एक ही ओर बराबर कोण एकवृत्तीयता को मजबूर कर देते हैं (Theorem 10)

0:00board पर 4 points रखे हैं। इनमें से 3 में से होकर एक circle खींची जा सकती है, वह यहाँ हल्की-सी दिख रही है। चौथा point उससे साफ़ हटकर खड़ा है। यह सवाल बहुत पहले उठाया गया था और वहीं छोड़ दिया गया था, क्योंकि उसे हल करने का सामान तब मौजूद नहीं था। अब मौजूद है। तो सवाल यह है: 4 points कब एक ही circle पर होते हैं?

0:26और ध्यान दीजिए कि सवाल यह नहीं है कि कोई ऐसी circle खींची जा सके जो चारों के पास से गुज़रती दिखे। सवाल यह है कि एक ही circle चारों में से ठीक-ठीक होकर जाए। और यहीं पहली मुश्किल है। जिस circle के होने को साबित करना है, उसे खींच देना कोई सबूत नहीं होता। यहाँ एक सोच बहुत स्वाभाविक लगती है, और तुम्हें लगेगा कि यही आगे भी चलेगी।

0:513 points, जो एक ही line पर न हों, हमेशा एक circle पर आ जाते हैं। तो 4 क्यों नहीं आएँगे? अंदाज़ा लगाने के बजाय इसे गिनकर देखा गया, और नीचे वही गिनती है। 25 साधारण grid points लिए गए और उनमें से 4 चुनने के हर तरीक़े को देखा गया। देखिए, 4 चुनने के तरीक़े कुल 12650 निकले। इनमें से 762 ऐसे groups हैं जिनके चारों points एक ही circle पर बैठते हैं।

1:19बाक़ी नहीं बैठते। इसका मतलब साफ़ है। चौथा point कोई मुफ़्त में मिलने वाली चीज़ नहीं है, वह एक शर्त है जो या तो पूरी होती है या नहीं होती। और जब कोई शर्त होती है, तो उसे जाँचने का कोई तरीक़ा भी होना चाहिए। यही इस video का काम है। जो points एक ही circle पर बैठते हैं, उन्हें concyclic कहते हैं। यही उनका नाम है। अब यहाँ वह चाल देखिए जिस पर पूरा argument टिका है।

1:47चारों में से 3 लेकर उनकी circle बना लीजिए। बची हुई चीज़ यह है कि चौथा point उस circle पर है या नहीं। पहली नज़र में यह चाल गोल-गोल घूमती लग सकती है। क्या यह सचमुच काम करती है? 4000 groups पर जाँचकर देखा गया। हर group में से 3-3 लेकर उसकी चारों circles बनाई गईं। जो 222 groups concyclic निकले, उनमें चारों circles मिलकर एक ही circle बन गईं।

2:14जो 2828 नहीं थे, उनमें चारों अलग-अलग निकलीं, और 0 बार कोई 2 circles आपस में मिलीं। और नीचे देखिए, 950 groups ऐसे थे जिनके 3 points एक ही line पर पड़ गए। उनकी तो चारों circles बनती ही नहीं। यही वह जगह है जहाँ 3 points वाली licence ख़त्म हो जाती है। पिछला result याद कीजिए। 2 points में से कितनी circles जाती हैं? जितनी चाहें उतनी — यह एक पूरा परिवार है।

2:45पर 3 points में से, जो एक line पर न हों, ठीक एक circle जाती है। परिवार सिमटकर एक रह जाता है। यह uniqueness ही असली licence है। अगर circles का एक परिवार होता, तो 'चौथा point इस circle पर नहीं है' कहने का कोई मतलब ही न होता — किसी और circle पर होता। segment के एक तरफ़ यह बात गिनकर देखी गई, और गिनती यहाँ लिखी है। वहाँ खड़े points कुल 231 अलग readings देते हैं, और उनकी circles भी ठीक 231 अलग निकलती हैं।

3:170 बार ऐसा हुआ कि एक ही reading 2 अलग circles में बँट जाए, और 0 बार ऐसा कि 2 अलग readings एक ही circle पर आ जाएँ। reading और circle एक ही जानकारी के अलग-अलग नाम हैं। अब दावा देखिए। board पर एक segment है, और 2 points ऐसे हैं जो उसे एक ही angle पर देख रहे हैं। साबित यह करना है कि वे 2 points और segment के दोनों सिरे, चारों मिलकर एक circle बनाते हैं।

3:44पर इसमें 2 शर्तें छिपी हैं, और उन्हें अलग-अलग देखना ज़रूरी है। पहली: दोनों points segment के एक ही तरफ़ होने चाहिए। और दूसरी: कोई भी point segment की अपनी line पर न हो, क्योंकि वहाँ देखने को कुछ बचता ही नहीं। यह दूसरी शर्त फ़िज़ूल की बारीकी लगती है, पर क्या है? segment की अपनी line पर खड़े होकर उसे देखा ही नहीं जा सकता — वहाँ कोई angle बनता ही नहीं।

4:10जाँच में ऐसे 29 points निकले, और तरीक़े ने तीनों बार की तरह यहाँ भी उन्हें कोई number देने से इनकार किया, सब 29 को। यहाँ तुम्हें लगेगा कि अब कुछ बनाया जाएगा। अब तक चीज़ें बनाकर ही साबित की जाती रही हैं। यहाँ उल्टा किया जाएगा: मान लीजिए चौथा point circle पर नहीं है, और देखिए क्या टूटता है। अब board पर यहाँ देखिए। circle पर न होने के कितने तरीक़े हैं?

4:39ठीक 2: या तो वह अंदर है, या बाहर। तीसरा कोई तरीक़ा नहीं। यही बात इस तरीक़े को सबूत बनाती है। अगर दोनों सम्भावनाएँ मर जाएँ और बीच में कोई तीसरी न हो, तो जो बचा वही सच है। जाँच के लिए segment के उसी तरफ़ 522 साधारण points लिए गए। इनमें 64 circle के अंदर हैं, 9 ठीक circle पर, और 449 बाहर। और इन 522 में से 0 ऐसे हैं जिनका कोई angle न बने।

5:12यानी हर एक पर सवाल पूछा जा सकता है। बाहर वाली सूरत पहले देखिए। पर E बनाया कैसे जाए? segment के एक सिरे से उस point तक एक line खींचिए जो trial पर है। रास्ते में वह circle को काटती है, और उस कटने की जगह को E कहते हैं। E सिर्फ़ इसलिए बनाया गया है कि एक छोटा-सा triangle मिल जाए। नतीजे में उसका नाम कहीं नहीं आता। यह ज़रूरी है, क्योंकि बहुत लोग E को पाँचवाँ given point समझकर उसे जवाब में घसीट लाते हैं।

5:45जाँच में argument 936 बार चला, और E 0 बार trial वाला point निकला और 0 बार segment का कोई सिरा। यहाँ तुम्हें लगेगा कि बस हो गया। पर एक बात ऐसी है जो तस्वीरें चुपचाप छोड़ देती हैं। किसी एक तय सिरे से खींची गई line circle को दोबारा काटे, यह ज़रूरी नहीं है। कई बार वह सीधे बाहर निकल जाती है। 449 बाहर वाले points में से 404 पहले सिरे से काम करते हैं और 404 दूसरे सिरे से।

6:15और ऐसा एक भी नहीं है जो दोनों सिरों से नाकाम हो — गिनती 0 है। तो सिरा चुनना पड़ता है, और चुनने को हमेशा कुछ मौजूद रहता है। argument कभी अटकता नहीं, पर उसे यह चुनाव करना होता है। तो किस direction में line लौटकर नहीं आती? ठीक एक में: उस सिरे पर circle की tangent के साथ-साथ। उधर line circle को सिर्फ़ छूकर निकल जाती है, यह board पर साफ़ दिखता है।

6:43दूसरा कटाव होता ही नहीं, इसलिए E मौजूद ही नहीं है। जाँच में हर सिरे पर ऐसे 2 candidate points मिले, और चारों circle के बाहर थे। तरीक़े ने उन्हें सिरा ही लौटा देने के बजाय मना कर दिया। यह छोटी बात नहीं है। जहाँ चीज़ मौजूद नहीं है वहाँ कोई भी number लौटा देना, सबसे ख़तरनाक क़िस्म की ग़लती है — क्योंकि आगे का सारा हिसाब उस number पर चलता रहेगा और कहीं कुछ टूटेगा नहीं।

7:12अब वह क़दम जो असली काम करता है। यह छोटा triangle यहाँ किसलिए है? इसे अलग करके देखिए: segment का दूसरा सिरा, E, और trial वाला point। यहाँ देखिए: E पर, segment की तरफ़ देखने वाला angle इस triangle का exterior angle है। और exterior angle दोनों remote interior angles का जोड़ होता है। शायद तुम्हें यह मामूली लगे, पर जोड़ होने का मतलब यह है कि वह दोनों में से किसी से भी सख़्ती से बड़ा है।

7:41बराबर नहीं — बड़ा। यह बात coordinates में 808 बार जाँची गई, और जाँच उस तरीक़े से नहीं की गई जिससे angles की आपस में तुलना होती है। 808 बार exterior angle दोनों remote angles का जोड़ निकला, और 808 बार वह trial वाले angle से बड़ा निकला। अपवाद 0। यही वह step है जो बताता है कि बाहर वाला point कम पढ़ता है। ऊपर board पर देखिए। E आख़िर जाकर कहाँ बैठा?

8:11वह circle पर है, और segment के उसी तरफ़ है जिस तरफ़ तीसरा दिया हुआ point है — 808 में से 808 बार। इसलिए पहले साबित हो चुके result से, E उस segment को ठीक उसी angle पर देखता है जिस पर तीसरा point देखता है। यह chain की पहली कड़ी है। दूसरी कड़ी अभी-अभी बनी: E वाला angle trial वाले point के angle से सख़्ती से बड़ा है। और तीसरी कड़ी तो शुरू में ही दे दी गई थी: trial वाले point का angle तीसरे point के angle के बराबर है।

8:42यही तो दिया हुआ था। अब तीनों कड़ियाँ यहाँ जोड़कर देखिए। तीसरे point का angle ख़ुद अपने आप से सख़्ती से बड़ा निकल आता है। कोई भी मात्रा अपने आप से बड़ी नहीं हो सकती। इसलिए जो मान लिया था, वही ग़लत है। बाहर वाली सम्भावना ख़त्म। अब दूसरी सम्भावना देखिए। अगर point अंदर हुआ तो? मान लीजिए trial वाला point circle के अंदर है। अब सिरे से चली line उस point में से होकर आगे निकलती है और उसके बाद circle को काटती है।

9:16यानी trial वाला point सिरे और E के बीच में आ गया। इसका सीधा असर यह है कि अब exterior angle E पर नहीं, trial वाले point पर बनता है। दोनों ने अपनी जगहें बदल लीं। बाक़ी सब वही है। अब trial वाले point का angle E वाले से सख़्ती से बड़ा है, और E वही पढ़ता है जो तीसरा point पढ़ता है। इसलिए वही असम्भव वाक्य दूसरी दिशा से आ जाता है।

9:42अंदर वाली सूरत 128 बार चली और 0 बार नाकाम हुई। इस सूरत को अक्सर 'इसी तरह' कहकर छोड़ दिया जाता है। ऊपर जो हुआ, वह उसे पूरा लिखकर दिखाना था — और लिखने पर पता चलता है कि roles बदल जाते हैं, जो 'इसी तरह' से नहीं निकलता। अब तक सब दिशा में कहा गया है, और शायद तुम्हें numbers चाहिए। तो यहाँ वही बात numbers में देखिए। मान लीजिए segment circle में से 100 degrees काटता है।

10:11तब दूर वाली तरफ़ से reading कितनी होगी? 50, और पास वाली तरफ़ से 130। दोनों मिलकर 180 — यानी एक straight angle। अब अंदर से देखिए। दूसरी arc चाहे जितनी बड़ी हो, अंदर की reading हमेशा 50 से ज़्यादा ही रहती है। 259 अलग-अलग नापें आज़माई गईं और 0 बार वह 50 तक उतरी। बाहर से उल्टा। 99 नापें आज़माई गईं और 0 बार reading 50 तक चढ़ी। तो अगर चौथा point ठीक 50 पढ़ता है, तो वह न अंदर हो सकता है न बाहर।

10:45यही पूरा argument है, बस numbers में। यहाँ एक ग़लतफ़हमी बहुत आम है। बहुत लोग सोचते हैं कि contradiction सिर्फ़ यह दिखाती है कि वह ख़ास तस्वीर ग़लत थी। क्या ऐसा है? नहीं, ऐसा नहीं है। argument में कहीं भी उस तस्वीर की कोई ख़ास बात इस्तेमाल नहीं हुई। जो मरा है वह मान्यता है, हर तस्वीर में। और इसे एक तस्वीर पर नहीं, सब पर एक साथ चलाकर देखा जा सकता है।

11:16segment के उस तरफ़ 527 candidates लिए गए। इनमें से सिर्फ़ 14 ऐसे हैं जो segment को तीसरे point वाले angle पर पढ़ते हैं। और वे 14 के 14 circle पर हैं। circle से बाहर बचा 0। गिनती इस बात का सबूत नहीं है, क्योंकि सबूत तो argument है। पर नीचे देखिए, गिनती यह दिखा देती है कि argument उन जगहों पर भी वही कह रहा है जिन्हें किसी ने खींचा तक नहीं।

11:44अब वह शर्त, जो पहली नज़र में छोटी-सी लगती है। इसे यहाँ देखना ज़रूरी है। बहुत लोग theorem को ऐसे याद रखते हैं: बराबर angles हों, तो चारों points एक circle पर। तरफ़ वाली बात छूट जाती है। segment के आर-पार दोनों arcs की readings बराबर नहीं होतीं, वे एक-दूसरे की supplement होती हैं। 8 points पास वाली arc पर और 8 दूर वाली पर जाँचे गए, और हर तरफ़ reading एक ही निकली।

12:12इसलिए अगर कोई point ग़लत तरफ़ से वही reading देता है, तो वह इस circle पर हो ही नहीं सकता। ऐसे 8 points जाँचे गए: सब वही angle पढ़ते हैं, और उनमें से 0 इस circle पर हैं। वे सब mirror circle पर हैं — उसी circle की परछाईं, जिसका centre इस centre की परछाईं है। दोनों circles सिर्फ़ segment के दोनों सिरों पर मिलती हैं। अब वही सवाल, जो अक्सर बिना 'एक ही तरफ़' कहे पूछ लिया जाता है।

12:392 points एक segment को बराबर angle पर देखते हैं, तो क्या दूसरा point उस circle पर आ जाएगा जो पहले 3 से बनी है? शर्त के बिना जवाब 'नहीं' है। 528 points पर जाँचा गया: परछाईं वाला point सिर्फ़ 7 बार circle पर आया, और वे सातों right angle वाले हैं, जहाँ segment ख़ुद diameter बन जाता है। बाक़ी 521 बार वह चूक गया। एक और मज़ेदार सूरत है।

13:03एक ख़ास angle पर परछाईं वाला point उस circle पर आने के बजाय उसका centre बन जाता है — वहाँ centre पर बना angle 120 degrees का होता है। और वह ऊँचाई किसी भी fraction से नहीं मिलती, इसलिए grid पर वह 0 बार दिखी। जब 4 points के concyclic होने का पता चल जाए, तो उनसे बनी shape का अपना नाम है: cyclic quadrilateral। इसी को 4-gon भी कहा जाता है।

13:30पर 4 points को जोड़ने के तो 3 तरीक़े होते हैं। फिर shape एक ही क्यों? क्योंकि उन 3 में से सिर्फ़ एक ऐसा है जो ख़ुद को काटे बिना बंद होता है। 600 concyclic groups पर जाँचा गया, और 600 के 600 में ठीक एक ही साफ़ निकला। अब पूरी बात यहाँ एक जगह देखिए। 3 points ने circle बनाई, चौथा trial पर रहा, और उसे circle पर रखने के लिए कुछ खींचा नहीं गया।

13:57उसे वहाँ इसलिए रखा जा सका क्योंकि circle एक ही थी। अगर कई होतीं, तो 'इस circle पर नहीं' कहने से कुछ न टूटता। और दोनों ही सम्भावनाओं ने एक ही असम्भव बात पैदा की: एक angle ख़ुद अपने आप से बड़ा। जिस circle के होने को साबित करना था, उसे खींच देना कभी सबूत नहीं बनता। सबूत यह है कि चौथे point के लिए कहीं और बचा ही नहीं।