substitution से (a + b + c)², और वह square जो इसे साबित कर देता है

0:00a plus b plus c, पूरे का square. board पर ऊपर यही bracket लिखा है, और यही आज का सवाल है। bracket के अंदर 3 letters हैं, जबकि जो identity हमारे पास पहले से है वह सिर्फ़ 2 letters की है। पहली नज़र में लगता है कि जवाब a squared plus b squared plus c squared होगा। यह जवाब सस्ता है और ग़लत भी। हर letter को 1 रखकर गिन लो।

0:25बाईं तरफ़ 9 आता है और दाईं तरफ़ 3। 1 case ने पूरा दावा गिरा दिया, इसलिए वह statement identity नहीं है। पर एक बात और, क्योंकि कोई भी ग़लत statement कहीं न कहीं सही निकल आता है। हर letter को minus 4 से 4 तक चलाया गया, यानी 729 triples। उनमें से 37 पर यह ग़लत statement सही निकलता है। इसलिए कहीं सही होना अपने आप में कोई proof नहीं है।

0:53तो असली सवाल यह है कि 3 letters का square निकाला कैसे जाए। और साथ में एक दूसरा सवाल भी चलेगा, कि इस काम के लिए कोई नई चीज़ माननी पड़ेगी या नहीं। एक पल रुको। क्या हर नई identity को अपना नया proof चाहिए? नहीं, सिर्फ़ तब, जब उसे किसी पुरानी identity में बदला न जा सके। और यहाँ बदला जा सकता है, इसलिए आज कोई नया proof नहीं बनेगा।

1:21b plus c को एक ही letter मान लो और उसे d कह लो। अब bracket a plus d हो गया, और letters 2 रह गए। यही पूरी चाल है, और यह इतनी सस्ती है कि शक होता है। 2 letters की identity हमारे पास पहले से है। a plus d, का square, बराबर a squared, plus 2 a d, plus d squared. इसमें 3 terms हैं, 6 नहीं, और अभी तक कुछ भी खोला नहीं गया।

1:48इस step में कोई नई बात मानी ही नहीं गई। जो rule लगाया वह वही पुराना rule है, बस उसके 2 letters की जगह a और d रख लिए। identity letters के नाम नहीं पूछती, इसलिए d जैसा कोई भी नाम चलेगा। पर एक बात खटकती है। d असली जवाब में तो है ही नहीं, फिर वह आया कहाँ से? d एक अस्थायी नाम है। वह रास्ते में आता है और जवाब बनने से पहले चला जाता है।

2:16board पर उसे अलग colour में लिखा गया है, ताकि वह बाक़ी letters से अलग दिखे। और यह भी तय नहीं है कि b plus c को ही छिपाना है। a plus b को छिपाकर भी वही जवाब आता है, क्योंकि जोड़ने का क्रम जवाब बदलता नहीं। board के right में वही चाल a plus b पर लिखी हुई है, और उसे छुआ नहीं गया। अब d की जगह b plus c वापस रखो।

2:41पहला term a squared वैसा का वैसा रहता है। बीच वाला 2 a d बन जाता है 2 a, गुना, b plus c. और आख़िरी d squared बन जाता है b plus c का square. देखो, आख़िरी टुकड़े के लिए फिर वही 2 letters वाली identity चाहिए, इस बार b और c पर। यानी unwinding के लिए भी कोई नई चीज़ नहीं चाहिए। पूरे काम में एक ही rule, कुल 2 बार लगा है।

3:082 a, गुना, b plus c, खुलकर 2 a b plus 2 a c बनता है। और b plus c को square करने पर b squared plus 2 b c plus c squared मिलता है। सब मिलाकर 6 terms सामने आ जाते हैं। और अब जवाब में d कहीं नहीं है। जिस letter ने सारा काम कराया वह जवाब में दिखता तक नहीं। यही इस रास्ते की पहचान है, क्योंकि वह एक ऐसे letter से होकर गुज़रता है जो मंज़िल पर नहीं है।

3:38board पर उसकी जगह अब सिर्फ़ एक ख़ाली निशान बचा है। यही चाल आगे भी चलेगी। 4 letters हों तो 2 को छिपाकर फिर 3 पर आ जाओ, और फिर 2 पर। तरीक़ा letters की गिनती पर टिका ही नहीं है, इसलिए वह हर बार काम करता है। अब हमारे सामने 6 terms हैं। a squared, b squared, c squared, 2 a b, 2 b c और 2 c a.

4:05coefficients क्रम से 1, 1, 1, 2, 2 और 2 हैं। board पर ऊपर वे छहों एक ही row में रखे हैं। इन्हें किसी भी क्रम में लिखा जा सकता है। पर याद यही क्रम रहता है, पहले 3 squares और फिर 3 doubled products. क्रम बदलने से जवाब नहीं बदलता, याद रखना आसान हो जाता है। बहुत से students यहाँ एक और term ढूँढ़ने लगते हैं। a c और c a एक ही term हैं, अलग नहीं।

4:35इसलिए doubled products 3 हैं, 6 नहीं। और जो इसमें नहीं है वह भी बताने लायक़ है। सभी 3 letters वाला कोई term नहीं है, और कोई खाली number भी नहीं है। दोनों के coefficients 0 हैं, और यह गिनकर देखा गया है, मान नहीं लिया गया। अब वही जवाब एक drawing से। a plus b plus c लंबाई का square बनाओ। ऊपर वाली side पर 2 cuts लगाओ, और left side पर भी 2।

5:02इन cuts से square 9 cells में बँट जाता है। ये 9 cells पूरे square को भरते हैं, 0 overlap के साथ, और कोई हिस्सा बाहर नहीं निकलता। यह जाँचा गया है, क्योंकि drawing को देखकर मान लेना और नाप कर देख लेना एक बात नहीं है। इनमें से 3 cells square हैं और 6 नहीं। 3 square cells diagonal पर बैठे हैं, और उनके areas a squared, b squared और c squared हैं।

5:29यानी हर letter का अपना square drawing में ठीक 1 जगह आता है। देखो, वे तीनों एक ही तिरछी पट्टी पर बैठे हैं। बाक़ी 6 आपस में 3 जोड़ों में बँटते हैं। हर जोड़ी के दोनों cells का area बराबर है, इसलिए दोनों को एक ही colour दिया गया है। colour पहले ही बता देता है कि कौन किसके बराबर है, लिखने से पहले। यह drawing 1 से 12 तक की लंबाइयों के हर triple पर नए सिरे से बनाई गई, यानी 1728 बार।

5:590 बार यह नाकाम रही। उनमें से 1320 पर ठीक 3 cells square निकले। बाक़ी 408 वे हैं जहाँ 2 लंबाइयाँ बराबर हैं, इसलिए diagonal से बाहर का एक cell भी square बन जाता है। इसीलिए drawing को 3 अलग दिखने वाली लंबाइयों पर बनाना चाहिए। और यह जाँच खोखली नहीं है। एक cut को खिसका कर देखा गया। cells फिर भी tile करते हैं, क्योंकि grid हमेशा करता है।

6:26पर diagonal 3 squares रहना बंद कर देता है, और बाक़ी 6 जोड़ों में बँटना छोड़ देते हैं। अब एक सवाल। cross terms 3 क्यों हैं, जबकि letters भी 3 ही हैं? बहुत से students सोच रहे होते हैं कि हर letter का अपना एक cross term है। गिनती letters की नहीं, जोड़ों की है। 3 letters की जोड़ियाँ भी 3 ही बनती हैं, इसलिए दोनों rules यहाँ एक ही जवाब देते हैं।

6:53drawing यही बता रही है। हर letter का square ठीक 1 cell में आता है। देखो, यहाँ एक ही जोड़ी के 2 cells उभरे हुए हैं। और हर जोड़ी ठीक 2 cells में आती है, क्योंकि जोड़ी 2 तरह से बन सकती है, एक बार row पहले और एक बार column पहले। इसीलिए हर cross term पर 2 लगा हुआ है। letters की गिनती बढ़ाकर देखो। 2 letters से 3 terms, 3 से 6, 4 से 10, 5 से 15 और 6 से 21।

7:22हर बार गिनती इतनी ही आती है, हर letter का 1 और हर जोड़ी का 1। 2 से 5 letters तक squares और doubled products अलग-अलग गिने गए। 2 पर 2 और 1, 3 पर 3 और 3, 4 पर 4 और 6, 5 पर 5 और 10। 4 letters के लिए doubled products 6 होते, 4 नहीं। यही वह जगह है जहाँ letters वाला rule टूट जाता है और जोड़ों वाला टिका रहता है।

7:52identity तब कमाकर देती है जब वह किसी मुश्किल गुणा को आसान बना दे। 119 का square निकालो। 119 को 100 plus 10 plus 9 में तोड़ो। 6 हिस्से बनते हैं, और उन्हें जोड़ने से पहले लिख लेना ही असली चाल है। board पर ऊपर वाली row में 3 squares हैं और नीचे वाली में 3 doubled products. 3 squares 10000, 100 और 81 हैं। और 3 doubled products 2000, 1800 और 180 हैं।

8:25सब जोड़ने पर 14161। यहाँ एक भी मुश्किल गुणा नहीं हुआ। जो 6 हिस्से बने, उनमें से हर एक 1 अंक वाले गुणा से निकल आया। इसलिए तोड़ने की जगह हमेशा किसी सीधे number पर रखी जाती है। 10 से 999 तक के हर number को hundreds, tens और units में तोड़कर इसी तरह square किया गया। 990 numbers, और 0 ग़लत। अब सवाल सही और ग़लत का नहीं रहा।

8:566 numbers सामने रखो, 117, 78, 198, 214, 1104 और 1120। बहुत से students सोच रहे होते हैं कि 3 letters वाला rule हमेशा सबसे अच्छा है। किस number के लिए कौन सा split सबसे कम लिखाई माँगता है? 78 और 198 दोनों 2 हिस्सों में और minus के साथ आसान हैं। 80 minus 2, और 200 minus 2. उनके squares 6084 और 39204 हैं। 1104 और 1120 भी 2 हिस्सों में, पर plus के साथ, 1100 plus 4 और 1100 plus 20.

9:39उनके squares 1218816 और 1254400 हैं। 214 को 3 हिस्से चाहिए, 200 plus 10 plus 4, और उसका square 45796 है। 117 सबसे दिलचस्प है। 100 plus 10 plus 7 से 6 हिस्से बनते हैं, और 120 minus 3 से सिर्फ़ 3। दोनों रास्तों का जवाब 13689 ही है। इसलिए यहाँ सवाल मेहनत का है, सही और ग़लत का नहीं। 6 numbers, और उनके बीच split के 3 तरीक़े। और 3 तरीक़े गिने गए हैं, क्योंकि हिस्सों की गिनती अकेली काफ़ी नहीं थी।

10:212 हिस्सों वाले 2 तरह के हैं, plus वाला और minus वाला। board पर तीनों columns के नाम यही बता रहे हैं। बहुत से students को लगता है कि बीच में minus आते ही नई identity चाहिए। नई identity की ज़रूरत बिलकुल नहीं है। b को negative मान लो, और वही 6 terms बने रहते हैं। देखो, 3 squares के signs वहीं के वहीं रह जाते हैं, क्योंकि negative का square positive होता है।

10:48cross terms में से ठीक 2 negative हो जाते हैं। और वे ठीक वही 2 हैं जिनमें वह negative letter है। 3 a minus 2 b plus c, का square लो। यह 9 a squared plus 4 b squared plus c squared, minus 12 a b, minus 4 b c, plus 6 c a है। 3 cross terms में से 2 negative हैं और दोनों में b है। board पर उन 2 terms पर red निशान लगा है।

11:17तीसरे में b है ही नहीं, इसलिए उसका 6 positive रहता है। इसी तरह p plus 3 q plus 7 r, का square, p squared plus 9 q squared plus 49 r squared, plus 6 p q, plus 42 q r, plus 14 r p है। और fractions से डरने की ज़रूरत नहीं। m बटा 3, plus k बटा 2, plus 3 n, का square भी उन्हीं 6 terms में खुलता है।

11:44इसलिए यह rule किसी number की शक्ल नहीं पूछता। अब उल्टी दिशा। 6 terms दिए हैं और सवाल यह है कि यह किसी bracket का square है या नहीं। board पर ऊपर वाली row में ends हैं और नीचे वाली में cross terms. square वाले हिस्से 4, 9 और 36 हैं, और cross वाले 24, 36 और 12। ends से candidates मिल जाते हैं, क्योंकि 4, 9 और 36 तीनों के square roots पूरे हैं।

12:14पर cross terms उन candidates से मेल नहीं खाते। इसलिए recogniser इसे मना कर देता है। और मना करना जवाब है, चुप रह जाना नहीं। इसे 2 तरह से ठीक किया जा सकता है। 9 और 36 आपस में बदल लो, तो यह 2, 6, 3 का square बन जाता है। या उनकी जगह 12 और 24 बदल लो, तो यह 2, 3, 6 का square बनता है। देखो, दोनों मरम्मत board पर अलग-अलग जगह हुई हैं।

12:42ये 2 जवाब अलग expressions हैं, इसलिए टूटे हुए item का कोई एक जवाब है ही नहीं। जब किसी चीज़ की 2 अलग मरम्मत हो सकती हो, तो सही यह कहना है कि वह जैसी लिखी है वैसी square नहीं है। और यह test अधूरा नहीं है। एक ऐसा item भी दिया गया जिसके पहले 2 cross terms मेल खाते हैं और तीसरा नहीं। वह भी मना हुआ, इसलिए तीनों cross terms सच में जाँचे जाते हैं।

13:09अब दूसरी दिशा। a squared minus b squared, बराबर a plus b, गुना, a minus b. यह पुरानी बात है और इसका काम अब तक factorise करना था। board पर ऊपर यही line लिखी हुई है। b squared को दूसरी तरफ़ भेज लो। अब यह पढ़ता है, a squared बराबर a plus b, गुना, a minus b, plus b squared. fact वही है, एक भी नई बात नहीं मानी गई।

13:38पर काम बदल गया। पहला रूप difference को factorise करता है। दूसरा रूप square निकालता है, क्योंकि अब बाईं तरफ़ अकेला a squared खड़ा है। नीचे दोनों काम अलग-अलग लिखे हैं, एक ही fact से निकले हुए। इसकी वजह एक drawing में है। a लंबाई का square बनाओ, और नीचे b ऊँचाई की एक पट्टी काटो। a को 9 और b को 4 लो, तो पूरा square 81 का है।

14:05पट्टी का बायाँ हिस्सा a minus b चौड़ा है, यानी 5 by 4, और उसका area 20। उसे उठाकर घुमाओ और right side पर लगा लो। अब वह 4 by 5 है, area वही 20। घुमाने से area नहीं बदलता, इसलिए कुछ खोया नहीं। अब बचा क्या। ऊपर वाला हिस्सा और घुमाई हुई पट्टी मिलकर एक rectangle बनाते हैं, 13 across और 5 up, area 65। और जो कोना कभी हिला ही नहीं, वह 4 by 4 है, area 16।

14:3765 plus 16 बराबर 81, यानी पूरा square वापस मिल गया। इसलिए आख़िरी term कोई जुगाड़ नहीं है। वह वही कोना है जो अपनी जगह खड़ा रह गया। बहुत से students इसे याद करने वाली चीज़ समझते हैं, जबकि वह drawing में दिख रहा है। b को a से छोटा रखकर हर जोड़ी पर यह रचना दोबारा बनाई गई, 780 बार, और 0 बार टूटी। घुमाई हुई पट्टी की चौड़ाई ग़लत हो जाए, तो rectangle सही रहना बंद कर देता है।

15:07इसलिए 0 का मतलब यहाँ नापा हुआ 0 है। अब उसी rule से 55 का square। b को 5 लो। 55 plus 5 यानी 60, और 55 minus 5 यानी 50। 60 गुना 50 बराबर 3000, plus 25, बराबर 3025। एक भी मुश्किल गुणा नहीं हुआ, क्योंकि दोनों factors सीधे numbers बन गए। 35 का square 1225, 65 का 4225, 85 का 7225, और 105 का 11025। हर बार वही चाल चली, b को 5 लेकर।

15:52इन 4 जवाबों में कुछ दिख रहा है? हर जवाब 25 पर ख़त्म होता है। और उससे पहले वाला हिस्सा 2 पड़ोसी numbers का गुणा है। देखो, हर जवाब के आख़िरी 2 अंक वही हैं। 3 गुना 4 बराबर 12, इसलिए 1225। 6 गुना 7 बराबर 42, इसलिए 4225। 8 गुना 9 बराबर 72, इसलिए 7225, और 10 गुना 11 बराबर 110, इसलिए 11025। 5 पर ख़त्म होने वाले 400 numbers पर यह pattern जाँचा गया, और 0 पर टूटा।

16:32और pattern कुछ कह भी रहा है, क्योंकि एक क़दम इधर या उधर करते ही वह ग़लत हो जाता है। पूरी rearrangement 3781 जोड़ों पर जाँची गई, और 0 नाकाम रही। अब एक statement जो identity जैसा दिखता है। a plus b minus c, का square, plus a minus b plus c, का square, plus a minus b minus c, का square. क्या यह 2 a squared plus 2 b squared plus 2 c squared है?

17:06बहुत से students मान लेते हैं कि हाँ, क्योंकि statement सवाल की शक्ल में सामने आता है। इसे खोलकर board पर देखो। a squared का coefficient 3 आता है। और तीनों cross terms minus 2 के साथ बचे रह जाते हैं, इसलिए दोनों तरफ़ बराबर नहीं है। यहाँ सिर्फ़ 1 case ही बहुत है। हर letter को 1 रखो। बाईं तरफ़ 3 और दाईं तरफ़ 6। बराबर नहीं, इसलिए यह identity नहीं है।

17:34और यहाँ भी वही सावधानी। 729 triples में से 31 पर यह statement सही निकल आता है। इसलिए किसी एक जगह सही निकल आना identity होने का सबूत नहीं है। 1 case ग़लत साबित कर सकता है, पर कई cases सही होकर भी साबित नहीं करते। अब चौथा square भी साथ रख लो। a plus b plus c, का square, भी जोड़ो। अब हर cross term कट जाता है। बचता है 4 a squared plus 4 b squared plus 4 c squared, यानी 2 a का square, plus 2 b का square, plus 2 c का square.

18:11बाईं तरफ़ 4 squares और दाईं तरफ़ 3। इसकी drawing सबसे दिलचस्प है, और वह tiling नहीं है। a को 10, b को 2 और c को 1 लो। एक कोने पर 2 b का square, और उसके सामने वाले कोने पर 2 c का square. फिर 2 rectangles, 11 by 9 और 9 by 11, यानी बराबर पर घुमे हुए। ये 2 rectangles एक-दूसरे को काटते हैं। देखो, जहाँ वे एक-दूसरे के ऊपर आते हैं वहीं वह साझा हिस्सा है।

18:43वह भी एक square है, area 49, यानी 10 minus 2 minus 1 का square. दोनों कोने वाले squares किसी को नहीं छूते, और वे 5 overlaps सब 0 हैं। कोई 3 टुकड़े एक साथ नहीं मिलते, इसलिए 1 ही बार घटाना काफ़ी है। तो पूरा square बराबर है सब टुकड़ों का जोड़, कम वह हिस्सा जो 2 बार गिना गया। और जो हिस्सा घटाया गया, वही उस row का चौथा square है।

19:10इसीलिए 4 squares वाला statement 3 के बराबर बैठता है। यह drawing 364 triples पर बनाई गई, जहाँ a, b plus c से बड़ा है, और 0 पर नाकाम रही। और 1664 triples ऐसे हैं जहाँ यह figure बन ही नहीं सकती। नीचे grey में दोनों गिनतियाँ लिखी हैं। इसलिए बन पाने की शर्त कोई सजावट नहीं है, वह ज़्यादातर triples को बाहर कर देती है। पीछे मुड़कर देखो कि माना क्या गया था।

19:39सिर्फ़ 2 letters वाली identity, और कुछ नहीं। d सिर्फ़ एक नाम था, जो जवाब बनने से पहले चला गया। drawing ने वह दिया जो अकेली algebra नहीं देती, यानी वजह। 3 squares diagonal पर, इसलिए हर letter का square 1 बार। और हर जोड़ी 2 cells में, इसलिए हर cross term पर 2। पर drawing की एक सीमा भी है। बहुत से students को लगता है कि जो drawing नहीं दिखा सकती वह बात ग़लत होगी।

20:08उसमें a, b और c लंबाइयाँ हैं, इसलिए वह हर case पर बन नहीं सकती। a को 2, b को 3 और c को 4 रखो, तो साझा square की side negative हो जाती है और figure बनती ही नहीं। फिर भी statement वहाँ टिका रहता है, इसलिए drawing उन cases को ग़लत नहीं कहती, चुप रहती है। तो आज की 2 बातें। नई identity को नया proof नहीं चाहिए, अगर उसे पुरानी में बदला जा सके।

20:36और identity तब कमाकर देती है जब वह मुश्किल गुणा को आसान बना दे।