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Chapter 6 · We Distribute, Yet Things Multiply

मन में तेज़ गुणा, distribution के बल पर

The distributive property13 मिनट

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3874 x 11 = 42614, एक ही पंक्ति में, बिना column वाले जोड़ के। ये कोई trick नहीं: 11 = 10 + 1, और 10 से गुणा बस अंकों को एक जगह खिसकाना है।

मुख्य idea

11 से, 101 से, 1001 से, 99 से और 999 से गुणा करने के एक-line वाले तरीक़े कोई जादू नहीं हैं, और उनके बारे में अलग-अलग कुछ याद रखने की ज़रूरत नहीं है। हर एक distributivity ही है, जिसमें गुणक को दस की किसी power से एक ज़्यादा या एक कम की तरह तोड़ा गया है। तेज़ी इसी ख़ास बँटवारे से आती है: दस की power से गुणा करने पर संख्या बस बग़ल में खिसक जाती है, इसलिए जिन दो प्रतियों को जोड़ना होता है वे वही अंक हैं जो अलग-अलग जगहों पर खड़े हैं, और जवाब का हर अंदरूनी अंक मूल संख्या के दो पड़ोसी अंकों का जोड़ होता है — हासिल से पहले, जवाब के सबसे आगे वाले column में बस मूल संख्या का सबसे आगे वाला अंक होता है, और इकाई वाले column में मूल संख्या का इकाई का अंक, क्योंकि उन दो columns के ऊपर या नीचे जोड़ी बनाने को कुछ नहीं होता (फिर भी हासिल सबसे आगे वाले अंक को बढ़ा सकता है: 3874 × 11 = 42614)। सोचने के लिए जो बचता है वह हासिल (carry) है — और इसीलिए chapter का तरीक़ा पड़ोसियों को जोड़ने वाला एक वाक्य नहीं, बल्कि steps का एक क्रम है।

आपको क्या आना चाहिए

  • 11, 101 या 999 जैसे गुणक को दस की power जमा या घटा एक की तरह तोड़ना, और product को दो खिसकी हुई प्रतियों के जोड़ या अंतर की तरह लिखना
  • चार अंकों वाली किसी व्यापक संख्या गुणा 11 के लिए column वाला जोड़ लिखना, और बताना कि हर column में कौन-से दो अंक मिलते हैं
  • किसी भी लंबाई की संख्या को एक line में 11 से गुणा करना, हासिल को सही तरह संभालते हुए
  • 11 से गुणा का व्यापक नियम शब्दों में बताना
  • इस तरीक़े को 101 के लिए, और फिर 1001 और 10001 के लिए ढालना, यह बताते हुए कि दोनों प्रतियों के बीच का फ़ासला कैसे बदलता है
  • इस तरीक़े को 99 और 999 के लिए ढालना, जहाँ दूसरी प्रति घटाई जाती है
  • ऐसी हालत लेकर, जिसमें अंकों की कोई जोड़ी नौ से ज़्यादा हो जाए, समझाना कि हासिल के बिना पड़ोसी-जोड़ वाला वर्णन अधूरा क्यों है
  • इन तरीक़ों को उनके ऐतिहासिक संदर्भ में iṣṭa-guṇana के रूप में रखना, और उन ग्रंथों के नाम बताना जो इनकी चर्चा करते हैं

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
distributive propertyयह नियम कि किसी जोड़ का गुणा करना हर हिस्से का गुणा करके जोड़ने जैसा ही हैवितरण गुणधर्मइसी chapter में छपा (Part I, §6.1, p.137)
thousands placeलिखी हुई संख्या में दाईं ओर से चौथा स्थानहज़ार का स्थानइसी chapter में छपा (Part I, §6.1, p.143)
hundreds placeलिखी हुई संख्या में दाईं ओर से तीसरा स्थानसैकड़े का स्थानइसी chapter में छपा (Part I, §6.1, p.143)
tens placeलिखी हुई संख्या में दाईं ओर से दूसरा स्थानदहाई का स्थानइसी chapter में छपा (Part I, §6.1, p.143)
units placeलिखी हुई संख्या में सबसे दाईं ओर का स्थानइकाई का स्थानइसी chapter में छपा (Part I, §6.1, p.143)
ista-gunanadistributivity पर बने तेज़ गुणा के लिए Brahmagupta का नाम, लिप्यंतरण में iṣṭa-guṇanaइष्ट-गुणनइसी chapter में छपा (Part I, §6.1, p.144), वहाँ बिना diacritics के लिखा हुआ
carryवह मात्रा जो किसी column का जोड़ दस तक पहुँचने पर अगले column में जाती हैहासिलइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा, जो हासिल के अंकों को छोटे घेरे वाले अंकों की तरह बनाता है और उन्हें कोई नाम नहीं देता
neighbour sumमूल संख्या में एक-दूसरे के बगल में खड़े दो अंकों का जोड़पड़ोसी अंकों का योगइस पाठ का शब्द; chapter असर का वर्णन करता है और उसे कोई नाम नहीं देता
shifted copyमूल संख्या को दस की किसी power से गुणा किया हुआ, ताकि उसके अंक बाईं ओर खिसक जाएँस्थानांतरित प्रतिइस पाठ का शब्द

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है, सिवाय iṣṭa-guṇana के, जिसे chapter ख़ुद लिप्यंतरित संस्कृत में देता है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए column के बाक़ी हिस्से को standard चलन मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "11 से गुणा करने के लिए पहले और आख़िरी अंक के बीच अंकों के जोड़ लिख दो।" students यही नियम लेकर जाते हैं, और यह chapter के अपने उदाहरण पर ही टूट जाता है: 3874 में 8 और 7 की जोड़ी का जोड़ 15 है, जो जवाब का एक अंक नहीं हो सकता। chapter के पाँच steps ठीक इसी को संभालने के लिए हैं। सुधार देने से पहले यह नाकामी दिखाओ।
  • "ग्यारह कुछ ख़ास है।" 11 में कुछ भी ख़ास काम नहीं कर रहा; काम यह बात करती है कि 11 दस से एक आगे है। इसीलिए 101, 1001 और 10001 सब चौड़े फ़ासले के साथ वैसे ही चलते हैं, और 9 तथा 99 उलटी दिशा में वैसे ही चलते हैं।
  • "नियम चार अंकों वाली संख्याओं के लिए है।" chapter किसी भी लंबाई की संख्या के लिए नियम माँगता है और फिर सात अंकों वाला input देता है। नियम का कोई भी कथन जो चार अंकों का ज़िक्र करे, वह नियम नहीं है।
  • "99 से गुणा के लिए नया तरीक़ा चाहिए।" उसे वही तरीक़ा चाहिए, एक minus के साथ। 99 को सौ में से एक कम की तरह तोड़ने से दूसरी प्रति जोड़ से घटाव बन जाती है; खिसकाव वही रहता है।
  • "shortcut लंबे गुणा से कम भरोसे लायक़ है।" column वाली बनावट ही सबूत है: वह हर आंशिक गुणनफल दिखाती है और यह भी कि वह कहाँ आता है। कुछ भी छोड़ा नहीं जा रहा, बस बेहतर ढंग से रखा जा रहा है।
  • "खिसकी हुई row का zero जवाब का एक अंक है।" वह दस से गुणा की गई संख्या का इकाई का स्थान है। छपी हुई बनावट में वह अक्षरों जैसी ही शैली में है, और ग़लत पढ़े जाने की सबसे ज़्यादा आशंका इसी की है।
  • "ये तरीक़े competitive exams के लिए हाल में बनाए गए हैं।" chapter तीन भारतीय गणितज्ञों के नाम लेता है और सातवीं सदी के एक ग्रंथ के दो verses के।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript1,704 शब्द

यहाँ एक गुणा है, और उसके साथ एक शर्त, 3874 गुणा 11 का गुणनफल। शर्त ये है कि जवाब सीधे एक ही पंक्ति में लिखिए, नीचे कोई column वाला जोड़ बनाए बिना। ज़्यादातर लोग इसे एक trick की तरह सीखते हैं, और कभी नहीं जान पाते कि ये काम क्यों करती है। पर ये कोई trick नहीं है, और यहाँ याद रखने लायक कुछ भी नहीं है। जवाब पहले ही बता देते हैं, 3874 गुणा 11 बराबर 42614 होता है।

आख़िर तक आप इसे उतनी ही तेज़ी से लिख पाएँगे जितनी तेज़ी से बोलते हैं, और बता पाएँगे कि ये सही क्यों है। और यही एक विचार 101, 1001, 99 और 999 से गुणा को भी संभाल लेगा। शुरुआत ऐसे कीजिए, 11 को एक ही चीज़ मत मानिए। यहाँ 11 बराबर 10 प्लस 1 है। तो गुणनफल है, 3874 गुणा, 10 प्लस 1 का जोड़। किसी जोड़ से गुणा करना, हर हिस्से से गुणा करके नतीजे जोड़ना ही है।

गुणा 10 करने पर 38740 मिलता है, और गुणा 1 करने पर मूल संख्या ही वापस आती है। इन दोनों को जोड़िए, तो 38740 में मूल संख्या जोड़कर 42614 बनता है, और कहीं कुछ छोड़ा नहीं गया। पूरा तरीका बस इतना है, आगे की हर बात इस जोड़ को बिना लिखे करने के बारे में है। गुणक को तोड़ने की छूट हमेशा है, तो रफ़्तार के लिए 10 और 1 में ही क्यों तोड़ें?

गुणा 10 असल में कुछ गुणा नहीं करता, वो बस अंकों को एक जगह बाईं ओर खिसका देता है, और पीछे 0 रख देता है। यहाँ 3, 8, 7 और 4 वहीं हैं, उसी क्रम में, बस एक जगह आगे खड़े हैं। तो जोड़ने वाली दोनों चीज़ें वही अंक हैं, बस अलग अलग जगहों पर। अगर 11 को 6 प्लस 5 में तोड़ें, तो 3874 गुणा 6 बराबर 23244, और 3874 गुणा 5 बराबर 19370, यानी 2 असली गुणा करने पड़े।

इनका जोड़ भी 42614 है, पर ये काम शुरू वाले सवाल से ज़्यादा मुश्किल हो गया। असल में, 10 की घात ही ऐसा हिस्सा है जो गुणा को खिसकाने में बदल देता है, 11 में कुछ ख़ास नहीं, ख़ास है 10 की घात से बस 1 दूर होना। दोनों प्रतियाँ एक के ऊपर एक लिखिए, खिसकी हुई प्रति ऊपर। ऊपर 3, 8, 7, 4, 0 है, और नीचे, एक जगह दाईं ओर खिसकाकर, 3, 8, 7, 4 वाली संख्या।

वो 0 जवाब का अंक नहीं है, वो खिसकी हुई संख्या की इकाई की जगह है। अब पंक्तियों को आड़ा पढ़ना छोड़िए, और columns को ऊपर से नीचे पढ़िए। इकाई वाले column में बस 4 है, क्योंकि उसके साथ जोड़ी बनाने को कुछ नहीं। अगले column में 4 और 7 हैं, यानी मूल संख्या के इकाई और दहाई के अंक, अगल बगल। बीच के हर column में मूल संख्या के 2 ऐसे अंक होते हैं जो आपस में पड़ोसी थे।

इसे एक बार letters में कीजिए, तो बात इस ख़ास संख्या की नहीं रहती। मान लीजिए बाएँ से अंक d, c, b और a हैं। ऊपर की पंक्ति d, c, b, a, 0 है, और नीचे वाली, एक जगह दाईं ओर, d, c, b, a है। बाएँ से columns के जोड़ पढ़िए, d, फिर c प्लस d, फिर b प्लस c, फिर a प्लस b, और फिर a। बाहर वाले 2 columns में बस नकल है, सबसे बाएँ column में संख्या का सबसे बायाँ अंक अकेला है, और इकाई वाले column में उसकी इकाई का अंक।

वो नकल इसलिए हैं क्योंकि उन 2 columns में जोड़ी बनाने को कुछ नहीं। बीच में सब कुछ 2 पड़ोसियों का जोड़ है। इससे वो नियम निकलता है जो सबको याद रहता है, पहला अंक, फिर पड़ोसियों के जोड़, फिर आख़िरी अंक। यहाँ आज़माइए, 3 और 8 मिलकर 11 बनते हैं। पर 11 एक अंक नहीं है, वो जवाब के एक column में नहीं समाता। बाकी जोड़ियाँ भी ऐसी ही हैं, 8 और 7 मिलकर 15, और 7 और 4 मिलकर फिर से 11 बनते हैं।

ये सब एक साथ लिख दें तो 8 अंकों वाली एक संख्या बनती है, जबकि असली जवाब में बस 5 अंक हैं। तो ये नियम इस बारे में ग़लत नहीं कि जवाब कहाँ से आता है, वो बस ये नहीं बताता कि column छलक जाए तो क्या करें। जहाँ कुछ नहीं छलकता, वहाँ ये पूरी तरह चलता है, 3241 गुणा 11 बराबर 35651, सीधे पड़ोसियों से। गिनकर देखें, तो 10 से 999 तक की 990 संख्याओं में ये सिर्फ़ 375 बार सही निकलता है, ठीक उन्हीं पर जहाँ कोई जोड़ 9 से ऊपर नहीं जाता।

सबसे छोटी संख्या जिस पर ये चूकता है 19 है, जहाँ 1, 10, 9 मिलकर 1109 बनता है, जबकि 19 गुणा 11 बराबर 209 है। इलाज ये है कि जोड़ column दर column, दाईं ओर से कीजिए, और हासिल आगे ले जाइए। इकाई का column देखिए, उसमें 4 है, तो 4 लिखिए। अगला, 4 और 7 मिलकर 11, तो 1 लिखिए और 1 हासिल। अगला, 7 और 8 मिलकर 15, और हासिल का 1 मिलाकर 16, तो 6 लिखिए, 1 हासिल।

अगला, 8 और 3 मिलकर 11, हासिल मिलाकर 12, तो 2 लिखिए, 1 हासिल। आख़िर में 3, और हासिल का 1, यानी 4, और 5 में से 3 columns ने कुछ आगे दिया। चलता हुआ जवाब ऐसे बढ़ता है, 4, 14, 614, 2614, और आख़िर में पूरा 42614 बनता है। अब शुरुआत का दूसरा सवाल लीजिए, 5678 गुणा 11 का गुणनफल। पहले पड़ोसी देखिए, क्या कोई जोड़ छलकेगा? यहाँ 5 और 6 मिलकर 11, 6 और 7 मिलकर 13, और 7 और 8 मिलकर 15, यानी हर जोड़ी छलकती है।

इकाई से शुरू कीजिए, 8 लिखिए, फिर 7 और 8 मिलकर 15, तो 5 लिखिए और 1 हासिल। फिर 6 और 7 और हासिल मिलकर 14, तो 4 लिखिए, फिर 5 और 6 और हासिल मिलकर 12, तो 2 लिखिए। आख़िर में 5 और हासिल का 1, यानी 6, और जवाब 62458 बनता है। चलता हुआ जवाब 8, 58, 458, 2458, और फिर 62458 है, और यहाँ भी 5 में से 3 columns ने हासिल दिया।

अब इसे किसी भी लंबाई की संख्या के लिए कहिए, क्योंकि जिस नियम में 4 अंक लिखे हों, वो असली नियम नहीं। संख्या का इकाई का अंक ही जवाब का इकाई का अंक बनता है। फिर बाईं ओर बढ़ते हुए हर पड़ोसी जोड़ लिखिए, और जोड़ 10 तक पहुँचे तो हासिल आगे ले जाइए। जोड़ियाँ ख़त्म हों तो सबसे बायाँ अंक लिखिए, उसमें बचा हुआ हासिल मिलाकर। जैसे 94 गुणा 11 बराबर 1034, और 495 गुणा 11 बराबर 5445 होता है।

और 3279 गुणा 11 में सिर्फ़ 7 और 9 का जोड़ 16 छलकता है, और जवाब 36069 आता है। जब 9999 को 11 से गुणा करें, तो सबसे बायाँ column भी छलकता है, और जवाब 109989 बनता है, संख्या से 2 अंक लंबा। और board पर 7 अंकों वाली एक संख्या का गुणा है, ये नियम उसमें और 4 अंकों वाली संख्या में कोई फ़र्क नहीं देखता। अब 101 लीजिए, ये 100 से ठीक 1 ज़्यादा है, जैसे 11, 10 से 1 ज़्यादा था।

तो 3874 गुणा 101 का मतलब है, संख्या को 2 जगह खिसकाकर उसमें फिर वही संख्या जोड़ना। इन्हें ऊपर नीचे रखें, तो अब दोनों प्रतियों के बीच 2 जगह का फ़ासला है। अब columns के जोड़ ऐसे पढ़ते हैं, d, फिर c, फिर b प्लस d, फिर a प्लस c, फिर b, और फिर a। जोड़ियाँ अब पड़ोसी नहीं, 2 जगह दूर के अंक हैं, क्योंकि प्रतियाँ 2 जगह दूर हैं, और सिरों पर अब 2 की जगह 4 columns में अकेला अंक रहता है।

चलता हुआ जवाब 4, 74, 274, 1274, 91274, और फिर 391274 बनता है। छोटी संख्या पर ये और साफ़ दिखता है, 89 गुणा 101 बराबर 8989, यानी 89 को 2 बार लिखा हुआ। यही बात 2 अंकों वाली सारी 90 संख्याओं पर होती है, 90 में से 90 बार, और 949 गुणा 101, बराबर 94900 प्लस 949, यानी 95849 आता है। फ़ासला और बढ़ाइए, और फ़ासले के सिवा कुछ नहीं बदलता।

यहाँ 1001 प्रति को 3 जगह खिसकाता है, तो जोड़ियाँ 3 जगह दूर खड़ी होती हैं। और गुणक 10001 उसी प्रति को 4 जगह खिसकाता है। हर extra जगह, सिरों पर 2 और ऐसे columns जोड़ देती है जिनमें अकेला अंक है, 3874 में ये गिनती 2, 4, 6 और 8 बनती है। अब 3 अंकों वाली हर संख्या को 1001 से गुणा कीजिए, तो वही संख्या 2 बार लिखी मिलती है, 900 में से 900 बार।

और board पर 1111 और 265831 के 1001 से गुणनफल हैं, जिन्हें आप लगभग सीधे पढ़ सकते हैं। पहले संख्या, फिर वही संख्या दोबारा, और बीच में जहाँ दोनों टकराती हैं वहाँ थोड़ी सफ़ाई। अब दूसरी दिशा में चलकर देखिए। यहाँ 99 बराबर 100 माइनस 1 है। तो दूसरी प्रति जोड़ी नहीं, घटाई जाती है, और खिसकना वही रहता है। जैसे 9734 गुणा 99 का मतलब है, 973400 में से संख्या 9734 घटाना।

चलता हुआ जवाब 6, 66, 666, 3666, 63666, और फिर पूरा 963666 बनता है। इसी तरह 999, 1000 माइनस 1 है, बस खिसकना और चौड़ा। और board पर 23478 गुणा 999 है, यानी 23478 को 3 जगह खिसकाकर उसमें से 23478 घटाना। यही बात 9 पर भी लागू होती है, 9 बराबर 10 माइनस 1 है। तो 3874 गुणा 9, बराबर 38740 माइनस 3874, यानी 34866 आता है। यानी 9 और 11 एक ही चाल हैं, बस दूसरी प्रति का चिह्न अलग है।

अगर हिस्से ग़लत चुने जाएँ, जैसे फ़ासला 1 की जगह 2, तो गुणा 11 से नहीं, 101 से हो जाता है। यानी हिस्सा चुनना ही असली फ़ैसला है, बाकी बस जोड़ और घटाव। तो यहाँ 5 तरीके नहीं हैं, बस एक चाल है। गुणक को 10 की किसी घात से 1 ऊपर या 1 नीचे लिखिए। जैसे 9, 11, 99, 101, 999, 1001, 9999 और 10001, इन 8 गुणकों में हर बार वही चाल, बस खिसकना और चिह्न अलग।

इन 8 में से 4 में दूसरी प्रति घटती है, और बाकी 4 में जुड़ती है। ऐसे तरीकों को चुने हुए हिस्से से गुणा कह सकते हैं, और चुनना ही सबसे ज़रूरी शब्द है। किसी जोड़ से गुणा, हर हिस्से से गुणा करके जोड़ना है, और हिस्से अच्छे से चुनना ही रफ़्तार है। अगली बार 11 या 99 दिखे, तो सोचिए, 10 की कौन सी घात पास है, और 1 जोड़ना है या घटाना।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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