दो points: अनगिनत circles, और centres लंब समद्विभाजक पर

0:00मान लो board पर 2 points लगे हैं — A और B. अब इन दोनों से होकर जाने वाला एक circle खींचते हैं। पर यह इकलौता नहीं है। इन्हीं 2 points से होकर एक और circle बनता है, और एक और भी। तो सवाल यह है — इन 2 points से होकर कितने circles जा सकते हैं? curves को एक-एक करके गिनना बेकार रास्ता है। हर नया circle पिछले जैसा ही दिखता है, और कहीं रुकने का कोई इशारा नहीं मिलता।

0:29एक circle पूरी तरह तय हो जाता है जिस पल उसका centre तय हो जाता है, क्योंकि radius तो A तक की distance से खुद निकल आता है। तो circles गिनने का सवाल असल में centres गिनने का सवाल है। और इस बदलाव में कुछ खोता नहीं है। किसी भी जगह एक candidate centre रख देते हैं, इसे O कह लेते हैं। अब board पर O से A तक और O से B तक की distances नाप लो।

0:56O वाला circle A से भी गुज़रेगा और B से भी, तब और सिर्फ़ तब, जब ये 2 distances बराबर हों। यही पूरी condition है — एक ही requirement, कोई दूसरी clause नहीं। देखो — अब एक ऐसा O लो जिसकी 2 distances बराबर नहीं हैं। जो circle A तक पहुँचता है वह B तक नहीं पहुँचता, और board उस कमी को नापकर दिखाता है। ध्यान दो कि radius अलग से चुनना नहीं पड़ता।

1:22centre चुनते ही radius खुद तय हो जाता है, इसलिए centre ही पूरी जानकारी है। तो असली सवाल यह हो गया कि कितने points A और B से equidistant हैं। बाक़ी पूरा video इसी एक सवाल का जवाब है। जवाब निकालने से पहले, बिना किसी line का नाम लिए, सीधे गिन लेते हैं। board पर एक lattice लेते हैं जिसमें 441 points हैं, और हर एक को एक candidate centre मानते हैं।

1:50हर एक point को वह radius देते हैं जो A तक पहुँचे। 441 में से 441 ऐसा कर लेते हैं, तो A तक पहुँचना अकेले में कोई शर्त ही नहीं है। इनमें से कितने उसी radius पर B तक भी पहुँचते हैं? जवाब है 21. lattice के 441 points में से सिर्फ़ 21 बचते हैं, और बाक़ी सब grey रह जाते हैं। ये 21 अलग-अलग circles हैं — कोई 2 एक ही centre पर नहीं बैठते, और कोई 2 एक ही circle नहीं हैं।

2:21तो circles और centres one for one चलते हैं: 21 और 21. ध्यान दो कि अब तक किसी bisector का नाम तक नहीं लिया गया। यह गिनती अपने आप में पूरी है, और बाद में इसी से मिलान किया जाएगा। यहाँ एक बहुत natural guess आता है — कि radius बता देने से circle तय हो जाता है। इसे test कर लेते हैं। 21 circles के पास सिर्फ़ 11 अलग radii हैं।

2:48तो guess ग़लत है — radius circle को pin नहीं करता। वजह mirror है: segment के ऊपर वाला centre और उसका नीचे वाला mirror image, दोनों की radius एक ही होती है। इसलिए 11 में से 1 radius अकेले एक circle का है, और बाक़ी 10 में से हर एक 2 circles का। इससे एक और सवाल का जवाब निकल आता है। 2 points के साथ radius भी बता देते हैं, तो ऐसे circles 2 होते हैं, या सबसे छोटे पर 1, या उससे नीचे 0.

3:18squared radius 4 पर 0 circles, 9 पर 1, और 25 पर 2. यह तीनों cases गिने गए हैं, मान नहीं लिए गए। सबसे पहले जो centre हर कोई ढूँढ लेता है, वह segment का midpoint है। यहाँ A और B की दूरी 6 है, तो midpoint दोनों से 3 दूर है। उस midpoint को centre मानकर radius 3 का circle खींचो। यह A से भी गुज़रता है और B से भी, क्योंकि दोनों distances बराबर हैं।

3:49देखो — A, midpoint और B एक ही straight line पर हैं, और बराबर spaced हैं। squared में दोनों halves 9 और 9 निकलते हैं। इसका मतलब है कि A से B तक वाला segment इस circle का diameter है। squared में पूरा segment 36 है, और radius का 2 गुना भी 36 — diameter होने की यही definition है। यह पहला circle है जो मिलता है, और बहुत students यहीं रुक जाते हैं।

4:16पर 1 मिल जाना यह नहीं बताता कि कुल कितने हैं। उन 21 circles में सबसे छोटी squared radius 9 है। यानी सबसे छोटा radius 3, जो A और B की दूरी का आधा है। अब यही बात एक और तरह से लिखते हैं: सबसे छोटी squared radius का 4 गुना 36 है। और 36 A से B की squared distance है — यही वह sentence है कि सबसे छोटा radius दोनों points की आधी दूरी है।

4:47कोई कह सकता है कि whole numbers के बीच में कहीं इससे छोटा radius छुपा हो सकता है। 801 heights पर, एक-एक quarter के फ़ासले पर, सबसे छोटी squared radius फिर भी 9 ही निकलती है। और उससे नीचे तो कुछ possible ही नहीं है। radius 1 या 2 के लिए height को square करने पर negative आना पड़ेगा, जो होता नहीं। तो 2 points से गुज़रने वाले circle का सबसे छोटा possible radius उनकी आधी दूरी है।

5:15यह एक exact answer है, नापा हुआ नहीं। अब उन 21 centres को ध्यान से देखो जो brute force से निकले थे। हर एक का first coordinate 3 है, यानी सब segment के बीचोंबीच वाली जगह पर खड़े हैं। अब perpendicular bisector को उसकी अपनी definition से बनाओ — segment को बीच में right angle पर काटती हुई line. उस line पर lattice के 21 points हैं। brute force वाले सारे 21 centres इन्हीं 21 points में से हैं।

5:462 रास्ते, जिन्होंने एक-दूसरे से कुछ नहीं पूछा, और एक ही जवाब — और दोनों रास्ते गिने गए हैं। ये centres lattice की पूरी ऊँचाई तक फैले हैं, सबसे नीचे से सबसे ऊपर तक। तो यह midpoint अकेला नहीं है; यह एक पूरी line है। पर सावधान — अभी सिर्फ़ इतना दिखा है कि इस lattice पर दोनों sets एक जैसे निकले। यह क्यों सच है, और हर जगह सच है या नहीं, वह अगले 2 scenes का काम है।

6:17जो बात हमेशा बताई जाती है वह यह है: line के हर point की दोनों points से distance बराबर होती है। यह सच है, पर यह पूरा claim नहीं है। उस line के 7 points का एक stretch लो। इसके 128 subsets होते हैं, और forward test हर एक को pass कर देता है। देखो — एक empty set भी pass हो जाता है, क्योंकि उसमें कोई ऐसा point ही नहीं जो fail कर सके।

6:41जो test सब कुछ pass कर दे, वह कुछ भी identify नहीं करता। और उन 128 में से 0 locus हैं। तो forward half अकेला line को उसके किसी टुकड़े से अलग नहीं कर सकता। इसका मतलब यह नहीं कि forward half बेकार है। मतलब यह है कि वह आधा काम करता है, और दूसरा आधा अलग से करना पड़ता है। दूसरा आधा यह है: जो भी point A और B से equidistant है, वह उसी line पर है।

7:09यह वाला आधा असली काम करता है। उस line से बाहर lattice के 420 points हैं। इनमें से 0 दोनों points से equidistant हैं — एक भी नहीं। और बाहर distances सच में अलग होती हैं। midpoint से 1 आगे और 2 ऊपर वाले point की squared distances 29 और 5 हैं, जो साफ़ अलग हैं। यह भी देख लो कि forward test पूरी तरह बेकार नहीं है। उसी off-line point को किसी set में डालते ही वह test fail कर जाता है।

7:40दोनों halves साथ लगाने पर ही 2 sets एक set निकलते हैं। line के 21 points में से 21 equidistant हैं, और line के बाहर 0 — locus होने का यही मतलब है। इस topic की तस्वीर असल में 2 तस्वीरें हैं, और दोनों अलग-अलग काम करती हैं। इन्हें एक में मिला देना argument को तोड़ देता है। बाईं तरफ़ 2 points हैं और उनसे होकर कई circles, और कोई line कहीं नहीं।

8:09यह phenomenon है — बस इतना दिखाना कि ऐसे circles बहुत सारे हैं। दाईं तरफ़ एक और pair है, C और D, और उनका perpendicular bisector dashed खिंचा है। उस line के 3 points lettered हैं — K और J segment के ऊपर, L नीचे — और हर एक अपना circle लिए हुए है। दायाँ panel दूसरा example नहीं है। वह explanation है: centres line पर हैं, और line पर अलग heights अलग circles देती हैं।

8:38अगर दोनों को एक panel में खींच दिया जाए, तो circles और line एक ही तस्वीर में घुल जाते हैं। फिर यह दिखना बंद हो जाता है कि किसने किसको explain किया। अब centre को bisector पर ऊपर सरकाओ और radius पढ़ते जाओ। हर height पर circle A और B से गुज़रता ही रहता है — वह condition टूटती नहीं। अब heights 0, 4 और 12 पर रुककर squared radii पढ़ो — 9, 25 और 153.

9:07पहले 2 whole हैं: radius 3 और radius 5. तीसरा whole नहीं है। उसके digits निकाले गए हैं: 153 का square root 12.369 से शुरू होता है, यानी लगभग 12.37. और radius हर step पर बढ़ता है, सिर्फ़ पहले step पर नहीं। 60 लगातार steps बाहर की तरफ़, और 60 के 60 पर radius बढ़ा। तो जितनी heights हैं, उतने circles हैं। और line पर heights ख़त्म नहीं होतीं। बहुत से students यहाँ एक straight line वाला relationship मान लेते हैं।

9:43यानी height 3 गुना, तो radius भी 3 गुना। यहाँ arithmetic इसे मना कर देती है। height 4 से 12 तक 3 गुना होती है, पर radius 3 गुना नहीं होता — squared में देखो तो वह 9 गुना से कम रह जाता है। 0 से 4 तक radius 3 से 5 हुआ, यानी 2 बढ़ा। 4 से 12 तक वह 5 से लगभग 12.37 हुआ — बहुत ज़्यादा, पर height के हिसाब से नहीं।

10:09और सबसे बड़ा circle कोई है ही नहीं। कोई भी size बोलो, line पर उससे आगे एक centre मिल जाएगा। heights 10, 1000 और एक million पर radius क्रमशः 10, 1000 और एक million से बड़ा निकलता है। यह तीनों गिने गए हैं। कौन सी heights तयशुदा radii देती हैं, यह अंदाज़े से तय नहीं किया गया। इसे एक derivation से निकाला गया है, और फिर हर एक का circle बनाकर check किया गया है।

10:385 heights निकलती हैं: height 0 पर radius 3, height 4 पर 5, 9 बटा 4 पर 15 बटा 4, 8 बटा 5 पर 17 बटा 5, और 36 बटा 5 पर 39 बटा 5. हर एक सच में A और B दोनों से ठीक उसी radius पर गुज़रता है। एक छठा centre जान-बूझकर line से बाहर रखा गया है — midpoint से 1 आगे और 2 ऊपर। वह अपने radius पर A तक पहुँचता है और B से चूक जाता है।

11:08यही वह चीज़ है जो दूसरे check को पहले की copy बनने से रोकती है। अगर सारे centres line पर होते, तो दोनों checks हमेशा साथ pass होते और उन्हें अलग किया ही नहीं जा सकता। इन 5 radii में से हर एक कम से कम 3 है — 5 में से 5. और 3 सिर्फ़ midpoint से मिलता है: 81 whole heights में से सिर्फ़ height 0 पर squared radius 9 आता है।

11:35जैसे-जैसे centre बाहर जाता है, A और B के बीच का arc चपटा होता जाता है। इसे नापने का एक साफ़ तरीक़ा है: arc chord से कितना आगे उभरा हुआ है। उस bulge को radius plus height से गुणा करो, तो हर height पर एक ही number आता है। और वह number half-chord का square है। half-chord 3 के लिए यह 9 है — heights 0, 4, 12 और 1000, चारों पर 9.

12:02half-chord 7 के लिए वही चीज़ 49 है, तो यह chord के साथ बदलता है, height के साथ नहीं। इसका मतलब bulge 9 बटा किसी बढ़ती हुई चीज़ है। 50 steps में 50 बार product टिका, 50 बार radius बढ़ा और 50 बार height बढ़ी, इसलिए 50 बार bulge घटा। पर वह कभी 0 तक नहीं पहुँचता। 200 लगातार heights पर bulge 0 से ऊपर रहा, और एक million की height पर भी वह 0 से ऊपर है।

12:31लगभग straight होना straight होना नहीं है। centre चाहे कितनी भी दूर हो, वह एक तय point है और figure एक circle ही रहता है। 2 points एक line तय करते हैं — यह बिल्कुल सही है। lattice भी यही कहता है: जितनी straight lines वह name कर सकता है, उनमें से ठीक 1 A और B दोनों से होकर जाती है। बहुत से students यही fact circle पर transfer कर देते हैं और कहते हैं कि 2 points एक circle तय करते हैं।

13:01वहीं count ग़लत हो जाता है। board पर दोनों जवाब साथ रखे हैं: line के लिए जवाब 1 है; circles के लिए centres की एक पूरी line है, हर point पर एक circle. इसीलिए दोनों जवाब इतने अलग हैं। और search को चौड़ा करो तो हर बार और मिलते हैं, आख़िरी कभी नहीं आता। width 10 पर 21, width 50 पर 101, और width 200 पर 401. line पर points ख़त्म नहीं होते, और हर point एक circle देता है।

13:31इसलिए circles infinitely many हैं — और यह गिनती नहीं, एक matching है। आख़िर में एक सवाल जो पूरे argument को तेज़ कर देता है। उन्हीं 2 points को लो — कितने squares उन्हें corners की तरह रखते हैं? देखो — lattice पर search करने पर 3 मिलते हैं, और उससे ज़्यादा नहीं। ये बताए नहीं गए — squares एक test से ढूँढे गए हैं, बनाकर नहीं। इनकी squared sides निकलती हैं 18, 36 और 36.

14:03यानी 2 squares में segment एक side है, और 1 में वह diagonal है। diagonal वाला square छोटा है: उसकी squared side का 2 गुना 36 है, जो A से B की squared distance है। इसीलिए वह बाक़ी 2 से छोटा है। अब requirement ढीली करो — A और B को corners नहीं, बस boundary पर होना है। देखो, तब उनके चारों ओर हर size का square बन जाता है: 59 sizes try किए गए, 59 पर बना।

14:32एक ही pair of points, एक ही plane — और जवाब 3 से infinitely many तक चला गया। तो infinitely many किसी 2-point सवाल का अपने आप आने वाला जवाब नहीं है; वह इस बात पर टिका है कि shape कितनी कसकर pinned है।