cubes का योग और अंतर, और तीन पदों वाली cubic identity

0:00board पर 2 products लिखे हैं और अभी दोनों में से किसी को खोला नहीं गया है। पहला है x minus y, गुना x squared plus x y plus y squared। दूसरा है x plus y, गुना x squared minus x y plus y squared। दोनों एक साथ इसलिए लिखे हैं कि पहला हम खोलेंगे और दूसरा तुम्हें बताना होगा। बिना गुणा किए बताना होगा, सिर्फ़ पहले वाले को देखकर।

0:27अब सिर्फ़ पीछे वाले bracket को देखो, x squared, x y, y squared। x की power चलती है 2, 1, 0 और y की power चलती है 0, 1, 2। यानी हर बार 1 degree का क़दम, और दोनों उल्टी दिशा में। यह छोटी सी बात ही पूरे topic की जड़ है। बहुत से students इस bracket को याद करने वाली चीज़ मानते हैं। पर यह याद करने की चीज़ नहीं, बनाई हुई चीज़ है, और आज हम देखेंगे कि किसलिए बनाई गई है।

0:582 terms को 3 terms से गुणा करोगे तो 6 products बनेंगे। उनमें से कितने बचेंगे? देखो, x से गुणा करने पर 3 products आते हैं, x cubed, x squared y और x y squared। minus y वाला हिस्सा 3 और बनाता है, और तीनों पर minus है। वे हैं minus x squared y, minus x y squared, minus y cubed। अब इन सबको collect करते हैं। यहाँ x squared y और minus x squared y आपस में कट जाते हैं, और x y squared और minus x y squared भी।

1:376 में से 4 चले गए, और 2 जोड़ियों में गए। जो बचा वह है x cubed minus y cubed। और कुछ नहीं बचा। यानी x minus y, x cubed minus y cubed का एक factor है। ध्यान दो कि कटे हुए terms पर लाल नहीं, उन्हीं का अपना रंग है। वे ग़लत नहीं थे, वे बस चले गए। इस video में लाल सिर्फ़ उस बात पर आता है जिसे हमने मना किया हो।

2:07अब वही 6 products एक grid में रखते हैं। ऊपर वाली row है minus y की और नीचे वाली x की। columns हैं y squared, फिर x y, फिर x squared। देखो, जो cells आपस में कटती हैं उन्हें जोड़ते हैं। grid में ऐसी सिर्फ़ 2 जोड़ियाँ हैं। और दोनों जोड़ें एक row से दूसरी row तक जाती हैं, किसी row के अंदर नहीं। दोनों जोड़ें ठीक 1 column का फ़र्क़ रखती हैं।

2:33क्योंकि x से गुणा करने पर हर term की x की power 1 बढ़ती है, और minus y से गुणा करने पर y की power 1 बढ़ती है। इसलिए एक row दूसरी के मुक़ाबले ठीक 1 क़दम खिसकी हुई है। अब grid के 2 सिरों को देखो। x गुना x squared के आगे कोई cell नहीं है, और minus y गुना y squared के पीछे कोई नहीं। इसीलिए वही 2 बचते हैं, और वही answer के 2 terms हैं।

2:59यह जाँचने के लिए कि कुछ इत्तिफ़ाक़ से नहीं हुआ, वही bracket x plus y से गुणा करो। फिर भी 6 products बनते हैं, पर उनमें से 0 कटते हैं, क्योंकि छहों का sign एक ही है। वहाँ collect करने पर पूरे 4 terms खड़े रह जाते हैं। अब दूसरे product पर आते हैं, x plus y गुना x squared minus x y plus y squared। गुणा किए बिना, इसका जवाब क्या होगा?

3:29जवाब है x cubed plus y cubed। वही ढाँचा है: बीच के terms जोड़ियों में कट जाते हैं और 2 सिरे बच जाते हैं। कई students को लगता है कि इन signs में कोई ख़ास बात नहीं। यहाँ आगे वाले bracket का sign और पीछे वाले bracket के बीच का sign, इन्हें जोड़ने के 4 तरीक़े हैं। उन 4 में से सिर्फ़ 2 सिमटकर 2 terms देते हैं। जो 2 काम करते हैं वे वही हैं जिनमें signs उल्टे हैं।

3:57minus वाले आगे के bracket के साथ plus वाला बीच का term, और plus वाले के साथ minus। बाक़ी 2 तरीक़ों में 4 terms खड़े रह जाते हैं, कुछ कटता ही नहीं। यहाँ इस पूरे topic की सबसे भारी ग़लतफ़हमी बैठती है। x cubed minus y cubed और x minus y का cube, ये 2 अलग चीज़ें हैं। एक में 2 terms हैं और दूसरे में 4। यहाँ एक छोटे grid पर x और y की 49 जोड़ियाँ लेकर दोनों को जाँचा गया।

4:29उनमें से सिर्फ़ 19 पर दोनों बराबर निकले। और वे 19 वही हैं जहाँ कोई एक letter 0 है या दोनों बराबर हैं। plus वाली जोड़ी के साथ भी यही होता है। x cubed plus y cubed और x plus y का cube उन्हीं 49 में से 19 पर मिलते हैं। फ़र्क़ इतना है कि वहाँ 19 वे हैं जहाँ कोई 0 है या दोनों उल्टे हैं। दूसरी ग़लतफ़हमी यह है कि x squared plus x y plus y squared कोई perfect square है।

4:59x plus y के square के बीच में 2 x y आता है, यहाँ सिर्फ़ x y है। इन 2 का मेल भी उन्हीं 49 जोड़ियों में से सिर्फ़ 13 पर होता है, जहाँ कोई letter 0 है। और यह bracket rationals पर टूटता भी नहीं। 1 गुना 1 minus 4 गुना 1 गुना 1 करने पर minus 3 आता है, जो किसी चीज़ का square नहीं है। इसलिए इसे और सरल करने की कोशिश मत करो।

5:25अब देखो, चारों identities एक card पर रख देते हैं। bracket के 2 cubes में 4-4 terms हैं और cubes के sum और difference में 2-2। इन 4 में से किन्हीं 2 को मिलाने के 6 तरीक़े हैं, और छहों में दोनों अलग निकलते हैं। अब पूछते हैं कि क्या x minus y आगे की powers में भी factor रहता है। x की fourth power minus y की fourth power को squares के difference की तरह तोड़ो, फिर पहले हिस्से को दोबारा तोड़ो।

5:53और x minus y अपने आप बाहर आ जाता है। fifth power पर यह चाल नहीं चलती, क्योंकि 5 को 2 बराबर हिस्सों में नहीं तोड़ सकते। इसलिए bracket लंबा कर देते हैं, और अब उसमें 5 terms हैं और हर coefficient 1 है। powers वैसे ही 1-1 क़दम चलती हैं, एक गिरती हुई और एक चढ़ती हुई। x minus y से यह गुणा 10 products बनाता है। उनमें से 8 कटते हैं और 4 जोड़ियों में कटते हैं।

6:20और बचते हैं वही 2 सिरे, x की fifth power minus y की fifth power। नीचे वाली list में यही हिसाब n के हर मान पर लिखा है, 2 से लेकर 8 तक। हर बार products 2 गुना n होते हैं, 2 को छोड़कर सब कटते हैं, और जोड़ियाँ n minus 1 होती हैं। 7 मानों में से सातों पर यही निकला। असली वजह एक ही line में कही जा सकती है।

6:45x की जगह y रखने पर x की n-th power minus y की n-th power हमेशा 0 हो जाती है, और जो expression x बराबर y पर 0 हो उसमें x minus y factor होता है। जिन 7 मानों पर जाँचा गया, सातों पर 0 आया। वही चीज़ plus वाले पर करो तो नहीं होती। x की fifth power plus y की fifth power उन्हीं 7 मानों में से सिर्फ़ 1 पर 0 होती है, और वह है ख़ुद 0।

7:13इसलिए यह बात minus के बारे में है, powers के बारे में नहीं। अब वही बनावट एक letter चौड़ी कर देते हैं। आगे है x plus y plus z, और पीछे है x squared plus y squared plus z squared minus x y minus x z minus y z। पीछे वाले में तीनों squares plus हैं और तीनों जोड़े minus। 3 terms को 6 terms तक फैलाओ तो 18 products बनते हैं।

7:40देखो, उन्हें 3 columns में लिखते हैं, हर column आगे वाले bracket के एक term का। हर column में 6 products हैं। पिछली बार 6 में से 2 बचे थे। इस बार 18 में से कितने बचेंगे? collect करने पर 18 में से 12 कट जाते हैं। और वे 6 जोड़ियों में कटते हैं। हर जोड़ी को एक ही number दे दिया गया है, ताकि गिनी जा सके। अब lines को देखो, हर एक 2 अलग columns के बीच जाती है।

8:11किसी भी जोड़ी के दोनों हिस्से एक ही column से नहीं आते। छहों जोड़ियों पर यह सही निकला, 6 में से 6। जो खड़ा रह गया वह है x cubed plus y cubed plus z cubed minus 3 x y z। 3 cubes, और x y z वाला 1 term। यही वह identity है जिस पर आगे का सारा काम टिका है। अब उस 3 को देखते हैं, जो सबसे ज़्यादा याद करने वाली चीज़ लगती है।

8:39पर वह किसी ने चुनी नहीं है। यहाँ हर column अपने अंदर से ठीक 1 minus x y z देता है, और वे 3 मिलकर minus 3 x y z बनाते हैं। contributions गिनो तो 3 निकलते हैं और हर एक का size 1 है। न कोई column 2 देता है, न कोई ख़ाली जाता है। इसलिए वह 3 गिनती है, coefficient नहीं। cubes के साथ भी यही ढाँचा है।

9:04हर column ठीक 1 cube बनाता है, और कोई column 2 नहीं बनाता। x वाला column x cubed देता है, y वाला y cubed, z वाला z cubed। identity को coefficients से नहीं, numbers से भी जाँचा गया। 343 triples पर दोनों तरफ़ बराबर निकला। और फिर उन्हीं 343 पर plain arithmetic से दोबारा, ताकि जाँचने वाला अपना ही काम न जाँच ले। अब एक सवाल जो इस identity के बिना बहुत भारी लगता है।

9:36board पर 3 numbers हैं जिनका जोड़ 10 है, जिनका गुणनफल 25 है, और जिनके squares का जोड़ 38 है। इनके cubes का जोड़ निकालो। पहली नज़र में लगता है कि पहले तीनों numbers ढूँढ़ने पड़ेंगे। यह वही जगह है जहाँ ज़्यादातर लोग अटकते हैं। पर इस पूरे हल में तीनों में से एक भी number कभी नहीं मिलता, और ज़रूरत भी नहीं पड़ती। identity में रखते हैं, सामने 10, और bracket में 38 minus जोड़ों का जोड़।

10:04दूसरी तरफ़ cubes का जोड़ minus 3 गुना 25। एक ही चीज़ बाक़ी है जो हमें दी नहीं गई, जोड़ों का जोड़। ध्यान देने वाली बात यह है कि तीनों दी गई बातें symmetric हैं। किसी triple को 6 तरीक़ों से क्रम में रखो, जोड़, जोड़ों का जोड़ और गुणनफल तीनों वही रहते हैं। जवाब भी वही रहता है, तो method किसी एक number पर टिक ही नहीं सकता। जो चीज़ बाक़ी थी वह दूसरी identity से आती है।

10:343 letters के sum का square होता है तीनों squares का जोड़, plus जोड़ों के जोड़ का 2 गुना। ऊपर देखो, 10 का square 100 है, और squares का जोड़ 38 दिया हुआ है। तो 100 बराबर 38 plus 2 गुना जोड़ों का जोड़। इससे जोड़ों का जोड़ निकलता है 31। अब वह ख़ाली जगह भर जाती है। 10 गुना, 38 minus 31, यानी 10 गुना 7, यानी 70। और 3 गुना 25 यानी 75 वापस जोड़ने पर जवाब आता है 145।

11:11इसे एक दूसरे रास्ते से भी जाँचा गया, जो इस identity को छूता ही नहीं। powers का जोड़ एक-एक करके बनाया जाता है, पहले squares का, फिर cubes का। वह रास्ता squares पर 38 और cubes पर 145 देता है, यानी वही। पूरे हल में जो भी इस्तेमाल हुआ, वह तीनों numbers में symmetric था। इसीलिए किसी एक को अलग से जानने की ज़रूरत नहीं पड़ी। एक सवाल बाक़ी है, वे 3 numbers आख़िर हैं क्या?

11:41जोड़, जोड़ों का जोड़ और गुणनफल मिलकर एक cubic तय कर देते हैं। वह है t cubed minus 10 t squared plus 31 t minus 25। इसका discriminant निकाला गया और वह है minus 439। 0 से नीचे, यानी इसकी 3 roots में से सिर्फ़ 1 real है। वह real root कहाँ है, यह भी देखा जा सकता है। 1 point 2 4 पर cubic 0 से नीचे है और 1 point 2 5 पर 0 से ऊपर।

12:11यानी root इन्हीं 2 के बीच कहीं है। तो सच यह है कि ऐसे 3 real numbers हैं ही नहीं जिनका जोड़, गुणनफल और squares का जोड़ ये तीनों हों। फिर भी जवाब 145 ठीक है, क्योंकि हर क़दम algebra का था, गिनने का नहीं। यही इस method की ताक़त है: वह कभी पूछता ही नहीं कि numbers क्या हैं। अब identity को उल्टा इस्तेमाल करते हैं। सामने है p cubed plus 27 q cubed plus r cubed minus 9 p q r।

12:45इसे factorise करना है। देखो, पहले 3 cubes पढ़ो, p cubed का cube root p है, 27 q cubed का 3 q, और r cubed का r। तो slots में जाते हैं p, 3 q और r। अब आख़िरी term जाँचो, 3 गुना p गुना 3 q गुना r बराबर 9 p q r, जो बिल्कुल वही है। तो जवाब है p plus 3 q plus r, गुना p squared plus 9 q squared plus r squared minus 3 p q minus 3 q r minus p r।

13:24हर बार तरीक़ा यही रहता है, पहले 3 cubes पढ़ो, फिर slots भरो, और फिर आख़िरी term से जाँच लो। अगर वह term मेल नहीं खाता तो यह identity नहीं है। अगला वाला देखने में डरावना है और मेल भी नहीं खाता। वह है 9 x cubed minus 8 by 3 y cubed plus z cubed by 3 plus 6 x y z। उसमें fractions हैं और आख़िरी term पर plus है।

13:52यहाँ बहुत सारे students मान लेते हैं कि कोई और identity चाहिए। पर identity वही है। सिर्फ़ एक common factor बाहर निकालना बाक़ी है, और जब तक वह अंदर है, slots कभी सीधे नहीं होंगे। एक तिहाई बाहर निकालो। अंदर बचता है 27 x cubed minus 8 y cubed plus z cubed plus 18 x y z। अब तीनों cubes साफ़ दिख रहे हैं। slots हैं 3 x, minus 2 y और z।

14:223 गुना 3 x गुना minus 2 y गुना z बराबर minus 18 x y z। identity में यह term minus के साथ आता है, तो minus का minus, यानी plus 18 x y z, और सामने वही लिखा है। तो factorisation बन जाती है, बस एक तिहाई बाहर लगा रहता है। आख़िरी 2 इनाम बाक़ी हैं और दोनों एक line में निकलते हैं। पहला यह कि n cubed minus n हर natural number पर 6 से divisible है, यही दिखाना है।

14:53n बाहर निकालो, फिर n squared minus 1 को तोड़ो, और मिलते हैं n minus 1, n, और n plus 1। यहाँ ये 3 लगातार numbers हैं, और बात यहीं ख़त्म हो जाती है। किन्हीं 3 लगातार numbers में 3 का गुणज ठीक 1 होता है, और even numbers 1 या 2 होते हैं, 0 कभी नहीं। तो गुणनफल में 2 भी है और 3 भी, यानी 6। पहले 500 whole numbers पर यह गिना गया।

15:20छहों पर बाँटने से बचा हुआ हिस्सा 500 में से 500 बार 0 रहा। और 3 के गुणज वाली बात भी 500 में से 500 बार सही निकली। यह जाँच ख़ाली नहीं है, इसे हिलाकर देखा गया है। उन्हीं 500 पर 4 से बाँटो तो 375 बार कुछ नहीं बचता और 125 बार 2 बचता है। यानी tally सचमुच कुछ नाप रही है। और claim 6 का है, 12 का नहीं।

15:4712 उन्हीं 500 में से सिर्फ़ 375 पर पूरा बाँटता है, वे जहाँ n odd है या 4 का गुणज है। इसलिए 6 कहना सही है और 12 कहना ग़लत होता। आख़िरी इनाम यह है। identity की एक तरफ़ पहला bracket x plus y plus z है। अगर वह 0 हो जाए तो पूरी दाईं तरफ़ 0 हो जाती है। तो cubes का जोड़ बराबर 3 गुना गुणनफल। और यही वजह है कि ऐसे सवाल 1 line में निकल जाते हैं जो देखने में लंबे लगते हैं।

16:20board पर जितने triples 0 में जुड़ते हैं वे 37 हैं। और उन 37 में से 37 पर यह बात सही निकली। पर सावधान रहो, यह हर जगह सही नहीं है। कुछ students इसे एक आम नियम मान लेते हैं। पूरे 343 triples में से सिर्फ़ 43 पर cubes का जोड़ 3 गुना गुणनफल के बराबर होता है। वे 43 ठीक-ठीक कौन से हैं, यह भी गिना गया। 37 triples 0 में जुड़ते हैं, और 7 triples के तीनों numbers बराबर हैं।

16:5037 plus 7 में से वह 1 triple हटाने पर, जो दोनों में गिना गया, 43 बचते हैं। शुरू में वह पीछे वाला bracket याद करने लायक़ लगता था। अब साफ़ है कि वह बनाया गया था, ताकि बीच की हर चीज़ के पास जाने की जगह हो। जो बचता है वह वही है जिसके पास जाने की जगह नहीं थी।