तीन points जो एक line में नहीं: ठीक एक circle (Theorem 1)

0:00board पर 2 points हैं — A और B. इन दोनों से होकर एक circle जाता है, और एक और, और एक और भी। उनके centres एक पूरी line भर देते हैं। इसलिए जवाब कोई गिनती नहीं थी — जवाब एक line थी। अब यहाँ एक तीसरा point रख लेते हैं — C. और वही सवाल दोबारा पूछते हैं। इन 3 points से होकर कितने circles जाते हैं? जवाब circles के बारे में नहीं है।

0:28एक और point का मतलब है centre पर एक और शर्त, और एक और शर्त का मतलब है एक और line. पूरा सवाल इसी बात पर टिका है कि 2 lines आपस में क्या करती हैं। पहली नज़र में लगता है कि किन्हीं भी 3 points से कोई न कोई circle गुज़र ही जाएगा। इसलिए theorem से पहले वह case देखते हैं जिसमें कुछ बनता ही नहीं। यही case बताता है कि theorem की शर्त असल में करती क्या है।

0:55यहाँ 3 points एक ही सीधी line पर रख लेते हैं। क्या इन तीनों से होकर कोई circle जा सकता है? अगर ऐसा circle होता, तो उसका centre तीनों से बराबर दूर होता। तो सवाल circle का नहीं रहा — सवाल ऐसे एक point का है। यहाँ 441 whole-number points का एक block लेते हैं, और हर एक पर यह शर्त check करते हैं। हर point की तीनों तक की दूरियाँ नापी गईं।

1:22एक भी नहीं मिला। 441 में से 0. यह कोई कमज़ोर सबूत नहीं है — यह पूरी search है, और वह खाली लौटी है। search खाली क्यों लौटी? बहुत से students सोच रहे होंगे कि circle इतना बड़ा हो जाता है कि बनता ही नहीं। वह एक तस्वीर है, वजह नहीं। पहले जोड़े से बराबर दूर रहने वाले points एक line बनाते हैं। वह line यहाँ खींची है, board के किनारे तक।

1:51दूसरे जोड़े के लिए भी वैसी ही एक line बनती है। centre को इन दोनों lines पर एक साथ होना पड़ेगा। दोनों lines की direction एक ही है — direction test ठीक 0 आता है। और board पर गैप 2 अलग-अलग जगहों पर नापा गया है, दोनों बार बराबर। पर ये एक ही line नहीं हैं। एक ही direction और अलग-अलग lines — इनके पास साथ-साथ चलते रहने के सिवा कुछ बचा ही नहीं।

2:17कोई crossing नहीं, तो कोई centre नहीं। और कोई centre नहीं, तो कोई circle नहीं। यही वह वजह है जो तस्वीर नहीं दे पाती। यही बात एक और तरह से भी कही जाती है। उधर से देखने पर वह बिल्कुल अलग सुनाई देती है। यहाँ squared radius 25 वाले एक circle पर whole-number points मार्क करते हैं। ऐसे ठीक 12 points मिलते हैं। इन 12 में से 3-3 के सारे जोड़ बनते हैं — कुल 220.

2:46हर एक जोड़ पर check किया गया कि वे एक line में तो नहीं। 220 में से 0. अब उल्टा सवाल — इनमें से कोई एक line ज़्यादा से ज़्यादा कितने points उठा सकती है? जवाब वही है: ज़्यादा से ज़्यादा 2. एक line पर रखे 3 points से कोई circle नहीं जाता। और एक line किसी circle को 2 से ज़्यादा जगह नहीं काटती। ये 2 वाक्य एक ही बात हैं।

3:13अब एक ज़्यादा सख़्त सवाल। क्या lines के न मिलने वाली बात और points के एक line में होने वाली बात सचमुच एक ही test हैं? यहाँ 7 by 7 का एक lattice लेते हैं — उसमें 49 points हैं। इन 49 में से 3-3 चुनने के 18424 तरीक़े हैं, और हर एक तरीक़े पर test चलाया गया। ऊपर की गिनती कहती है कि इनमें से 824 triples एक line में बैठते हैं।

3:40बाक़ी 17600 नहीं बैठते। हर triple पर 2 बातें अलग-अलग निकाली गईं — bisectors मिलते हैं या नहीं, और points एक line में हैं या नहीं। जहाँ ये 2 जवाब अलग निकलें, ऐसा एक भी triple नहीं मिला। और बात इससे भी सख़्त है। bisectors का determinant उस triangle के signed area का ठीक 8 गुना है — हर triple पर, बिना किसी exception के। इसलिए यह साथ-साथ 0 हो जाने वाला इत्तेफ़ाक़ नहीं है — यह एक ही चीज़ है।

4:11अब वह बात, जो इस video का theorem है — यहाँ पूरी लिख देते हैं। एक line में न बैठे हुए 3 points से होकर एक circle जाता है, और सिर्फ़ एक। इस एक वाक्य में असल में कितने दावे हैं? 2 अलग दावे, और पहला यह है कि ऐसा एक circle होता है। नीचे वाला दूसरा दावा यह है कि उसके अलावा कोई और circle नहीं है। ये 2 अलग बातें हैं, और इन्हें अलग-अलग साबित करना पड़ता है।

4:38पहली नज़र में लगता है कि इन 2 दावों के लिए 2 अलग दलीलें चाहिए। पर दोनों दावे एक ही चीज़ से निकलते हैं — 2 lines के एक crossing point से। इसलिए दूसरे दावे के लिए कोई नई मेहनत नहीं करनी पड़ती। एक सवाल जो अक्सर छूट जाता है। 2 points से बराबर दूर रहने वाले points एक line ही क्यों बनाते हैं, कोई curve क्यों नहीं? शर्त यह है कि एक तरफ़ की squared distance दूसरी तरफ़ की squared distance के बराबर हो।

5:08दोनों को खोलकर एक के नीचे एक लिख लेते हैं। दोनों तरफ़ एक term बिल्कुल एक जैसा है — वह जो सिर्फ़ उसी unknown point पर निर्भर करता है। वह कट जाता है। जो बचता है उसमें कोई square बचा ही नहीं। वह एक linear equation है, और linear equation की तस्वीर एक line होती है। बहुत से students इसे सिर्फ़ drawing देखकर मान लेते हैं। पर यह line इसलिए नहीं है कि drawing में सीधी दिखती है।

5:34वह इसलिए line है कि वह term कट गया। अब वही 3 points, पर इस बार एक line में नहीं। centre पर अब कितनी शर्तें लगती हैं? पहली शर्त — centre पहले 2 points से बराबर दूर हो। इससे centre एक line पर आ जाता है। दूसरी शर्त — centre एक और जोड़े से भी बराबर दूर हो। इससे centre एक दूसरी line पर आ जाता है। यहाँ दोनों शर्तें एक साथ माननी हैं, तो centre को दोनों lines पर होना है।

6:05और दोनों lines पर होने का मतलब ही है crossing point पर होना। ध्यान रहे, यहाँ तक circle का इस्तेमाल एक बार भी नहीं हुआ। अभी तक सिर्फ़ 2 शर्तें हैं और 2 lines हैं। crossing मिल गया, पर यह अभी दावा है। क्या वह सचमुच तीनों corners से बराबर दूर है? यहाँ उसी lattice के 17600 triples लेते हैं जो एक line में नहीं थे। हर एक के पहले 2 bisectors काटे गए, और crossing की तीनों corners तक की दूरियाँ नापी गईं।

6:36एक भी fail नहीं हुआ। 17600 में से 0 triples पर यह बात टूटी। तीसरा corner उस दूरी पर अपने आप आ गया, हालाँकि उसे कहीं माँगा नहीं गया था। तो crossing एक असली centre है। वहाँ compass रखकर एक corner तक खोलिए, और बाक़ी 2 corners अपने आप circle पर आ जाते हैं। पहला दावा पूरा हुआ। 3 जोड़े थे, पर हमने सिर्फ़ 2 bisectors इस्तेमाल किए — तीसरा कहाँ गया?

7:05तीसरा bisector किसी step में माँगा नहीं गया था। उसे भी यहाँ खींच देते हैं। वह उसी crossing से होकर जाता है। और यह सिर्फ़ इस drawing की बात नहीं — उन्हीं 17600 triangles पर check किया गया, और एक बार भी वह चूका नहीं। आप किन 2 bisectors से शुरू करते हैं, इससे भी फ़र्क़ नहीं पड़ता। तीनों चुनाव एक ही point पर पहुँचते हैं, हर triangle पर। बहुत से students यहाँ 3 अलग शर्तें गिनते हैं।

7:32पर 2 शर्तें इसलिए काफ़ी थीं कि तीसरी शर्त कभी अलग थी ही नहीं। अगर एक point पहले और दूसरे से बराबर दूर है, और पहले और तीसरे से भी, तो वह दूसरे और तीसरे से अपने आप बराबर दूर है। अब दूसरा दावा — कि इसके अलावा कोई और circle नहीं है। बहुत से students को लगता है कि इसके लिए एक नई दलील चाहिए। क्या सचमुच एक नई दलील चाहिए?

7:57नहीं चाहिए — यहाँ 2 lines जो parallel नहीं हैं, ठीक एक जगह मिलती हैं, एक बार और न 2 बार। तो candidate centre सिर्फ़ एक है। और centre तय होते ही radius भी तय हो जाता है, क्योंकि circle को उसी corner तक पहुँचना है। यहाँ एक triangle पर यह पूरी search करके देखी गई। तीनों corners से बराबर दूर रहने वाला ठीक एक point मिला — न 2, न 0.

8:23फिर यही search 44 अलग-अलग triangles पर चलाई गई। कहीं भी 2 points नहीं मिले — ज़्यादा से ज़्यादा 1. और कुछ जगह 0 मिला, क्योंकि उन triangles का crossing ख़ुद whole-number point नहीं था। इन चीज़ों को कहते क्या हैं? एक line में न बैठे हुए 3 points असल में एक triangle के corners हैं। और जो circle यहाँ उनसे होकर जाता है, उसके अपने नाम हैं। यहाँ बीच वाले point को, यानी उस circle के centre को, circumcentre कहते हैं।

8:55वह triangle का वही point है जो तीनों corners से बराबर दूर है। circle को ख़ुद circumcircle कहते हैं। triangle के तीनों corners उसी पर बैठते हैं। circle triangle को circumscribe करता है। और triangle उस circle में inscribed है। एक ही तस्वीर के लिए 4 नाम, और हर नाम उसके एक अलग हिस्से का है। एक ग़लतफ़हमी यहीं रोक देनी चाहिए। यह triangle का centre नहीं है। triangle के कई centres होते हैं, और यह वाला सिर्फ़ इस बात से बनता है कि वह तीनों corners से बराबर दूर है — इसीलिए वह triangle के बाहर भी जा सकता है।

9:33इस theorem की लगभग हर drawing में centre triangle के अंदर होता है। इसीलिए बहुत से students को लगता है कि वह हमेशा अंदर ही रहता है। तो क्या centre हमेशा अंदर ही होता है? यहाँ drawing पर भरोसा करने के बजाय गिनती की गई है। उन्हीं 17600 triangles में से हर एक की shape और centre की जगह, दोनों नापी गईं। यहाँ पहले panel में — जिन triangles के सारे angles acute हैं, उनमें centre अंदर रहता है।

10:02जिनमें एक right angle है, उनमें centre triangle की boundary पर बैठता है। और जिनमें एक obtuse angle है, उनमें centre triangle के बाहर चला जाता है। इसका एक सीधा फ़ायदा है — drawing से पहले ही बताया जा सकता है कि centre कहाँ गिरेगा। अगर 2 angles 70 और 60 दिए हैं, तो तीसरा 50 है, तीनों में सबसे बड़ा भी 90 से कम है, और centre अंदर आएगा।

10:28और अगर एक angle 100 है, तो बाक़ी 2 के पास कुल 80 ही बचते हैं, इसलिए उनमें से कोई 90 तक पहुँच ही नहीं सकता — वही 100 सबसे बड़ा है, triangle obtuse है, और centre बाहर जाएगा। shape और जगह के मिलाकर सिर्फ़ 3 combinations कहीं भी दिखे। चौथा combination एक बार भी नहीं आया — 17600 में से एक बार भी नहीं। और यह check भी किया गया कि corners को उल्टे क्रम में लिखने से जवाब बदलता है या नहीं, और वह नहीं बदलता।

10:58तो इन 3 में से आम case कौन सा है? drawings को देखकर लगता है कि acute वाला case आम होगा। गिनती कुछ और कहती है। यहाँ 17600 triangles में से 3880 acute हैं। 10760 obtuse हैं। और 2960 में एक right angle है। ऊपर वाला acute case, यानी वही जो हर drawing में होता है, obtuse वाले से आधे से भी कम है। और सबसे कम right angle वाला case है।

11:29इसका मतलब यह नहीं कि theorem कमज़ोर है। मतलब यह है कि तस्वीर एक sample नहीं होती — वह एक चुना हुआ case होती है। बहुत से students यहीं रुक जाते हैं कि centre boundary पर है। पर boundary पर कहाँ? यह बात उससे कहीं ज़्यादा सख़्त है। वह यहाँ सबसे लंबी side का midpoint है। और यह इस एक drawing की बात नहीं है — lattice के हर right angle वाले triangle पर यही निकला।

11:57इसलिए radius उसी side का आधा है। squared radius का 4 गुना उस side के square के बराबर आता है, हर बार। यहाँ इस lattice के सारे right angle वाले triangles पर ये दोनों बातें check की गईं। exception 0. आगे चलकर यही बात दूसरी तरफ़ से आती है — किसी circle के आधे हिस्से पर खड़ा angle हमेशा right angle होता है। वह और यह, एक ही बात के 2 चेहरे हैं।

12:26radius निकालने के 2 अलग रास्ते हैं। एक coordinates से चलता है, दूसरा सिर्फ़ 3 side lengths से। 4000 triangles पर दोनों रास्ते चलाए गए। 4000 में से 4000 बार जवाब एक ही निकला, हालाँकि दोनों में एक line भी साझा नहीं है। यहाँ sides 6, 7 और 7 लेते हैं। squared radius निकलता है 2401 बटा 160. इससे radius 3.87 और 3.88 के बीच आ जाता है। और यह बात squares की तुलना से तय हुई है — square root एक बार भी नहीं लिया गया।

13:03अगर तीसरा point उसी line के क़रीब आता जाए तो क्या होता है? अब नीचे उसे धीरे-धीरे उसी line की तरफ़ सरकाते हैं, 40 steps में। हर एक step पर radius बढ़ा — 40 में से 40 बार। चालीसवें step तक squared radius 400 के पार चला जाता है, और centre board से बाहर निकल जाता है। और जिस पल वह point line पर आकर बैठता है, crossing ग़ायब हो जाता है।

13:30इसलिए यह कहना ग़लत है कि radius बहुत बड़ा हो जाता है — वह रहता ही नहीं। आख़िर में उल्टा सवाल। अगर 3 points एक circle तय करते हैं, तो क्या एक circle भी एक ही triangle तय करता है? यहाँ triangle को centre के चारों तरफ़ घुमा देते हैं। तीनों corners circle पर ही रहते हैं। 33 अलग-अलग turns लिए गए। 33 अलग triangles मिले, सब एक जैसे नाप के, और सब turns — कोई flip नहीं।

14:01इन सबके कुल 99 corners में से 99 circle पर हैं, और 0 बाहर। फिर turns की list चौड़ी कर दी गई — 191 turns. 191 अलग triangles मिले, और 573 corners में से 573 उसी circle पर। गिनती turns के साथ-साथ बढ़ती है, इसलिए यहाँ कोई सबसे बड़ी गिनती है ही नहीं। तो एक circle एक triangle तय नहीं करता। theorem ने यह कहा भी नहीं था। उसने कहा था कि एक line में न बैठे 3 points एक circle तय करते हैं — और वह दूसरी दिशा है।