rational expression को सरल करना, और वह factor जिसे काटना नहीं है

0:00यहाँ एक fraction है, जिसमें numbers की जगह letters हैं। ऊपर वाले को numerator कहते हैं और नीचे वाले को denominator. यहाँ numerator है x squared minus 7 x plus 12, और denominator है 5 x squared plus 5 x minus 100. सवाल के साथ एक शर्त भी आई है, और वह काम शुरू होने से पहले ही लिखी हुई है। शर्त यह है कि denominator 0 नहीं है। पहली नज़र में यह छोटी-सी line लगती है।

0:29simplify का मतलब यह है कि जो factor numerator और denominator, दोनों में है, उसे हटाया जाए। पर हटाने का असली मतलब क्या है? उससे numerator और denominator, दोनों को भाग देना। और 0 से भाग देना allowed नहीं है। इसलिए वह छोटी-सी line सिर्फ़ औपचारिकता नहीं है, वह आगे की हर line की licence है। यही पूरा video है, और यह इस्तेमाल होने से पहले लिख दिया गया है।

0:57पहले numerator को factorise करते हैं। x squared minus 7 x plus 12 में middle term को split करना है। यानी 2 ऐसे numbers चाहिए जिनका sum minus 7 हो और product 12. यह searcher हर integer pair देखता है, इसलिए वह ख़ाली भी लौट सकता है। यहाँ उसे ठीक एक pair मिलता है: minus 3 और minus 4. sum minus 7, product 12 — दोनों शर्तें पूरी। तो numerator x minus 3, times x minus 4 है।

1:29इसे वापस multiply करके देखो। term दर term वही expression लौट आता है। जो factorisation जाँची न गई हो, वह अंदाज़ा है। इसलिए हर factorisation को वापस multiply करके जाँचेंगे। अब denominator: 5 x squared plus 5 x minus 100. इसके हर term में 5 है। इसलिए पहले 5 बाहर निकाल लेते हैं। अंदर बचता है x squared plus x minus 20. अब sum 1 और product minus 20 वाले 2 numbers चाहिए।

2:04फिर ठीक एक pair मिलता है: 5 और minus 4. तो denominator 5, times x minus 4, times x plus 5 है। और इसे भी multiply करके जाँच लिया गया है। 5 बाहर निकालना ज़रूरी नहीं था, बस सस्ता था। 5 गुना minus 100, यानी minus 500, को 25 और minus 20 में split करो, तो वही denominator आता है। term दर term वही, सिर्फ़ मेहनत ज़्यादा। अब numerator के brackets और denominator के brackets साथ-साथ रखकर देखो।

2:38numerator में x minus 3 और x minus 4 हैं। denominator में 5, x minus 4 और x plus 5 हैं। दोनों lists में common सिर्फ़ एक चीज़ है: x minus 4. वह numerator में भी है और denominator में भी, इसलिए उसे हटाने का मन करता है। पहली नज़र में लगता है कि हाँ, यह तो सीधी बात है। तो क्या उस bracket को हटाया जा सकता है? हटाना यानी numerator और denominator, दोनों को उसी bracket से भाग देना।

3:11और अभी ऐसा कुछ लिखा नहीं है जो कहे कि वह bracket 0 नहीं है। इसलिए जवाब अभी नहीं दिया जा सकता। वह line पहले से मौजूद है। denominator 0 नहीं है — यही शर्त सवाल के साथ आई थी। उसे छोटे print से उठाकर बीच में ले आते हैं। यह शर्त पहला bracket लिखे जाने से पहले की है। तो यह हमारे काम का नतीजा है, या हमारे काम की शुरुआत?

3:37यह नतीजा नहीं है, यह licence है। अब यह आगे की सारी lines के दौरान screen पर बनी रहेगी। जहाँ भी कुछ हटाया जाएगा, यह line साथ मौजूद होगी। denominator अब 3 चीज़ों का product है: 5, x minus 4, और x plus 5. और हमें पता है कि यह पूरा product 0 नहीं है। अगर 3 चीज़ों का product 0 नहीं है, तो उनमें से कोई अकेली 0 हो सकती है क्या?

4:04नहीं, क्योंकि एक भी 0 होती तो पूरा product 0 हो जाता। इसलिए x minus 4 भी 0 नहीं है, और x plus 5 भी नहीं। अब वह bracket हटाया जा सकता है, और यही उसकी licence है। numerator में बचता है x minus 3, और denominator में 5 times x plus 5. यहाँ लग सकता है कि यह arrow उल्टा भी चलेगा। पर उल्टा पढ़ने पर वह बेकार है: किसी एक factor का 0 न होना पूरे product के बारे में कुछ नहीं कहता।

4:35x बराबर minus 5 पर x minus 4 बिलकुल 0 नहीं है, फिर भी पूरा denominator 0 है। अब वह बात जो अक्सर छूट जाती है। simplify करने के बाद जो expression मिला, क्या वह पहले वाला ही है? नहीं, वह एक अलग object है। पहले वाले की 2 values पर कोई value ही नहीं है: x बराबर 4 और x बराबर minus 5. क्योंकि इन्हीं पर उसका denominator 0 हो जाता है।

5:02नया expression सिर्फ़ एक value पर रुकता है: x बराबर minus 5. x बराबर 4 पर वह चलता है, और उसकी value एक बटा 45 है। दोनों number lines एक के नीचे एक रखी हैं। जहाँ भी पहले वाले की value है, वहाँ दोनों बराबर हैं। और जो extra value है, वह सिर्फ़ एक line पर दिखती है। यही वह चीज़ है जिसे सवाल की शर्त बचा रही थी। शर्त उन values को बाहर रख रही थी जहाँ पहला expression कुछ कहता ही नहीं।

5:33अब वह ग़लती जो सबसे ज़्यादा होती है। numerator में x squared है और denominator में भी x squared वाला term है, तो बहुत से students दोनों को काट देते हैं। पर क्या x squared यहाँ किसी का factor है? नहीं, वह तो sum का एक term है, और term काटे नहीं जाते। सिर्फ़ factors हटते हैं, इसलिए यह move मना है। काटकर देखो तो value बदल जाती है। x बराबर 1 पर असली expression minus एक बटा 15 है।

6:03और काटा हुआ version वहाँ कुछ और ही देता है। पूरी range में काटा हुआ version ठीक एक जगह सही निकलता है। और वह जगह x बराबर 0 है, यानी वहीं जहाँ जो x squared काटा गया था, वह ख़ुद 0 था। एक जगह मिल जाना सही होने का सबूत नहीं है। अब एक छोटा-सा step, जिस पर आगे के 2 items टिके हैं। 6 s minus t और t minus 6 s — पहली नज़र में ये एक जैसे लगते हैं, पर ये 2 अलग brackets हैं।

6:34अब दोनों का square करके देखो। दोनों squares बिलकुल एक ही expression हैं। क्योंकि square करने पर बाहर वाला minus ख़त्म हो जाता है। card पर दोनों साथ रखे हैं: ऊपर brackets अलग, नीचे squares बराबर। accountant बता देता है कि बाहर वाला minus कौन उठाए हुए है। यह step कहीं लिखा हुआ नहीं मिलता, और यहीं marks जाते हैं। आगे के 2 items में यही एक step पूरा फ़र्क़ डालता है।

7:01अब वह item: numerator है 36 s squared minus 12 s t plus t squared, और denominator है t squared plus 2 t s minus 48 s squared. numerator 6 s minus t, squared है। denominator में 2 letters हैं, तो उसे किसमें quadratic मानें? उसी letter में जिसका square है, यानी t में: sum 2 और product minus 48 वाले numbers 8 और minus 6 हैं। तो denominator t plus 8 s, times t minus 6 s है।

7:36अब वही step: numerator का square 6 s minus t का है, पर वही square t minus 6 s का भी है। इसलिए एक copy denominator से मिल जाती है और चली जाती है। बचता है t minus 6 s over t plus 8 s. grid पर जाँच: cancelling के बाद 4 pairs को value मिल जाती है। और बाक़ी कहीं कोई value बदलती नहीं है। अब एक item जो simplify होता ही नहीं।

8:06numerator है 3 p squared minus 3 p q minus 18 q squared, और denominator है p squared plus 3 p q minus 10 q squared. numerator 3, times p minus 3 q, times p plus 2 q है। denominator p plus 5 q, times p minus 2 q है। दोनों lists में common कुछ भी नहीं है। तो क्या कहीं ग़लती हुई है? नहीं — यह item जैसा है वैसा simplify होता ही नहीं, और यह allowed है।

8:39नियम ख़ुद कहता है कि पहले कोई common factor होना चाहिए, तभी हटाने की बात आती है। सिर्फ़ एक sign बदलने से यह item 2 अलग तरीक़ों से ठीक हो जाता है। numerator का बीच वाला sign plus कर दें, तो वह 3, times p plus 3 q, times p minus 2 q बन जाता है और एक bracket मिल जाता है। denominator का बीच वाला sign minus कर दें, तो वह p minus 5 q, times p plus 2 q बन जाता है और दूसरा bracket मिलता है।

9:08दोनों repairs अलग-अलग जवाब देते हैं। इसलिए यह तय नहीं किया जा सकता कि इनमें से कौन-सा सही था। अगला item: numerator है n cubed minus 3 n squared m plus 3 n m squared minus m cubed. यह n minus m, all cubed है। denominator 5 m squared minus 10 m n plus 5 n squared है। इसमें से 5 बाहर आता है और बचता है m minus n, squared.

9:39denominator का bracket उल्टा लिखा है, तो क्या यह अलग चीज़ है? नहीं — m minus n का square, n minus m के square के बराबर है। इसलिए denominator 5 times n minus m, squared भी है। numerator में वह bracket 3 बार है और denominator में 2 बार। इसलिए 2 copies चली जाती हैं और एक बची रह जाती है। जवाब है n minus m, over 5. अगला item: numerator है 4 y squared minus 20 y z plus 25 z squared, और denominator है 25 z squared minus 4 y squared.

10:19numerator 2 y minus 5 z, squared है। denominator difference of squares है, पर वह उल्टा लिखा हुआ लगता है। पहली नज़र में यही अटकाता है, क्योंकि 25 z squared पहले लिखा है। वह 5 z minus 2 y, times 5 z plus 2 y है। अब वही sign वाला step, तीसरी बार। 2 y minus 5 z का square, 5 z minus 2 y के square के बराबर है।

10:48इसलिए numerator में एक copy 5 z minus 2 y की है, और वह denominator से मिल जाती है। एक copy चली जाती है और एक numerator में बची रह जाती है। बचता है 5 z minus 2 y over 5 z plus 2 y. अब वह item जो इस पूरे topic की सबसे अच्छी वजह है। numerator है w cubed minus v cubed plus x cubed plus 3 w v x.

11:18बीच वाला term plus है, तो यह वह identity कैसे हो सकती है? middle slot में minus v रखकर पढ़ो, और तब यह ठीक a cubed plus b cubed plus c cubed minus 3 a b c है। इसलिए numerator w minus v plus x, times दूसरा bracket है। denominator w squared plus v squared plus x squared minus 2 w v minus 2 v x plus 2 w x है।

11:48यह उसी पहले bracket का square है, पूरे 6 terms. तो एक copy चली जाती है और दूसरा bracket, पहले bracket के numerator में बचा रह जाता है। यहाँ cubic identity और 3-term square, दोनों एक साथ चाहिए। इसीलिए यह item इस topic की सबसे अच्छी वजह है। अब वह item जो पूरा कटकर 1 रह जाता है। numerator 2 quadratics का product है, और denominator भी 2 quadratics का product.

12:17चारों को factorise करो, तो numerator और denominator में बिलकुल वही 4 brackets निकलते हैं। यानी दोनों एक ही expression हैं, तो क्या जवाब हमेशा 1 है? जहाँ भी उसकी कोई value है, वहाँ जवाब 1 है। पर 4 whole numbers पर उसकी कोई value है ही नहीं: minus 3, 2, 3 और 4. हर एक के पास वह bracket लिखा है जिसने उसे मारा। और उन चारों पर numerator भी 0 है।

12:45यानी चारों जगह 0 बटा 0 है, एक ही तरह की failure, 2 तरह की नहीं। सोच सकते हो कि जो expression simplify होकर 1 बनता है, वह 1 ही है। पर बराबरी सिर्फ़ वहीं होती है जहाँ दोनों sides की कोई value हो। अब उल्टा case. numerator है p to the fourth power minus 16, और denominator है p squared minus 4 p plus 4. numerator difference of squares है, 2 बार।

13:14पहले p squared minus 4, times p squared plus 4. और फिर p minus 2, times p plus 2, times p squared plus 4. denominator p minus 2, squared है, तो कितनी copies कटेंगी? एक copy चली जाती है, पर एक p minus 2 denominator में बची रह जाती है। इसलिए p बराबर 2 पहले भी मना था और बाद में भी मना है। पहली नज़र में लगता है कि cancel होते ही वह value वापस मिल जाती है।

13:43worked example में मिली थी, यहाँ नहीं मिली। तो नियम यह नहीं है कि cancelling हमेशा value लौटा देती है। नियम यह है कि original ने जो values मना की थीं, वे original के लिए मना ही रहती हैं। अब आख़िरी item: numerator है 9 times 3 a cubed minus 24 b cubed, और denominator है 9 a squared minus 36 b squared. पहली नज़र में यहाँ कोई identity दिखती ही नहीं।

14:11तो पहले करें क्या? numerator से 9 गुना 3 यानी 27 बाहर निकालो, और बचता है a cubed minus 8 b cubed; denominator से 9 निकालो, और बचता है a squared minus 4 b squared. अब दोनों identities दिखने लगती हैं। a cubed minus 8 b cubed, यानी a minus 2 b, times a squared plus 2 a b plus 4 b squared. और a squared minus 4 b squared, यानी a minus 2 b, times a plus 2 b.

14:43common bracket a minus 2 b है। वह bracket हट जाता है, और 27 बटा 9 यानी 3 बचता है। जवाब में ऊपर 3 times a squared plus 2 a b plus 4 b squared आता है, और नीचे a plus 2 b. इसलिए numbers पहले बाहर निकालना यहाँ शौक़ नहीं, ज़रूरत थी। आख़िर में एक सवाल बचता है। यह सारा काम सबसे बाद में क्यों आता है? अब तक 8 identities बनी थीं।

15:14और उनमें से हर एक इन्हीं quotients में से किसी न किसी में लौट आती है। map पर हर arrow एक witness है। expression को 2 बार बनाया गया: एक बार जैसा item में लिखा है, और एक बार जैसा identity कहती है। arrow तभी खिंचा जब engine ने दोनों को बराबर पाया। आठों identities इस्तेमाल होती हैं, और वे 7 अलग items में फैली हैं। इसलिए कोई एक item अकेला यह दावा नहीं उठा रहा।

15:40और जो नियम हमने बनाया, उसकी दोनों शर्तें काम कर रही हैं। 6 items में से 5 में common bracket है और एक में नहीं। और जहाँ है, वहाँ भी वह 0 न हो, तभी हट सकता है। तो अंत में वही बात, जो अब कमाई हुई है। cancelling भाग देना है। और जिस line को skip करने का मन करता है, वही वह line है जो भाग देने की इजाज़त देती है।