PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 8 Mathematics · Chapter 2, Power Play
Chapter 2 · Power Play
10 की powers, और पूर्ण संख्याओं तथा decimals का स्थानीय मान खोलकर लिखा हुआ
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47561 को खोलिए और सिर्फ़ गुणक देखिए: 10000, 1000, 100, 10। हर एक 10 की power है, और units वाला अकेला 1 असल में 1 गुणा 10 की power शून्य है।
मुख्य idea
Expanded form शुरू से ही दस की powers के बारे में एक कथन था; 10000 को 10⁴ लिखना बस उसे यह बात खुलकर कहने देता है। जैसे ही गुणकों पर exponents लग जाते हैं, किसी अंक की जगह रटने वाला नाम नहीं रहती, पढ़ी जा सकने वाली संख्या बन जाती है: exponent ही जगह है। और फिर decimal point का ख़ास दर्जा पूरी तरह ख़त्म हो जाता है। वह दो तरह के अंकों के बीच कोई दीवार नहीं है — वह बस वह जगह है जहाँ exponents 0 से नीचे −1 पर उतरते हैं। fraction वाली जगहें कभी स्थानीय मान का विस्तार नहीं थीं; वे उसी का हिस्सा थीं, बस negative exponents की इजाज़त मिलने का इंतज़ार कर रही थीं ताकि उन्हें भी बाक़ी सबकी तरह लिखा जा सके।
आपको क्या आना चाहिए
- किसी पूर्ण संख्या को गुणक 10, 100, 1000 लेकर expanded form में लिखना
- उसी विस्तार को ऐसे दोबारा लिखना कि हर गुणक 10 की power हो
- बाएँ से गिने बिना बताना कि किसी अंक की जगह 10 की कौन-सी power की है
- समझाना कि इकाई का अंक 10⁰ से गुणा क्यों होता है, और इसके लिए 10⁰ = 1 क्यों ज़रूरी है
- decimal संख्या को 10 की negative powers लेकर expanded form में लिखना
- अंक की जगह से exponent पढ़ना, और exponent से जगह
- विस्तार में zero अंक का हिसाब रखना, और बताना कि उसका पद क्या जोड़ता है
- समझाना कि जगहों पर exponents के नाम लग जाने के बाद decimal point असल में क्या दर्शाता है
जानने लायक़ शब्द
| शब्द | एक पंक्ति में अर्थ | हिंदी / क्षेत्रीय समकक्ष | पहली बार कहाँ |
|---|---|---|---|
| expanded form | संख्या को हर अंक गुणा उसके स्थानीय मान के जोड़ के रूप में लिखना | विस्तारित रूप | इस chapter में छपा (Part I p.30) |
| powers of 10 | संख्याएँ 10⁰, 10¹, 10², … और उनके reciprocals | 10 की घातें | इस chapter में छपा, §2.4 के शीर्षक के रूप में और Part I p.30 पर |
| Indian numerals | खोले जा रहे अंकों के लिए chapter का शब्द | भारतीय अंक | इस chapter में छपा (Part I p.30) |
| exponent | factors की गिनती, और यहाँ किसी जगह का नाम भी | घातांक | इस chapter में मोटे अक्षरों में छपा (Part I p.22) |
| place value | वह मान जो किसी अंक को उसकी जगह की वजह से मिलता है | स्थानीय मान | इस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा, chapter विस्तार करता है पर इस विचार को नाम नहीं देता |
| tenths, hundredths, thousandths | fraction वाली जगहें, जिन्हें chapter सिर्फ़ fractions के रूप में लिखता है | दसवाँ, सौवाँ, हज़ारवाँ | इस पाठ के शब्द; इस chapter में नहीं छपे, जहाँ ये जगहें सिर्फ़ 1/10, 1/100 और 1/1000 के रूप में आती हैं |
हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इन्हें standard शब्द मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।
लोग कहाँ चूकते हैं
- "इकाई के अंक का कोई गुणक नहीं होता।" उसका गुणक 10⁰ है, जो 1 है, और इसीलिए उसे अकेला लिखा जा सकता है। chapter ख़ुद चार पंक्तियों के अंदर इसे दोनों तरह से छापता है। यह लापरवाही नहीं — यही बात है।
- "10⁰ = 1 स्थानीय मान के लिए बना कोई ख़ास रिवाज है।" यह दो pages पहले भाग वाले नियम से मजबूरी में आया था (Part I p.28). स्थानीय मान इसे इस्तेमाल करता है; बनाता नहीं।
- "point के बाद का पहला अंक दसवें स्थान का है, तो वह 10¹ के साथ जाता है।" वह 10⁻¹ के साथ जाता है। "दसवाँ" पढ़ते हुए students को "दस" सुनाई देता है। fraction और power को अगल-बगल तब तक दिखाओ जब तक दोनों अलग न हो जाएँ।
- "negative exponents स्थानीय मान को point के पार बढ़ाते हैं।" कुछ भी बढ़ाया नहीं जा रहा। exponents का pattern पहले से 4, 3, 2, 1, 0 चल रहा था और बस −1, −2, −3 तक चलता जाता है। decimal point पढ़ने में मदद है, कोई सीमा नहीं।
- "zero अंक को संख्या से हटाया जा सकता है।" संख्या के अंकों से नहीं: 561.903 से zero हटाओ तो 561.93 पढ़ा जाता है, जो अलग संख्या है। विस्तार में (0 × 10⁻²) वाला पद कुछ नहीं जोड़ता और हटाया जा सकता था, क्योंकि बाक़ी हर पद अपनी दस की power साथ रखता है; chapter फिर भी उसे लिखता है, जिससे हर स्थान दिखता रहता है।
- "हर संख्या की जगहों का एक तय समूह होता है।" chapter जो तीन संख्याएँ खुली छोड़ता है — 172, 5642, 6374 — उनके सबसे बड़े exponents अलग हैं। विस्तार संख्या से पढ़ा जाता है, किसी table से रटकर नहीं बोला जाता।
- "यह सिर्फ़ संख्या दस के बारे में है।" यह दस के लिए इसलिए चलता है कि अंक दस हैं। आख़िर में एक वाक्य काफ़ी है: notation का base और उपलब्ध symbols की गिनती एक ही संख्या हैं।
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पूरा transcript2,019 शब्द
यहाँ एक संख्या लीजिए, 47561, और इसे खोलकर देखिए। किसी संख्या को ऐसे टुकड़ों में खोलना आपने पहले भी किया है। सबसे पहले आता है 4 गुणा 10000 वाला term। फिर उसमें जुड़ता है 7 गुणा 1000 वाला term। फिर 5 गुणा 100 जुड़ता है, और उसके बाद 6 गुणा 10 वाला term। और आख़िर में अकेला 1 जुड़ता है, बिना किसी गुणा के। पहले 3 terms की values 40000, 7000 और 500 हैं।
बाकी 2 terms 60 और 1 हैं, और सबको जोड़ें तो 47561 वापस मिल जाता है। पर अब आख़िरी term को ध्यान से देखिए। वो बिल्कुल अकेला लिखा है, उसे किसी भी चीज़ से गुणा नहीं किया गया। पूरी line में बस यही एक चीज़ अलग है, और आगे चलकर यही असली बात निकलेगी। अब अंकों को ढक दीजिए, और सिर्फ़ उनके गुणकों को देखिए। गुणक हैं 10000, 1000, 100 और 10, बस इतने ही।
क्या इनमें से कोई भी गुणक यूँ ही चुना गया है? नहीं, इनमें से कोई भी गुणक मनमाना नहीं है। पहला गुणक, 10000, 10 को 4 बार गुणा करने से बनता है, यानी ये 10 की power 4 है। अगला गुणक, 1000, 10 को 3 बार गुणा करने से बनता है, यानी ये 10 की power 3 है। फिर 100 में 10 का गुणा 2 बार है, और 10 में सिर्फ़ एक बार।
यानी इस line का हर गुणक 10 की कोई power है, पर ये बात किसी ने खुलकर नहीं कही थी। यानी expanded form, exponent लिखे जाने से बहुत पहले से ही, 10 की powers के बारे में एक बात कह रहा था। इसलिए exponents लिख देने से line में कुछ नया नहीं जुड़ता। बस line वही साफ़-साफ़ कहने लगती है जो वो पहले से कह रही थी। तो अब वही line दोबारा लिखिए, इस बार exponents के साथ।
शुरुआत होती है 4 गुणा 10 की power 4 से। फिर 7 गुणा 10 की power 3 जोड़िए, और साथ में 5 गुणा 10 की power 2 जोड़िए। उसके बाद 6 गुणा 10 की power 1 जोड़िए। और units वाला term बनता है 1 गुणा 10 की power शून्य। अब दोनों lines को एक के ऊपर एक रखिए। वही अंक हैं, वही terms हैं, और कुल जोड़ भी वही है।
पर दूसरी line में एक ऐसी चीज़ है जो पहली line में नहीं थी। अब हर place के पास अपनी एक अलग संख्या है, यानी उसका exponent। और आख़िरी term अब अलग-थलग नहीं दिखता, वो भी बाकियों जैसा है। अब देखिए कि units वाले term के साथ अभी क्या हुआ। पहले वो अकेला 1 था, अब वो 1 गुणा 10 की power शून्य है। ये तभी सही बैठता है जब 10 की power शून्य की value 1 हो।
पर क्या ये किसी ने सिर्फ़ सुविधा के लिए मान लिया है? बाकी सब places को जैसा है वैसा रहने दीजिए, और units वाली place को कोई दूसरा गुणक देकर देखिए। पहले शून्य आज़माइए, फिर 1 बटा 10, और फिर 1 बटा 2 आज़माइए। फिर 2, 5, 10 और 100 आज़माइए, और आख़िर में 1 को भी देखिए। कुल 8 गुणक हैं, और हर बार बाकी terms बिल्कुल वही रहते हैं।
इन 8 में से सिर्फ़ एक गुणक ऐसा है जिससे जोड़ वापस उसी संख्या के बराबर आता है। और वो गुणक 1 है, कोई दूसरा नहीं। यानी 10 की power शून्य को 1 मानना हमारी पसंद नहीं है, लिखने का ये तरीका ख़ुद इसकी माँग करता है। पर यहाँ एक सावधानी भी ज़रूरी है। ये test सिर्फ़ इसलिए काम करता है क्योंकि यहाँ आख़िरी अंक शून्य नहीं है। अब संख्या को बदलकर 47560 कर दीजिए।
अब units वाली place में शून्य बैठा है। वही 8 गुणक इस संख्या पर भी आज़माइए। इस बार 8 में से 8 गुणक काम करते हैं, हर एक। क्योंकि शून्य को 100 से गुणा करें तो शून्य मिलता है, और 1 बटा 2 से गुणा करें तो भी शून्य। जब units में शून्य हो, तो कोई भी गुणक पक्का तय नहीं होता। गुणक को place तय नहीं करती, उस place में बैठा अंक तय करता है।
ये बात याद रखिए, जब भी कोई नियम किसी आसान संख्या पर जाँचने से सही लगने लगे। अब आपकी बारी है, ये रहीं 3 संख्याएँ। पहली संख्या 172 है, इसे expanded form में लिखना है। दूसरी संख्या 5642 है, और तीसरी संख्या 6374 है। चाहें तो यहाँ रुककर सोचिए, इन्हें 10 की powers में कैसे लिखेंगे? पहली संख्या बनती है 1 गुणा 10 की power 2, और 7 गुणा 10, और 2 गुणा 10 की power शून्य।
दूसरी संख्या, 5642, एक place ऊपर से शुरू होती है, यानी 5 गुणा 10 की power 3 से। तीसरी संख्या 6374 की शुरुआत भी वहीं से होती है, 6 गुणा 10 की power 3 से। इसीलिए यहाँ एक नहीं, बल्कि 3 संख्याएँ दी गई हैं। सबसे ऊँची place expanded form में पहले से तय नहीं होती। वो सामने वाली संख्या को पढ़कर ही पता चलती है। अब एक ऐसी संख्या लीजिए जिसमें दशमलव हो।
संख्या है 561 दशमलव 9 0 3, इसे ध्यान से देखिए। दशमलव से पहले वाला हिस्सा तो आप कर ही सकते हैं। ये बनता है 5 गुणा 10 की power 2, फिर 6 गुणा 10, और फिर 1 गुणा 10 की power शून्य। फिर दशमलव आता है, और उसके बाद 3 अंक और आते हैं। दशमलव के बाद पहला अंक 9 है, यानी 9 बटा 10 वाला हिस्सा। दूसरा अंक शून्य है, यानी शून्य बटा 100 वाला हिस्सा।
और तीसरा अंक 3 है, यानी 3 बटा 1000 वाला हिस्सा। इन अंकों के गुणक 1 बटा 10, 1 बटा 100 और 1 बटा 1000 हैं, और ये 3 गुणक भी 10 की powers ही हैं। पहला गुणक, 1 बटा 10, असल में 10 की power minus 1 है। दूसरा गुणक, 1 बटा 100, 10 की power minus 2 है। और तीसरा गुणक, 1 बटा 1000, 10 की power minus 3 है।
तो अब पूरी संख्या को exponents के साथ लिखिए। ऊपर 5 गुणा 10 की power 2, फिर 6 गुणा 10 की power 1, फिर 1 गुणा 10 की power शून्य। फिर 9 गुणा 10 की power minus 1, शून्य गुणा 10 की power minus 2, और 3 गुणा 10 की power minus 3 आता है। अब अंकों को छोड़कर सिर्फ़ exponents को पढ़िए। पढ़िए तो exponents आते हैं 2, 1, शून्य, minus 1, minus 2, minus 3, इसी क्रम में।
पूरे रास्ते हर कदम ठीक 1 का है, कहीं भी 2 का कदम नहीं है। तो फिर दशमलव पर क्या होता है? दशमलव पर कुछ भी ख़ास नहीं होता। न कोई छलांग है, न कोई खाली जगह, और न ही कोई नया नियम। दशमलव आने से पहले भी exponents एक-एक करके घट रहे थे, और उसके बाद भी वैसे ही घटते रहते हैं। दशमलव अंकों की किसी अलग किस्म की शुरुआत नहीं है, वो कोई दीवार नहीं है।
ये बस वो जगह है जहाँ exponent शून्य से उतरकर minus 1 पर आता है। अब places की एक पट्टी बनाइए, और दोनों संख्याओं को उस पर टाँग दीजिए। पट्टी 10 की power 4 से शुरू होती है, और 3, 2, 1 और शून्य से होते हुए नीचे आती है। फिर वो minus 1 और minus 2 से होकर minus 3 पर ख़त्म होती है। कुल 8 places हैं, सब लगातार, बीच में कोई place छूटी नहीं।
पहली संख्या, 47561, ऊपर की 5 places लेती है और units पर रुक जाती है। दूसरी संख्या, 561 दशमलव 9 0 3, पट्टी पर 2 places नीचे से शुरू होती है, और units से 3 places आगे तक जाती है। पट्टी वही है, बस उसका अलग हिस्सा इस्तेमाल हुआ है। अब आपको कभी बाएँ सिरे से गिनती करने की ज़रूरत नहीं पड़ेगी। किसी अंक का exponent बताता है कि वो units वाली place से कितनी places दूर है, बाईं तरफ़ ऊपर और दाईं तरफ़ नीचे।
अंक की जगह बताइए, तो उसका exponent अपने आप मिल जाता है। और exponent बताइए, तो अंक की जगह अपने आप मिल जाती है। अब वापस चलिए उस शून्य पर, जो 1 बटा 100 वाली place में बैठा है। शून्य गुणा 1 बटा 100 का मतलब है कुछ भी नहीं, यानी शून्य। इस term को जोड़ से हटा दीजिए, तो जोड़ ज़रा भी नहीं बदलता। तो फिर इसे लिखना ही क्यों ज़रूरी है?
क्योंकि पढ़ने वाला इसे जोड़ से नहीं हटाता, वो इसे लिखावट से ही हटा देता है। मान लीजिए 561 दशमलव 9 0 3 से शून्य वाला term हटा दिया, तो बचे हुए अंक 5, 6, 1, 9 और 3 होते हैं। अब 561 दशमलव 9 3 लीजिए, जिसमें हटाने के लिए कोई शून्य है ही नहीं। इसके अंक भी 5, 6, 1, 9 और 3 ही होते हैं। वही 5 अंक, पर संख्याएँ अलग-अलग हैं, और इनका अंतर 27 बटा 1000 है।
वो शून्य बेकार नहीं है, वो 3 को उसकी सही place पर रखता है, और उसे हटाते ही 3 एक place ऊपर खिसक जाता है। शून्य value में कुछ नहीं जोड़ता, पर लिखावट में सब कुछ जोड़ता है, इसीलिए उसे लिखा जाता है। अब देखिए, ये पट्टी आपको असल में क्या देती है। पहली संख्या है 0 दशमलव 5 0 3, जो थोड़ी लंबी है। दूसरी संख्या है 0 दशमलव 5 1, जो छोटी दिखती है।
इन दोनों में से बड़ी संख्या कौन सी है? पहली संख्या में ज़्यादा अंक हैं, पर सवाल ये है ही नहीं। दोनों को पट्टी पर एक सीध में रखिए, और ऊपर से नीचे की ओर पढ़िए। सबसे ऊपर units पर दोनों में शून्य है, यानी बराबर। उसके नीचे, 1 बटा 10 वाली place पर, दोनों में 5 है, यानी यहाँ भी बराबर। फिर 1 बटा 100 वाली place पर पहली में शून्य है और दूसरी में 1, और बस यहीं दूसरी संख्या जीत जाती है।
आप 1 बटा 1000 वाली place तक पहुँचे ही नहीं, और आपने कुछ घटाया भी नहीं। जिस सबसे ऊँची place पर संख्याएँ पहली बार अलग होती हैं, फ़ैसला वहीं हो जाता है। अब 9 दशमलव 9 9 9 की तुलना 10 से कीजिए। ये सबसे पहले 10 वाली place पर अलग होती हैं, एक तरफ़ कुछ नहीं और दूसरी तरफ़ 1, इसलिए 10 बड़ी है। ज़्यादा अंक होने का मतलब बड़ी संख्या होना नहीं है।
अब एक और बात, जो लगभग मुफ़्त में मिलती है। आप जानते हैं कि 12 का square 144 होता है। तो 1 दशमलव 2 का square क्या होगा? उसका जवाब 1 दशमलव 4 4 आता है। और फिर 0 दशमलव 1 2 का square कितना होगा? वो 0 दशमलव 0 1 4 4 आता है। अब 0 दशमलव 0 1 2 लीजिए, जो एक place और नीचे है। उसका square 0 दशमलव 0 0 0 1 4 4 आता है।
और 120 का square 14400 आता है। इन 4 में से हर एक बस 144 ही है, जो पट्टी पर खिसक गया है। और देखिए कितना खिसकता है, संख्या एक place खिसके तो उसका square 2 places खिसकता है। आख़िरी सवाल, इसमें 10 ही क्यों है? इसलिए नहीं कि 10 में कोई ख़ास जादू है। बल्कि इसलिए कि अंक लिखने के लिए हमारे पास 10 symbols हैं, और place वाले तरीके में उतने ही symbols चाहिए जितना उसका base है।
यानी base 2 में 2 symbols चाहिए, base 8 में 8 symbols, और base 16 में 16 symbols। एक symbol भी ज़्यादा ले लिया, तो पूरा तरीका टूट जाता है। मान लीजिए 10 की value वाला एक अकेला symbol है, उसे 1 के बाद लिखिए, तो वो 20 बनाता है। पर 2 के बाद शून्य लिखें, तो वो भी 20 ही बनाता है। एक ही संख्या की 2 अलग लिखावटें, और अब किसी लिखावट से वापस पक्की संख्या नहीं पढ़ी जा सकती।
तो base और symbols की गिनती एक ही संख्या है, और 10 यहाँ बस यही काम कर रहा था। ये places, ये exponents, और वो दशमलव जो दीवार नहीं निकला, इनमें से कुछ भी असल में 10 के बारे में नहीं था। याद रखिए, exponent बस ये बताता है कि कोई अंक units वाली place से कितनी places दूर है। और units वाली place का गुणक 1 है, क्योंकि लिखने का ये तरीका यही माँगता है।
अगली बार कोई लंबी दशमलव संख्या दिखे, तो पहले पूछिए, हर अंक units वाली place से कितनी दूर है?
यह कहाँ बैठता है
यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.
किस पर टिका है
- Zero and negative exponents: extending the rule rather than inventing a meaningकक्षा 8 · Ch 2, Power Play
आगे फिर कहाँ आता है
- Scientific notation, and why the standard form is 1 ≤ x < 10कक्षा 8 · Ch 2, Power Play
- The digit-sum test for 9, and the algebra underneath itकक्षा 8 · Ch 5, Number Play
- Cracking a cryptarithm by reasoning about digits, not guessingकक्षा 8 · Ch 5, Number Play
इसके ठीक पहले और ठीक बाद
- Reading a power line: multiplication as movement along a scaleकक्षा 8 · Ch 2, Power Play