centre से मध्य बिंदु तक की line लंब होती है, और उसका विलोम (Theorems 4–5)

0:00एक circle है, उसका centre O है, और उस पर A से B तक एक chord खिंची हुई है। उस chord के ठीक बीच वाले point को M कह लेते हैं। देखो, M वही point है जो chord को 2 बराबर टुकड़ों में बाँट देता है। board पर दोनों टुकड़ों पर एक जैसा tick लगा है। अब O से M तक एक join खींच देते हैं। यह line किसी ने माँगी नहीं थी, chord और centre के होते ही यह अपने आप बन जाती है।

0:28तो पहला सवाल — क्या यह join chord से ठीक square मिलती है? और दूसरा सवाल, ठीक उलटा — अगर centre से आई कोई line chord से square मिले, तो क्या वह chord को आधा भी काटती है? पहली नज़र में ये 2 सवाल एक ही सवाल के 2 चेहरे लगते हैं। यहाँ board पर दोनों अलग अलग लिखे हैं, क्योंकि ये सचमुच अलग हैं। chord के 2 ends और centre मिलकर एक triangle बना देते हैं।

0:58इसे अलग से बनाना नहीं पड़ता, यह chord के साथ ही आ जाता है। देखो, इस triangle की 2 sides radius हैं — O से A तक, और O से B तक। chord चुनने से पहले ही ये दोनों बराबर थीं। इसलिए यह triangle isosceles है, किसी शर्त के बिना। आप कोई भी chord चुनें, यह बात नहीं बदलती। और isosceles triangle में base के दोनों angles बराबर होते हैं।

1:24यहाँ A पर बना angle और B पर बना angle बराबर हैं। sample circle की एक एक chord पर यह जाँचा गया, कुल 1359। उनमें से 0 ऐसी निकलीं जिनके base angles बराबर न हों। अब वह जाल, जिससे बचने के लिए यह पूरा video बना है। यहाँ बहुत सारे students एक क़दम छोड़ देते हैं। सोच यह होती है कि जब 2 angles बराबर निकल आए, तो वे right angles ही होंगे।

1:52यह बात अपने आप में सच नहीं है। उन्हीं 1359 triangles में base के angles हर बार बराबर निकले — और उनमें से 0 बार वह angle right angle निकला। देखो, left वाली bar पूरी भरी है और right वाली बिलकुल खाली। बराबर होना काफ़ी नहीं है। तो कोई और चीज़ है जो बराबर को 90 बनाती है। वही चीज़ इस topic का असली क़दम है। तो statement को साफ़ साफ़ 2 हिस्सों में रख लेते हैं।

2:21ऊपर वाली row में दिया हुआ, नीचे वाली में जो साबित करना है। दिया हुआ यह है कि join chord के ठीक बीच वाले point तक जाती है। board पर यह blue में लिखा है। और साबित यह करना है कि वह join chord से square मिलती है। यह green में है, क्योंकि यह कमाना पड़ेगा। यहाँ figure में M पर right angle का कोई tick नहीं लगा है, और यह जान बूझकर है।

2:47वह tick conclusion है, given नहीं। पहले से लगा देते तो जो साबित करना है वही मान लिया जाता, और argument गोल गोल हो जाता। यह join उस triangle को 2 हिस्सों में काट देती है। दोनों हिस्सों को board पर थोड़ा अलग करके रख दिया गया है। देखो, left वाले हिस्से में एक radius है, chord का आधा हिस्सा है, और A पर बना base angle ठीक उन दोनों के बीच बैठा है।

3:13right वाले हिस्से में वही 3 चीज़ें हैं — दूसरी radius, chord का दूसरा आधा, और B पर बना base angle। radius बराबर radius, आधा बराबर आधा, और base angle बराबर base angle। यह 2 sides और उनके ठीक बीच वाला angle है, यानी SAS। तो दोनों आधे triangles congruent हैं। पूरे 1359 के sample पर side दर side जाँचा गया, और 0 बार यह टूटा। यहाँ SSS भी चल जाता, क्योंकि OM दोनों हिस्सों में common है।

3:45पर base angles पहले से हाथ में थे, इसलिए SAS सीधा रास्ता है। congruence हमें M पर बने 2 angles देती है, और वे आपस में बराबर हैं। board पर दोनों पर एक जैसा arc लगा है। अब देखो वे बैठे कहाँ हैं। दोनों chord के ऊपर हैं, और chord एक straight line है। straight line पर बने 2 angles मिलकर 180 बनाते हैं। यह circle की बात नहीं है, यह हर straight line की बात है।

4:14बराबर भी, और जोड़ 180 भी। तो 180 को 2 बराबर हिस्सों में बाँटने पर हर हिस्सा 90 निकलता है। यही वह step है जो असल काम करता है, और यही वह step है जिसे students छोड़ देते हैं। बहुत से students सीधे 90 लिख देते हैं, और circle ने यहाँ कुछ नहीं किया। 1359 chords में से: 0 बार दोनों angles अलग निकले, 0 बार वे straight line पर नहीं थे, और 0 बार M वाला angle right नहीं निकला।

4:44अब यही बात कागज़ के एक गोल टुकड़े पर। उस पर वही chord और वही join बनी हुई है। उसे उसी join के साथ मोड़ लीजिए। जहाँ मोड़ आया, वहाँ एक crease बन गई। देखो, chord का एक end ठीक दूसरे end पर आकर बैठ जाता है, और crease अपनी जगह से हिलती नहीं। यही theorem है, एक ही हरकत में कहा हुआ। मोड़ ठीक उसी join पर आया, इसलिए join सिर्फ़ perpendicular नहीं है, वह एक mirror है।

5:13इसे reflection मानकर हर chord पर जाँचा गया, पूरी 1359। 0 बार कोई end अपने partner से चूका, और 0 बार crease खिसकी। अब वही figure, पर काम उलटा। यहाँ picture में कुछ नहीं बदला, सिर्फ़ यह बदला कि कौन सी बात मुफ़्त में मिल रही है। इस बार दिया हुआ यह है कि centre से आई line chord से square मिलती है। tick अब आपके हाथ में है। और साबित यह करना है कि वह chord को 2 बराबर टुकड़ों में काटती है।

5:45पहले यह दिया गया था, अब यह कमाना है। देखो, वही tick पहले green था और अब blue है। पहले वह कमाया गया था, अब वह दे दिया गया है। बहुत से students यहीं मान लेते हैं कि हाँ। तो क्या पहली बात साबित हो जाने से दूसरी अपने आप मिल जाएगी? जवाब ना है। converse अपने आप नहीं मिलता, और यहाँ इसकी वजह गिनकर दिखाई जा सकती है। यहाँ जो हाथ में है वह है 2 sides और एक ऐसा angle जो उनके बीच में नहीं है।

6:19ऐसा bundle आम तौर पर कुछ तय नहीं करता। 5 by 5 lattice पर खोजा गया। 21 ऐसे bundles मिले जो 2 अलग तीसरी sides मान लेते हैं। अब उस angle को 90 पर pin कर दीजिए। 26 right angle वाले bundles थे, और उनमें से 0 ambiguous निकले। और वे सारे 21 ambiguous bundles acute हैं — उनमें 0 obtuse और 0 right। इसीलिए इसे right angle वाला congruence test कहते हैं।

6:47यहाँ इसे रटकर नहीं लिया गया, गिनकर निकाला गया है। अब converse को माप लेते हैं। centre से chord पर perpendicular गिराइए और उसका foot निकालिए। देखो, foot projection से निकला है, और उस हिसाब में midpoint कहीं आता ही नहीं। इसलिए आगे वाला सवाल सचमुच एक सवाल है। अब M को वापस लाइए और पूछिए कि foot उसी पर गिरा या नहीं। यहाँ board पर दोनों points साथ साथ रखे हैं।

7:161359 में से हर एक पर foot ठीक midpoint पर गिरा, और चूकने वाले feet की गिनती 0 रही। बहुत से students converse को पहली बात का दूसरा रूप समझ लेते हैं। पर वह दोहरा नहीं रहा — यह एक दूसरी बात है, जो सच निकलती है। अब इस topic की सबसे आम ग़लती। बहुत से students मान लेते हैं कि square मिलना और आधा काटना एक ही बात है।

7:43देखो, chord पर midpoint छोड़कर कहीं और perpendicular खड़ा कीजिए — वह centre से चूक जाता है। 60 points आज़माए गए, और 60 बार चूका। और centre से chord के किसी ऐसे point तक segment गिराइए जो बीच वाला नहीं है। यहाँ 2 टुकड़े बराबर नहीं आते — 60 आज़माए गए, 0 बार बराबर। दोनों शब्द सिर्फ़ उस line के लिए एक जैसे हैं जो centre से गुज़रती है। और यह एक नतीजा है, definition नहीं।

8:11इसीलिए इन 2 theorems को अलग अलग कहना पड़ता है। एक बार और उलटकर देखिए। यहाँ chord का perpendicular bisector एक पूरी line की तरह खींचा गया है, circle के बाहर तक। centre chord के दोनों ends से बराबर दूर है, क्योंकि दोनों radius हैं। यह बात हर chord पर मुफ़्त में मिलती है। और जो point किसी segment के दोनों ends से बराबर दूर हो, वह उसके perpendicular bisector पर बैठता है।

8:39यहाँ 1378 chords लीं, diameters भी गिनकर। 0 ऐसी निकली जिसके bisector पर centre न बैठा हो। यह test circle को origin से हटाकर किया गया। origin पर terms आपस में कट जाते और test कुछ साबित न करता। अब इसका इस्तेमाल। 2 अलग chords लीजिए और दोनों के perpendicular bisectors खींचिए। देखो, जहाँ वे दोनों lines मिलती हैं, वहीं centre है। centre दोनों bisectors पर होना ही था, इसलिए वह उनके crossing पर है।

9:12यहाँ 37 ऐसे जोड़े crossed किए गए। 0 बार crossing कहीं और गिरी। बिना centre वाले circle पर centre ढूँढ़ने का construction यही कर रहा होता है — 2 chords, 2 bisectors, एक crossing। और कागज़ के गोल टुकड़े को 2 बार मोड़ने पर जो 2 creases बनती हैं, वे यही 2 bisectors हैं। बहुत से students इन 2 theorems को सिर्फ़ proof समझते हैं। पर ये नापने का औज़ार भी हैं — यहाँ एक chord की centre से distance नापी हुई है।

9:44centre से chord तक की distance, chord का आधा, और radius — ये तीनों मिलकर एक right angle वाला triangle बनाते हैं। तो distance का square जोड़ आधे का square, बराबर radius का square। पूरे 1359 के sample पर मापा गया, और 0 बार चूका। इसका मतलब है कि distance तय कर दीजिए तो लंबाई भी तय हो जाती है। दोनों में से कोई एक पता हो तो दूसरा निकल आता है।

10:11sample में 346 अलग अलग distances निकलीं, और उनमें से 0 ऐसी जो 2 अलग लंबाइयाँ रखती हों। और यह एक ही दिशा में चलता है। देखो, distance बढ़ने पर लंबाई हर एक step पर घटती है। अब गिनती में करके देखते हैं। radius 5 का एक circle लीजिए, और board पर एक खाली table रख लीजिए। centre से 4 दूर वाली chord 6 लंबी निकलती है। आधा 3 है, और 3 का square जोड़ 4 का square, बराबर 5 का square।

10:443 दूर वाली chord 8 लंबी निकलती है। यहाँ आधा 4 है, और वही जोड़ उलटी तरफ़ से बैठ जाता है। और centre से गुज़रने वाली chord की distance 0 है और लंबाई 10। यह सबसे लंबी chord है जो इस circle पर हो सकती है। देखो, तीनों lines पूरी संख्याओं में आईं। distance बढ़ी तो लंबाई घटी, ठीक जैसा पिछले scene में गिना गया था। अब उसी circle पर 2 parallel chords — एक 6 लंबी और एक 8 लंबी।

11:16दोनों level हैं, इसलिए आपस में parallel हैं। देखो, पहले उन्हें centre के आमने सामने रखिए। midpoints 4 और 3 दूर हैं, अलग अलग तरफ़, तो आपस में 7 दूर। अब दोनों को centre की एक ही तरफ़ ले आइए। तो अब आपस में कितनी दूर? वही 4 और वही 3, पर अब 1 दूर। जोड़ने की जगह घटाना पड़ा। वही 2 chords, वही circle, और जवाब बदल गया। board पर सिर्फ़ एक शब्द बदला — किस तरफ़।

11:50कई students यहीं चूक जाते हैं। और यह कोई इत्तिफ़ाक़ वाला जोड़ा नहीं है। sample के हर parallel जोड़े पर — 758 एक ही तरफ़ और 1081 आमने सामने — यह rule 0 बार टूटा। एक आख़िरी नतीजा। circle पर एक ऐसा triangle बनाइए जिसकी 2 sides बराबर हों, और उसके apex को P कह लीजिए। अब P से सामने वाली side पर height गिराइए। देखो, वह height centre से होकर गुज़र रही है।

12:20यहाँ sample में ऐसे 106 triangles मिले, और 106 बार वह height centre से गुज़री। और किसी दूसरे corner से गिराई गई heights — 70172 आज़माई गईं, और उनमें से 0 centre तक पहुँची। तो यह काम बराबर sides कर रही हैं, circle नहीं। तो शुरू वाले 2 सवाल 2 सवाल थे ही नहीं। दोनों एक ही बात के 2 सिरे थे। centre से midpoint तक की join एक mirror है।

12:48आधा काटना और square मिलना उसी एक reflection को 2 तरह से पढ़ना है।