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Chapter 8 · Working with Fractions

गुणा करने से पहले common factors काटना, बाद में नहीं

Multiplying fractions9 मिनट

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12 बटा 7 गुणा 5 बटा 24: पहले गुणा करो तो 168 तक जाना पड़ता है, पहले काटो तो 24 से बड़ी कोई संख्या लिखनी ही नहीं पड़ती।

मुख्य idea

काटना (cancelling) multiplication को मिली कोई नई छूट नहीं है। यह वही rule है जो तुम्हारे पास एक अकेले fraction के लिए पहले से था — ऊपर और नीचे दोनों को एक ही number से भाग दो, और fraction नहीं बदलता — बस आम तौर से एक क़दम पहले इस्तेमाल किया हुआ। इसे पहले इस्तेमाल करना इसलिए मुमकिन है कि Brahmagupta का rule numerator और denominator दोनों को एक product के रूप में लिखा छोड़ देता है, इसलिए bar के ऊपर कहीं भी बैठे factor को bar के नीचे कहीं भी बैठे factor के साथ काटा जा सकता है, चाहे वह किसी भी fraction से आया हो। जवाब में कुछ नहीं बदलता; बदलता है उन numbers का आकार जिन्हें तुम्हें साथ लेकर चलना है, और यह कि lowest form अपने आप आ जाता है या आख़िर में उसे ढूँढ़ना पड़ता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • दो fractions के product को एक ऐसे fraction के रूप में लिखना जिसका numerator और denominator दोनों बिना गुणा किए हुए products हों
  • एक तरफ़ के numerator और दूसरी तरफ़ के denominator का साझा common factor पहचानना, और दोनों को उससे भाग देना
  • एक ही product में अलग-अलग factors से दो अलग cancellations करना
  • काटने को "multiplication में इसकी इजाज़त है" कहकर नहीं, equivalent-fraction वाले rule से सही ठहराना
  • बताना कि पहले काटने और बाद में सरल करने से एक ही number क्यों मिलता है, और पहले काटने से क्या फ़ायदा होता है
  • उस प्रक्रिया का वह नाम बताना जो chapter देता है — common factors को काटना — और उसका संस्कृत नाम, apavartana
  • word problem में पहचानना कि "किसी quantity का fraction" वही गुणा है, और fractions से पहले units को मिलाना ज़रूरी है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
common factorऐसा whole number जो दिए गए दोनों numbers को पूरा-पूरा भाग देसार्व गुणनखंड§8.1 में छपा, pp.182–183
cancellingगुणा करने से पहले numerator और denominator को किसी साझा factor से भाग देनानिरसन§8.1 में छपा, p.183
lowest formfraction लिखने का वह तरीक़ा जिसमें numerator और denominator का 1 के सिवा कोई साझा factor न होनिम्नतम रूप§8.1 में छपा, p.182
lowest termsवही बात, इतिहास वाले block के शब्दों मेंनिम्नतम पद"A Pinch of History" में छपा, p.183
apavartanafraction को lowest terms में लाने का वह संस्कृत नाम जो chapter देता हैअपवर्तन"A Pinch of History" में italic में छपा, p.183
numeratorbar के ऊपर की गिनतीअंश§8.1 में छपा, pp.182–183
denominatorbar के नीचे की गिनतीहर§8.1 में छपा, pp.182–183
simplifyfraction को छोटे numbers वाले रूप में फिर से लिखनासरल करना§8.1 में छपा, p.182
greatest common factorदो numbers का सबसे बड़ा साझा factorमहत्तम समापवर्तकयहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा
cross-cancellingएक fraction के numerator को दूसरे fraction के denominator के साथ काटनातिरछा निरसनp.183 जो करता है उसके लिए व्याख्या का नाम; इस chapter में नहीं छपा

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash Part I का हिंदी संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल किए गए corpus में नहीं है, इसलिए इन शब्दों को हिंदी छपाई से मिलाकर नहीं जाँचा गया — Notes देखो।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "काटना multiplication का एक ख़ास rule है।" यह एक fraction को फिर से लिखने का आम rule है, और यहाँ यह तभी काम आता है जब product को एक अकेले fraction के रूप में लिख दिया गया हो। किसी भी काट-छाँट से पहले यह क़दम होते हुए दिखाओ, वरना इजाज़त ही ग़ायब हो जाती है।
  • "numerator को numerator के साथ काटा जा सकता है।" सिर्फ़ ऊपर वाले को 12 से भाग देने से number बदल जाता है। दोनों लकीरों को उसी bar के आमने-सामने वाली तरफ़ पड़ना चाहिए।
  • "plus के चिह्न के पार भी इसी तरह काटा जा सकता है।" chapter में ऐसी कोई इजाज़त नहीं है, और यह ग़लत है; काटे जा रहे दोनों numbers numerator और denominator के factors होने चाहिए, और Brahmagupta के rule ने अभी-अभी उन्हें ठीक यही बनाया है।
  • "काटने से एक अलग, छोटा जवाब मिलता है।" इससे वही number मिलता है, बस छोटा दिखने वाले रूप में। 12/7 × 5/24 को एक बार दोनों तरह से करके देखो — 60/168 को सरल करके, और काटने वाले रास्ते से — और दोनों बार 5/14 पर पहुँचो।
  • "काटने से पहले सबसे बड़ा common factor ढूँढ़ना ज़रूरी है।" दूसरा हल किया गया उदाहरण 14 से काटता है और फिर, अलग से, 5 से। बार-बार की छोटी काट उतनी ही सही है जितनी एक बड़ी काट, और देखने में आसान भी।
  • "काटना बस सजावट है, चाहो तो करो।" करना ज़रूरी नहीं है, और chapter इसे एक विकल्प की तरह देकर यही कहता है। इससे फ़ायदा यह है कि जवाब पहले से lowest form में आता है, और exercises यही माँगती हैं।
  • "12/15 हिस्सा 500 g का, और 3/20 हिस्सा 4 kg का — इनकी तुलना जैसे हैं वैसे ही की जा सकती है।" units अलग हैं। सिर्फ़ fractions की तुलना करने से किसी और सवाल का जवाब मिलता है।

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पूरा transcript1,268 शब्द

यहाँ 12 बटा 7 गुणा 5 बटा 24, इसके 2 रास्ते हैं। या तो पूरा गुणा करो और आख़िर में छोटा करो, या पहले काटो, फिर गुणा करो। जवाब दोनों रास्तों से एक ही आएगा, सवाल बस यह कि किस रास्ते में कम बोझ उठाना पड़ता है। और यहाँ देखेंगे कि काटना कोई नई छूट नहीं, अकेली भिन्न वाला नियम है, बस एक कदम पहले इस्तेमाल हुआ। लंबा रास्ता, ऊपर 12 गुणा 5, यानी 60, नीचे 7 गुणा 24, यानी 168।

फिर दोनों को 12 से बाँटो, 5 बटा 14। जवाब सही, पर रास्ते में 168 जैसी बड़ी संख्या उठानी पड़ी, और उसका सबसे बड़ा साझा भाजक ढूँढना पड़ा। दूसरा रास्ता, पहले गुणा को एक ही भिन्न में लिखो, ऊपर 12 गुणा 5, नीचे 7 गुणा 24, पर अभी गुणा मत करो। ऊपर और नीचे, दोनों अभी अधूरे गुणा हैं, संख्याओं की सूचियाँ। यह कदम ज़रूरी है, इसके बिना आगे की काट की इजाज़त ही नहीं मिलती।

एक नियम देखो, किसी एक भिन्न के ऊपर और नीचे को एक ही संख्या से बाँटो, तो भिन्न का मान नहीं बदलता। यह नियम गुणा के बारे में नहीं, एक अकेली भिन्न के बारे में है। और गुणा को एक भिन्न में लिख देने के बाद, हमारे पास ठीक एक भिन्न है, तो यह नियम लग सकता है। ऊपर 12 पर घेरा, नीचे 24 पर घेरा, 12 दोनों में जाता है।

और 12 को काटकर ऊपर छोटा 1 लिखो, 24 को काटकर नीचे छोटा 2। अब बचा, ऊपर 1 गुणा 5, नीचे 7 गुणा 2, यानी 5 बटा 14। वही जवाब, और रास्ते में 24 से बड़ी कोई संख्या लिखनी ही नहीं पड़ी। पर 12 पहली भिन्न का था, और 24 दूसरी का, क्या उन्हें आपस में काट सकते हैं? हाँ, क्योंकि गुणा को एक भिन्न में लिख दिया, अब दोनों एक ही लकीर के ऊपर और नीचे हैं।

ऊपर का कोई भी गुणनखंड, नीचे के किसी भी गुणनखंड से कट सकता है, चाहे वह किसी भी भिन्न से आया हो। अब 14 बटा 15 गुणा 25 बटा 42, एक भिन्न में, ऊपर 14 गुणा 25, नीचे 15 गुणा 42। ऊपर 14 और नीचे 42, दोनों 14 से बँटते हैं, 14 की जगह 1, 42 की जगह 3। दूसरी जोड़ी, ऊपर 25 और नीचे 15, दोनों 5 से, 25 की जगह 5, 15 की जगह 3।

बचा, 1 गुणा 5 बटा 3 गुणा 3, यानी 5 बटा 9। लंबे रास्ते से, 350 बटा 630, और उसे छोटा करो तो भी 5 बटा 9। बोर्ड पर 2 जोड़ियाँ 2 रंगों में, ताकि दिखे कि हर बार अलग गुणनखंड काटा गया। कुछ बच्चे सोचते हैं, पहले सबसे बड़ा साझा भाजक ढूँढना ज़रूरी है। अब 14 और 42 को पहले 7 से, फिर 2 से बाँटो, बचता है 1 और 3, एक बार में 14 से बाँटने जितना ही।

छोटे छोटे कई कदम भी उतने ही सही, और अक्सर दिखने में आसान। इसे काटना, या cancel करना कहते हैं। हर काट एक ही काम, ऊपर की एक संख्या और नीचे की एक संख्या, दोनों को एक ही संख्या से बाँटना। और एक भिन्न के नियम से, हर बार मान वही रहता है, बस संख्याएँ छोटी होती जाती हैं। दूसरे उदाहरण में यही काम 2 बार हुआ, 2 अलग जोड़ियों पर, पर नियम एक ही।

पहले काटने से 168 और 630 जैसी संख्याएँ कभी लिखनी ही नहीं पड़तीं। दोनों उदाहरणों में सबसे बड़ी संख्या बस 24 और 42, जो सवाल में पहले से थीं। काटना ज़रूरी नहीं, पर इससे जवाब अपने आप सबसे छोटे रूप में आता है। देखो, 1 से 12 तक के हर ऊपर और हर नीचे वाली 2 भिन्नों के सभी 20736 गुणा आज़माए गए। सभी 20736 उदाहरणों में, काटने के बाद मान ज़रा भी नहीं बदला।

और सभी 20736 में, जब हर जोड़ी कट गई, तो जवाब पहले से सबसे छोटे रूप में था, आख़िर में कुछ ढूँढना नहीं पड़ा। एक गलती, ऊपर की संख्या को ऊपर की संख्या से काटना। यहाँ 4 बटा 7 गुणा 6 बटा 5 सच में 24 बटा 35, पर 4 और 6 दोनों को 2 से काटो, तो 6 बटा 35, अलग संख्या। नियम कहता है ऊपर और नीचे, दोनों को एक ही संख्या से, सिर्फ़ ऊपर बाँटना तो संख्या ही बदल देता है।

और जोड़ के निशान के पार काटना, वह भी गलत। और 12 बटा 7 धन 5 बटा 24 सच में 323 बटा 168, पर 12 और 24 को काटें, तो 1 बटा 7 धन 5 बटा 2, यानी 37 बटा 14। जोड़ में 12 और 24 पूरे ऊपर और पूरे नीचे के गुणनखंड नहीं हैं, गुणा वाला नियम ही उन्हें गुणनखंड बनाता है। भिन्न को सबसे छोटे रूप में लाने के लिए एक पुराना शब्द है, अपवर्तन।

यह विचार इतना जाना पहचाना था कि गणित के बाहर भी, सोच विचार की किताबों में, इसे एक मिसाल की तरह इस्तेमाल किया गया। अभ्यास, एक नल 1 घंटे में टंकी का 7 बटा 10 भरता है। अब 1 बटा 3 घंटे में 7 बटा 30, और 2 बटा 3 घंटे में 14 बटा 30, जो कटकर 7 बटा 15 बनता है। देखो, 3 बटा 4 घंटे में 21 बटा 40, और 7 बटा 10 घंटे में 49 बटा 100।

इन 4 में से बस 1 में कुछ कटता है, 2 बटा 3 घंटे वाले में, 10 और 2, बाकी में ऊपर और नीचे का कोई साझा गुणनखंड नहीं। पूरी टंकी कितने समय में, यह भाग का सवाल है, जवाब 10 बटा 7 घंटे, यानी 1 पूरा और 3 बटा 7, इसे यहाँ खुला छोड़ते हैं। एक खेत का 1 बटा 6 सड़क में चला गया, बचा 5 बटा 6।

बचे हुए का आधा एक पड़ोसी को, यानी पूरे खेत का 5 बटा 12। बचे हुए का 1 बटा 3 दूसरे को, पूरे खेत का 5 बटा 18। और जो रखा, पूरे खेत का 5 बटा 36। जाल यह है, आधा और 1 बटा 3 बचे हुए के हैं, पूरे खेत के नहीं, वरना जवाब 1 बटा 2 और 1 बटा 3 आते, जो गलत हैं। एक आयत, 3 पूरे और 3 बटा 4 फ़ुट, और 9 पूरे और 3 बटा 5 फ़ुट, पहले दोनों को भिन्न में लिखो, 15 बटा 4 और 48 बटा 5।

यहाँ 15 और 5 कटते हैं, 48 और 4 कटते हैं, बचा ऊपर 3 गुणा 12, नीचे 1। क्षेत्रफल 36 वर्ग फ़ुट, एक पूरी संख्या, सारा बोझ काट से उतर गया। और 4 पौधे एक कतार में, हर 2 पड़ोसियों के बीच 3 बटा 4 मीटर, पहले से आख़िरी तक कितना? एक कच्चा चित्र बनाओ, 4 पौधों के बीच बस 3 खाली जगहें। अब 3 गुणा 3 बटा 4, यानी 9 बटा 4, यानी 2 पूरे और 1 बटा 4 मीटर।

एक चीज़ 500 ग्राम का 12 बटा 15, दूसरी 4 किलोग्राम का 3 बटा 20, कौन भारी? देखो, 12 बटा 15, 3 बटा 20 से बड़ा है, पर यह जवाब नहीं, दोनों अलग अलग चीज़ों के हिस्से हैं। पहले इकाई मिलाओ, 4 किलोग्राम यानी 4000 ग्राम। पहली 400 ग्राम, दूसरी 600 ग्राम, तो दूसरी भारी। खुद करो, 9 बटा 16 गुणा 8 बटा 27, दोनों रास्तों से। और लिखो कि काटने वाले रास्ते में कौन सी बड़ी संख्याएँ लिखनी ही नहीं पड़ीं।

लंबे रास्ते में 72 बटा 432 तक जाना पड़ता है, और काटकर 9 और 27, 8 और 16, बचता है 1 गुणा 1 बटा 2 गुणा 3, यानी 1 बटा 6। याद रखो, पहले गुणा को एक भिन्न में लिखो। फिर एक भिन्न वाला नियम, ऊपर और नीचे को एक ही संख्या से बाँटो। ऊपर का कोई भी गुणनखंड, नीचे के किसी भी गुणनखंड से। ऊपर से ऊपर नहीं, और जोड़ के पार नहीं।

जवाब वही, बस संख्याएँ छोटी, और सबसे छोटा रूप अपने आप।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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