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Chapter 4 · Exploring Algebraic Identities

बँटे हुए square में से (a + b)² पढ़ लेना

What an identity is, and how to see one12 मिनट

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एक टुकड़े पर एक cut लगाइए, उसे भुजा मानकर square बनाइए, और ऊपर वाली भुजा तथा बाईं भुजा दोनों पर ठीक a की दूरी पर cut लगाइए। सिर्फ़ 2 cut से square 4 हिस्सों में बँट जाता है। a को 5 और b को 3 लीजिए तो चारों areas 25, 15, 15 और 9 निकलते हैं और उनका जोड़ 64 है, जो पूरे square का area है; यही figure 1600 जोड़ों की लंबाइयों पर दोबारा बनाया गया और 0 पर हिस्से square को ढकने में नाकाम रहे, 0 पर वे एक ही जगह पड़े।

मुख्य idea

बँटे हुए square के चार टुकड़े चार terms याद रखने का कोई सहारा भर नहीं हैं। वे उसकी वजह हैं कि ab वाले rectangle ठीक दो हैं, एक नहीं: horizontal भुजा को a पर काटना और vertical भुजा को भी ठीक उसी जगह काटना दो आज़ाद फ़ैसले हैं, इसलिए कोने वाले टुकड़े हमेशा जोड़े में आते हैं। 2ab का मतलब यही है। और (a − b)² की साथी तस्वीर बताती है कि घटाना पाने के लिए किसी diagram को बस आईने में उलट देना क्यों काफ़ी नहीं है: वहाँ identity को rectangles हटाकर बनानी पड़ती है, और आख़िर में जो +b² है वह सजावट नहीं है — वह उतना है जितना आप जो दूसरा rectangle हटाते हैं वह पहले से कम पड़ जाता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • a + b लंबाई का segment ऐसे खींचिए कि पहले a लंबाई का segment हो और उसके बाद b लंबाई का, और तीनों लंबाइयाँ अंकित कीजिए
  • उसी segment पर square बनाइए और उसके चारों टुकड़ों में से हर एक का हिसाब area से दीजिए
  • पूरे square का area दो तरीक़ों से बताइए और उन दोनों कथनों में से identity (a + b)² = a² + 2ab + b² पढ़ लीजिए
  • समझाइए कि दोनों rectangles congruent क्यों हैं, और यह कि वे एक के बजाय दो क्यों हैं
  • बताइए कि area वाला argument किस पाबंदी के तहत ही चलता है, और यह भी कि उसी पाबंदी की वजह से chapter आगे क्या करता है
  • identity की मदद से किसी two-digit या three-digit number को किसी गोल value पर तोड़कर square कीजिए
  • b की जगह −b रखकर (a − b)² = a² − 2ab + b² को (a + b)² = a² + 2ab + b² से निकालिए, और चारों terms के चिह्न जाँचिए
  • भुजा a वाले square के भीतर दो rectangles घटाकर (a − b)² का हिसाब दीजिए, और समझाइए कि +b² कहाँ से आता है
  • किसी गोल value से थोड़ा ही नीचे बैठे number को square करने के लिए (a − b)² का इस्तेमाल कीजिए

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
line segmentकिसी line का सीधा टुकड़ा जिसके दो सिरे हों, इसलिए उसकी एक तय लंबाई होती हैरेखाखंडइसी chapter में छपा है (§4.2, p. 69)
partitionकिसी क्षेत्र की ऐसी कटाई कि सारे टुकड़े मिलकर उसे ठीक एक बार पूरा कर देंविभाजनइसी chapter में छपा है (§4.2, p. 69)
geometrical modelऐसी drawing जिसके areas या volumes किसी बीजगणितीय कथन के terms का काम करते हैंज्यामितीय मॉडलइसी chapter में छपा है (§4.4, Fig. 4.4 का caption, p. 76)
square of sideकिसी बताई हुई लंबाई पर खींचा गया square, जिसका area उसी लंबाई का वर्ग होता हैदी हुई भुजा का वर्गइसी chapter में छपा है (§4.2, Fig. 4.2 का caption, p. 69)
areaकोई क्षेत्र जितनी सतह घेरता है, square units में नापा हुआक्षेत्रफलइसी chapter में छपा है (§4.2, p. 69)
square unitsवह इकाई जिसमें area नापा जाता है — इकाई लंबाई पर बना squareवर्ग इकाईइसी chapter में छपा है (§4.3, p. 74)
rectangleचार भुजाओं वाली आकृति जिसके सारे कोण समकोण होंआयतइसी chapter में छपा है (§4.2, p. 69)
identityऐसी समानता जो अक्षर चाहे जिस चीज़ के लिए खड़े हों, टिकी रहती हैसर्वसमिकाइसी chapter में छपा है (§4.2, p. 70)
distributive propertyनियम a(b + c) = ab + ac, जिसे Fig. 4.3 की छपी हुई derivation इस्तेमाल करती हैबंटन गुणइसी chapter में छपा है (§4.2, p. 70)
binomialदो terms वाला expression, यहाँ जिसे square किया जा रहा हैद्विपदइसी chapter में छपा है (§4.2, p. 71)
cross term2ab वाला टुकड़ा — expansion का वह हिस्सा जो न a² है न b²मध्य पदयहाँ जोड़ा गया शब्द; chapter दोनों rectangles खींचता तो है, पर उन्हें कोई साझा नाम नहीं देता
dissection argumentऐसी उपपत्ति जो कुल area बदले बिना किसी figure के टुकड़े इधर-उधर जमा देती हैविच्छेदन तर्कयहाँ जोड़ी गई भाषा; इस chapter में छपी हुई नहीं है

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Manjari का हिंदी संस्करण मैंने नहीं देखा, इसलिए इसे उस संस्करण की हूबहू शब्दावली नहीं, बल्कि आम मानक शब्दावली मानिए।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "a² + 2ab + b² में चार terms इसलिए हैं क्योंकि square के चार टुकड़े हैं, और बात बस इतनी ही है।" गिनती नतीजा है, वजह नहीं। ab वाले टुकड़े दो इसलिए हैं कि horizontal काट और vertical काट एक-दूसरे से आज़ाद लगाई जाती हैं, इसलिए a और b में से हर एक दूसरे के साथ ठीक एक बार जोड़ी बनाता है।
  • "ab वाले दोनों rectangle एक ही rectangle हैं।" वे congruent हैं पर उनकी दिशा अलग है: एक b चौड़ा और a ऊँचा है, दूसरा a चौड़ा और b ऊँचा। chapter की अपनी artwork दोनों को एक ही fill देती है, जो बराबर area का इशारा है, एक ही चीज़ होने का नहीं।
  • "तस्वीर identity को सारे numbers के लिए साबित कर देती है।" page ख़ुद दावे को लंबाइयों तक सीमित करता है, और लंबाइयाँ धनात्मक होती हैं। आम दावा तीन पैराग्राफ़ बाद distributivity से कमाया जाता है।
  • "(a − b)² = a² − b²।" पूरे chapter की सबसे आम ग़लती यही है, और Fig. 4.3 उसे आँखों के सामने ही ख़त्म कर देती है: a² − b² तो आकार से ही ग़लत है — भुजा a वाले square में से b गुणा b का कोना हटाइए तो जो बचता है वह L है, square नहीं।
  • "b की जगह −b रखने से हर चिह्न पलट जाता है।" एक पलटता है। a² में b है ही नहीं, और (−b)² धनात्मक है। तीनों terms पर अलग-अलग चलिए।
  • "(a − b)² में जो +b² है वह numbers बिठाने की जुगाड़ है।" वह वही overlap है जिसे वरना आप दो बार हटा देते। दोनों हटावों की हरकत दिखाइए और कोने को पहले हटने दीजिए, फिर वापस मिलने दीजिए।
  • "identity तभी इस्तेमाल हो सकती है जब a और b whole numbers हों।" Exercise Set 4.1 दोनों जगहों पर fractions और reciprocals रख देता है; derivation में किसी को इससे कोई फ़र्क़ नहीं पड़ा।
  • "193 को 200 − 7 की तरह तोड़ना सीधे गुणा कर लेने से ज़्यादा मुश्किल है।" समझाते हुए एक बार दोनों तरीक़ों की दौड़ करवाइए। यहाँ identity की बात ख़ूबसूरती नहीं है, बात यह है कि तीनों टुकड़ों में से दो निकालना बिलकुल मामूली है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Exercise Set 4.1 Q1, Exercise Set 4.1 Q2, Exercise Set 4.2 Q2, Exercise Set 4.4 Q2, End-of-Chapter Exercises Q7

पूरा transcript1,913 शब्द

एक सीधा टुकड़ा खींचिए और उस पर एक जगह निशान लगाइए। अब यह 2 हिस्सों में बँट गया है। बाएँ हिस्से को a कहिए और दाएँ हिस्से को b। ये दोनों लंबाइयाँ हैं, इसलिए दोनों positive हैं। पूरे टुकड़े की लंबाई a plus b है। एक cut ने इसे 2 हिस्सों में बाँटा, और दोनों की लंबाई जोड़ने पर यही पूरा वापस आता है। ध्यान दीजिए कि अभी तक कोई दावा नहीं किया गया है।

यहाँ सिर्फ़ नाम रखे गए हैं, और यही वह जगह है जहाँ a और b तय होते हैं। अब इसी टुकड़े को भुजा मानकर एक square बनाइए। उस square के अंदर जो दिखेगा, वही इस topic का पूरा जवाब है। टुकड़े को ऊपर की तरफ़ सरकाइए और एक square बन जाता है। इसकी हर भुजा a plus b लंबी है। ऊपर वाली भुजा पर a की दूरी पर एक cut लगाइए।

बाईं भुजा पर भी ठीक a की दूरी पर एक cut लगाइए। सिर्फ़ 2 cut लगाने से square 4 हिस्सों में बँट जाता है। इन चारों को अलग-अलग देखिए। ऊपर बाएँ वाला हिस्सा a का square है और नीचे दाएँ वाला b का square। बाक़ी 2 हिस्से आयत हैं, इसलिए हर एक का area a गुना b है। a को 5 और b को 3 लीजिए। चारों areas निकलते हैं 25, 15, 15 और 9, और इनका जोड़ 64 है।

पूरे square का area भी 64 ही है। पहली नज़र में एक जोड़ा काफ़ी लगता है, पर यह सिर्फ़ एक जोड़े पर नहीं देखा गया। 1600 जोड़ों की लंबाइयों पर यही figure दोबारा बनाया गया। इनमें से 0 पर हिस्से square को ढकने में नाकाम रहे, और 0 पर वे एक ही जगह पर पड़े। बहुत से students इसे बस याद कर लेते हैं। कि बीच वाला term 2 गुना इसलिए है क्योंकि rule में ऐसा ही लिखा रहता है।

असल वजह तस्वीर में है, याद रखने में नहीं। तो 2 ही cut से 4 हिस्से क्यों बनते हैं? असली वजह यह है कि दोनों cut अलग-अलग फ़ैसले हैं। ऊपर वाली भुजा पर आप a चुन सकते हैं या b, और बाईं भुजा पर भी। तो जोड़े बनाने के तरीक़े 2 गुना 2 यानी 4 हैं। table के चारों खाने भर जाते हैं। इनमें से 2 खाने मिले-जुले हैं, a के साथ b और b के साथ a।

1 खाना a के साथ a है और 1 b के साथ b। यही 2 मिले-जुले खाने वे 2 आयतें हैं। एक और ग़लतफ़हमी यह है कि ये दोनों आयतें एक ही चीज़ हैं। एक a चौड़ी और b ऊँची है, दूसरी b चौड़ी और a ऊँची। area दोनों का बराबर है, पर इनमें से कोई square नहीं है। 1600 जोड़ों में से सिर्फ़ 40 पर इनकी shape भी एक जैसी होती है।

वे वही हैं जिनमें cut बीचोंबीच पड़ा है। अब यहाँ एक ही area को 2 तरह से लिखिए। पहला तरीक़ा यह है कि पूरे square की भुजा a plus b है, तो area a plus b का square हुआ। दूसरा तरीक़ा यह है कि चारों हिस्सों का area जोड़ दीजिए। वह है a का square, plus a गुना b, plus b गुना a, plus b का square। एक ही जगह को 2 तरह से लिखने से मिलता क्या है?

देखिए, यह एक ही जगह है, सिर्फ़ 2 तरह से बताई गई है। इसलिए दोनों लिखावटें बराबर होनी ही चाहिए। a गुना b और b गुना a एक ही चीज़ हैं, इसलिए वे मिलकर बीच वाला term बनाते हैं। बचते हैं 3 terms, जिनके coefficients 1, 2 और 1 हैं। इसमें और कुछ नहीं है। कोई cube नहीं, अकेला a नहीं, और कोई खाली number भी नहीं। पहली नज़र में ये सिर्फ़ letters लगते हैं।

पर इस board पर a और b लंबाइयाँ हैं, numbers नहीं। लंबाई कभी negative नहीं होती। इसलिए यह तस्वीर negative numbers से कभी मिलती ही नहीं। यहाँ एक grid लीजिए जिस पर जोड़ों की गिनती 1681 है। इनमें से सिर्फ़ 400 जोड़े ऐसे हैं जिन पर यह तस्वीर बन सकती है। तो बाक़ी जोड़ों का क्या? तस्वीर उन्हें ग़लत नहीं कहती, वह उनके बारे में कुछ कहती ही नहीं। वह सवाल खुला छोड़ देती है, और उसे बंद करने का काम एक अलग रास्ता करता है।

इस तस्वीर से मिलता क्या है? 43 का square निकालिए, पर लंबी गुणा किए बिना। 43 को 40 और 3 में तोड़िए। यहाँ वही तस्वीर है, बस असली नाप पर खींची हुई। सबसे बड़ा हिस्सा 40 गुना 40 है, यानी 1600। 2 पट्टियाँ हैं और हर एक 40 गुना 3 यानी 120 की, और कोने वाला हिस्सा 9 का। चारों जोड़ने पर 1849 आता है, और यही 43 का square है।

इसी तरह 64 का square 4096 है, 105 का square 11025 है, और 205 का square 42025 है। हर बार तोड़ने की जगह एक round number पर रखी गई है। round number लेने से पहला हिस्सा और बीच वाला हिस्सा दोनों आसान हो जाते हैं। मुश्किल सिर्फ़ आख़िरी छोटा square बचता है। अगली बार कोई square निकालना हो तो तोड़ने की जगह ख़ुद चुनिए। जो जगह पहले 2 हिस्सों को आसान कर दे, वही सही जगह है।

तस्वीर negative b नहीं खींच सकती, पर लिखा हुआ rule उसे झेल सकता है। तीनों terms में b की जगह minus b रखकर देखिए। पहले term का क्या होगा? पहले term में b है ही नहीं। इसलिए a का square जैसा था वैसा ही रहता है। बीच वाले term में b एक बार आता है। इसलिए 2 गुना a गुना b का sign बदल जाता है। आख़िरी term में b का square है।

minus b को square करने पर जवाब positive ही आता है, इसलिए यह भी नहीं बदलता। बहुत से students मान लेते हैं कि सारे sign बदल जाते हैं। 3 terms में से सिर्फ़ 1 बदला है। a minus b को a minus b से गुणा करके भी देख लीजिए। वही जवाब आता है, यानी बदलाव सही तरह से किया गया है। क्या कोई तस्वीर घटाना भी दिखा सकती है? इस बार जो square बनेगा उसकी भुजा a है।

ध्यान दीजिए, a minus b नहीं, पूरा a। इसे 3 हिस्सों में काटिए। ऊपर बाएँ a minus b का square है, उसके नीचे एक छोटी पट्टी है, और दाईं तरफ़ पूरी ऊँचाई वाली एक पट्टी। ऊपर वाली भुजा को a minus b और b में बाँटकर दिखाइए। बाईं भुजा पर भी यही निशान लगाइए, क्योंकि इनके बिना तस्वीर पढ़ी ही नहीं जा सकती। a को 5 और b को 2 लीजिए।

तीनों areas निकलते हैं 9, 6 और 10, और इनका जोड़ 25 है, जो पूरे square का area है। यह figure उन 780 जोड़ों पर दोबारा बनाया गया जिनमें b, a से छोटा है। इनमें से 0 पर हिस्से square को ढकने में नाकाम रहे। अब उस a minus b वाले square पर ध्यान दीजिए। वह पूरे square में से 2 पट्टियाँ हटाने के बाद जो बचता है, वही है।

उस कोने वाले square का area कितना है? पूरे square का area a का square है। उसमें से दाईं पट्टी का area घटाइए, जो a गुना b है, और फिर नीचे वाली पट्टी का, जो b गुना a minus b है। अब bracket खोलिए। जो बचता है वह है a का square, minus a गुना b, minus b गुना a, plus b का square। बीच के 2 हिस्से एक ही चीज़ हैं, तो वे मिलकर 2 गुना a गुना b बनाते हैं।

नतीजा है a का square, minus 2 गुना a गुना b, plus b का square। एक फ़र्क़ ध्यान देने लायक़ है। पहली तस्वीर में हिस्से बस जोड़ने थे, यहाँ bracket खोलना पड़ा। आख़िरी term plus b का square है। पहली नज़र में यह किसी जुगाड़ जैसा लगता है, जो जवाब मिलाने के लिए जोड़ दिया गया हो। क्या यह सचमुच जुगाड़ है? दाईं वाली पट्टी हटाइए। यह पूरी ऊँचाई की है, इसलिए इसका area पूरा a गुना b है।

अब नीचे वाली पट्टी हटाइए। यह पूरी नहीं है, सिर्फ़ a minus b चौड़ी है। इसे पूरी पट्टी के बग़ल में रखकर देखिए। यह ठीक b का square जितनी कम पड़ती है। अगर आप पूरी पट्टी 2 बार हटा दें, तो वह छोटा कोना 2 बार हट जाता है। जबकि वह square में सिर्फ़ 1 बार था। इसलिए आख़िरी term जुगाड़ नहीं है। वह उस कोने को वापस रख रहा है जो 2 बार हट गया था।

बहुत से students यही लिखते हैं। कि a minus b का square बराबर a का square minus b का square होता है। अगर यह सच होता तो तस्वीर कैसी दिखती? इसे मानकर तस्वीर बनाइए। a भुजा वाले square में से b गुना b का एक कोना काट दीजिए। जो बचा है उसे ढकने के लिए 1 आयत काफ़ी नहीं, 2 चाहिए। a को 5 और b को 2 लेने पर बचा हुआ area 21 है, जबकि उसे घेरने वाला सबसे छोटा box 25 का है।

फ़र्क़ 4 का है, यानी ठीक वही कोना जो काटा गया था। इसलिए यह ग़लत सिर्फ़ number में नहीं है। यह shape में भी ग़लत है, क्योंकि बचा हुआ हिस्सा square है ही नहीं। पूरे grid पर गिनकर देखिए। 1681 जोड़ों में से 81 पर यह ग़लत बात सच निकल आती है। वे ठीक वही हैं जिनमें b, 0 है या a और b बराबर हैं। और दूसरा rule किस काम आता है?

जो number किसी round number से थोड़ा नीचे है, उसका square ऊपर से लीजिए। पहली पंक्ति देखिए। 29 को 30 minus 1 लिखिए। 900 में से 60 घटाकर 1 जोड़ने पर 841 आता है। इसी तरह 79 का square 6241 है, 193 का square 37249 है, और 299 का square 89401 है। 193 के लिए b को 7 लेना पड़ता है, इसलिए आख़िरी हिस्सा 49 का है। आख़िरी हिस्से को छोड़ दीजिए तो 193 के square में जवाब 49 से ग़लत हो जाता है।

यह छोटी ग़लती नहीं है। वही हिस्सा 299 के square में छोड़ें तो जवाब सिर्फ़ 1 से ग़लत होता है। इसलिए आख़िरी हिस्सा कितना बड़ा है, यह b पर टिका है। क्या यह रास्ता सचमुच तेज़ है? बाईं तरफ़ देखिए। 193 को 193 से लंबी गुणा में करने पर हर digit हर digit से गुणा होता है। इस तरह एक digit वाले products की गिनती 9 है। अब दाईं तरफ़ देखिए।

200 minus 7 वाले रास्ते में सिर्फ़ 3 हिस्से निकालने होते हैं। 40000, फिर 2800, और फिर 49। बहुत से students इसे सिर्फ़ एक चालाकी मानते हैं। इनमें से पहले 2 हिस्से round numbers से बनते हैं, इसलिए मन में हो जाते हैं। फ़ायदा गिनती में है, सिर्फ़ सुंदरता में नहीं। आख़िर में यहाँ दोनों तस्वीरें साथ रखिए। एक में हिस्से जोड़े जाते हैं और दूसरी में हटाए जाते हैं।

दोनों में हिस्से square को ठीक-ठीक भर देते हैं। फ़र्क़ यह है कि दूसरी में कोने वाला square बाक़ी 2 पट्टियाँ हटाकर पाया जाता है। दोनों के नीचे लिखी गिनती देखिए। पहली तस्वीर 1681 जोड़ों में से 400 पर बन सकती है। दूसरी सिर्फ़ 190 पर, क्योंकि उसे b का a से छोटा होना भी चाहिए। जबकि rule पूरे 1681 जोड़ों पर टिकता है। यानी हर तस्वीर जितने जोड़ों के बारे में बोलती है, उससे ज़्यादा के बारे में चुप है।

तो एक तस्वीर देती क्या है? वह यह देती है कि वजह दिखाई देने लगती है। 2 आयतें दिखती हैं, इसलिए बीच वाला term 2 गुना होता है, और यह याद रखने की बात नहीं रह जाती। और जो वह नहीं देती वह यह है कि जिन जोड़ों को खींचा ही नहीं जा सकता, उनके बारे में वह चुप रहती है। उन्हें ढकने के लिए एक ऐसा रास्ता चाहिए जिसमें कोई नाप न हो।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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