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Chapter 5 · Number Play

11 के लिए एकांतर योग वाली जाँच

Divisibility shortcuts, and why they work15 मिनट

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572 बराबर 11 गुणा 52 है, फिर भी इसके अंकों का जोड़ 14 है, जो 11 का multiple नहीं। 9 वाला test यहाँ क्यों नहीं चलता?

मुख्य idea

ग्यारह की जाँच नौ की जाँच से बिल्कुल अलग दिखती है, पर बनती उसी तरीक़े से है। बस एक चीज़ बदलती है: अब सारे स्थानीय मान भाजक के किसी गुणज से एक आगे नहीं बैठते — वे एक आगे, फिर एक पीछे, फिर एक आगे बैठते हैं, और यह हमेशा चलता रहता है। इसलिए हर अंक अब भी सिर्फ़ अपने-आप को जोड़ता है, पर अब एक चिह्न के साथ, और जो बचता है वह एकांतर योग है। वह योग शेषफल नहीं है। वह ग्यारह के सबसे पास वाले गुणज से संख्या का सचिह्न फ़ासला है, और इसीलिए वह बिना किसी ग़लती के ऋणात्मक आ सकता है, और इसीलिए उसे शेषफल में बदलने के लिए एक क़दम और चाहिए।

आपको क्या आना चाहिए

  • हर स्थानीय मान को ग्यारह के गुणज और एक के खिसकाव के रूप में लिखना, और उस खिसकाव का चिह्न पहचानना
  • समझाना कि चिह्न एक स्थानीय मान से अगले पर क्यों बदलता है, और यह बदलना बिना रुके क्यों चलता रहता है
  • किसी संख्या के अंकों को उन स्थानों में छाँटना जिनका खिसकाव धनात्मक है और उन स्थानों में जिनका ऋणात्मक है
  • अधिकता का योग, कमी का योग, और उनके बीच का अंतर निकालना
  • शून्य, ग्यारह, ग्यारह के किसी गुणज, और किसी ऋणात्मक value वाले अंतर का मतलब समझना
  • ऋणात्मक एकांतर योग को ग्यारह से भाग देने पर असली शेषफल में बदलना
  • वही जाँच उसके छोटे रूप में करना, इकाई वाले सिरे से अंकों पर चिह्न लगाते हुए, और समझाना कि दोनों तरीक़े एक ही तरीक़ा क्यों हैं
  • जाँच से किसी ऐसी संख्या के छूटे अंक ढूँढ़ना जो ग्यारह की, या ग्यारह वाली किसी भाज्य संख्या की, गुणज मानी गई हो

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
alternatingएक चीज़ से दूसरी में और फिर वापस बदलना, एक-एक स्थानीय मान परएकांतरइस chapter में छपा (Part I, §5.2, p.127)
excessकोई स्थानीय मान ग्यारह के किसी गुणज से कितना आगे निकलता हैअधिकताइस chapter में, हल की गई table में छपा (Part I, §5.2, p.128)
shortकोई स्थानीय मान ग्यारह के किसी गुणज से कितना पीछे रह जाता हैकमीइस chapter में, हल की गई table में छपा (Part I, §5.2, p.128)
place valueकोई अंक अपनी जगह की वजह से कितना हैस्थानीय मानइस chapter में छपा (Part I, §5.2, p.123)
remainderजब भाग पूरा-पूरा न जाए तो जो बचता हैशेषफलइस chapter में छपा (Part I, §5.1, p.116)
divisibleभाग देने पर कुछ न बचनाविभाज्यइस पूरे chapter में छपा
multipleकिसी दी गई संख्या को किसी पूर्ण संख्या से गुणा करके मिली संख्यागुणजइस chapter में छपा (Part I, §5.1, p.116)
units digitइकाई के स्थान वाला अंक, जहाँ से चिह्न लगाना शुरू होता हैइकाई का अंकइस chapter में छपा (Part I, §5.2, p.123)
shortcutबिना भाग दिए की गई विभाज्यता की जाँच के लिए chapter का शब्दसंक्षिप्त विधिइस chapter में छपा (Part I, §5.2, p.123)
signed offsetएकांतर योग को दिशा वाली दूरी की तरह पढ़ने के लिए इस पाठ का नामसचिह्न विचलनइस पाठ का शब्द; chapter इस मात्रा का शब्दों में वर्णन करता है और इसे नाम नहीं देता

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे standard चलन मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "ऋणात्मक जवाब का मतलब है मुझसे ग़लती हुई।" इसका मतलब है कि संख्या पिछले गुणज से आगे निकलने के बजाय ग्यारह के अगले गुणज से पीछे रह जाती है। chapter का अपना हल किया उदाहरण ऋणात्मक value पर आता है, और उसका सावधान वाक्य जगह को दो तरह से बताता है: इतना पीछे, या इतना आगे।
  • "एकांतर योग ही शेषफल है।" Part I p.129 वाला छोटा तरीक़ा कहता है कि नतीजा शेषफल देता है, और अक्षरशः लें तो यह सही नहीं हो सकता — शेषफल कभी ऋणात्मक नहीं होता। ऋणात्मक योग में ग्यारह जोड़ो, तो शेषफल मिलता है। Part I p.128 का गद्य इसे सही ढंग से कहता है।
  • "चिह्न बाएँ वाले अंक से शुरू करो।" चिह्न लगाना इकाई के अंक पर टिका है क्योंकि वही स्थानीय मान एक आगे निकलता है। बाईं ओर से शुरू करने पर, जब भी अंकों की गिनती सम हो, हर चिह्न पलट जाता है, और तब जाँच ग़लत दिशा बताती है। यह नाकामी एक बार करके दिखाओ।
  • "शून्य का अंतर और ग्यारह का अंतर अलग-अलग बातें बताते हैं।" दोनों का मतलब है कि संख्या ग्यारह का गुणज है। अंतर में ग्यारह का कोई भी गुणज यही बताता है। यही वह सवाल है जो Part I p.128 पूछता है और खुला छोड़ देता है।
  • "ग्यारह की अंकों वाली जाँच हो ही नहीं सकती, क्योंकि उसके दो अंक हैं।" तरीक़े को कभी इसकी परवाह नहीं थी कि भाजक के कितने अंक हैं। उसे सिर्फ़ इसकी परवाह है कि हर स्थानीय मान उसके किसी गुणज के मुक़ाबले कहाँ बैठता है।
  • "दोनों छपे तरीक़े दो अलग जाँचें हैं।" वे एक ही जाँच हैं, एक दो columns के रूप में लिखी और एक चिह्न वाले अंकों के रूप में। chapter student से यह पहचानने को कहता है।
  • "शून्यों को छोड़ा जा सकता है।" शून्य वाला अंक अपने योग में कुछ नहीं जोड़ता पर फिर भी एक स्थान घेरता है, इसलिए वह अपने बाईं ओर की हर चीज़ के चिह्न खिसका देता है। छह exercise संख्याओं में से दो इसी के इर्द-गिर्द बनी हैं।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript1,988 शब्द

आपके पास 9 का एक test है, बस अंक जोड़िए। अब इसे 11 पर आज़माइए, संख्या 572 लीजिए, जो 11 का multiple है, 572 बराबर 11 गुणा 52 होता है। पर इसके अंकों का जोड़ 14 है, और 14 बराबर 11 प्लस 3, यानी 11 का multiple नहीं। मतलब 11 के लिए सिर्फ़ अंक जोड़ना काम नहीं करता। पर तरीका मत छोड़िए, तरीका अब भी काम करता है, बस एक चीज़ बदलनी है।

याद कीजिए, 9 के लिए हर जगह का मान, 9 के किसी multiple से ठीक 1 ज़्यादा था, इसलिए हर अंक बस ख़ुद को जोड़ता था। पर 11 के लिए जगहें एक तरफ़ नहीं झुकतीं, एक जगह 1 ज़्यादा, अगली 1 कम, फिर अगली 1 ज़्यादा। हर अंक अब भी ख़ुद को ही जोड़ता है, बस अब उसके साथ एक चिह्न लगता है, प्लस या माइनस। तो चलिए, एक-एक करके जगहों को देखते हैं।

शुरुआत इकाई की जगह से कीजिए, जिसका मान 1 है। यहाँ 1 बराबर 11 गुणा 0 प्लस 1 है, यानी ये 11 के multiple से 1 ज़्यादा है, इसे प्लस 1 कहिए। अब दहाई की जगह, जिसका मान 10 है। और 10 ठीक 11 से 1 कम है, यानी ये 11 के multiple से 1 पीछे है। इसे ऐसे लिखिए, 10 बराबर 11 गुणा 1 माइनस 1, इसे माइनस 1 कहिए।

बस, 9 वाले तर्क से पूरा फ़र्क इतना ही है, सिर्फ़ 2 जगहों में झुकाव की दिशा पलट गई। अब सैकड़े की जगह, जिसका मान 100 है। देखिए, 11 गुणा 9 बराबर 99, और 100 बराबर 99 प्लस 1 होता है। यानी 100 फिर से 1 ज़्यादा है, फिर से प्लस 1 वाली जगह। ध्यान दीजिए क्या हुआ, ज़्यादा, कम, ज़्यादा, चिह्न 2 बार पलट चुका है। और ये भी देखिए कि क्या नहीं हुआ, फ़र्क अब भी 1 ही है, न 2, न 5, हर बार सिर्फ़ 1 का फ़र्क।

इसी वजह से हर अंक सिर्फ़ ख़ुद को जोड़ता है, और 9 वाला test भी इसी बात पर टिका था। अब 1000, यहाँ 11 गुणा 91 बराबर 1001 है, इसलिए 1000 बराबर 1001 माइनस 1, यानी 1 कम। आगे चलिए, 10000 बराबर 11 गुणा 909 प्लस 1, और 100000 बराबर 11 गुणा 9091 माइनस 1 होता है। ज़्यादा, कम, ज़्यादा, कम, पहली 48 जगहों पर जाँचिए, ये सिलसिला एक बार भी नहीं टूटता।

पर ये टूट क्यों नहीं सकता? एक ऐसी जगह लीजिए जो 1 ज़्यादा है, और उसे 10 से गुणा कीजिए, तो वो 10 ज़्यादा हो जाती है। पर 10 बराबर 11 माइनस 1 है, इसलिए 10 ज़्यादा होना, अगले multiple से 1 कम होना है, जैसे 990 प्लस 10 बराबर 1001 माइनस 1 होता है। यानी हर बार झुकाव पलटता है, और ये संयोग नहीं, सीधा नतीजा है। जबकि 9 के लिए हर जगह 1 ज़्यादा रहती है, कुछ नहीं पलटता, इसीलिए उस test में चिह्नों की ज़रूरत नहीं।

पर एक सवाल, 11 में तो 2 अंक हैं, क्या उसका भी अंकों वाला test हो सकता है? ये तरीका कभी नहीं पूछता कि भाग देने वाली संख्या में कितने अंक हैं, वो बस ये पूछता है कि हर जगह उसके multiples के कितने पास है। गिनकर देखिए, 2 से 41 तक की 40 संख्याओं में, सिर्फ़ 3, 9 और 11 के लिए हर जगह हमेशा 1 की दूरी पर रहती है।

इनमें 3 और 9 के लिए हर जगह 1 ज़्यादा रहती है, और सिर्फ़ 11 के लिए ज़्यादा और कम बारी-बारी आते हैं। इसीलिए इन 3 में से सिर्फ़ 11 के test में चिह्न लगाने पड़ते हैं। अब जाँच के लिए अगली संख्या है 462, और ये जाँच सीधे इसके अंकों से होगी। इसमें 4 सैकड़े हैं, हर सैकड़ा 1 ज़्यादा है, तो 4 सैकड़े 4 ज़्यादा, 4 गुणा 99 बराबर 396, और 400 बराबर 396 प्लस 4 होता है।

फिर 6 दहाई हैं, हर दहाई 1 कम है, तो 6 दहाई 6 कम, 11 गुणा 6 बराबर 66, और 60 बराबर 66 माइनस 6 होता है। और 2 इकाई हैं, हर इकाई 1 ज़्यादा, तो 2 इकाई, 2 ज़्यादा। अब सब जोड़िए, 4 माइनस 6 प्लस 2 बराबर 0 आता है। यानी 462 ठीक 11 के एक multiple पर बैठता है, 462 बराबर 11 गुणा 42 होता है। और इनमें से एक भी कदम में भाग नहीं दिया गया।

इससे एक तरीका निकलता है, जिसे 2 खानों में लिखना अच्छा है। पहले खाने में वो अंक, जिनकी जगह 1 ज़्यादा है, यानी इकाई, सैकड़ा, 10000 वाली जगह, और इसी तरह आगे। दूसरे खाने में वो अंक, जिनकी जगह 1 कम है, यानी दहाई, 1000 वाली जगह, और आगे। हर खाने का जोड़ निकालिए। फिर ज़्यादा वाले जोड़ में से कम वाला जोड़ घटाइए। बस 3 कदम, और इनमें से कोई भी भाग नहीं है।

अब यही तरीका 6 अंकों वाली एक संख्या पर आज़माइए, और हमारी संख्या है 320185, इसे ध्यान से देखिए। जो जगहें 1 ज़्यादा हैं, उनमें 2, 1 और 5 हैं, इनका जोड़ 8 होता है। जो जगहें 1 कम हैं, उनमें 3, 0 और 8 हैं, इनका जोड़ 11 होता है। आख़िरी कदम, 8 माइनस 11, यानी माइनस 3 आता है। बहुत लोग यहीं रुक जाते हैं, और मान लेते हैं कि कहीं ग़लती हो गई।

कोई ग़लती नहीं हुई, माइनस 3 एक बिलकुल सटीक बात बता रहा है। ये संख्या 11 के एक multiple से 3 कम है, वो multiple है 320188, जो 11 गुणा 29108 है। पर बचा हुआ, नीचे वाले multiple से आगे की दूरी गिनता है। नीचे वाला multiple 320177 है, जो 11 गुणा 29107 है, और हमारी संख्या उससे 8 आगे है। इसे एक सीधी पट्टी पर सोचिए, पहले 320177, उससे 8 कदम आगे हमारी संख्या, और उससे 3 कदम आगे 320188 आता है।

इसलिए ये अंतर एक चिह्न वाला फ़ासला है, सबसे पास का multiple कौन सा है, और हम उसके किस तरफ़ हैं। माइनस आ जाना test की कमी नहीं है, ये वो जानकारी है जो बचा हुआ नहीं दे सकता। अब यही test, बहुत छोटे रूप में। इकाई के अंक के आगे प्लस लगाइए, फिर उसके बाएँ माइनस, फिर प्लस, और इसी तरह बारी-बारी बाईं ओर तक। संख्या 320185 पर, प्लस 5, माइनस 8, प्लस 1, माइनस 0, प्लस 2, माइनस 3, और जवाब फिर से माइनस 3 आता है।

ये किस्मत नहीं है, खानों में बाँटकर घटाना, और बारी-बारी चिह्न लगाना, एक ही काम है। दोनों तरीके 3000 से नीचे की हर संख्या पर, और 500000 से आगे की 3000 संख्याओं पर, हर बार एक ही जवाब देते हैं। यानी ये 2 test नहीं, एक ही test के 2 रूप हैं। अब बदलिए, हमारी संख्या 11 के multiple से 3 कम है। अगर ऊपर वाले multiple से 3 कम हैं, तो नीचे वाले से कितना आगे हैं?

जवाब है 11 माइनस 3, यानी 8 होता है। तो बचा हुआ 8 है, जब भी जोड़ माइनस में आए, उसमें 11 जोड़ दीजिए। ये कदम ज़रूरी क्यों है? क्योंकि 3000 से नीचे की संख्याओं में से 928 पर, अंकों का ये जोड़ बचे हुए के बराबर नहीं होता। और 500000 से आगे की 3000 संख्याओं में, ये 1738 बार अलग निकलता है। यानी संख्या जितनी लंबी, आख़िरी कदम की ज़रूरत उतनी ज़्यादा।

एक और हालत, जिसमें अक्सर लोग उलझ जाते हैं। अगर अंतर ख़ुद 11 आ जाए, तो क्या? संख्या 90904 लीजिए, इकाई से चलिए, 4 माइनस 0 प्लस 9 माइनस 0 प्लस 9, यानी 22 आता है। ये 0 नहीं है, पर 22 बराबर 11 गुणा 2 है, और इतना काफ़ी है, 90904 बराबर 11 गुणा 8264 होता है। अब 857076 लीजिए, इसका जोड़ 6 माइनस 7 प्लस 0 माइनस 7 प्लस 5 माइनस 8, यानी माइनस 11 आता है, ये भी multiple है, 857076 बराबर 11 गुणा 77916 होता है।

गिनकर देखिए, 3000 से नीचे जोड़ सिर्फ़ माइनस 11, 0 और 11 पर ही 11 का multiple बनता है, और ऐसी हर संख्या 11 का multiple होती है। इसलिए नियम ये नहीं कि जोड़ 0 हो, नियम ये है कि जोड़ 11 का multiple हो। अब इन 4 संख्याओं को परखिए, 158, 841, 481 और 5529, एक-एक करके। संख्या 158 में, 8 माइनस 5 प्लस 1 बराबर 4, और 158 बराबर 11 गुणा 14 प्लस 4 होता है।

संख्या 841 में, 1 माइनस 4 प्लस 8 बराबर 5, और 841 बराबर 11 गुणा 76 प्लस 5 होता है। संख्या 481 में, 1 माइनस 8 प्लस 4 बराबर माइनस 3, उसमें 11 जोड़िए, तो 8, और 481 बराबर 11 गुणा 43 प्लस 8 होता है। आख़िरी संख्या 5529 के लिए, 9 माइनस 2 प्लस 5 माइनस 5 बराबर 7, और संख्या 5529 बराबर 11 गुणा 502 प्लस 7 होता है।

इनमें से कोई भी 11 का multiple नहीं है, और test ने हर एक का बचा हुआ भी बता दिया। अब 2 आम ग़लतियाँ, पहली, शून्य को फेंक देना, क्योंकि शून्य कुछ जोड़ता ही नहीं। पर शून्य एक जगह घेरता है, और उसके बाईं ओर का हर अंक उसी से अपनी जगह पाता है। संख्या 90904 के शून्य हटाइए, तो 994 बचता है, इसका जोड़ 4 माइनस 9 प्लस 9 बराबर 4, और 994 बराबर 11 गुणा 90 प्लस 4 होता है।

अब 857076 लीजिए, इसके शून्य हटाइए, तो 85776 बचता है, जिसका जोड़ 9 है, और 85776 बराबर 11 गुणा 7797 प्लस 9 होता है। यानी 11 के 2 multiples, शून्य हटाते ही multiple नहीं रहे। दूसरी ग़लती, चिह्न इकाई से नहीं, सबसे बाएँ अंक से शुरू करना। संख्या में 3 अंक हों, तो सारी 900 संख्याओं पर ये तरीका सही जोड़ से पूरा मेल खाता है, इसीलिए ये ग़लती टिकी रहती है।

पर संख्या 5529 पर ये तरीका 5 माइनस 5 प्लस 2 माइनस 9, यानी माइनस 7 देता है, जबकि सही जोड़ 7 है। असल में 4 अंकों वाली हर संख्या पर ये हर चिह्न उलट देता है, 9000 में से 9000 बार। हाँ या ना का फ़ैसला ये हर बार ठीक देता है, पर दिशा उलटी बताता है, सिर्फ़ 615 संख्याओं पर, जहाँ जोड़ 0 है, दोनों एक जैसे निकलते हैं।

चिह्न इकाई से इसलिए शुरू होते हैं, क्योंकि इकाई की जगह 1 ज़्यादा है, बाकी सब वहीं से तय होता है। अब 5 अंकों की एक संख्या, 3, p, 7, q, 8, ये 44 का multiple है, p और q क्या हो सकते हैं? यहाँ 44 बराबर 4 गुणा 11 है, यानी 2 test लगेंगे। पहला, 4 के लिए आख़िरी 2 अंक देखिए, यानी q और 8, इसके लिए q को 0, 2, 4, 6 या 8 होना चाहिए।

दूसरा, 11 के लिए इकाई से चलिए, 8 माइनस q प्लस 7 माइनस p प्लस 3, यानी 18 में से p और q का जोड़ घटाना। ये 11 का multiple तभी होगा, जब p और q का जोड़ 7 हो, या 18 हो। अब q को even रखिए, तो जोड़ियाँ हैं, 7 और 0, 5 और 2, 3 और 4, 1 और 6, यानी कुल 4 जोड़ियाँ। कोई कहता है कि 11 के कुछ multiples को 2 से गुणा करें, तो वो multiple रहते हैं, और कुछ नहीं रहते।

जैसे 77 बराबर 11 गुणा 7, इसे 2 से गुणा करें, तो 154 बनता है, जो 11 गुणा 14 है। असल में 11 गुणा किसी संख्या को 2 से गुणा करें, तो वो 11 गुणा, उस संख्या का 2 गुना बनता है, यानी हमेशा multiple। गिनकर देखिए, 3000 से नीचे 11 के सारे 273 multiples, 2 से गुणा होकर भी multiple रहते हैं, कुछ नहीं रहते वाली बात ग़लत है।

ये दावा एक अनोखे ढंग से ग़लत है, यहाँ कोई ऐसा multiple ढूँढने को है ही नहीं, जो 2 से गुणा करने पर multiple न रहे। तो याद रखने वाली बात, 11 के लिए जगहें बारी-बारी 1 ज़्यादा और 1 कम होती हैं, इकाई से शुरू करके। इसलिए हर अंक अपने चिह्न के साथ जुड़ता है, और यही बारी-बारी वाला जोड़ test है। ये जोड़ बचा हुआ नहीं, एक चिह्न वाला फ़ासला है, माइनस आए तो उसमें 11 जोड़िए।

जोड़ 11 का कोई भी multiple हो, 0, 11 या माइनस 11, तो संख्या 11 का multiple है। और शून्य को मत फेंकिए, और चिह्न हमेशा इकाई से शुरू कीजिए।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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