PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 9 Mathematics · Chapter 1, Orienting Yourself: The Use of CoordinatesPrepShorts

Chapter 1 · Orienting Yourself: The Use of Coordinates

coordinates कहाँ से आए: grid वाले शहर, meridians, और Cartesian plane तक का रास्ता

Why coordinates11 मिनट

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कमरे के उस पार किसी चीज़ की तरफ़ इशारा करना तभी काम करता है जब सामने वाला तुम्हारा हाथ देख सके. वही जगह telephone पर समझाते ही पता चलता है कि coordinate system असल में क्या है: कोई drawing नहीं, बल्कि एक agreement, जिसके ठीक 4 हिस्से हैं: right angle पर 2 directions, एक तय origin, एक तय unit, और zero के पार जाने वाले numbers.

मुख्य idea

coordinate system कोई drawing नहीं है; यह एक agreement है, और इस agreement के चार अलग किए जा सकने वाले हिस्से हैं — right angle पर दो तय directions, एक तय starting point, लंबाई की एक तय unit, और ऐसे numbers जिन्हें starting point के पार पीछे की तरफ़ जाने की छूट हो। §1.1 एक ऐसा इतिहास सुनाता है जिसमें ये चारों हिस्से अलग-अलग आते हैं, और सदियों के अंतर से आते हैं; और chapter के अपने आख़िरी सवाल तुम्हें हर हिस्से को हटाकर जाँचने देते हैं: negatives हटा दो (p. 12, item 5) और plane का तीन-चौथाई हिस्सा अपने पते खो देता है; उन्हें रहने दो और grid पर बसा एक शहर (p. 13, item 14) दो numbers से पता-योग्य बन जाता है। तो दलील यह नहीं है कि "बहुत लोगों ने योगदान दिया"। दलील यह है कि हर अंग एक पहचाना जा सकने वाला काम करता है, और तुम साबित कर सकते हो कि कौन-सा काम — यह देखकर कि उसके बिना क्या टूटता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • बताना कि कोई position नाम पाने से पहले coordinate system को क्या-क्या देना ज़रूरी है: दो perpendicular reference directions, एक origin, एक unit, और signed numbers
  • समझाना कि बराबर spacing पर grid में बिछी streets पहले से ही coordinate system की तरह काम करती हैं, और कोई इंसान centre से दो directions में units गिनकर रास्ता कैसे खोजता है
  • समझाना कि अलग-अलग जगहों के longitudes की तुलना करने से पहले एक साझा zero meridian क्यों चाहिए, और प्राचीन वर्णन में Ujjayinī की भूमिका पहचानना
  • बताना कि zero और negative quantities पर Brahmagupta का काम चार-quadrant वाले plane को कौन-सा गणितीय अंग देता है
  • अपने शब्दों में बताना कि Descartes और Fermat ने plane के एक point और numbers की एक जोड़ी के बीच जो पहचान बनाई, वह क्या थी
  • chapter के अपने विचार-प्रयोग का जवाब देना: बताना कि negative numbers के बिना एक coordinate system क्या-क्या ढूँढ सकता है और क्या नहीं
  • grid वाले शहर पर दो-number वाला street label लगाना और बताना कि हर label पर ठीक एक ही intersection क्यों जवाब देता है

जानने लायक़ शब्द

Termएक पंक्ति में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
system of coordinatesreference lines और units का एक तय ढाँचा, जिससे numbers ठीक-ठीक positions के नाम बता सकेंनिर्देशांक पद्धतिइसी chapter में छपा, §1.1, p. 1
grid-based thinkingreference lines को बराबर spacing पर बिछाना, ताकि position बताई नहीं, गिनी जा सकेग्रिड-आधारित चिंतनइसी chapter में छपा, §1.1, p. 1
Sindhu-Sarasvatī Civilisationवह प्राचीन नगर-सभ्यता जिसकी streets एक सटीक North–South और East–West grid पर बिछाई गई थींसिंधु-सरस्वती सभ्यताइसी chapter में छपा, §1.1, p. 1
meridianlongitude की एक reference line, जिससे बाक़ी longitudes नापे जाते हैंमध्याह्न रेखाइसी chapter में छपा, §1.1, p. 1
latitude, longitudeangular coordinates की वह जोड़ी जो Earth की सतह पर किसी जगह को तय करती हैअक्षांश, देशांतरइसी chapter में छपा, §1.1, p. 1
Celestial Coordinatesवे coordinates जो किसी object की position ज़मीन पर नहीं, आसमान में तय करने के काम आते हैंखगोलीय निर्देशांकइसी chapter में छपा, §1.1, p. 1
eclipticsun का दिखने वाला रास्ता, जिसे chapter में उस reference की तरह लिया गया है जिससे आसमान के coordinates नापे जाते थेक्रांतिवृत्तइसी chapter में छपा, §1.1, p. 1
astrolabeहाथ में पकड़ने वाला एक यंत्र, जिससे stars देखकर अपनी position निकाली जाती हैएस्ट्रोलैब / यंत्रराजइसी chapter में छपा, §1.1, p. 2
Siddhāntasभारतीय खगोल-ग्रंथ, जिन्हें पढ़े और अनूदित किए गए स्रोत की तरह नाम दिया गया हैसिद्धांत ग्रंथइसी chapter में छपा, §1.1, pp. 1–2
Sindhindवह नाम जिससे Brahmagupta का काम Arabic में पहुँचासिंदहिंदइसी chapter में छपा, §1.1, p. 2
negative axesaxes के वे हिस्से जिन पर zero से नीचे की values हैंऋणात्मक अक्षइसी chapter में छपा, §1.1, p. 1
coordinate geometrycoordinates और equations के ज़रिए geometry का अध्ययननिर्देशांक ज्यामितिइसी chapter में छपा, §1.1, p. 1 और §1.2, p. 2
Baudhāyana–Pythagoras Theoremएक right triangle की दो भुजाओं और सबसे लंबी भुजा के बीच का संबंधबौधायन–पाइथागोरस प्रमेयइसी chapter में छपा, §1.1, p. 1; §1.4, p. 9 पर काम में लिया गया
four ingredients of a frameदो perpendicular directions, एक origin, एक unit, और signed numbersसंदर्भ ढाँचे के चार अंगयहाँ जोड़ा गया ढाँचा; chapter चारों अंग देता है, पर न उन्हें समूह में रखता है, न गिनता है

हिंदी column में मानक हिंदी गणितीय और ऐतिहासिक शब्दावली दी गई है। मैंने Ganita Manjari का कोई हिंदी संस्करण नहीं देखा, इसलिए उस column को किसी दूसरे संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं, बल्कि मानक प्रचलन मानिए।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "coordinates Descartes ने बनाए।" chapter का अपना ब्योरा इस खोज को बाँट देता है: grid और दो perpendicular directions हज़ारों साल पुराने हैं, reference meridian और latitude तथा longitude की tables प्राचीन हैं, और signed numbers Brahmagupta के साथ आते हैं। 1637 जो जोड़ता है वह है एक point की numbers की एक जोड़ी से पहचान, और यह "grid इस्तेमाल किया" से अलग दावा है।
  • "इतिहास असली chapter के आगे लगी सजावट है।" chapter अध्याय के अंत वाले सवालों में इसी के बारे में एक गणितीय सवाल रखता है: negatives हटाओ और बताओ कि क्या बचता है। वह इतिहास का सवाल नहीं है।
  • "grid वाली streets बस सुथरी योजना हैं।" बराबर spacing ही गिनती को मुमकिन बनाती है; तय spacing के बिना तुम सीधी streets फिर भी खींच सकते हो, पर गिनती को दूरी में नहीं बदल सकते।
  • "axes के लिए कोई भी दो lines चल जाएँगी।" उन्हें perpendicular होना ही होगा, ताकि दोनों नाप एक-दूसरे से स्वतंत्र रहें और आगे Baudhāyana–Pythagoras संबंध लागू हो सके — §1.4 अपनी दूरियाँ ठीक इसी तरह निकालता है।
  • "zero और negatives बस कुछ अतिरिक्त numbers हैं।" ये ही वह चीज़ हैं जो एक point को हर चीज़ का origin बनने देती हैं और एक direction को उलटने देती हैं। chapter साफ़ कहता है कि चार-quadrant वाला plane इन्हीं पर टिका है।
  • "origin दुनिया की एक स्वाभाविक चीज़ है।" Ujjayinī एक चुनाव है। किसी और सभ्यता ने कहीं और चुना; गणित पर कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता, numbers पर पड़ता है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains End-of-Chapter Exercises Q5, End-of-Chapter Exercises Q14

पूरा transcript1,785 शब्द

कमरे के उस पार किसी चीज़ की तरफ़ इशारा करो, और कहो कि वह वहाँ है। यह काम करता है, और सिर्फ़ इसलिए करता है क्योंकि सामने वाला तुम्हारा हाथ देख सकता है। अब वही जगह telephone पर किसी को समझाओ, जो बहुत दूर किसी और शहर में बैठा है। अचानक तुम्हें ऐसे शब्द चाहिए: किससे, किस direction में, और कितना दूर। तुम्हें किसी चीज़ से गिनना पड़ेगा, किसी direction में, और कदम के किसी तय नाप में।

coordinate system बस इतना ही है। यह कोई drawing नहीं है। यह एक agreement है, एक समझौता, जिस पर दोनों तरफ़ के लोग राज़ी हों। और इस agreement के ठीक 4 हिस्से हैं, जो अलग-अलग आए, और सदियों के अंतर से आए। आज हम चारों को पहचानेंगे, और हर एक का काम साबित करेंगे: हिस्सा हटाओ, और देखो कि क्या टूटता है। शुरू करते हैं एक शहर से, जो हज़ारों साल पुराना है।

उसकी streets north से south और east से west जाती हैं, right angle पर एक-दूसरे को काटती हैं, और लगभग 10 metre के अंतर पर बनी हैं। मन करता है कि इसे साफ़-सुथरी योजना कहकर आगे बढ़ जाएँ। लेकिन देखो कि बराबर अंतर तुम्हें क्या देता है। streets बिल्कुल सीधी हो सकती हैं बिना बराबर अंतर के। तब भी तुम उन पर चल सकते हो, लेकिन उन्हें गिन नहीं सकते।

2 streets को 100 metre दूर रखो, फिर अगली 2 को 10 metre दूर, और अब अगर कोई कहे centre से तीसरी street, तो इससे यह बिल्कुल पता नहीं चलता कि तुम कितना चले। एक तय spacing ही गिनती को distance में बदलती है। 3 streets का मतलब 30 metre तभी है, जब हर अंतर 10 metre का हो। तो एक व्यापारी रास्ता ऐसे बताता है: centre से 6 streets दाईं तरफ़, फिर 4 streets ऊपर।

10 metre वाले grid पर यह 60 metre और 40 metre है। बस 2 numbers ने पूरे एक विवरण की जगह ले ली: 6 और 4। और ध्यान दो कि असली बोझ कौन उठा रहा है। 6 और 4 distance नहीं हैं। वे गिनतियाँ हैं। spacing 5 metre हो, तो यही जोड़ी 30 metre और 20 metre है। spacing 20 metre हो, तो 120 और 80। spacing 50 metre हो, तो 300 और 200।

वही 2 numbers, और हर बार एक नई जगह। unit यह भी तय करता है कि किस जगह का कोई नाम है भी या नहीं। 10 metre वाले grid पर centre से 60 metre east वाली जगह का एक address है, लेकिन 65 metre east वाली जगह का कोई address नहीं है, क्योंकि वहाँ कोई street ही नहीं है। unit चुपचाप काम कर रहा है, और वह 4 हिस्सों में पहला है।

अब दूसरा हिस्सा, और यही वह है जो सजावट जैसा दिखता है। दोनों directions right angle पर मिलती हैं। इससे फ़र्क क्यों पड़ना चाहिए। 3 दाईं तरफ़ और 4 ऊपर लो। directions perpendicular हों तो centre से सीधी distance ठीक 5 है। अब दोनों directions को झुकाकर 60 degree पर ले आओ, और गिनती वही रखो। सोचो: क्या distance अब भी 5 रहेगी? नहीं। 60 degree पर वही गिनती squared distance 37 देती है, यानी distance है 37 का square root, 5 नहीं।

और दोनों को खोलकर 120 degree पर ले जाओ, तो वह सिकुड़कर 13 का square root रह जाती है। वही गिनती, 3 अलग-अलग जगहें। right angle ही दोनों नापों को एक-दूसरे में घुलने से रोकता है: दाईं तरफ़ की गिनती ऊपर की गिनती को छूती ही नहीं। और इसीलिए legs और सीधी distance के बीच बौधायन और Pythagoras वाला रिश्ता यहाँ चलता है। बौधायन की बनाई हुई construction lines पहले से ही right angle पर 2 directions थीं, और यही हिस्सा इस agreement का सबसे पुराना हिस्सा है।

तीसरा हिस्सा है एक शुरुआत का point, और यहाँ कहानी शहर छोड़कर पूरी दुनिया का चक्कर लगाती है। किसी जगह के बारे में यह कहने के लिए कि वह कितनी east है, पहले कहना पड़ेगा: किससे east? मान लो 2 लोग एक ही कस्बे को 2 अलग-अलग lines से नापते हैं। सोचो: क्या दोनों को एक ही number मिलेगा? नहीं। दोनों को 2 अलग-अलग numbers मिलेंगे, एक ही कस्बे के लिए, और दोनों में से कोई ग़लत नहीं है।

पुराने खगोल-शास्त्र के ग्रंथों ने इसे agreement से तय किया: उज्जयिनी से गुज़रने वाले meridian से नापो। बाद की latitude और longitude की tables में हज़ारों जगहें दर्ज हैं, और उनमें उज्जयिनी भी है, जो वहाँ 'ओज़ीन' लिखी मिलती है। origin दुनिया की कोई प्राकृतिक चीज़ नहीं है। वह एक चुनाव है, और एक बार चुन लिया, तो बाक़ी सब कुछ उसी से गिना जाता है। यही चाल ऊपर आसमान में भी चलती है।

सूरज साल भर में आसमान पर एक path बनाता हुआ दिखता है, और वह path ठीक वैसे ही reference line बन सकता है जैसे ज़मीन पर meridian बनता है। आर्यभट ने पुराने chords की जगह sines रखे, और आसमान की जगहें उसी path से नापी जाने लगीं। और reference line का चुनाव ऊपर भी उतना ही मनमाना है जितना ज़मीन पर। फ़र्क इससे नहीं पड़ता कि कौन सी line चुनी; फ़र्क इससे पड़ता है कि सब लोग एक ही line से नापें।

frame तो frame है, चाहे तुम कोई दुकान ढूँढ रहे हो या कोई star। 3 हिस्से जगह पर हैं, और तस्वीर अब भी टूटी हुई है। अब तक सब कुछ आगे की तरफ़ गिनता है: 6 दाईं तरफ़, 4 ऊपर, meridian से east। यह कहने का कोई तरीक़ा ही नहीं है: 4 streets दूसरी तरफ़। ब्रह्मगुप्त ने वह दिया जो कम था। zero को अपने आप में एक number माना गया, और मात्राओं को उससे नीचे जाने की इजाज़त मिली।

तभी कोई line शुरुआत के point से होकर उस पार निकल सकती है। इसके बिना plane का एक ही कोना है। इसके साथ 4 कोने हैं। और फिर यह idea सफ़र करता है, और यह गणित की घटना है, सिर्फ़ इतिहास की नहीं। भारतीय ग्रंथों का Arabic में अनुवाद होता है, जहाँ ब्रह्मगुप्त का काम सिंदहिंद के नाम से जाना जाता है। reference meridian इस सफ़र में बचा रहता है, और वहाँ 'अरीन' लिखा जाता है।

अल-बीरूनी भारत आता है, Asian शहरों के coordinates तय करने के लिए भारतीय trigonometric methods इस्तेमाल करता है, और astrolabe को निखारता है, जो stars से अपनी जगह पता करने का एक यंत्र है। उमर ख़य्याम पहला है जो algebra के किसी सवाल पर उसे plane में एक तस्वीर की तरह पढ़कर हमला करता है, और 12वीं सदी में यह पूरा तंत्र Europe पहुँच जाता है। फिर, एक साल के अंतर से, फ़र्मा और देकार्त।

वे जो जोड़ते हैं वह एक अकेला वाक्य है, और वह जितना लगता है उससे छोटा और अजीब है। एक point पर सिर्फ़ numbers की एक जोड़ी का label नहीं लगा है। point ही numbers की एक जोड़ी है। एक बार यह सच हो जाए, तो एक आकृति और एक equation एक ही चीज़ हैं, 2 बार देखी हुई। circle अब ऐसी तस्वीर नहीं रही जिसे देखना पड़े; वह एक सवाल बन गई जिसका जवाब arithmetic से मिलता है: क्या numbers की यह जोड़ी equation को पूरा करती है, हाँ या नहीं।

इसलिए यह कहना कि coordinates देकार्त ने ईजाद किए, ठीक नहीं है। grid और right angle वाली 2 directions हज़ारों साल पुरानी हैं, reference meridian और tables प्राचीन हैं, signed numbers ब्रह्मगुप्त के साथ आए। यह आख़िरी क़दम जो जोड़ता है, वह है point और numbers की जोड़ी को एक मान लेना। अब इन हिस्सों की परीक्षा लो, उन्हें एक-एक करके हटाकर। सबसे पहले negative numbers हटाओ। सोचो: frame अब किन जगहों तक पहुँच सकता है?

सिर्फ़ उन जगहों तक जो शुरुआत के point से ऊपर और दाईं तरफ़ हैं। उसके पीछे की हर चीज़, उसके नीचे की हर चीज़, और तिरछे सामने वाला पूरा quarter, अपने address खो देते हैं। limit में plane का 3 चौथाई हिस्सा अंधेरे में चला जाता है। लेकिन इस number से सावधान रहो, क्योंकि यह सिर्फ़ limit में सच है। जो भी टुकड़ा तुम सचमुच बनाते हो, उसमें एक चौथाई से थोड़ा ज़्यादा बचता है।

21 गुना 21 points वाले grid में 441 में से 121 बचते हैं, क्योंकि दोनों axes ख़ुद बचे रहते हैं। एक साफ़ दिखने वाला इलाज है, और वह लगभग काम कर जाता है। signed numbers की जगह direction लिख लो: 3 east, 4 north। 2 directions, हर एक में 2 विकल्प, तो 4 combinations बनते हैं, और यही वे 4 quarters हैं जो तुमने खोए थे। लेकिन इसमें एक दरार है।

north-south line पर बैठा point 0 east है, और उतना ही 0 west भी है। एक जगह, 2 सही नाम। signed number में ऐसी कोई दरार नहीं है, क्योंकि zero न positive है न negative, और वह एक ही है। एक दूसरा इलाज भी है: शुरुआत के point को इतना पीछे खिसकाओ कि कोई भी ज़रूरी जगह उसके पीछे न रहे। जगहों की कोई भी सीमित सूची हो, ऐसा shift मिल जाता है, और वह उनके बीच की हर distance वैसी ही रखता है।

लेकिन जिस line का कोई अंत ही नहीं, उसे कोई एक shift कभी पूरा नहीं ढक सकता। इसलिए जीत signed numbers की है। अब चारों हिस्से वापस रखो, और उन्हें एक साथ परखो। फिर एक शहर। 2 main roads centre पर एक-दूसरे को काटती हैं, बाक़ी हर street उनमें से किसी एक के समानांतर है, 200 metre के अंतर पर, हर direction में 10 streets। किसी crossing का label उसकी 2 street numbers से बनता है: पहले north-south street का number, फिर east-west street का।

सोचो: कितनी crossings का label 4 और 3 है? और क्या 3 और 4 वही crossing है? ठीक एक crossing का label 4 और 3 है। और 3 और 4 का भी ठीक एक, लेकिन वह एक अलग crossing है, हर direction में 200 metre दूर। ठीक एक क्यों? क्योंकि पहला number एक north-south street चुनता है, दूसरा एक east-west street, और ये 2 streets एक-दूसरे को ठीक एक बार काटती हैं।

इस grid के 100 labels में से 90 उलटने पर एक अलग जगह का नाम बन जाते हैं। जो 10 नहीं बदलते, वे वही हैं जिनके दोनों numbers पहले से बराबर थे। तो यह रहा पूरा agreement। 2 directions right angle पर, ताकि दोनों नाप एक-दूसरे में न घुलें। एक तय शुरुआत का point, क्योंकि गिनने के लिए किसी चीज़ से गिनना पड़ता है। एक तय unit, क्योंकि जब तक कदम का नाप तय न हो, गिनती distance नहीं है।

और ऐसे numbers जो zero के पार पीछे जा सकें, क्योंकि उनके बिना हर जगह के 3 चौथाई हिस्से का कोई नाम ही नहीं है। 4 हिस्से, 4 काम, और हर काम साबित करने लायक: हिस्सा हटाओ और देखो कि ठीक-ठीक क्या टूटता है। इनमें से कुछ भी drawing नहीं है। यह सब agreement है, और ठीक इसीलिए यह काम करता है, चाहे pencil किसी के भी हाथ में हो।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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