी side पर घुमाओ, और कुछ नया नहीं होता।

3:57यह side wall में एक doorway है। इसके 2 सिरे 0, 1.5 और 0, 4 पर हैं। इस बार पहले numbers सहमत हैं। दोनों 0 हैं। तो इस बार पहला number कोई काम नहीं करता, और फ़ासला दूसरे में रहता है। 4 minus 1.5 बराबर 2.5। doorway 2.5 feet चौड़ा है। इस जवाब में एक बात notice करो। यह whole number नहीं है। यानी grid पर squares गिनकर तुम इसे पा ही नहीं सकते थे।

4:32गिनना एक check है। subtract करना method है। उसी plan में एक और door है, नीचे वाली wall में, 8, 0 से 11.5, 0 तक। इस बार दूसरे numbers सहमत हैं, तो पहले वालों को subtract करो, 11.5 minus 8 बराबर 3.5 feet। एक vertical case और एक horizontal case, एक ही plan से, और कमरे का door पहले doorway से ठीक 1 foot चौड़ा है। अब वह detail जिस पर लोग फिसलते हैं, और यह एक असली फ़र्क़ है, बारीकी नहीं।

5:07wardrobe पर वापस चलो। 7 minus 3 बराबर 4। लेकिन 3 minus 7 बराबर minus 4। वही 2 points, लेकिन 2 अलग जवाब। दोनों subtractions जायज़ हैं, और उनके मतलब अलग हैं। minus 4 तुम्हें एक direction बताता है, तुम 4 बाईं तरफ़ गए। जबकि 4 तुम्हें एक size बताता है। length की कोई direction नहीं होती। minus 4 feet लंबी wall जैसी कोई चीज़ नहीं है। तो जब तुम्हें length चाहिए, तो difference का size लो और sign हटाओ।

5:40यही उन 2 खड़ी bars का मतलब है जो तुम किसी subtraction के इर्द-गिर्द लिखी देखते हो। सजावट नहीं। एक instruction, कि sign हटाओ। और इसीलिए subtract करने का order कभी तय नहीं करना पड़ता। numbers जिस भी order में आएँ, ले लो, और सफ़ाई bars पर छोड़ो। एक और case, क्योंकि यही सबसे ज़्यादा ग़लत होता है। bathroom के नीचे की wall minus 6, 0 से 0, 0 तक जाती है।

6:09दूसरा number एक ही है, तो पहले वालों को subtract करो। तो 0 में से minus 6 घटाओ, यानी 0 minus minus 6। लगातार 2 minus signs देखकर लोग हिचकते हैं, और हिचकने की कोई बात नहीं है। और जवाब 6 है। wall 6 feet लंबी है। उसी direction में आगे चलो। minus 6, 0 से पूरे 12, 0 तक, 12 minus minus 6 है, जो 18 है। और check करो, bathroom के 6 feet और bedroom के 12 feet मिलकर 18।

6:42zero के पार का subtraction और 2 कमरों का जोड़ सहमत हैं, क्योंकि वे एक ही नाप हैं। अब देखो यह किसी आकृति के साथ क्या करता है। यह एक कमरा है, सिर्फ़ 4 corners के रूप में दिया हुआ। 0, 0 से 12, 0, फिर 12, 10, फिर 0, 10। कहीं कोई नाप लिखी नहीं। बस 4 pairs। इन्हें order में लो। पहले 2 अपने दूसरे number में सहमत हैं, तो वह side 12 है।

7:15अगले 2 अपने पहले number में सहमत हैं, तो वह side 10 है। फिर 12 दोबारा, फिर 10। उस rectangle की हर एक side इसी से आई, कि देखो कौन सा coordinate shared है और दूसरे को subtract करो। 4 sides, 4 subtractions, कोई ruler नहीं। perimeter 44 feet। area 120 square feet। और अब diagonal, 0, 0 से 12, 10 तक, दोनों सिरों पर कुछ भी share नहीं करती।

7:44कोई 1 subtraction नहीं जो वहाँ तक पहुँचे। ठीक यहीं यह काम करना बंद करता है। एक उल्टा सवाल, जो exam में आता है और जिसके 2 जवाब हैं। wardrobe का एक सिरा 3, 0 पर है और उसकी चौड़ाई 4 feet है। सोचो, दूसरा सिरा कहाँ है? 3 plus 4 बराबर 7, तो 7, 0 पर। लेकिन 3 minus 4 बराबर minus 1, तो minus 1, 0 पर भी।

8:14दोनों ठीक 4 दूर हैं, और सिर्फ़ 1 subtraction से तुम तय नहीं कर सकते कि कौन सा। plan बताता है कि दूसरा सिरा 7 पर है। एक सिरे और एक length से 2 जगहें निकलती हैं, एक दाईं तरफ़, और एक origin के पार बाईं तरफ़। और यही हमें उस बात पर लाता है जिसके लिए यह सब था। distance का general rule दोनों shifts लेता है, उन्हें square करता है, जोड़ता है, और square root लेता है।

8:44यह एक अलग ही जानवर लगता है। है नहीं। इसमें 2 ऐसे points डालो जो अपने दूसरे number में सहमत हों। दूसरा shift 0 है, तो उसका square 0 है, और तुम्हारे पास बचता है पहले shift के square का square root। जो पहले shift का size है। bars, फिर से। general rule कभी अलग rule था ही नहीं। यह इसी को अपने अंदर रखता है। और यहीं यह अपनी क़ीमत वसूल करता है।

9:12एक तिरछा segment लो, उसके बगल में एक corner गिराओ, और तुमने 2 ऐसे segments बना लिए जिनमें हर एक कोई coordinate share करता है। 3 ऊपर। 4 across। दोनों subtraction से। और तिरछा वाला 5 निकलता है। उन 2 legs में से किसी को भी ऐसा कुछ नहीं चाहिए था जो तुम्हारे पास पहले से नहीं है। मुश्किल case 2 आसान cases में बदलकर हल हुआ। तो यह पूरा एक आदत में सिमट जाता है।

9:40formula की तरफ़ हाथ बढ़ाने से पहले, 2 pairs को देखो और पूछो कि उनमें कौन सा number common है। अगर वे 1 share करते हैं, तो वह नाप कुछ नहीं कर रही, और जवाब दूसरे difference का size है। अगर वे कुछ भी share नहीं करते, तो तुम 1 subtraction में वहाँ नहीं पहुँच सकते। लेकिन 2 में पहुँच सकते हो, और वही अगली बात है।