9 के लिए अंकों के योग वाली जाँच, और उसके नीचे का algebra

0:00ये रही एक संख्या, 4075, इसे ज़रा ध्यान से देखिए। इसमें 7 का मान क्या है? मान 7 नहीं है, वो 10 वाली जगह पर खड़ा है, इसलिए उसका मान 70 है। हर अंक का मान उसकी जगह से तय होता है, यानी 4075 बराबर 4 गुणा 1000, प्लस 0 गुणा 100, प्लस 7 गुणा 10, प्लस 5 होता है। इन हिस्सों को वापस जोड़िए, तो फिर से 4075 मिलता है, ये कोई जादू नहीं, संख्या असल में यही है।

0:32अब सवाल ये है, क्या 4075, 10 का multiple है? देखिए, 1000 खुद 10 का multiple है, 100 उसका multiple है, और 10 तो है ही। यानी इकाई से ऊपर का हर हिस्सा पहले से 10 का multiple है, वो जवाब को किसी तरफ़ नहीं झुका सकता। फ़ैसला सिर्फ़ इकाई का अंक करता है, और वो 5 है, इसलिए जवाब है नहीं, 4075 बराबर 10 गुणा 407 प्लस 5 होता है।

1:03यही तर्क 5 और 2 के लिए भी चलता है, आख़िरी अंक 5 होने से 4075, 5 का multiple है, पर 2 का नहीं। अब एक मुश्किल सवाल, क्या 99009, 9 का multiple है? ये संख्या सिर्फ़ 9 और शून्य से बनी है। इसे खोलें, तो 9 गुणा 10000, प्लस 9 गुणा 1000, प्लस 0 गुणा 100, प्लस 0 गुणा 10, प्लस 9 बनता है। जिस हिस्से में 9 है, वो 9 गुणा कुछ है, और शून्य वाले हिस्से कुछ जोड़ते ही नहीं।

1:39तो जवाब है हाँ, 99009 बराबर 9 गुणा 11001 होता है। और इसके अंकों का जोड़ 27 है, ये बात याद रखिए। यही तर्क 999, 909, 900, 90 और 990 पर भी चलता है। जैसे 999 बराबर 9 गुणा 111, 909 बराबर 9 गुणा 101, और 990 बराबर 9 गुणा 110 है, यानी सारी 5 संख्याएँ 9 की multiples हैं। ये किसी नियम जैसा दिखता है, पर ये बस एक ख़ास हालत है, और ये आगे हमें भटकाने वाली है।

2:20तो अगला ख़याल यही आता है, कि जैसे 10 वाले test में किया था, वैसे ही यहाँ भी आख़िरी अंक देख लें। संख्या 99 का आख़िरी अंक 9 है, और 99 बराबर 9 गुणा 11 है, यानी ये multiple है। संख्या 109 का आख़िरी अंक भी 9 है, पर 109 बराबर 9 गुणा 12 प्लस 1 है, यानी इसमें 1 बचता है। मतलब यहाँ आख़िरी अंक कुछ भी तय नहीं करता।

2:45गिनकर देखिए, 4000 से नीचे 9 पर ख़त्म होने वाली संख्याएँ 400 हैं, और इन 400 में से सिर्फ़ 45, 9 की multiples हैं। और ये किस्मत की बात नहीं है, 10 वाला test इसलिए चला, क्योंकि इकाई से ऊपर की हर जगह 10 का multiple थी। पर 10, 9 का multiple नहीं है, और न ही 100, 9 का multiple है। इसलिए ऊपर की जगहें भी कुछ न कुछ बचाती हैं, और हमें पता करना है कि ठीक-ठीक कितना।

3:16छोटे से शुरू कीजिए, और 10 को 9 से भाग दीजिए। यहाँ 10 बराबर 9 गुणा 1 प्लस 1 है, यानी 1 बचता है। फिर 20 बराबर 9 गुणा 2 प्लस 2 है, यानी 2 बचते हैं। इसी तरह 30 में 3 बचते हैं, और 40 बराबर 9 गुणा 4 प्लस 4 है, यानी 4 बचते हैं। पैटर्न साफ़ है, बचा हुआ ठीक उतना है, जितने 10 हैं। और ऐसा होना ही था, क्योंकि हर 10, एक 9 से ठीक 1 ज़्यादा है।

3:47तो 40 के अंदर 4 बार 9 है, और हर 10 से 1 बचा हुआ, यानी कुल 4 बचे हुए हैं। पर 90 तक चलिए, उसमें 10 के 9 हिस्से हैं, फिर भी बचा हुआ 0 है, क्योंकि 9 बचे हुए मिलकर खुद एक और 9 बन जाते हैं। तो बचे हुए पहले गिने जाते हैं, फिर दायरे में लाए जाते हैं, 80 में 8 बचते हैं, पर 90 में कुछ नहीं बचता।

4:11अब यही सवाल 100 वाली जगह से पूछिए। यहाँ 100 बराबर 9 गुणा 11 प्लस 1 है, यानी फिर से 1 बचता है। फिर 200 में 2 बचते हैं, 300 में 3, और 400 बराबर 9 गुणा 44 प्लस 4 होता है। वही पैटर्न है, बचा हुआ उतना है, जितने 100 हैं। और वजह भी वही है, 100 बराबर 99 प्लस 1 है, और 99 बराबर 9 गुणा 11 है।

4:39तो 400 में 4 गुणा 99 यानी 396 का एक ढेर है, जो 9 का multiple है, और साथ में 4 बचे हुए हैं। जगह कोई भी हो, उसकी हर एक copy ठीक 1 बचाती है। इसलिए किसी जगह से बचा हुआ, बस उस जगह पर खड़ा अंक है। अब इसे एक असली संख्या पर आज़माइए, 427 पर। इसे जगहों में तोड़िए, यानी 400, 20 और 7 में। अब 400 से 4 बचते हैं, 20 से 2, और इकाई के 7 से पूरे 7 बचते हैं।

5:15बचे हुए जोड़िए, तो 4 प्लस 2 प्लस 7 बराबर 13 होता है। पर 13, 9 से भाग का बचा हुआ नहीं हो सकता, उसके अंदर एक और 9 छिपा है। यहाँ 13 बराबर 9 प्लस 4 है, वो 9 निकाल दीजिए, तो 4 बचते हैं। यानी 427 बराबर 9 गुणा 47 प्लस 4 होता है। और देखिए कि हमने असल में क्या किया, हमने बस उसके अंक जोड़ दिए।

5:44अब सारी जगहों के मान एक के नीचे एक लिखिए, और पूछिए, अंक जोड़ना आख़िर काम क्यों करता है? पहले 1 बराबर 0 प्लस 1, फिर 10 बराबर 9 प्लस 1, और 100 बराबर 99 प्लस 1 होता है। आगे 1000 बराबर 999 प्लस 1 है, और 10000 बराबर 9999 प्लस 1 है। यानी हर जगह का मान, सिर्फ़ 9 से बनी एक संख्या से ठीक 1 ज़्यादा है। और सिर्फ़ 9 से बनी संख्या हमेशा 9 की multiple होती है, 99 बराबर 9 गुणा 11, 999 बराबर 9 गुणा 111, और 9999 बराबर 9 गुणा 1111 है।

6:26क्या बड़ी संख्याओं पर ये कहीं टूटता है? नहीं, क्योंकि 9 से बनी हर संख्या, 9 गुणा 1 से बनी संख्या होती है, लंबाई चाहे जितनी हो। बस यही एक बात, इस पूरे test का इंजन है। इसलिए हर जगह ठीक 1 बचाती है, वो जगह कितनी भी ऊँची क्यों न हो। अब ये बात एक पूरी संख्या में डालकर देखिए। किसी भी संख्या को उसकी जगहों में लिखिए, और हर जगह के मान की जगह, 9 वाली संख्या प्लस 1 रख दीजिए।

6:57अब गुणा खोलिए, तो संख्या 2 ढेरों में बँट जाती है। पहला ढेर है, हर अंक गुणा उसकी जगह वाली, 9 से बनी संख्या। ये ढेर 9 का multiple है, क्योंकि ये 9 के multiples के सिवा किसी चीज़ से बना ही नहीं है। इसलिए बचे हुए में, इस ढेर का कोई हिस्सा नहीं होता। दूसरा ढेर है, हर अंक की एक खुली copy। और इन खुली copies को जोड़ें, तो ठीक अंकों का जोड़ मिलता है।

7:25जैसे 427 में ढेर है 4 गुणा 99 प्लस 2 गुणा 9, यानी 414, जो 9 गुणा 46 है, और खुला हिस्सा 13 है। अब यही काम 7309 पर करके देखिए। इसे खोलें, तो 7 गुणा 1000, प्लस 3 गुणा 100, प्लस 0 गुणा 10, प्लस 9 बनता है। हर मान बदलिए, तो 7 गुणा 999 प्लस 7 आता है, 3 गुणा 99 प्लस 3 आता है, और आख़िर में 9 रहता है।

7:59पहला ढेर है 6993 प्लस 297, यानी 7290, जो 9 गुणा 810 है। खुला हिस्सा है 7 प्लस 3 प्लस 0 प्लस 9, यानी ये 19 होता है। और 7290 प्लस 19 बराबर 7309 है, वही संख्या जिससे हमने शुरू किया था। पहला हिस्सा कुछ नहीं बचाता, इसलिए 7309 उतना ही बचाता है, जितना 19 बचाता है। यानी संख्या और उसके अंकों का जोड़, 9 से भाग पर बराबर बचाते हैं, 0 से 3999 तक, 4000 में से 4000 संख्याओं पर यही निकलता है।

8:41पूरा सिद्धांत बस इतना ही है, इससे ज़्यादा कुछ नहीं। पर 19 अभी भी बचा हुआ बनने के लिए बहुत बड़ा है, तो यही कदम दोबारा उठाइए। अब 1 प्लस 9 बराबर 10, ये भी बड़ा है, फिर 1 प्लस 0 बराबर 1 होता है। यानी 7309 में 1 बचता है, भाग देकर देखें तो 7309 बराबर 9 गुणा 812 प्लस 1 है। इससे एक जाना-पहचाना नियम निकलता है, अंक तब तक जोड़ते रहिए, जब तक एक ही अंक न बचे, और वही अंक बचा हुआ है।

9:16ये नियम लगभग ठीक है, बस एक हालत में ये ग़लत जवाब देता है। जैसे 999 के अंकों का जोड़ 27 है, और 27 के अंकों का जोड़ 9 है। पर 999 में तो कुछ नहीं बचता, वो खुद 9 का multiple है। असल में 9 के हर multiple पर ये नियम 9 बताता है, जबकि असली बचा हुआ 0 है, 4000 से नीचे 444 में से 444 multiples पर यही होता है।

9:42इसलिए जब ये सिलसिला 9 पर रुके, तो उसे 0 पढ़िए। और ये बात मायने रखती है, क्योंकि लोग ये नियम ठीक 9 के multiples ढूँढने के लिए ही इस्तेमाल करते हैं। अब ये test दोनों दिशाओं में चलता है, और ये जितना सुनाई देता है, उससे बड़ा दावा है। कोई संख्या 9 की multiple ठीक तब होती है, जब उसके अंकों का जोड़ 9 का multiple हो। इसमें पहली बात ये है, कि संख्या multiple हो, तो अंकों का जोड़ भी multiple होगा।

10:13और दूसरी बात ये है, कि अंकों का जोड़ multiple हो, तो संख्या भी multiple होगी। ये 2 अलग दावे हैं, और दोनों इसलिए सच हैं, क्योंकि संख्या और अंकों का जोड़, बिलकुल एक जैसा बचाते हैं। इसी से 4 कथन बनते हैं, मूल दावा, उसका उल्टा, और दोनों के 'नहीं' वाले रूप, और 1 से 3999 तक ये सारे 4 कथन सच निकलते हैं। पर क्या हर test के साथ ऐसा ही होता है?

10:42ये 2 दिशाएँ अलग दावे क्यों हैं, ये देखने के लिए यही test 7 पर आज़माइए। संख्या 14 बराबर 7 गुणा 2 है, पर उसके अंकों का जोड़ 5 है। और 16 के अंकों का जोड़ 7 है, पर 16 बराबर 7 गुणा 2 प्लस 2 है। यानी 7 के लिए दोनों दिशाएँ टूटती हैं, और हर एक अपने अलग उदाहरण पर। पर 9 के लिए, 1 से 3999 तक, किसी भी दिशा में ऐसा एक भी उदाहरण नहीं मिलता।

11:13अब एक तरफ़ 9 की जगह 3 रखिए, तो 9 के हर multiple के अंकों का जोड़, 3 से पूरा बँटता है। पर उल्टी दिशा टूट जाती है, 12 के अंकों का जोड़ 3 है, और 12 बराबर 9 गुणा 1 प्लस 3 है, यानी ये 9 का multiple नहीं है। यानी ऐसा हो सकता है कि एक दिशा सच हो और दूसरी झूठ, पर 9 वाले test में दोनों दिशाएँ साथ-साथ सच हैं।

11:40दोनों दिशाएँ सच हैं, इसलिए ये test उल्टा भी चलाया जा सकता है। एक 4 अंकों की संख्या है, 3, 1, फिर एक खाली जगह, फिर 5, और ये 9 की multiple है। अब 3 प्लस 1 प्लस 5 बराबर 9 होता है, तो खाली अंक ऐसा हो, कि जोड़ 9 का multiple ही रहे। खाली जगह पर 0 रखें, तो ये हो जाता है, 3105 बराबर 9 गुणा 345 है।

12:08और वहाँ 9 रखें, तो भी ये हो जाता है, 3195 बराबर 9 गुणा 355 है। यहाँ जवाब 2 हैं, क्योंकि जोड़ में 0 डालना और 9 डालना, बचे हुए पर एक जैसा असर करते हैं। और 2 जवाब ठीक तब मिलते हैं, जब दिए गए अंकों का जोड़ पहले से 9 का multiple हो, 3 अंकों वाली 900 शुरुआतों में से 100 में ऐसा होता है। और 3105 को उल्टा लिखें, तो 5013 बनता है, जो 9 गुणा 557 है, क्योंकि अंकों का क्रम बदलने से उनका जोड़ नहीं बदलता।

12:45अब बिना भाग दिए, इन 5 संख्याओं को परखिए, 123, 405, 8888, 93547 और 358095 को। इनके अंकों के जोड़, क्रम से 6, 9, 32, 28 और 30 निकलते हैं। इनमें सिर्फ़ 405 पास होती है, 405 बराबर 9 गुणा 45 है। बाकी के बचे हुए भी मिल जाते हैं, 123 में 6, 8888 में 32 से 5, 93547 में 28, फिर 10, फिर 1, और 358095 में 30 से 3 बचते हैं।

13:27अब 6000 के सबसे पास वाला 9 का multiple ढूँढिए, 6000 के अंकों का जोड़ 6 है, यानी 6000 में 6 बचते हैं। तो 6 पीछे 5994 है, और 3 आगे 6003 है, इसलिए सबसे पास वाला 6003 है। और 4300 से 4400 के बीच देखिए, 4300 में 7 बचते हैं, तो 2 आगे 4302 पहला multiple है, और 4392 तक कुल 11 multiples हैं। और बिना किसी odd अंक वाला सबसे छोटा 9 का multiple, 288 निकलता है।

14:03क्योंकि even अंकों का जोड़ even होता है, तो जोड़ 9 नहीं हो सकता, कम से कम 18 चाहिए, और 2 प्लस 8 प्लस 8 बराबर 18 है। एक और पहेली, 6 अंकों की संख्या 4, 8, a, 2, 3, b, 18 की multiple है, तो a और b क्या हैं? यहाँ 18 बराबर 2 गुणा 9 है, इसलिए ये 2 सवाल एक साथ पूछता है, अंकों का जोड़ 9 का multiple हो, और आख़िरी अंक even हो।

14:35अब 4 प्लस 8 प्लस 2 प्लस 3 बराबर 17 है, तो a प्लस b या तो 1 हो, या फिर 10 हो। अगर a प्लस b बराबर 1 है, और b even है, तो a बराबर 1 और b बराबर 0 है। और अगर a प्लस b बराबर 10 है, तो b के even होने से 4 जोड़ियाँ मिलती हैं, 2 और 8, 4 और 6, 6 और 4, और 8 और 2 की जोड़ी।

15:02कुल 5 जवाब हैं, एक नहीं, और अगर even वाली शर्त हटा दें, तो 9 वाले test पर 11 जोड़ियाँ पास होती हैं। एक आख़िरी बात, जो अक्सर छूट जाती है। इस पूरे तर्क में असल में 9 के बारे में कुछ था ही नहीं। हमने सिर्फ़ एक बात इस्तेमाल की, कि 10, 9 के एक multiple से ठीक 1 ज़्यादा है। तो सोचिए, और किन भाग देने वाली संख्याओं के लिए ये test चलेगा?

15:31और 10, 3 के एक multiple से भी ठीक 1 ज़्यादा है, यानी 10 बराबर 3 गुणा 3 प्लस 1 होता है। इसलिए अंकों के जोड़ वाला test, 3 पर भी उसी वजह से चलता है, जैसे 427 और 13, दोनों 3 से भाग देने पर 1 बचाते हैं। अब 1 से 20 तक की भाग देने वाली संख्याएँ जाँचिए, तो ये test इनमें से सिर्फ़ 3 संख्याओं पर चलता है, 1, 3 और 9 पर।

15:59और ये ठीक वही संख्याएँ हैं, जिनके किसी multiple से 10 ठीक 1 ज़्यादा है। संख्या 7 पर ये नहीं चलता, क्योंकि 10 बराबर 7 प्लस 3 है, यानी 3 बचते हैं, और तर्क पहले ही कदम पर टूट जाता है। यानी ये बात 9 के बारे में नहीं, हमारे संख्याएँ लिखने के ढंग के बारे में है, 10 के बारे में, और 9 बस वो संख्या है, जिससे 10 ठीक 1 ज़्यादा है।

16:25तो याद रखने वाली बात ये है, हर जगह का मान, 9 से बनी संख्या से ठीक 1 ज़्यादा है, इसलिए हर जगह अपना अंक बचाती है। इसलिए संख्या और उसके अंकों का जोड़, 9 से भाग पर एक जैसा बचाते हैं, और ये test दोनों दिशाओं में चलता है। एक अंक बचने तक जोड़ते रहिए, और आख़िर में 9 बचे, तो उसे 0 पढ़िए। और ये test 3 और 9 पर सिर्फ़ इसलिए चलता है, क्योंकि 10 उन दोनों के किसी multiple से ठीक 1 ज़्यादा है।