PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 9 Mathematics · Chapter 1, Orienting Yourself: The Use of CoordinatesPrepShorts

Chapter 1 · Orienting Yourself: The Use of Coordinates

एक ऐसा कमरा बताना जो तुम देख नहीं सकते: position के लिए साझा भाषा की तरह एक grid

Why coordinates10 मिनट

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wardrobe के किनारे ऊन का एक loop बाँधो, और तुम्हारे हाथ में उसकी shape है, जो तुम किसी को भी दे सकते हो. लेकिन यह देने की कोशिश करो कि वह कहाँ खड़ी है, और तुम नहीं दे पाओगे, क्योंकि position object की अपनी चीज़ नहीं है: वह किसी और चीज़ से एक relation है, जिस पर पहले सहमति चाहिए.

मुख्य idea

shape सीधे सौंपी जा सकती है — wardrobe के किनारे के चारों तरफ़ ऊन का एक loop ही wardrobe की shape है, चाहे छूकर महसूस करो या देखो। position नहीं सौंपी जा सकती: वह कभी भी अकेले object की अपनी चीज़ नहीं होती, बल्कि किसी और चीज़ से एक relation होती है, जिस पर पहले से सहमति बनी हो। इसीलिए Shalini के छूकर पढ़े जाने वाले model को सिर्फ़ outlines नहीं, एक grid और एक बताया हुआ scale चाहिए, और इसीलिए chapter ने ऐसा सुनने वाला चुना जो तस्वीर देख ही नहीं सकता — जो frame तभी काम करे जब दोनों लोग एक ही पन्ने को घूर रहे हों, वह frame है ही नहीं। model की अपनी सीमा यही दलील दूसरी तरफ़ से रखती है: windows की positions बिल्कुल तय हैं, पर यह नक़्शा उन्हें दर्ज नहीं कर सकता, क्योंकि एक floor plan दो नाप रखता है और तीसरा फेंक देता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • बताना कि किसी object की shape और उसकी position में क्या फ़र्क़ है, और दोनों में से ऊन का एक outline अपने बल पर कौन-सी चीज़ ले जा सकता है
  • Fig. 1.1 का छपा हुआ floor plan पढ़ना और उसमें बताया गया हर नाप बताना
  • 1 cm से 1 foot वाले बताए गए scale से model और कमरे के बीच बदलना
  • हर कमरे के छपे हुए नापों से उसका floor area निकालना
  • समझाना कि इस floor plan पर एक window क्यों नहीं रखी जा सकती, और उस नाप का नाम लेना जिसे plan छोड़ देता है
  • गिनाना कि दो लोगों में से कोई भी दूसरे को position बताए, उससे पहले उन्हें किन-किन चीज़ों पर सहमत होना होगा, और हर मद को Shalini के model पर जाँचना
  • समझाना कि वही कमरा wall के नामों से भी बताया जा सकता है और numbers से भी, और numbers उसमें क्या जोड़ते हैं

जानने लायक़ शब्द

Termएक पंक्ति में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
rectangular gridबराबर अंतर पर खिंची lines का एक जाल, जो right angle पर एक-दूसरे को काटती हैं; यहाँ छूकर पढ़े जाने वाले model के आधार की तरहआयताकार जालकइसी chapter में छपा, §1.2, p. 2
scalemodel की एक लंबाई और जिस लंबाई के लिए वह खड़ी है, उनके बीच बताया गया मेलमापनीइसी chapter में छपा, §1.2, p. 3
sketchकमरे का खींचा हुआ plan, जैसा chapter Fig. 1.1 को नाम देता हैरेखाचित्रइसी chapter में छपा, §1.2, p. 3, और Fig. 1.1 के caption में
pinsmodel के ख़ास points पर लगे निशान, जो अकेली positions के लिए खड़े हैंपिनइसी chapter में छपा, §1.2, pp. 2–3
Bathing Areafloor plan में bathroom के shower वाले हिस्से का छपा हुआ labelस्नान क्षेत्रFig. 1.1, p. 3 की artwork के भीतर छपा, और छपे हुए page 3 पर जाँचा गया; निकाले गए text में यह नहीं आता
showering areaवही हिस्सा, जिसे दो figures बाद अभ्यास इस नाम से बुलाते हैंस्नान क्षेत्रइसी chapter में छपा: SHWR अक्षर-समूह item 3 का है, p. 8; Fig. 1.5, p. 7, इस हिस्से के भीतर शब्द छापती है और इसके चारों कोनों को S, H, W, R अलग-अलग अक्षर देती है
floor planएक drawing जो कमरे को ऊपर से देखे गए रूप में दर्ज करती है, सिर्फ़ लंबाई और चौड़ाई रखते हुएतल-नक्शायहाँ जोड़ा गया समास; chapter कहता है कि figure फ़र्श का नक़्शा बनाता है और उसे sketch कहता है
positionकोई चीज़ कहाँ है, जो उस चीज़ की अपनी विशेषता की तरह नहीं, बल्कि एक तय frame के सापेक्ष बताई जाती हैस्थितिइसी chapter में छपा, §1.2, p. 3
Coordinate Geometryगणित की वह शाखा, जिसका सहारा लेकर Shalini अपने भाई को राह दिखाती हैनिर्देशांक ज्यामितिइसी chapter में छपा, §1.2, p. 2

हिंदी column में मानक हिंदी शब्दावली दी गई है। मैंने Ganita Manjari का कोई हिंदी संस्करण नहीं देखा, इसलिए इसे किसी दूसरे संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं, बल्कि मानक प्रचलन मानिए।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "नक़्शा तुम्हें बता देता है कि चीज़ें कहाँ हैं, बस इतना ही।" वह बताता है कि चीज़ें उस frame के सापेक्ष कहाँ हैं जिसमें वह खींचा गया था। जिस कोने से नापते हो उसे बदल दो और हर number बदल जाता है, जबकि कमरा वही रहता है।
  • "ऊन के outlines Reiaan को पहले ही बता देते हैं कि wardrobe कहाँ है।" वे उसे उसकी shape और size बताते हैं। वह कहाँ है, यह उसे तभी पता चलता है जब वह उसे किसी तय चीज़ से जोड़ सके — grid से, किसी किनारे से, किसी ऐसे कोने से जो वह पहले ही ढूँढ चुका है।
  • "position object की अपनी विशेषता है।" वह एक relation है। यही पूरी वजह है कि coordinate system को इस्तेमाल से पहले तय करना पड़ता है, और यही वजह है कि chapter के model में pins के नीचे एक grid है।
  • "scale तो बस औपचारिकता है।" उसके बिना model सिर्फ़ एक shape है। उसके साथ, model में नापी गई हर लंबाई कमरे के बारे में एक दावा बन जाती है, और यही model को जाँचने लायक़ बनाता है।
  • "windows इसलिए छूट गईं क्योंकि वे ज़रूरी नहीं हैं।" वे इसलिए छूटी हैं क्योंकि drawing ऊँचाई को पहले ही छोड़ चुकी है। यही सीमा Exercise Set 1.2 में लौटती है, जो मेज़ की चौड़ाई और लंबाई पूछता है और फिर पूछता है कि क्या उसकी ऊँचाई पढ़ी भी जा सकती है (p. 8, item 1)।
  • "छूकर पढ़ा जाने वाला नक़्शा किसी देख न सकने वाले पाठक के लिए एक ख़ास मामला है।" वह आम मामला ही है, बस दिखाई देता हुआ। chapter का grid ठीक उसी वजह से काम करता है जिस वजह से एक छपा हुआ graph काम करता है, और फ़र्क़ सिर्फ़ माध्यम का है।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript1,592 शब्द

यह रही एक wardrobe, और यह रहा ऊन का एक loop, जो उसके किनारे के चारों तरफ़ बिछा हुआ है। loop को उठा लो, और तुम्हारे हाथ में wardrobe की shape है। इसे तुम किसी को post कर सकते हो। वह इसे छू सकता है, नाप सकता है, इसके चारों तरफ़ pencil घुमाकर उतार सकता है। अब कोशिश करो कि उसे यह post करो कि wardrobe कहाँ है। यह हो ही नहीं सकता, और वजह यह नहीं है कि यह मुश्किल है।

shape object की अपनी होती है। position नहीं। position तो object और किसी और चीज़ के बीच का एक relation है, और जब तक तुमने तय नहीं किया कि वह दूसरी चीज़ क्या है, भेजने के लिए कुछ है ही नहीं। कोई अपना नया कमरा एक ऐसे इंसान को समझा रहा है, जो यह drawing कभी नहीं देखेगा, और जो पूरी चीज़ अपने हाथों से पढ़ेगा। तो वे उसे बनाते हैं।

एक board, और pins के बीच खिंचा हुआ thread: कमरे की हर चीज़ के लिए एक loop। किसी loop पर उँगलियाँ फेरो, और तुम्हें एक shape मिलती है, एक size मिलता है, और इसके अलावा बिल्कुल कुछ नहीं। क्या यह door के पास है? क्या यह window के नीचे है? loop चुप है, और तुम चाहे जितनी सावधानी से छुओ, वह चुप ही रहेगा। और इससे भी बुरा: उसी size की किसी दूसरी चीज़ के लिए एक दूसरा loop बनाओ, दोनों को कहीं भी रखो, और दोनों छूने में एक जैसे लगते हैं।

जो कुछ उन्हें अलग करता था, वह सब मेज़ पर ही छूट गया। इसलिए नीचे का board खाली नहीं है। उस पर एक grid खिंचा है: बराबर अंतर पर lines, जो right angle पर एक-दूसरे को काटती हैं। अब कोई loop हवा में नहीं तैर रहा। वह कुछ ख़ास crossings पर बैठा है, और एक उँगली corner से गिनती करते हुए वहाँ तक पहुँच सकती है। बस यही पूरी मरम्मत है, और ठीक-ठीक यह कहना ज़रूरी है कि इसने क्या जोड़ा।

इसने wardrobe को ज़रा भी ज़्यादा पक्का नहीं बनाया। wardrobe हमेशा ठीक वहीं थी जहाँ वह थी। इसने wardrobe की position को कहने लायक बना दिया। और एक बात, जो map के बारे में लोग भूल जाते हैं। वह corner बदलो जहाँ से तुम गिनते हो, और हर number बदल जाता है, जबकि कमरा वहीं का वहीं है। map यह नहीं बताता कि चीज़ें कहाँ हैं। वह बताता है कि चीज़ें उस frame के मुक़ाबले कहाँ हैं, जिसमें उसे बनाया गया था।

एक चीज़ और लिखनी पड़ती है, और यही वह चीज़ है जिसे लोग छोड़ देते हैं। board पर 1 centimetre, असली कमरे के 1 foot के बराबर। इस एक वाक्य के बिना model फिर से सिर्फ़ एक shape है, किसी अनजान size पर। इसके साथ, model की हर length कमरे के बारे में एक claim है, और claim को जाँचा जा सकता है, thread नापकर और कमरा नापकर। bedroom की 12 foot वाली wall thread के 12 centimetre है।

wardrobe का 4 foot वाला चेहरा 4 centimetre है। और यह उल्टी दिशा में भी काटता है। एक pin को 2 millimetre खिसकाओ, और तुमने असली कमरे में किसी चीज़ को 2.4 inch हिला दिया। model की ग़लतियाँ कमरे की ग़लतियाँ हैं। scale ग़लत पढ़ना कोई छोटी ग़लती नहीं है। वह एक अलग ही इमारत है। thread के वही 12 centimetre लो, और उन्हें 1 centimetre बराबर 1 metre पढ़ लो।

सोचो: अब वह wall कितनी लंबी हो गई? 39 foot से भी ज़्यादा। 12 foot नहीं, 39। thread हिला नहीं है। सिर्फ़ वह वाक्य बदला है जो तय करता है कि उसका मतलब क्या है। और model के अंदर की कोई चीज़ इस ग़लती को पकड़ने नहीं देगी। हर length अब भी हर दूसरी length के साथ बिल्कुल सही proportion में है। model सिर्फ़ दुनिया के बारे में ग़लत है।

यह रहा वह कमरा जिसे model बता रहा है, सपाट बनाया हुआ, जैसे तुम सीधे ऊपर से floor को देख रहे हो। बाईं तरफ़ एक bathroom, 6 foot गुना 9। उसके बगल में bedroom, 12 foot गुना 10। गुणा करो और floor मिल जाते हैं। 54 square feet, और 120। कुल मिलाकर 174 square feet, और इन 3 numbers में से एक भी drawing पर कहीं लिखा नहीं है। ये सब वे चीज़ें हैं जो तुम ख़ुद निकालते हो।

bedroom की नीचे वाली wall से सटी हुई, एक wardrobe, 4 foot गुना 2। और ध्यान रखो: 'नीचे वाली wall से सटी हुई' सिर्फ़ यह बताता है कि किस wall से। यह नहीं कि उस wall पर कहाँ। वह wardrobe floor के 8 square feet घेरती है, जो bedroom का ठीक 1 बटा 15 है। अब उसे wall के साथ-साथ खिसकाओ, एक बार में 1 foot। सोचो: 12 foot की wall पर वह कितनी जगहों पर खड़ी हो सकती है?

9 जगहों पर। और हर एक में उसकी shape बिल्कुल वही है। 4 foot गुना 2, 9 बार। 9 अलग-अलग positions, एक अकेली shape। अगर तुमने सिर्फ़ shape भेजी, तो जो तुम जानते थे उसका सिर्फ़ 1 बटा 9 भेजा। 2 doorways, और हर एक के साथ एक हल्का arc बना है, जो कमरे के अंदर तक झूलता है। वह arc door का पल्ला है, खुलता हुआ। ग़ौर करो कि अभी क्या दर्ज हुआ, क्योंकि वह कोई object नहीं है।

वह floor है जिसे खाली रहना है। उस arc के अंदर कुछ भी खड़ा नहीं हो सकता, इसलिए नहीं कि drawing ऐसा कहती है, बल्कि इसलिए कि door उससे टकराएगा। एक plan movement भी दर्ज कर सकता है, सिर्फ़ furniture नहीं। वह arc भविष्य के बारे में एक rule है, जो वर्तमान की तस्वीर पर बनाया गया है। अब वह सवाल जिसका जवाब यह drawing नहीं दे सकती, और जवाब drawing से ज़्यादा दिलचस्प है।

windows कहाँ हैं? वे ज़रूर कहीं हैं। एक window की position बिल्कुल पक्की होती है। लेकिन इस drawing पर उसे रखने की कोई जगह नहीं है। सोचो: क्यों नहीं? एक असली कमरे की 3 आज़ाद नापें होती हैं। length, breadth, और height। एक plan उनमें से 2 रखता है और तीसरी को फेंक देता है, और जो फेंकी जाती है, वह height है। इसीलिए doors बच जाते हैं और windows नहीं।

door floor तक पहुँचता है। window तो wall में बीच में कहीं ऊपर एक छेद है, और floor से उसकी height ठीक वही नाप है जो इस drawing के पास अब नहीं है। इसी वजह से किसी table की length और breadth इस plan से पढ़ी जा सकती है, उसकी height कभी नहीं। इसी कमरे की ceiling 8 foot की जगह 9 foot ऊँची कर लो, और उसमें 120 cubic feet और जुड़ जाते हैं: 960 की जगह 1080।

और यह plan दोनों कमरों में फ़र्क नहीं कर सकता। position बताने का एक तरीक़ा ऐसा भी है जिसे किसी grid की ज़रूरत नहीं, और सब लोग उसे इस्तेमाल करते हैं। बाईं wall से सटा हुआ। दूर वाले corner में। door के बगल में। तो यह पूछना ज़रूरी है कि ये phrases ठीक-ठीक कितना छोड़ देते हैं। bedroom के floor पर हर foot पर एक निशान लगाओ, दोनों तरफ़। यह हुए 143 marked points।

बाईं wall से सटा हुआ, इनमें से 11 पर fit होता है। बाईं wall पर 3 feet आगे, ठीक 1 पर। अब हर वह point गिनो जिस तक कोई भी wall का नाम पहुँच सकता है, चारों walls मिलाकर। सोचो: कितने? 44 points। जिससे कमरे के बीच में 99 points बचते हैं, जहाँ तक कोई wall का नाम कभी नहीं पहुँचता। और 4 corners अकेले ऐसे points हैं जहाँ 2 नाम मिलते हैं।

numbers की एक जोड़ी सभी 143 तक पहुँचती है, और हर एक तक ठीक एक बार। एक चेतावनी, हर उस इंसान के लिए जो plan को ख़ुद बनाने की जगह copy करता है। मान लो एक ही कमरा 2 बार बनाया गया, और एक drawing में एक boundary 6 feet पर सपाट जाती है, जबकि दूसरी में वही boundary तिरछी है: 1 foot नीचे से शुरू होकर ऊपर wall से जा मिलती है।

दोनों drawings सही दिखती हैं। वे एक ही कमरा नहीं हैं। उन 2 lines के बीच की पट्टी एक triangle है, और 3 feet की चौड़ाई पर वह 1.5 square feet है, जो उस bathroom के floor का 1 बटा 36 है। छोटी, और पूरी तरह असली। एक drawing एक claim है, और 2 drawings एक ही कमरे के बारे में अलग-अलग claims कर सकती हैं। इसलिए असली चीज़ से बनाओ, दूसरी drawing से कभी नहीं।

तो यह रहा वह सब कुछ जो 2 लोगों को पहले तय करना पड़ता है, इससे पहले कि उनमें से कोई भी कह सके कि कोई चीज़ कहाँ है। गिनने के लिए एक corner। गिनने के लिए 2 directions। और गिनने के लिए एक unit। 3 समझौते, और model चुपचाप तीनों पूरे करता है। board का corner। उसके 2 किनारे। और foot की जगह खड़ा centimetre। इनमें से कोई भी एक हटाओ, और model फिर से सिर्फ़ एक shape रह जाता है।

ग़ौर करो कि shape को इनमें से किसी की ज़रूरत नहीं थी। तुम किसी को एक shape मेज़ के उस पार बिना किसी समझौते के दे सकते हो। ये तीनों सिर्फ़ इसलिए हैं ताकि position कहने लायक बने। जो इंसान इस कमरे को अपनी उँगलियों से पढ़ रहा है, उसे कोई ख़ास रियायत नहीं दी जा रही। उसे general case दिया जा रहा है, छूने लायक बनाकर। एक grid, एक तय corner, एक बताया हुआ unit।

एक graph ठीक यही होता है, और यहाँ फ़र्क सिर्फ़ इतना है कि तुम उसे किस sense से पढ़ते हो। position कभी wardrobe की अपनी चीज़ थी ही नहीं। वह हमेशा 2 लोगों के बीच का एक समझौता थी कि गिनना कहाँ से शुरू करें।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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