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Chapter 8 · Working with Fractions

reciprocals, और fractions को भाग देने का Brahmagupta वाला rule

Dividing fractions12 मिनट

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उल्टा करो और गुणा करो: यह नियम है, या किसी बात का नतीजा? 2 बटा 3 भाग 3 बटा 5 में असली काम उस संख्या ने किया जो 3 बटा 5 को 1 बना देती है: 5 बटा 3, उसका reciprocal।

मुख्य idea

"दूसरे को उलट दो और गुणा करो" एक नतीजा है, rule नहीं। reciprocal की परिभाषा इस बात से होती है कि वह क्या करता है — वह अपने साथी से गुणा होकर उसे ठीक 1 तक पहुँचा देता है — और numerator की denominator से अदला-बदली बस वह तरीक़ा है जिससे साथी के fraction होने पर ऐसा number ढूँढ़ा जाता है। इसी एक खोज को अक्षरों में लिख देने से एक अकेली line उससे पहले आए चारों अलग-अलग हल किए गए divisions की जगह ले लेती है, और ठीक इसी संक्षेप का श्रेय chapter Brahmagupta को देता है: हिसाब का नहीं, जो पहले से पुराना था, बल्कि आम रूप का।

आपको क्या आना चाहिए

  • product के ज़रिए बताना कि कोई number किसी दूसरे number का reciprocal क्यों है
  • किसी fraction का, और किसी whole number का, reciprocal लिखना
  • यह सिर्फ़ कहने की बजाय समझाना कि fraction को उलटने से उसका reciprocal क्यों बनता है
  • fractions का division दो नाम वाले क़दमों में करना: divisor का reciprocal ढूँढ़ो, फिर गुणा करो
  • division का rule अक्षरों में लिखना, और chapter के दोनों छपे हुए रूपों को एक ही rule के रूप में पहचानना
  • गुणा और भाग के rules के आम रूप का श्रेय Brahmagupta के Brāhmasphuṭasiddhānta (628 CE) को देना, और reciprocal वाली भाषा का श्रेय Bhāskara II की Līlāvatī (1150 CE) को
  • fractions का हिसाब कैसे आगे फैला, इसके बारे में chapter का बयान — भारत, फिर अरब और अफ़्रीकी गणितज्ञ, फिर यूरोप — एक मोटी timeline पर रखना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
reciprocalवह number जो किसी दिए गए number से गुणा होकर ठीक 1 देता हैव्युत्क्रम§8.2 में bold में छपा, p.188
divisorवह number जिससे भाग दिया जाता है, और जिसका reciprocal लिया जाता हैभाजक§8.2 में छपा, pp.186–189
dividendवह number जिसे भाग दिया जाता है, और जिससे फिर reciprocal को गुणा किया जाता हैभाज्य§8.2 में छपा, pp.186–189
quotientdivision का नतीजाभागफल§8.2 में छपा, pp.186–189
numeratorbar के ऊपर की गिनती, जो reciprocal का denominator बन जाती हैअंश§8.2 में छपा, p.188
denominatorbar के नीचे की गिनती, जो reciprocal का numerator बन जाती हैहर§8.2 में छपा, p.188
formulaअक्षरों में लिखा rule, ताकि वह fractions की हर जोड़ी पर लागू होसूत्र§8.2 में छपा, p.189
Brahmaguptaसातवीं सदी के भारतीय गणितज्ञ, जिन्हें इन rules को पहली बार आम रूप में व्यवस्थित करने का श्रेय दिया जाता हैब्रह्मगुप्त§8.2 में छपा, p.189, और "A Pinch of History" में, p.195
BrāhmasphuṭasiddhāntaBrahmagupta का 628 CE का ग्रंथ, दोनों formulas के लिए chapter का स्रोतब्राह्मस्फुटसिद्धांत§8.2 में italic में छपा, p.189, और "A Pinch of History" में, p.195
LīlāvatīBhāskara II का 1150 CE का ग्रंथ, जहाँ rule को reciprocal के ज़रिए फिर से कहा गया हैलीलावती"A Pinch of History" में italic में छपा, p.195
multiplicative inversereciprocal का दूसरा नामगुणात्मक प्रतिलोमयहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा
invert and multiplyदो क़दमों वाले तरीक़े का मशहूर नाराउलटकर गुणा करनाव्याख्या का वाक्यांश; इस chapter में नहीं छपा

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash Part I का हिंदी संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल किए गए corpus में नहीं है, इसलिए इन शब्दों को हिंदी छपाई से मिलाकर नहीं जाँचा गया — Notes देखो।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "उलटो और गुणा करो एक चाल है जिसे बस याद रखना पड़ता है।" chapter पहले जवाबों तक पहुँचता है और formula बाद में देता है, और वजह यह है कि उलटा किया हुआ fraction ही अकेली चीज़ है जो divisor को काटकर 1 बना देती है। नारे से पहले काटना दिखाओ।
  • **"reciprocal है ही उलटा fraction।"** fraction के लिए उसे इसी तरह निकालते हैं। वह असल में है वह number जिसका मूल number के साथ product 1 हो — इसीलिए 5 का भी reciprocal 1/5 है, जबकि उसमें उलटने को कुछ नहीं, और इसीलिए यह विचार तब भी टिकता है जब number fraction के रूप में लिखा ही न हो।
  • "पहले fraction को उलटते हैं।" reciprocal divisor का लिया जाता है। 2/3 ÷ 3/5 में 3/5 ही 5/3 बनता है, और छपा हुआ callout बताता है कि कौन क्या है।
  • "हर number का reciprocal होता है।" pp.188–189 पर, जैसा जाँचा गया, chapter सिर्फ़ ऐसे fractions और whole numbers के साथ काम करता है जिनका reciprocal है, और zero वाला मामला नहीं उठाता।
  • "Brahmagupta ने fractions का आविष्कार किया।" chapter p.194 पर इसका उलटा कहता है: fractions Śhulbasūtra परंपरा में लगभग 800 BCE से आम इस्तेमाल में थे। Brahmagupta को श्रेय operations को लगभग उनके आज वाले आम रूप में व्यवस्थित करने का दिया जाता है।
  • "दोनों छपे हुए formulas दो अलग rules हैं जिन्हें सीखना है।" उनमें फ़र्क़ सिर्फ़ इतना है कि कौन-सा factor पहले लिखा गया, और p.186 पहले ही स्थापित कर चुका है कि इससे फ़र्क़ नहीं पड़ सकता।
  • "इतिहास बस सजावट है।" इसी में topic का असली दावा है — कि चार हल किए गए मामलों से अक्षरों की एक line तक पहुँचना एक गणितीय उपलब्धि है, जिसके साथ एक तारीख़ जुड़ी है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 4 Q1

पूरा transcript1,678 शब्द

भिन्न से भाग का एक नियम लगभग सबने सुना है, उल्टा करो और गुणा करो। सवाल यह है, यह नियम है, या किसी बात का नतीजा? यहाँ देखेंगे कि यह नतीजा है, और जो इसे पैदा करता है, वह एक संख्या है जो गुणा करके 1 बनाती है। यह सवाल लो, 2 बटा 3 भाग 3 बटा 5। यहाँ 2 बटा 3 dividend, 3 बटा 5 divisor, और जो जवाब आएगा, वह quotient।

भाग का मतलब, वह संख्या ढूँढो जो 3 बटा 5 से गुणा होकर 2 बटा 3 बने। ढूँढने पर मिलती है 10 बटा 9, यही quotient है। रास्ते में एक कदम था, पहले 3 बटा 5 को 1 तक पहुँचाओ। कौन सी संख्या 3 बटा 5 को 1 बनाती है? और 5 बटा 3, क्योंकि 5 बटा 3 गुणा 3 बटा 5 बराबर 1। फिर उस 1 को 2 बटा 3 बनाना आसान था, 5 बटा 3 गुणा 2 बटा 3, यानी 10 बटा 9।

जो संख्या किसी दूसरी को गुणा करके ठीक 1 बना दे, उसे उसका reciprocal कहते हैं। तो 3 बटा 5 का reciprocal है 5 बटा 3। ध्यान रखो, परिभाषा यह बताती है कि reciprocal क्या करता है, यह नहीं कि वह दिखता कैसा है। पहचान एक ही है, गुणा करो, 1 आना चाहिए। अभी कोई उल्टा करने की चाल मत सोचो, सीधे ढूँढो। नीचे 1 रखो, 2 रखो, 3 रखो, हर बार ऊपर वह संख्या ढूँढो जिससे गुणा करके 1 बने।

जो मिले, उसे 3 बटा 5 से गुणा करके जाँचो। आखिर में बस एक ही संख्या बचती है, 5 बटा 3, बाकी सब उसी के दूसरे रूप हैं। अब 5 बटा 3 और 3 बटा 5 को पास पास रखो। ऊपर वाली संख्या नीचे चली गई, नीचे वाली ऊपर। यही अदला बदली reciprocal ढूँढने का तरीका है, पर परिभाषा नहीं। गुणा करो तो ऊपर 5 गुणा 3, नीचे 3 गुणा 5, ऊपर नीचे एक ही संख्या, इसलिए 1।

क्या अदला बदली हर बार सही reciprocal देती है? गिनकर देखते हैं। ऊपर 1 से 12, नीचे 1 से 12, कुल 144 लिखी हुई भिन्नें। हर एक के लिए सीधी खोज करो, कौन सी संख्या गुणा करके 1 बनाती है। अब 144 में से 144 में ठीक एक ही reciprocal मिला, और 144 में वह अदला बदली वाला ही था। एक बात और, 3 बटा 5 और 6 बटा 10, लिखने में अलग, पर संख्या एक ही।

दोनों की अदला बदली करो, 5 बटा 3 और 10 बटा 6, ये भी एक ही संख्या। इसीलिए 144 लिखी हुई भिन्नों में असल में सिर्फ़ 91 अलग संख्याएँ हैं। और बराबर भिन्नों के सारे 288 जोड़ों में, दोनों के reciprocal भी बराबर निकले। तो reciprocal संख्या का होता है, उसे लिखने के ढंग का नहीं। अब 5 लो, इसमें ऊपर नीचे तो कुछ है ही नहीं, तो इसका reciprocal क्या?

पर परिभाषा फिर भी काम करती है, 5 गुणा क्या, तो 1? देखो, 1 बटा 5, क्योंकि 5 गुणा 1 बटा 5 बराबर 1। और 5 को 5 बटा 1 लिखकर अदला बदली करो, तो भी वही 1 बटा 5। अब 2 पूरे और 1 बटा 2। लालच होता है कि बस भिन्न वाला हिस्सा उल्टा करना काफ़ी है, 2 पूरे और 2 बटा 1, यानी 4। परिभाषा से जाँचो, 4 गुणा 5 बटा 2, आता है 10, 1 नहीं।

पहले पूरा एक भिन्न बनाओ, 2 पूरे और 1 बटा 2 बराबर 5 बटा 2। अब reciprocal है 2 बटा 5, और 2 बटा 5 गुणा 5 बटा 2 बराबर 1। किसी भिन्न का reciprocal लो, फिर उसका भी reciprocal लो, तो क्या मिलेगा? वापस वही संख्या, जहाँ से चले थे। क्योंकि जोड़ी दोनों तरफ़ से एक ही है, 3 बटा 5 और 5 बटा 3 मिलकर 1 बनाते हैं, कोई भी पहले लिखो।

और 144 की 144 भिन्नों पर यह गिनकर भी सही निकला। यहाँ 144 में से 66 भिन्नें 1 से बड़ी हैं, और उन सबके reciprocal 1 से छोटे। और 66 भिन्नें 1 से छोटी हैं, और उनके reciprocal 1 से बड़े। बाकी बची 12 भिन्नें, जैसे 2 बटा 2 या 7 बटा 7, असल में 1 ही हैं। और 1 का reciprocal खुद 1, क्योंकि 1 गुणा 1 बराबर 1।

बात समझ में आती है, बड़ी संख्या को 1 तक लाने के लिए छोटी संख्या से गुणा करना पड़ता है। अब भाग का पूरा तरीका एक ही वाक्य में आ जाता है। किसी संख्या से भाग देना, यानी उसके reciprocal से गुणा करना। अब 2 बटा 3 भाग 3 बटा 5, बराबर 5 बटा 3 गुणा 2 बटा 3, बराबर 10 बटा 9। वही 10 बटा 9 जो missing factor वाले रास्ते से आया था।

यह नियम 2 तरह से लिखा मिलता है, एक में reciprocal पहले, दूसरे में dividend पहले। क्या ये 2 अलग नियम हैं? नहीं, बस गुणा का क्रम बदला है, और गुणा में क्रम से जवाब नहीं बदलता। देखो, 5 बटा 3 गुणा 2 बटा 3, और 2 बटा 3 गुणा 5 बटा 3, दोनों 10 बटा 9। एक आसान सवाल, 1 में कितने 1 बटा 4 समाते हैं? पूरे 4, यानी 1 भाग 1 बटा 4 बराबर 4।

और 1 बटा 4 का reciprocal भी 4 ही है। यहाँ 1 बटा 1 से 1 बटा 12 तक, सब 12 पर यही सच निकला, 1 में जितने समाते हैं, वही reciprocal। divisor पूरी संख्या हो, तब भी यही तरीका, 3 बटा 4 भाग 2। और 2 का reciprocal है 1 बटा 2, तो 3 बटा 4 को 1 बटा 2 से गुणा करने पर मिलता है 3 बटा 8।

और यही तो 3 बटा 4 का आधा है, 2 से भाग देना मतलब आधा करना। हमारी 144 की 144 भिन्नों पर, 2 से भाग और आधा करना, दोनों बराबर निकले। ऊपर नीचे के सारे अंक 1 से 8 तक, ऐसे भाग के कुल 4096 सवाल। हर सवाल 2 रास्तों से हल किया, एक missing factor की खोज, दूसरा reciprocal से गुणा। अब 4096 में से 4096 में दोनों जवाब एक जैसे।

और दोनों लिखे हुए रूप भी 4096 के 4096 सवालों में बराबर। अब उन्हीं 4096 सवालों में जवाब का आकार देखो। देखो, 1792 सवालों में divisor 1 से छोटा था, और उन सबमें quotient dividend से बड़ा निकला। यहाँ 1792 में divisor 1 से बड़ा था, और वहाँ quotient हमेशा छोटा। बाकी 512 में divisor ठीक 1 था, और जवाब वही dividend। वजह वही, छोटे divisor का reciprocal 1 से बड़ा होता है, और उससे गुणा करने पर संख्या बढ़ती है।

एक आम गलती, कौन सी भिन्न उल्टी करनी है? कोई पहली वाली उल्टी कर दे, 3 बटा 2 गुणा 3 बटा 5, आता है 9 बटा 10। पर सही जवाब 10 बटा 9 था, तो यह गलत है। उल्टा हमेशा divisor होता है, क्योंकि उसी को 1 तक पहुँचाना है। मज़ेदार बात, 9 बटा 10 कोई भी गलत जवाब नहीं है। और 9 बटा 10 गुणा 10 बटा 9 बराबर 1, यानी यह सही जवाब का reciprocal है।

पहली भिन्न उल्टी करना, असल में उल्टा सवाल पूछना है, 3 बटा 5 भाग 2 बटा 3। इसीलिए dividend और divisor के नाम ज़रूरी हैं, उनकी अदला बदली नहीं होती। एक और, शुरू से, 3 बटा 4 भाग 5 बटा 8। पहले 5 बटा 8 को 1 तक कौन ले जाता है? जवाब, 8 बटा 5, अदला बदली से। अब 8 बटा 5 गुणा 3 बटा 4, बराबर 6 बटा 5।

जाँच, 6 बटा 5 गुणा 5 बटा 8, बराबर 3 बटा 4, dividend वापस। तो उल्टा करो और गुणा करो, एक नतीजा है, कोई जादू नहीं। यह निकलता है भाग के मतलब से, और reciprocal की परिभाषा से। नियम भूल जाओ, तो बस पूछो, divisor को किससे गुणा करें कि dividend बने। पहले divisor को 1 तक ले जाओ, फिर 1 को dividend तक, नियम खुद वापस बन जाता है।

एक बहुत पुरानी तस्वीर, एक पूरा वर्ग, जिसे 1 माना। इसे 5 खड़े हिस्सों में काटो, और 4 आड़े हिस्सों में। कुल 20 छोटे खाने बनते हैं। कोने वाला खाना, चौड़ाई में 1 बटा 5 और ऊँचाई में 1 बटा 4, पूरे का 1 बटा 20। यानी 1 बटा 5 गुणा 1 बटा 4 बराबर 1 बटा 20, खानों को गिनकर दिखता है। अब यही तस्वीर उल्टी दिशा में पढ़ो, 1 बटा 20 भाग 1 बटा 4 कितना?

एक आड़ी पट्टी पूरे वर्ग का 1 बटा 4 है, और उसमें 5 खाने हैं। एक खाना उस पट्टी का 1 बटा 5 है, तो जवाब 1 बटा 5। नियम से भी, 4 गुणा 1 बटा 20, वही 1 बटा 5। भिन्न से भाग का यह तरीका नया नहीं है। कई सदियों पहले गणित लिखने वालों ने इसे किसी एक सवाल के लिए नहीं, हर भिन्न के लिए, सामान्य रूप में लिखा था।

फिर यह तरीका एक जगह से दूसरी जगह होते हुए, दूर दूर तक पढ़ाया जाने लगा। यह इसलिए टिका, क्योंकि यह एक नियम नहीं, एक समझ है, जिसे कोई भी दोबारा निकाल सकता है। खुद करो, इन चारों के reciprocal बताओ। अब 7, फिर 3 बटा 8, फिर 1 बटा 9, और आख़िर में 2 पूरे और 1 बटा 3, इनके reciprocal क्या हैं? हर जवाब को उसकी संख्या से गुणा करके देखो, 1 आना चाहिए।

देखो, 7 का 1 बटा 7, और 3 बटा 8 का 8 बटा 3। यहाँ 1 बटा 9 का reciprocal पूरा 9, कोई भिन्न नहीं। और 2 पूरे और 1 बटा 3, पहले 7 बटा 3, इसलिए reciprocal 3 बटा 7। अब ये 3 भाग करो, हर बार divisor का reciprocal लेकर। और 5 बटा 6 भाग 2 बटा 9। अब 7 भाग 3 बटा 4। और 3 बटा 10 भाग 6।

पहला, 9 बटा 2 गुणा 5 बटा 6, बराबर 15 बटा 4। दूसरा, 4 बटा 3 गुणा 7, बराबर 28 बटा 3, 7 से भी बड़ा। तीसरा, 6 का reciprocal 1 बटा 6, तो जवाब 1 बटा 20। हर जवाब को divisor से गुणा करो, dividend वापस आता है। याद रखो, reciprocal वह संख्या है जो गुणा करके ठीक 1 बनाए। भिन्न का reciprocal ढूँढने का तरीका, ऊपर नीचे की अदला बदली।

मिश्र संख्या को पहले एक भिन्न बनाओ। भाग, यानी divisor के reciprocal से गुणा। और उल्टा हमेशा divisor होता है, पहली भिन्न नहीं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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