पूरी की पूरी rotational symmetry, और हर diameter reflection का axis क्यों है

0:00एक चलती हुई wheel को देखो। जिस point पर वह road को छू रही है, उसे mark कर लेते हैं। थोड़ी देर बाद फिर देखो — अब कोई और point road को छू रहा है। पर दोनों तस्वीरों में wheel बिल्कुल एक जैसी दिखती है। ऐसा कुछ भी नहीं है जिससे तुम बता सको कि पहले नीचे कौन सा point था। यह wheel के बारे में कोई बात नहीं है।

0:21यह circle के बारे में एक property है, जो wheel ने बस दिखा दी। इस property का नाम है rotational symmetry. मतलब — middle के चारों ओर घुमाने पर figure वैसी की वैसी रह जाती है। और यहाँ यह किसी भी angle पर होता है, कुछ चुने हुए angles पर नहीं। पर नाम रख देना argue करना नहीं है। पहली नज़र में लगता है कि देख लेना काफ़ी है, और यह video दिखाएगा कि नहीं है।

0:49बहुत से students यह कहते हैं कि circle की rotational symmetry का order 4 है। picture देखने पर ऐसा ही लगता है — ऊपर, नीचे, left, right. इसे जाँचने का सबसे साफ़ तरीक़ा है कि वही turns किसी और figure पर भी चलाकर देखें। एक sample लेते हैं जिसमें 27 अलग turns हैं। इनमें से कितने turns एक square को अपने ऊपर ले जाते हैं? जवाब है सिर्फ़ 3. वे हैं — कुछ न घुमाना, और एक right angle इधर, एक right angle उधर।

1:23बाक़ी 24 turns square को कहीं और ले जाते हैं। अब वही 27 turns circle पर चलाओ। सब के सब circle को अपने ऊपर ले जाते हैं — 27 में से 27. यहाँ 4 नहीं है; यहाँ सब हैं। ध्यान देने की बात यह है कि दोनों counts एक ही sample पर लिए गए हैं। अगर machine circle की तरफ़दारी कर रही होती, तो वह square की भी करती। square पर 3 निकला, तो machine तरफ़दारी नहीं कर रही।

1:52अब dial को लगातार घुमाते हैं, बिना किसी stop के। यहाँ dial पर एक mark लगा है, और वह लगातार चलता रहता है जबकि circle वैसी ही रहती है। इसे गिनकर देखा गया है। 27 turns और circle पर 35 sampled points — यानी कुल 945 tests. 945 के 945 tests में point वापस circle पर ही गिरता है। यह सिर्फ़ into नहीं, onto भी है। उल्टा turn भी हर बार circle पर ही गिरता है — फिर 945 के 945.

2:26और दोनों turns साथ लगाओ तो हर point ठीक अपनी जगह लौट आता है। यहाँ एक शक़ बनता है — शायद तुम सोच रहे हो कि ये turns असल में कुछ करते ही नहीं। 945 tests में से 910 में point कहीं और जाकर गिरता है। तो यह ऐसी list नहीं है जो चुपचाप कुछ न करती हो। हर angle काम करता है, और हर angle कुछ हिलाता भी है।

2:51अब argument — circle की definition में सिर्फ़ एक चीज़ का नाम है। middle से distance — और कुछ नहीं। यहाँ board पर वह condition दोबारा लिखी है — न यह कि point कहाँ है, न किस तरफ़ है, न कैसा दिखता है। middle के चारों ओर घुमाने से किसी point की middle से distance नहीं बदलती। यह घूमने की परिभाषा से ही आता है, किसी drawing से नहीं। देखो — point चल रहा है और यह length वही रह रही है।

3:19condition सिर्फ़ उसी distance को देखती है। इसलिए घुमाने से यह नहीं बदल सकता कि कोई point condition pass करता है या नहीं। बस इतना ही argument है। जो चीज़ condition में नाम से आई है, motion उसे नहीं छेड़ता — इसलिए set वही रहता है। ध्यान दो कि इसमें कहीं भी drawing नहीं देखी गई। यही फ़र्क़ है observation और argument में। अब वही turn, पर pivot middle पर नहीं।

3:47उसे 1 unit हटाकर रख देते हैं। अब image वही circle नहीं रहती। वह उतनी ही बड़ी एक दूसरी circle है, जो पहली से ठीक 2 जगह मिलती है। यहाँ और यहाँ — और कहीं नहीं। middle कितना खिसकता है, यह सिर्फ़ pivot पर नहीं, angle पर भी depend करता है। एक ही pivot पर 4 अलग turns middle को 4 अलग तरह से हिलाते हैं। उनकी squared shifts हैं 2, 4 बटा 5, 16 बटा 5 और 18 बटा 5.

4:18pivot को दूर ले जाने पर भी कुछ देर तक यही चलता है। एक quarter turn, pivot 7 दूर — तब भी 2 जगह मिलती हैं। देखो — pivot को 8 दूर कर दें, तो एक भी जगह नहीं बचती। सिर्फ़ एक pivot ऐसा है जिस पर middle बिल्कुल नहीं खिसकता। वह है middle खुद — और यही वजह है कि definition में उसी का नाम है। circle पर एक और तरह की motion भी चलती है — flip, यानी किसी line में पलटना।

4:47दिक़्क़त यह है कि turn और flip, दोनों के बाद circle एक जैसी दिखती है। तो शायद तुम सोच रहे हो कि इन्हें अलग कैसे बताएँगे। 'एक जैसी दिखती है' से यह तय नहीं होता कि कौन सी motion लगी थी। तो कोई ऐसा test चाहिए जो drawing न देखे। तो test यह है — motion को 2 बार लगाओ और देखो क्या होता है। एक flip हर बार अपने आप को उलट देता है।

5:12945 tests में से 945 में point ठीक अपनी जगह लौट आता है। turn ऐसा नहीं करता। देखो — उन्हीं 945 tests में से सिर्फ़ 35 में point लौटता है। और वे 35 वही हैं जहाँ turn कुछ करता ही नहीं। तो दोनों motions को अलग करने वाली बात है — 2 बार लगाने पर क्या होता है। 945 और 35 — यह फ़र्क़ किसी drawing से नहीं आया। अब कागज़ की एक गोल sheet काट लो।

5:43उसे ऐसे मोड़ो कि boundary boundary पर ही जा पड़े। फिर खोलकर crease को देखो। crease middle से होकर गुज़रती है। एक बार नहीं — जहाँ से भी मोड़ो, वहीं। इसे भी गिना गया है, सिर्फ़ मोड़कर नहीं देखा गया। middle से गुज़रने वाली 27 अलग creases लीं, और 27 की 27 पूरी boundary वापस ले आईं। सिर्फ़ सीधी खड़ी वाली नहीं — हर एक। देखो — हर crease boundary के 2 points को जोड़ती है।

6:13उन्हीं 2 points के बीच का हिस्सा एक chord है। और यह chord middle से होकर जाता है। middle से जाने वाले chord को diameter कहते हैं — तो हर ऐसी crease एक diameter है। पहली नज़र में लगता है कि कोई भी मोड़ चल जाएगा, तो एक ऐसी crease लेते हैं जो middle से न गुज़रे। देखो — मोड़ने पर दोनों halves मेल नहीं खाते, और एक तरफ़ कागज़ बचा रह जाता है।

6:38अब इसे देखने की जगह नापते हैं। middle से गुज़रने वाली crease पूरी boundary वापस ले आती है। यानी पलटी हुई circle और पहली circle एक ही हैं। जो crease middle से चूक जाती है, वह सिर्फ़ 2 points वापस लाती है। चूक कितनी भी छोटी हो — 1 बटा 100 unit दूर, 1 unit दूर, 3 units दूर, और 4.5 units दूर। यहाँ चारों बार जवाब वही है: 2, और उससे ज़्यादा कभी नहीं।

7:07crease को बिल्कुल किनारे पर रख दें तो 1 point वापस आता है। और किनारे से बाहर ले जाएँ तो एक भी नहीं। 2 points boundary नहीं है। इसलिए जो crease पूरी boundary वापस लाती है, उसे middle से गुज़रना ही पड़ेगा। मोड़ boundary पर कहीं से भी शुरू किया जा सकता है। इसलिए हर diameter एक axis है। बहुत से students सोचते हैं कि सिर्फ़ सीधी खड़ी और सीधी लेटी वाली ही axes हैं — यह तस्वीरों की आदत है, जिनमें axes अक्सर सीधे ही खींचे जाते हैं।

7:39जितनी directions हैं, उतने diameters हैं, और उतने ही axes. square के पास 4 थे; यहाँ गिनती ख़त्म ही नहीं होती। अब उल्टी ग़लती — कोई कह सकता है कि middle से गुज़रने वाली हर line एक diameter है। पर diameter एक chord है, और chord के दोनों सिरे circle पर होते हैं। line circle पर रुकती नहीं; वह दोनों तरफ़ चलती चली जाती है। इसे नापकर देखो। diameter की squared length 100 है।

8:10उसी line को दोनों सिरों से 1 unit आगे ले जाओ तो squared length 144 हो जाती है। तो line उस diameter से लंबी है जो उसके अंदर है। axis एक line है; diameter एक chord है — यह फ़र्क़ आगे काम आएगा। अब इन counts को polygons के सामने रखते हैं — यहाँ square, regular pentagon और regular hexagon खड़े हैं। अगर 'कुछ न घुमाना' को भी एक turn गिनें, तो square के 4 turns और 4 axes हैं।

8:41regular pentagon के 5 और 5, regular hexagon के 6 और 6. अगर 'कुछ न घुमाना' को न गिनें, तो turns हो जाते हैं 3, 4 और 5. axes फिर भी 4, 5 और 6 ही रहते हैं। गिनती बदल जाती है, इसलिए कौन सा convention चल रहा है, यह कहना ज़रूरी है। इस video में 'कुछ न घुमाना' नहीं गिना जा रहा। तो square के पास 3 turns हैं और 4 axes.

9:09sides बढ़ाते जाओ तो कुल symmetries बढ़ती जाती हैं। 4, 5, 6, 12 और 20 sides पर कुल symmetries हैं 8, 10, 12, 24 और 40. देखो — यह चढ़ाई कहीं रुकती नहीं। पर इनमें से कोई भी number circle का नहीं है। polygon की गिनती हमेशा ख़त्म होती है; circle की नहीं। यही वह gap है जिससे आगे के arguments को ताक़त मिलती है। अब chords की तरफ़ चलते हैं।

9:40circle पर जो 12 whole-number points हैं, उनके बीच के सारे chords लेते हैं। देखो — इनमें सबसे लंबे chord की squared length 100 निकलती है। यानी सबसे लंबा chord 10 है — distance का दुगुना। उतने लंबे chords ठीक 6 हैं। और वे 6 वही हैं जो middle से होकर जाते हैं। देखो — यहाँ, यहाँ, और बाक़ी चारों भी middle से गुज़रते हैं। यही वे chords हैं जिन्हें हमने crease कहा था।

10:09तो axis और सबसे लंबा chord एक ही चीज़ को 2 नामों से देखना है। यह इत्तेफ़ाक़ नहीं है। दोनों बातें उसी एक condition से निकली हैं, इसलिए उन्हें मिलना ही था। सबसे लंबा chord मिल गया। पहली नज़र में लगता है कि होना चाहिए — तो क्या सबसे छोटा chord भी होता है? chord को middle से दूर सरकाते जाओ। देखो — हर क़दम पर उसकी length घटती है: 8 क़दम, 8 बार घटी।

10:38एक बार भी बढ़ी नहीं। पर वह कभी शून्य तक पहुँचती नहीं। 9 में से 9 chords के पास अब भी एक length है। और फिर भी वह किसी भी size से नीचे चली जाती है — आख़िरी वाली एक millionth से भी कम है। असली बात यह है कि किसी भी chord से एक छोटा chord बनाया जा सकता है। उसकी distance और किनारे के बीच आधे रास्ते पर एक नया chord खींच लो।

11:0240 अलग distances पर यह चलाकर देखा गया — 40 की 40 बार नया chord छोटा निकला, और 40 की 40 बार उसकी length बची रही। तो सबसे छोटा chord है ही नहीं। और जो जवाब सबसे पहले मन में आता है — कि radius सबसे छोटा chord है — वह तो chord ही नहीं है, क्योंकि उसका एक सिरा middle पर है। पिछली बात को numbers के साथ देख लेते हैं।

11:28distance 5 वाली circle लेते हैं, और chord को middle से अलग-अलग दूरी पर रखते हैं। middle से 3 दूर रखा chord 8 लंबा है। 4 दूर रखा chord 6 लंबा है। देखो — जैसे-जैसे chord ऊपर जाता है, वह छोटा होता जाता है। अब किनारे के पास — 4.9 units दूर। squared length निकलती है 99 बटा 25, जो 4 से कम है। यानी chord की length 2 से भी कम रह जाती है।

11:57और middle पर रखा chord? उसकी squared length 100 है। वही diameter है, जो सबसे लंबा है। ये numbers यहाँ इसलिए रखे गए हैं कि पिछली बात दिख जाए। इन्हें निकालने का तरीक़ा अभी नहीं बताया जा रहा; अभी सिर्फ़ यह देखना है कि दूरी बढ़ने पर length घटती है। अब एक दूसरा locus, और उसके साथ एक चेतावनी। 2 points लेते हैं, एक-दूसरे से 4 दूर। सवाल यह है कि कौन से points दोनों से बराबर दूर खड़े हैं।

12:28इसे 289 whole-number points के एक grid पर चलाते हैं। जवाब है 17 points. 17 का मतलब यह है कि यह एक पूरी line है। बहुत से students यहाँ midpoint बोल देते हैं — midpoint उनमें से एक है, बस। इस line का नाम है perpendicular bisector — जो उस segment को बीच में, right angle पर काटती है। इसके हर point से दोनों तक distance बराबर है: 17 में से 17.

12:55यह वह आधा हिस्सा है जो आमतौर पर बताया जाता है। bisector पर हो, तो दोनों से बराबर दूर हो। पर क्या इतने से bisector उस condition का locus बन जाता है? नहीं — और यही इस सवाल का असली मतलब है। शायद तुम सोच रहे हो कि एक तरफ़ चल गया तो काम हो गया। यहाँ सिर्फ़ midpoint को ले लेते हैं। वह भी दोनों points से बराबर दूर है, यानी वह भी forward test pass कर लेता है।

13:23पर वह पूरा set नहीं है — इसलिए forward test अकेले किसी set को locus नहीं बनाता। तो दूसरी तरफ़ भी जाँचनी पड़ती है। bisector से बाहर के सारे points देखो — उनमें से एक भी दोनों से बराबर दूर नहीं है। बाक़ी सब में से 0. अब दोनों आधे साथ रखो। bisector का हर point pass करता है, और bisector के बाहर का कोई point pass नहीं करता। इसी से दोनों sets एक हो जाते हैं।

13:51'locus' शब्द यही माँगता है — दोनों तरफ़। condition से set, और set से condition। आख़िर में, यह सब किस काम आता है। symmetry बताती है कि क्या उम्मीद करनी है — 'अब figure को घुमा लो' कहने की इजाज़त यहीं से आती है। पर उम्मीद और सबूत एक चीज़ नहीं हैं। एक आख़िरी चेतावनी, sample के बारे में। middle से 2.5 units दूर रखी एक crease circle को सच में 2 जगह काटती है।

14:19यह exact जवाब है। पर उन 12 whole-number points में से एक भी उस crease के बाद वापस नहीं आता। यानी whole-number sample कहेगा: 0. यह sample यहाँ ग़लत है, और चुपचाप ग़लत है। अब वही crease 3 दूर रख दें। अब sample 2 points पकड़ लेता है, और exact जवाब भी 2 है। देखो — एक ही sample, एक जगह सही और एक जगह ग़लत। इसीलिए इस video में हर गिनती exact numbers पर की गई है, नापकर नहीं।

14:51symmetry ने बताया कि क्या उम्मीद करें, और condition ने बताया कि क्यों। circle की symmetry कोई सजावट नहीं है; वह उसी एक condition से निकली हुई है।