6 और दूसरी संख्याओं से विभाज्यता, उनके गुणनखंडों के ज़रिए जाँची हुई

0:00आपके पास कई संख्याओं के test हैं, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 और 11 के। पर 6 का कोई अपना test नहीं है। और उसकी ज़रूरत भी नहीं है, वजह सीधी है। संख्या 6 बराबर 2 गुणा 3 है, तो वो 2 सवाल पूछिए, जिनका जवाब आपको पहले से आता है। पहला सवाल, क्या संख्या even है? दूसरा, क्या उसके अंकों का जोड़ 3 का multiple है? अगर दोनों जवाब हाँ हैं, तो संख्या 6 का multiple है।

0:33यही दावा है, अब देखते हैं कि ये सच है या नहीं, और क्या यही तरकीब हर जगह चलती है। अब ये 4 संख्याएँ लीजिए, 38, 225, 186 और 64, और दोनों test लगाइए। संख्या 38 even है, और इसके अंकों का जोड़ 3 प्लस 8 बराबर 11 है, जो 3 का multiple नहीं। संख्या 225 odd है, पर इसके अंकों का जोड़ 9 है, तो ये 3 वाला test पास करती है, 2 वाला नहीं।

1:04संख्या 64 even है, और इसका जोड़ 6 प्लस 4 बराबर 10 है, यानी 38 जैसी हालत, एक हाँ और एक ना। संख्या 186 even है, और इसका जोड़ 15 है, जो 3 गुणा 5 है, तो दोनों जवाब हाँ। अब हर एक को 6 से भाग देकर देखिए। संख्या 38 बराबर 6 गुणा 6 प्लस 2, और 225 बराबर 6 गुणा 37 प्लस 3 होता है। संख्या 64 बराबर 6 गुणा 10 प्लस 4, पर 186 बराबर 6 गुणा 31, बिना कुछ बचे।

1:40यानी सिर्फ़ 186 पूरा बँटता है, और दोनों test ने भी यही कहा था। पर ध्यान दीजिए, इन 4 संख्याओं में कौन सी हालत नहीं है? सिर्फ़ 3 वाला test पास करने वाली 1 संख्या है, सिर्फ़ 2 वाला पास करने वाली 2 संख्याएँ हैं, और दोनों पास करने वाली 1 संख्या है। दोनों में फ़ेल होने वाली कोई नहीं, तो अपनी तरफ़ से एक संख्या जोड़ते हैं, और वो है 35, जो दोनों में फ़ेल होती है।

2:08संख्या 35 odd है, और इसका जोड़ 3 प्लस 5 बराबर 8 है, जो 3 का multiple नहीं, यानी दोनों जवाब ना। और सच में, 35 बराबर 6 गुणा 5 प्लस 5 होता है, 6 का multiple नहीं। ये चौथा कोना है, और ये ज़रूरी है, क्योंकि जिस नियम को सिर्फ़ सही बैठते देखा हो, वो अभी परखा ही नहीं गया। अब 1 से 2999 तक की सारी संख्याएँ जाँचिए, इनमें 499 संख्याएँ 6 की multiple हैं, और दोनों test हर संख्या पर भाग वाला जवाब ही देते हैं, 2999 में से 2999 बार।

2:47और 90000 से आगे की 3000 संख्याओं पर भी यही होता है, 3000 में से 3000 बार, जिनमें 500 multiples हैं। तो 6 का मामला तय है, उसे अपने अलग नियम की कभी ज़रूरत नहीं थी। अब यही चाल एक मुश्किल संख्या, 24 पर आज़माइए। संख्या 24 बराबर 4 गुणा 6 है, और 4 का test भी आपके पास है, 6 का भी। तो लगता है, 4 और 6 दोनों जाँच लीजिए, और 24 की जाँच हो गई।

3:19ये बात पिछली बार जितनी ही ठीक लगती है, पर ये ग़लत है। इसे गिराने के लिए बस एक संख्या काफ़ी है, और वो संख्या 12 है। संख्या 12 बराबर 4 गुणा 3, यानी 4 का multiple, और 12 बराबर 6 गुणा 2, यानी 6 का भी multiple। पर 12, संख्या 24 से छोटी है, 12 बराबर 24 गुणा 0 प्लस 12, तो ये 24 का multiple नहीं। एक ही संख्या, और दावा कमज़ोर नहीं हुआ, सीधा ख़त्म हो गया।

3:52क्या 12 कोई अनोखा अपवाद है? नहीं, 1 से 2999 तक, 4 और 6 वाला तरीका 125 संख्याओं पर ग़लत जवाब देता है। और ये 125 संख्याएँ कौन सी हैं? ठीक वही, जो 12 की multiple हैं, पर 24 की नहीं। सबसे पहली 3 संख्याएँ हैं 12, 36 और 60, हर एक 12 का multiple, और 24 का नहीं। इस दायरे में 12 के 249 multiples हैं, 24 के 124, और 249 माइनस 124 बराबर 125, यानी हर ग़लती इसी गिनती में है।

4:32ऐसे में मन करता है कि test पर ही शक किया जाए। पर ऐसा मत कीजिए, दोनों test बिल्कुल ठीक हैं। यहाँ 4 का test, 4 के हर multiple को पकड़ता है, 1 से 2999 तक 4 के कुल 749 multiples हैं, और गिनती पूरी आती है। और 6 का test, यानी 2 और 3 की जोड़ी, 6 के सारे 499 multiples पकड़ता है। कोई औज़ार ख़राब नहीं है, ख़राब है तो योजना।

5:00जब 2 सही कदम मिलकर ग़लत जवाब दें, तो गड़बड़ उन्हें जोड़ने के तरीके में होती है। ये समझने के लिए factors छोड़िए, और primes गिनिए। हर संख्या primes से बनती है, और मायने ये रखता है कि कौन से prime हैं, और हर एक कितनी बार आता है। संख्या 24 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 3, यानी 3 बार 2 और एक बार 3 आता है। इसे सामान की एक सूची समझिए, 24 का multiple बनने के लिए संख्या में 3 बार 2 और एक बार 3 होना चाहिए।

5:35संख्या 4 बराबर 2 गुणा 2, और 6 बराबर 2 गुणा 3 होता है। संख्या 8 बराबर 2 गुणा 2 गुणा 2, और 3 अपने आप में एक prime है। अब हर test सामान की एक माँग है, और सवाल ये है कि 2 माँगें मिलकर पूरी सूची बनाती हैं या नहीं। संख्या 4 और 6 को साथ-साथ रखिए। संख्या 4 को 2 बार 2 चाहिए, और 6 को एक बार 2 और एक बार 3 चाहिए।

6:07दोनों मिलकर कितने 2 पक्के करते हैं? जवाब 3 नहीं, सिर्फ़ 2 है। क्योंकि 6 जो 2 माँगता है, वो उन्हीं 2 में से एक हो सकता है, जो 4 पहले ही माँग चुका है। दोनों माँगें आपस में टकराती हैं, और टकराव वहीं है, जहाँ एक prime दोनों को चाहिए। तो ये जोड़ी पक्का करती है 2 गुणा 2 गुणा 3 बराबर 12, जबकि 24 बराबर 12 गुणा 2, यानी एक 2 कम पड़ता है।

6:36अब 3 और 8 को देखिए, 3 को एक बार 3 चाहिए, और 8 को 3 बार 2 चाहिए। यहाँ कोई टकराव नहीं, 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 3 बराबर 24, पूरी सूची, इसीलिए ये जोड़ी काम करती है। पर 4 और 6 कुछ भी तय नहीं करते, ऐसा भी नहीं है। दोनों test पास करने का मतलब है, संख्या 12 का multiple है, ये पक्का है। और यही होता है, 1 से 2999 तक ये जोड़ी 249 संख्याओं को हाँ कहती है, और वो ठीक 12 के 249 multiples हैं।

7:13यहाँ 4 और 6 का LCM 12 है, यानी दोनों का सबसे छोटा साझा multiple। कोई भी 2 भाजक मिलकर अपने LCM को पक्का करते हैं, उससे बड़ी किसी चीज़ को नहीं। और 4 गुणा 6 बराबर 24, जो 12 गुणा 2 है, यही वो 2 है जो टकराव में खो गया। तो तरीके ने सच ही बताया था, बस सवाल ग़लत पूछा गया था। तो शर्त ये है, और छोटी सी है।

7:41किसी गुणनफल को उसके 2 टुकड़ों के test से परखें, तो जवाब तभी पक्का है, जब दोनों टुकड़ों में कोई prime साझा न हो। कोई prime साझा नहीं, तो माँगें बिना बर्बादी के जुड़ती हैं, और LCM ही गुणनफल होता है। एक भी prime साझा हो, तो वो 2 बार माँगा जाता है पर एक ही बार मिलता है, और LCM गुणनफल से छोटा रह जाता है। ये कोई दुर्लभ जाल नहीं, 2 से 25 तक की सारी जोड़ियाँ लीजिए, कुल 300, और इनमें से 125 में कोई prime साझा है।

8:14बाकी 175 में कोई prime साझा नहीं, और हर जोड़ी पर ये शर्त बिल्कुल सही बैठती है, 300 में से 300 बार। और 26 से 49 तक भी यही तस्वीर है, 300 में से 123 जोड़ियाँ किसी prime को साझा करती हैं। यानी बिना जाँचे बँटवारा चुनेंगे, तो अक्सर ग़लत होंगे। अब जिन बड़े भाजकों से आपका सामना होता है, उन्हें ठीक से तोड़िए। संख्या 12 बराबर 4 गुणा 3, और 15 बराबर 3 गुणा 5 होता है।

8:45संख्या 18 बराबर 2 गुणा 9, और 36 बराबर 4 गुणा 9 होता है। संख्या 44 बराबर 4 गुणा 11, और 24 बराबर 3 गुणा 8 होता है। इन जोड़ियों को देखिए, किसी में भी कोई prime साझा नहीं, और हर जोड़ी का गुणनफल ठीक अपना भाजक है। तो हर बार 2 बातें जाँचिए, गुणनफल भाजक के बराबर है या नहीं, और कोई prime साझा तो नहीं। अब कुछ बँटवारे, जो सही दिखते हैं पर हैं नहीं।

9:18संख्या 2 गुणा 12 बराबर 24, पर दोनों में 2 साझा है, और 12 ही इसे तोड़ देता है। संख्या 6 गुणा 6 बराबर 36, यहाँ तो दोनों primes साझा हैं, और 6 ख़ुद ही इसे तोड़ देता है। संख्या 3 गुणा 12 बराबर 36, दोनों में 3 साझा है, और फिर 12 इसे तोड़ता है। और 3 गुणा 6 बराबर 18, दोनों में 3 साझा है, तो संख्या 6 दोनों test पास करती है, पर 18 का multiple नहीं।

9:51हर बार तोड़ने वाली संख्या छोटी है, इसलिए थोड़ी सी जाँच से पकड़ में आ जाती है। अब एक काम जो 90 खानों का लगता है, 10 संख्याएँ, 9 भाजक, और हर खाने में हाँ या ना। भाजक हैं 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 और 11, ये कुल 9 हैं। इनमें से सारे 9 test करने की ज़रूरत नहीं, सिर्फ़ 7 काफ़ी हैं। संख्या 6 बराबर 2 गुणा 3, और 10 बराबर 2 गुणा 5, ये सारे टुकड़े सूची में पहले से हैं, और किसी में कोई prime साझा नहीं।

10:28तो 2, 3 और 5 के खाने भर जाएँ, तो 6 और 10 वाले खाने बिना भाग के भरे जा सकते हैं। यानी 2 पूरे खाने, 20 जगहें, एक भी भाग के बिना। और ये हर संख्या पर सही निकलते हैं, 6 वाला खाना 10 में से 10 बार, और 10 वाला भी 10 में से 10 बार। इस तालिका में 10 में से 5 संख्याएँ 6 की multiple निकलती हैं।

10:54अब एक पूरी पंक्ति भरकर देखते हैं, संख्या 990 की। संख्या 990 का आख़िरी अंक 0 है, तो 2, 5 और 10 के लिए हाँ, और 9 प्लस 9 प्लस 0 बराबर 18, तो 3 और 9 के लिए हाँ। आख़िरी 2 अंक 90 हैं, 90 बराबर 4 गुणा 22 प्लस 2, तो 4 के लिए ना, और 990 बराबर 8 गुणा 123 प्लस 6, तो 8 के लिए ना।

11:21और 11 के लिए इकाई से, 0 माइनस 9 प्लस 9 बराबर 0, तो हाँ, और 6 का खाना 2 और 3 से अपने आप हाँ। इस पंक्ति में 7 हाँ हैं, 2, 3, 5, 6, 9, 10 और 11 के नीचे। अब संख्या 2856, इसका आख़िरी अंक 6 है, तो 2 के लिए हाँ, 5 और 10 के लिए ना। इसका जोड़ 2 प्लस 8 प्लस 5 प्लस 6 बराबर 21 है, जो 3 गुणा 7 है, तो 3 के लिए हाँ, पर 9 के लिए ना।

12:00आख़िरी 2 अंक 56 हैं, जो 4 गुणा 14 है, और आख़िरी 3 अंक 856, जो 8 गुणा 107 है, तो 4 और 8 दोनों के लिए हाँ। और 11 के लिए 6 माइनस 5 प्लस 8 माइनस 2 बराबर 7, जो 11 का multiple नहीं, तो कुल 5 हाँ, 2, 3, 4, 6 और 8 के नीचे। एक आख़िरी बात, और ये नियम कम, आदत ज़्यादा है। संख्या 128 की एक भरी हुई पंक्ति देखिए, 2 के नीचे हाँ, 4 के नीचे ना, और 8 के नीचे हाँ।

12:38ये पंक्ति ग़लत है, और ये जानने के लिए कुछ भी भाग देने की ज़रूरत नहीं। संख्या 4, संख्या 8 में पूरा जाता है, तो जिसे 8 पूरा बाँटे, उसे 4 ज़रूर बाँटता है। यहाँ 1 से 2999 तक 8 के सारे 374 multiples, 4 के भी multiple हैं, और 90000 से आगे भी, 375 में से 375 बार। तो 8 के नीचे हाँ और 4 के नीचे ना, ये कोई अजीब संख्या नहीं, ये नामुमकिन है।

13:12उल्टी तरफ़ ऐसा नहीं है, 1 से 2999 तक 375 संख्याएँ 4 की multiple हैं पर 8 की नहीं, और तालिका में ऐसी संख्या 3060 है। संख्या 3060 बराबर 4 गुणा 765, पर 8 गुणा 382 प्लस 4, तो वहाँ हाँ और ना बिल्कुल आम बात है। और 128 बराबर 4 गुणा 32, और 8 गुणा 16 होता है, तो 4 वाला खाना हाँ होना चाहिए। तो याद रखने वाली बात, 6 का अलग test नहीं चाहिए, 2 और 3 के test काफ़ी हैं।

13:49पर 4 और 6 मिलकर 24 तय नहीं करते, संख्या 12 इसे तोड़ देती है। भाजक को primes की सूची की तरह देखिए, और गिनिए कि हर prime कितनी बार आता है। कोई भी 2 टुकड़े तभी काम करते हैं, जब उनमें कोई prime साझा न हो, तब LCM ही गुणनफल होता है। ऐसे छोटे तरीके बहुत सारे भाजकों के लिए हैं, जिन्हें समझाने के लिए और गहरे विचार चाहिए, पर सोच वही रहती है, primes गिनिए, और देखिए कि कुछ 2 बार तो नहीं माँगा जा रहा।