"r शेषफल बचता है" को बीजीय व्यंजक के रूप में लिखना

0:00क्या आप एक ऐसी संख्या ढूँढ सकते हैं, जिसे 5 से भाग देने पर 3 बचे? संख्या 8 चलेगी, क्योंकि उसमें 5 एक बार जाता है, और 3 बचते हैं। क्या ऐसी ही एक और संख्या मिल सकती है? फिर 13 मिलती है, फिर 18, फिर 23, और हर एक में 3 ही बचते हैं। ध्यान दीजिए आपने क्या किया, पहली संख्या के बाद आपने ढूँढा नहीं, बस 5 जोड़ते गए।

0:27और हर बार 5 जोड़ने पर बचा हुआ वहीं का वहीं रहता है, माइनस 40 से 140 तक की 181 संख्याओं पर ये एक बार भी नहीं बदलता। यानी इस सवाल का एक जवाब नहीं है, इसके अनगिनत जवाब हैं, और उनकी एक तय बनावट है। उस बनावट के पीछे जाने से पहले, ये साफ़ कर लें कि बचा हुआ असल में क्या होता है। संख्या 23 को 5 से भाग दीजिए, तो पूरी बात एक line में लिखी जा सकती है, 23 बराबर 5 गुणा 4 प्लस 3 होता है।

1:00यहाँ 4 बताता है कि 5 कितनी बार पूरा गया, और 3 वो है जो नहीं जा सका। और ये 3 कुछ भी नहीं हो सकता। बचा हुआ कभी negative नहीं होता, और कभी 5 तक नहीं पहुँचता, इसलिए 5 से भाग देने पर सिर्फ़ 0, 1, 2, 3 और 4 ही बच सकते हैं। कोई कह सकता है कि 23 बराबर 5 गुणा 2 प्लस 13 है, हिसाब तो सही है, पर वाक्य बेकार है।

1:27क्योंकि 13 में अभी भी 5 छिपे हैं, 13 बराबर 5 गुणा 2 प्लस 3 है, तो असली बचा हुआ फिर वही 3 है। बचा हुआ वो है जो तब बचे, जब और कुछ निकाला ही न जा सके, इसीलिए वो भाग देने वाली संख्या से छोटा होता है। वापस उस सूची पर चलिए, जिसमें 3, 8, 13, 18 और 23 हैं। अब 5 के multiples से शुरू कीजिए, 0, 5, 10, 15 और 20 से।

1:58इनमें से हर एक को 3 कदम आगे खिसका दीजिए। यही हमारी सूची है, यानी ये परिवार 5 के multiples हैं, बस 3 आगे खिसके हुए। ये पीछे की तरफ़ भी चलता है, शून्य से 2 नीचे माइनस 2 है, और माइनस 2 बराबर 5 गुणा माइनस 1 प्लस 3 होता है। गिनें तो 0 से 100 तक इस परिवार के 20 सदस्य हैं, और हर 2 पड़ोसियों के बीच ठीक 5 का फ़ासला है।

2:25अब ये पूरा परिवार एक ही line में लिखना है, एक सदस्य नहीं, सारे के सारे, एक साथ। ये रहे 6 expressions, जो कोई भी लिख सकता है, जहाँ letter k किसी भी पूरी संख्या की जगह है। पहली line में 3 k प्लस 5, 3 k माइनस 5, और 3 k बटा 5 हैं। दूसरी line में 5 k प्लस 3, 5 k माइनस 2, और 5 k माइनस 3 हैं।

2:53इनमें से किसी एक को ईमानदारी से कैसे जाँचें? अब letter k की जगह मान रखिए, और देखिए कि क्या निकलता है। जैसे 5 k प्लस 3 में k को शून्य से शुरू करें, तो 3, 8, 13, 18 और 23 निकलते हैं। यही हमारा परिवार है, और हर 2 मानों के बीच का फ़ासला हर बार 5 है। पर पास होने का मतलब ध्यान से समझिए, expression को परिवार का हर सदस्य बनाना है, और उसके सिवा कुछ नहीं।

3:24जैसे 10 k प्लस 3 से 3, 13 और 23 निकलते हैं, सब परिवार के सदस्य, फिर भी ये फ़ेल है, क्योंकि 8 और 18 इससे कभी नहीं निकलते। अब 3 k प्लस 5 को चलाकर देखिए। शून्य पर 5, 1 पर 8, 2 पर 11, और 3 पर 14 आता है। इनमें 8 तो हमारे परिवार में है, पर 5, 11 और 14 उसमें नहीं हैं। गड़बड़ letter के आगे वाले 3 में है।

3:55वही संख्या कदम है, k एक बढ़े तो जवाब 3 बढ़ता है, यानी ये परिवार 3 के कदमों से चलता है। और 3 के कदमों वाला परिवार, 5 के कदमों वाला परिवार नहीं हो सकता, आख़िर में आप कुछ भी जोड़ दें। तो letter से गुणा होने वाली संख्या सजावट नहीं है, वही वो संख्या है जिससे आप भाग दे रहे हैं। इसी वजह से 3 k माइनस 5 वाला expression भी गिरता है, उससे माइनस 5, माइनस 2, 1 और 4 निकलते हैं, फिर वही 3 का कदम।

4:24और 3 k बटा 5 तो ज़्यादातर पूरी संख्या ही नहीं होता, k 1 से 4 तक एक बार भी नहीं, और 0 से 24 तक सिर्फ़ 5 बार। अब 5 k माइनस 3 देखिए, इसका कदम तो 5 ही है। पर इसे k 1 से चलाइए, तो 2, 7, 12 और 17 निकलते हैं। कदम ठीक है, परिवार ग़लत, क्योंकि इनमें से हर एक 5 से भाग देने पर 2 बचाता है, 3 नहीं।

4:52यानी जोड़ी गई संख्या भी ठीक होनी चाहिए, सिर्फ़ कदम काफ़ी नहीं। तो 6 में से बचे सिर्फ़ 5 k प्लस 3 और 5 k माइनस 2, ठीक 2 expressions। पर दूसरे में माइनस है, और लगता है कि इससे फ़र्क़ पड़ना चाहिए। क्या माइनस वाला expression सचमुच अलग परिवार बनाता है? इसे k 1 से चलाइए, तो 3, 8, 13, 18 और 23 निकलते हैं, वही 5 संख्याएँ। किसी 5 के multiple से 2 पीछे होना, और उससे पहले वाले multiple से 3 आगे होना, एक ही जगह है।

5:29माइनस 2 में 5 जोड़िए, तो 3 मिलता है, और 5 से भाग देने पर माइनस 2 ख़ुद भी 3 ही बचाता है। जोड़ी गई संख्या का सिर्फ़ इतना मतलब है कि वो एक कदम के अंदर कहाँ बैठती है। इसीलिए यहाँ k 1 से शुरू होता है, शून्य से नहीं, क्योंकि शून्य पर ये माइनस 2 देता है, और माइनस 2 किसी चीज़ की गिनती नहीं हो सकती। और नाम इतने ही नहीं हैं, 5 k प्लस 8 वाला भी यही परिवार है, अगर k माइनस 1 से शुरू हो, और 5 k प्लस 13 वाला भी।

6:00पर 3 k प्लस 5 कभी इसका नाम नहीं हो सकता, कदम अलग है तो परिवार अलग है। इन सबके नीचे एक चित्र छिपा है, जो बनाने लायक है। कुल 23 बिंदु लीजिए, और उन्हें 5 की rows में रखिए। इनसे 4 पूरी rows बनती हैं, और नीचे 3 बिंदुओं की एक छोटी row बचती है। संख्या 18 के साथ यही कीजिए, तो 3 पूरी rows और 3 बचे, और अकेले 3 से शुरू करें, तो शून्य rows और 3 बचे।

6:30परिवार के किसी भी सदस्य के साथ, हमेशा कुछ पूरी rows बनती हैं, उनकी गिनती ही k है, और नीचे 3 की छोटी row। यानी 5 k प्लस 3, सीधे चित्र से पढ़ा हुआ, और k 0 से 40 तक हर एक सदस्य पर यही तस्वीर बनती है। और छोटी row हमेशा छोटी रहती है, वो कभी भरकर पूरी row नहीं बनती। अगर भर जाती, तो आप एक और row निकाल लेते, और वो बचा हुआ नहीं कहलाता, यही है बचे हुए का भाग देने वाली संख्या से छोटा होना, बस चित्र में।

7:05अब कुछ मुश्किल, वो संख्याएँ ढूँढिए जो 3 से भाग देने पर 2 बचाएँ, और 4 से भाग देने पर भी 2 बचाएँ। मन करता है कि शर्तों को जोड़ दें, 3 और 4 मिलकर 7, 2 और 2 मिलकर 4 हो जाएँ। ऐसा नहीं होता, दोनों शर्तें एक ही संख्या के बारे में हैं, और एक ही समय पर। तो एक परिवार लिखिए, और फिर दूसरी शर्त से उसे छाँटिए।

7:30पहली शर्त से 2, 5, 8, 11, 14 और 17 मिलती हैं। इनमें से 4 से भाग देने पर 2 कौन बचाती हैं, सिर्फ़ 2 और 14 ऐसा करती हैं। आगे बढ़ें तो 2, 14, 26 और 38 मिलते हैं, यानी 12 के कदमों वाला परिवार। एक ही expression, 12 k प्लस 2, और 200 तक ऐसी 17 संख्याएँ हैं, हर एक इसी रूप की। और 12, 3 और 4 का जोड़ नहीं है, ये वो सबसे छोटी संख्या है जिसमें 3 और 4 दोनों पूरे जाते हैं, यहाँ ये 3 गुणा 4 के बराबर है।

8:09अब देखिए, इस तरह लिखने से क्या फ़ायदा होता है। मेरे पास 2 संख्याएँ हैं, पहली 7 से भाग देने पर 3 बचाती है, और दूसरी 5 बचाती है। इनका जोड़ 7 से भाग देने पर क्या बचाएगा? इन्हें सीखे हुए ढंग से लिखिए, 7 a प्लस 3 और 7 b प्लस 5 के रूप में। जोड़िए, तो 7 a प्लस 7 b आता है, और साथ में 3 प्लस 5 बराबर 8 बचता है।

8:39जिस भी हिस्से में 7 है, वो पूरा बँट जाता है। पर 8 तो 7 के लिए बचा हुआ हो ही नहीं सकता, उसमें अभी एक 7 छिपा है। वो 7 बाहर निकालिए, तो 1 बचता है, यानी जोड़ 7 से भाग देने पर 1 बचाता है। वो संख्याएँ थीं 661 और 4779, यानी 7 गुणा 94 प्लस 3, और 7 गुणा 682 प्लस 5 वाली। इनका जोड़ 5440 है, जो 7 गुणा 777 प्लस 1 है, और 777 बराबर 94 प्लस 682 प्लस 1, भाग तो किया ही नहीं गया।

9:19घटाना भी ऐसे ही चलता है, बस एक जगह तक। दूसरी में से पहली घटाइए, तो 5 माइनस 3 बराबर 2, और 7 के लिए 2 एक ठीक बचा हुआ है। वो अंतर 4118 है, जो 7 गुणा 588 प्लस 2 है, और 588 बराबर 682 माइनस 94, फिर भाग की ज़रूरत नहीं पड़ी। अब उल्टा कीजिए, पहली में से दूसरी, तो 3 माइनस 5 बराबर माइनस 2 आता है।

9:48पर बचा हुआ कभी negative नहीं होता, वो हमेशा 7 से छोटा और शून्य या उससे बड़ा रहता है। तो इसे सुधारिए, 7 वापस जोड़ दीजिए, माइनस 2 प्लस 7 बराबर 5 होता है। और सच में 661 माइनस 4779 बराबर माइनस 4118 है, जो 7 गुणा माइनस 589 प्लस 5 के बराबर है। ये जवाब सजाने की चाल नहीं है, 7 जोड़ने से 7 वाला बचा हुआ बदल ही नहीं सकता, आप बस उसी परिवार में एक कदम आगे जाते हैं।

10:23लोगों को आधा नियम याद रहता है, कि जोड़ का बचा हुआ, बचे हुओं का जोड़ होता है, और बाक़ी आधा भूल जाते हैं, कि फिर उसे दायरे में वापस लाना है। एक दावा ये भी है, कि 6 से भाग देने पर 2 बचाने वाली कोई भी 3 संख्याएँ जोड़ें, तो 6 का multiple बनता है। जैसे 2, 8 और 26, इनका जोड़ 36 है, जो 6 गुणा 6 है।

10:49बचे हुए जोड़िए, 2 प्लस 2 प्लस 2 बराबर 6, और 6 को दायरे में लाएँ, तो शून्य बचता है। यानी तीनों का जोड़ हमेशा 6 का multiple है, बिना कोई भाग किए। जाँच में 116 तक के 20 सदस्यों से 8000 तिकड़ियाँ बनती हैं, और हर एक का जोड़ 6 का multiple निकलता है। यहाँ दायरे में लाना ही पूरा जवाब था, 6 वाला बचा हुआ सीधे शून्य बन गया।

11:19अब एक पहेली, जो असल में ऐसी ही शर्तों की एक सूची है। मेरे पास मुट्ठी भर कंकड़ हैं, 3 के समूह बनाऊँ तो 1 बचता है। जोड़ियाँ बनाऊँ तो 1 बचता है, और 5 के समूह बनाऊँ तो भी 1 बचता है। और 7 के समूह बनाऊँ, तो कुछ नहीं बचता, और कंकड़ 100 से ज़्यादा नहीं हैं। इसे एक ही संख्या पर 4 शर्तें मानिए, और छाँटिए। पहली शर्त से 100 तक 34 संख्याएँ बचती हैं, बहुत ज़्यादा।

11:48फिर odd होने की शर्त जोड़ें, तो 17 रह जाती हैं। फिर 5 वाली शर्त जोड़ें, तो सिर्फ़ 1, 31, 61 और 91 रह जाती हैं। ये 30 k प्लस 1 है, क्योंकि 2, 3 और 5 तीनों पर 1 बचने का मतलब है 30 के किसी multiple से 1 ज़्यादा होना। और इनमें 7 का multiple सिर्फ़ 91 है, जो 7 गुणा 13 है, एक जवाब, और कोई खोजबीन नहीं।

12:16एक आख़िरी पहेली, क्योंकि इसकी बनावट देखने लायक है। एक संख्या 3 से भाग पर 2 बचाती है, 4 से भाग पर 3, और 5 से भाग पर 4 बचाती है। जोड़ियाँ देखिए, 2 और 3, 3 और 4, फिर 4 और 5 की जोड़ी। हर बचा हुआ, भाग देने वाली संख्या से ठीक 1 कम है। यानी संख्या 3, 4 और 5, तीनों के किसी multiple से एक साथ 1 कम है।

12:46ऐसी सबसे छोटी संख्या जिसमें 3, 4 और 5 तीनों पूरे जाएँ, 60 है, यानी 3 गुणा 4 गुणा 5, तो जवाब 59 है। जाँच कीजिए, संख्या 59 में 3 पूरा 19 बार जाकर 2 बचते हैं, 4 पूरा 14 बार जाकर 3, और 5 पूरा 11 बार जाकर 4 बचते हैं। और ये भी एक परिवार है, 59 के बाद 119, फिर 179, हर बार 60 आगे। तो 5 से भाग देने पर 3 बचना, किसी एक संख्या के बारे में बात नहीं है।

13:21ये एक पूरे परिवार का नाम है, अनगिनत सदस्य, बराबर फ़ासलों पर, और उसका कदम और उसकी शुरुआत दोनों साफ़ दिखते हैं। जो संख्या letter से गुणा होती है, वही कदम है, यानी भाग देने वाली संख्या। जोड़ी गई संख्या का बस इतना मतलब है कि वो एक कदम के अंदर कहाँ बैठती है, इसीलिए 5 k माइनस 2 और 5 k प्लस 3 एक ही परिवार हैं। और बचे हुए जोड़ने या घटाने के बाद, उन्हें दायरे में वापस लाना पड़ता है।

13:51जब हर संख्या अपना बचा हुआ अपने लिखे रूप में साथ लेकर चलती है, तो जवाब algebra से निकल आते हैं, और भाग देने की ज़रूरत ही नहीं पड़ती।