PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 7 Mathematics · Chapter 4, Another Peek Beyond the PointPrepShorts

Chapter 4 · Another Peek Beyond the Point

इकाई के स्थान के पार चलता long division

Dividing decimals14 मिनट

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29 मीटर रिबन, 2 हिस्से: हर एक को 14 मीटर और 1 मीटर बचा। उस मीटर को 10 दशांश में बदलो, हर एक को 5 - जवाब 14.5 मीटर।

मुख्य idea

Long division कभी अंकों के बारे में था ही नहीं। यह place-value इकाइयों का बार-बार पुनःसमूहन है — एक हज़ार को दस सैकड़ों में तोड़ना, एक सैकड़े को दस दहाइयों में — और प्रक्रिया में कहीं नहीं लिखा कि इकाई तक पहुँचकर तोड़ना रुक जाना चाहिए। एक इकाई को दस दशांश बन जाने दीजिए, और पूर्ण संख्याओं वाला वही algorithm बिना किसी नई मशीनरी के decimal quotients देने लगता है; जवाब में लगा बिंदु कोई याद रखने वाला नियम नहीं, बल्कि उस पल का दर्ज निशान है जब पुनःसमूहन इकाई से नीचे उतरा। यही चीज़ भाग को बचाती है जब 10, 100 या 1000 के ऊपर वाला तुल्य fraction ढूँढ़ने की तरकीब ख़त्म हो जाती है — और वह ख़त्म होती है, दस भाग तीन जितनी छोटी चीज़ पर भी।

आपको क्या आना चाहिए

  • ऐसा तुल्य fraction ढूँढ़कर, जिसका हर दस की कोई घात हो, fraction को decimal में बदलिए, और बताइए कि यह कब मुमकिन है
  • समझाइए कि दस भाग तीन को इस तरह क्यों नहीं संभाला जा सकता
  • पूर्ण संख्याओं का long division पुनःसमूहनों के एक क्रम की तरह कीजिए, हर step पर स्थान का नाम लेते हुए
  • वही प्रक्रिया इकाई के पार भी चलाइए, इकाइयों को दशांशों में और दशांशों को शतांशों में पुनःसमूहित करते हुए
  • बताइए कि quotient में दशमलव बिंदु कहाँ लगता है, और वहीं क्यों
  • decimal quotient की जाँच तुल्य-fraction वाले रास्ते से कीजिए
  • तीन अंकों की संख्या को एक अंक वाले भाजक से तीन दशमलव स्थानों तक भाग दीजिए
  • दो स्वतंत्र तरीक़ों से मिले एक ही quotient को दोहराया गया काम नहीं, जाँच मानिए

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
long divisionस्थानीय मानों में नीचे उतरते हुए भाग करने का किताब का अपना नामदीर्घ भाग§4.3 में मोटे अक्षरों में छपा, Part II, p.78
place valueवह मान जो किसी अंक को उसके column की वजह से मिलता हैस्थानीय मान§4.3 में छपा, Part II, pp.76–78
regroupकिसी स्थान की एक इकाई को उसके नीचे वाले स्थान की दस इकाइयों से बदलनापुनःसमूहन करना§4.3 में छपा, Part II, pp.77–82
quotientभाग का जवाबभागफल§4.3 में छपा, Part II, pp.76–82
dividendवह संख्या जिसे भाग दिया जा रहा हैभाज्य§4.3 में छपा, Part II, p.86
divisorवह संख्या जिससे भाग देते हैंभाजक§4.3 में छपा, Part II, pp.74–75
remainderजो बच जाता है जब कोई स्थान बराबर नहीं बँटताशेषफल§4.3 में छपा, Part II, p.85
equivalent fractionअलग दिखने वाला fraction जो वही मात्रा बताता हैतुल्य भिन्न§4.3 में छपा, Part II, pp.76, 80
decimal quotientऐसा quotient जो इकाई के पार चलता रहे — chapter के इस हिस्से के शीर्षक वाला वाक्यांशदशमलव भागफल§4.3 में छपा, Part II, pp.76, 78
Onesबिंदु के ठीक बाईं ओर का स्थानइकाई§4.3 में छपा, Part II, pp.77–82
Tenthsबिंदु के दाईं ओर पहला स्थानदशांश§4.3 में छपा, Part II, pp.79–82
Hundredthsबिंदु के दाईं ओर दूसरा स्थानशतांश§4.3 में छपा, Part II, pp.80–82
Thousandthsबिंदु के दाईं ओर तीसरा स्थानसहस्रांश§4.3 में छपा, Part II, pp.82–83
counting numberयहाँ भाग दी जा रही पूर्ण संख्याओं के लिए किताब का नामगणन संख्या§4.3 में छपा, Part II, p.76
crossing the pointवह अकेला पुनःसमूहन जो हिसाब को इकाई से दशांश में ले जाता है — इस पाठ का शब्दबिंदु पार करनाइस पाठ का शब्द; किताब इस step का वर्णन करती है पर उसे नाम नहीं देती

हिंदी column मानक NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली है, Part II के किसी हिंदी संस्करण से नहीं लिया गया — Notes देखिए।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "अंक ख़त्म होते ही भाग रुक जाता है।" भाग तब रुकता है जब शेषफल शून्य हो जाए, और ये दो अलग घटनाएँ हैं। 1324 और 1325 में एक का फ़र्क़ है और दूसरे को दो स्थान और चाहिए।
  • "जवाब में दशमलव बिंदु लगाओ और फिर एक शून्य नीचे उतारो।" यह नियम का यांत्रिक रूप है, और दबाव में students यही भूलते हैं। chapter का रूप यह है कि बची हुई एक इकाई को दस दशांशों से बदल लिया जाता है, ठीक वैसे ही जैसे बचे हुए एक सैकड़े को दस दहाइयों से। शून्य इसलिए आता है कि दस दशांश दशांश वाले column में 10 लिखे जाते हैं, इसलिए नहीं कि किसी नियम ने शून्य लिखने को कहा।
  • "शेषफल 1 का मतलब है जवाब 331 शेष 1।" सच है, अगर आप वहीं रुक जाएँ। chapter का क़दम है रुकने से इनकार करना, और यह बताना कि बची हुई एक इकाई तोड़ने के बाद कितनी क़ीमत की है।
  • "हर fraction को सही तुल्य fraction ढूँढ़कर decimal में बदला जा सकता है।" दस बटा तीन को नहीं, और chapter Part II p.76 पर यही कहता है। place-value वाला तरीक़ा लाया ही इसीलिए गया है।
  • "दोनों तरीक़े विकल्प हैं, इसलिए आसान वाला सीख लो।" वे विकल्प सिर्फ़ वहीं हैं जहाँ दोनों काम करें। तुल्य-fraction वाला रास्ता तेज़ है पर सीमित; long division धीमा है पर हमेशा उपलब्ध। chapter 1325 बटा 4 पर दोनों इसीलिए चलाता है कि पाठक उन्हें एक ही जवाब पर पहुँचते देख सके।
  • "दशमलव बिंदु वहाँ लगता है जहाँ ठीक लगे।" किताब के ढाँचे में यह ठीक एक ही जगह लगता है — इकाई के आख़िरी अंक और दशांश के पहले अंक के बीच — और पाठक यह पूछकर इसे हमेशा ढूँढ़ सकता है कि किस step ने इकाइयों को पुनःसमूहित किया। Q2(b), Part II p.83 पर, ठीक इसी ग़लती से बना है: वहाँ हर विकल्प में वही अंक हैं और सिर्फ़ बिंदु खिसकता है। Q2(a) में दो ऐसे ग़लत विकल्प भी मिले हैं जो अंकों की लड़ी भी बदल देते हैं, इसलिए जो व्याख्या student को बताए कि सिर्फ़ बिंदु ही खिसकता है, वह उस सवाल को ग़लत पढ़ाएगी।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 2 Q1, Figure it Out · 2 Q2, Figure it Out · 3 Q1, Figure it Out · 3 Q6, Figure it Out · 3 Q8

पूरा transcript1,725 शब्द

यहाँ 29 मीटर का एक रिबन, 2 लोगों में बराबर बाँटना है। हर एक को 14 मीटर, और 1 मीटर बच गया। इस बचे हुए मीटर का क्या करें? उसे 10 बराबर टुकड़ों में काटो, हर टुकड़ा एक मीटर का दसवाँ हिस्सा, कुल 10 दसवें। और 2 में बाँटो, हर एक को 5 दसवें, कुछ नहीं बचा। तो हर एक को 14 दशमलव 5 मीटर, यानी 145 बटा 10। जाँच, 14 दशमलव 5 गुणा 2, बराबर 29 मीटर, पूरा रिबन।

अब वही रिबन 4 में, 29 बटा 4, ऊपर नीचे 25 से गुणा करो, 725 बटा 100। यानी 7 दशमलव 2 5 मीटर हर एक को। यही लंबे भाग से, 29 Ones, हर एक को 7, और 1 बचा। बचा One, यानी 10 दशांश, हर एक को 2, और 2 बचे। अब 20 शतांश, हर एक को 5, कुछ नहीं बचा, जवाब 7 दशमलव 2 5, वही। अब 10 बटा 3, इसे 10 या 100 या 1000 वाले हर में बदलो?

कोशिश करो, 3 किसी भी 10 की घात को पूरा नहीं बाँटता, 1 से अरब तक, 10 में से एक भी नहीं। तो बराबर भिन्न वाली चाल यहाँ खत्म, कोई ऐसा तरीका चाहिए, जो हमेशा चले। यही अटकना असली वजह है, कि भाग को नए ढंग से देखना पड़ता है। वह तरीका है लंबा भाग, पर उसे अंकों की तरह नहीं, स्थानीय मान की इकाइयाँ बाँटने की तरह समझो। देखो, 1324 को 4 बराबर डिब्बों में बाँटना है, यानी 1 Thousand, फिर 3 Hundreds, फिर 2 Tens और 4 Ones।

नियम एक ही, बड़ी जगह से शुरू करो, जो बँट न सके, उसे अगली जगह की इकाइयों में बदलो। यहाँ 1 Thousand को 4 में नहीं बाँट सकते, तो उसे 10 Hundreds में बदलो, कुल 13 Hundreds। हर डिब्बे में 3 Hundreds, और 1 बचा। बचा हुआ Hundred, अब 10 Tens, कुल 12 Tens, हर डिब्बे में 3, कुछ नहीं बचा। फिर 4 Ones, हर डिब्बे में 1। हर डिब्बे में 3 Hundreds, फिर 3 Tens, और 1 One, यानी 331, पूरा बँट गया।

अब 1325, सिर्फ़ 1 ज़्यादा, वही सब, जब तक Ones न आएँ, फिर 5 Ones, हर डिब्बे में 1, और 1 बचा। अंक खत्म हो गए, तो क्या रुक जाएँ, और कहें बचा 1? नहीं, भाग तब रुकता है जब बचा हुआ शून्य हो, अंक खत्म होने पर नहीं। क्यों चलता है, हर जगह अगली जगह की ठीक 10 इकाइयों के बराबर, 1 Thousand बराबर 10 Hundreds, और 1 One बराबर 10 दशांश।

सबसे ऊपर Thousands की जगह से सहस्रांश तक, सभी 6 कदमों पर यही 10 का रिश्ता। इसलिए बदलने का तरीका Ones के ऊपर और नीचे, एक जैसा। बचे हुए One को वैसे ही बदलो, जैसे Hundred को बदलते हैं, यानी 10 दशांश में। और 10 दशांश, हर डिब्बे में 2, और 2 बचे। बचे 2 दशांश, बने 20 शतांश, हर डिब्बे में 5, कुछ नहीं बचा। हर डिब्बे में 331 पूरे, 2 दशांश और 5 शतांश, यानी 331 दशमलव 2 5।

कोई कहेगा, जवाब 331, शेष 1, वहाँ रुक जाते तो ठीक। पर बचा 1 One, जब 4 में बँटे, तो हर एक को चौथाई, यानी 0 दशमलव 2 5, शेष को रोकना नहीं, बाँटना। बिंदु कहाँ लगा, ठीक वहाँ जहाँ Ones को दशांश में बदला, वही पल जवाब में दर्ज होता है। जवाब को जगहों के हिस्सों में तोड़ो, 300 जमा 30 जमा 1 जमा 0 दशमलव 2 जमा 0 दशमलव 0 5, यानी 331 दशमलव 2 5।

कोई नई मशीन नहीं, वही बाँटना और बदलना, बस Ones के नीचे भी चलता रहा। कई लोग रटते हैं, बिंदु लगाओ और एक शून्य नीचे लाओ। पर वह शून्य आता है, क्योंकि बचा 1 One, बराबर 10 दशांश, और 10 लिखने में शून्य आता है। नियम भूल भी जाओ, तो बदलने का मतलब साफ़ रहे, वही काफ़ी है, हर कदम खुद बन जाएगा। अब 1324 और 1325 को संग रखो, Hundreds, Tens, सब एक जैसा, फ़र्क सिर्फ़ Ones पर।

देखो, संख्या 1324 वहीं खत्म, पर संख्या 1325 में 1 बचा, और उसके लिए 2 और जगहें, दशांश और शतांश। लंबे भाग के ढाँचे में, भागफल के ऊपर जगहों के नाम रखो, Hundreds, Tens, Ones, दशांश, तो हर अंक की पहचान साफ़। जाँच, ऊपर नीचे 25 से गुणा, 1325 गुणा 25, बराबर 33125, और 4 गुणा 25, बराबर 100। यहाँ 33125 बटा 100, यानी 331 दशमलव 2 5, वही जवाब।

या उल्टा गुणा करो, 331 दशमलव 2 5 गुणा 4, बराबर 1325, पक्का। और 1325, जो 1324 से 1 ज़्यादा, तो जवाब 1 बटा 4 ज़्यादा, यानी 0 दशमलव 2 5 ज़्यादा। अब 237 को 8 से, 2 Hundreds को 8 में नहीं बाँट सकते, तो 23 Tens, हर एक को 2, और 7 बचे। बचे 7 Tens, बने 70 Ones, और साथ में 7 Ones, कुल 77 Ones, हर एक को 9, और 5 बचे।

और 5 Ones बचे, यहीं बिंदु, 50 दशांश, हर एक को 6, और 2 बचे। अब 20 शतांश, हर एक को 2, और 4 बचे। देखो, 40 सहस्रांश, हर एक को 5, अब कुछ नहीं बचा। जवाब 29 दशमलव 6 2 5, और यह 237 बटा 8 के बिल्कुल बराबर। जाँच, 29 दशमलव 6 2 5 गुणा 8, बराबर 237, और अंदाज़ा, 240 बटा 8, यानी 30, तो बिंदु सही जगह।

अब 4 भिन्न, 18 बटा 5, फिर 415 बटा 4, फिर 1217 बटा 2, और 4827 बटा 8। लंबे भाग से, 3 दशमलव 6, फिर 103 दशमलव 7 5, फिर 608 दशमलव 5, और 603 दशमलव 3 7 5। जब 2 बिल्कुल अलग रास्ते एक ही जवाब दें, तो जवाब पर भरोसा और पक्का होता है। और ऊपर नीचे गुणा करके भी, सभी 4 में वही, क्योंकि इनके हर 10 की किसी घात को बाँटते हैं।

यहाँ 18 बटा 5, यानी 18 Ones, हर एक को 3, और 3 बचे, फिर 30 दशांश, हर एक को 6, जवाब 3 दशमलव 6। और 415 बटा 4, Ones तक 103 हर एक को, और 3 बचे, फिर 30 दशांश, हर एक को 7, और 2 बचे। फिर 20 शतांश, हर एक को 5, जवाब 103 दशमलव 7 5। अब 1217 बटा 2, फिर 17 Ones, हर एक को 8, और 1 बचा, फिर 10 दशांश, हर एक को 5, जवाब 608 दशमलव 5।

देखो, 4827 बटा 8, Ones तक पहुँचकर 27, हर एक को 3, और 3 बचे, फिर 30 दशांश, हर एक को 3, और 6 बचे। फिर 60 शतांश, हर एक को 7, और 4 बचे, फिर 40 सहस्रांश, हर एक को 5, जवाब 603 दशमलव 3 7 5। ऊपर नीचे गुणा करने के लिए, 5 को 2 से, 4 को 25 से, 2 को 5 से, और 8 को 125 से।

मिलते हैं 36 बटा 10, फिर 10375 बटा 100, फिर 6085 बटा 10, और 603375 बटा 1000, वही जवाब। बराबर भिन्न वाला रास्ता तेज़, पर हर जगह नहीं चलता। लंबा भाग धीमा, पर हमेशा चलता है, 10 बटा 3 पर भी शुरू हो जाता है। यहाँ 2 से 10 तक के हरों में, 10 की किसी घात को बाँटने वाले हैं 2, फिर 4, फिर 5, फिर 8 और 10, और 3 या 6 या 7 या 9 कभी नहीं।

सबसे छोटा उदाहरण, 1 बटा 8, यानी 1 One को 8 में, हर एक को शून्य, और 1 बचा। और 10 दशांश, हर एक को 1, और 2 बचे, फिर 20 शतांश, हर एक को 2, और 4 बचे। फिर 40 सहस्रांश, हर एक को 5, जवाब 0 दशमलव 1 2 5, पूरा हिस्सा शून्य, फिर भी तरीका वही। और, 7 बटा 20, ऊपर नीचे 5 से गुणा, 35 बटा 100, यानी 0 दशमलव 3 5, लंबे भाग से भी 0 दशमलव 3 5।

अब 7 बटा 25, ऊपर नीचे 4 से, 28 बटा 100, यानी 0 दशमलव 2 8, भाग से भी वही। देखो, 20 और 25, दोनों 100 को बाँटते हैं, इसलिए 2 जगह में खत्म। यहाँ 1526 बटा 4, विकल्प हैं 38 दशमलव 1 5, फिर 380 दशमलव 1 5, तीसरा विकल्प 381 दशमलव 5, और आखिरी 381 दशमलव 0 5। लंबे भाग से 381 दशमलव 5, तीसरा। और 3567 बटा 8, विकल्प हैं 4458 दशमलव 7 5, फिर 44 दशमलव 5 8 7 5, तीसरा विकल्प 445 दशमलव 8 7 5, और आखिरी फिर 4458 दशमलव 7 5।

जवाब 445 दशमलव 8 7 5, फिर तीसरा। दूसरी सूची में हर विकल्प के अंक वही, 445875, सिर्फ़ बिंदु खिसका, और पहला और चौथा एक ही संख्या, तो असल में 3 विकल्प। पहली सूची में सिर्फ़ 38 दशमलव 1 5 और 381 दशमलव 5 के अंक एक, बाकी 2 में एक शून्य ज़्यादा, वहाँ अंक भी बदले। गलत विकल्प सही अंकों का खिसका हुआ रूप, 38 दशमलव 1 5 गुणा 10, बराबर 381 दशमलव 5, और उसी तरह 4458 दशमलव 7 5 भी 10 गुना बड़ा।

बिंदु की जगह हमेशा पक्की, बस देखो, किस कदम पर Ones को दशांश में बदला। कितनी जगह चाहिए, 2 और 5 को 1, क्योंकि वे 10 को बाँटते हैं, 4 को 2, क्योंकि 4 गुणा 25 बराबर 100। और 8 को 3 जगह, क्योंकि 8 गुणा 125, पहली बार 1000 बनता है। अब 1 से 2000 तक, 2 से, 4 से, 5 से और 8 से, सभी 8000 भाग, जगह जगह बाँटने से, और हर बार भिन्न के बिल्कुल बराबर।

और हर एक, बिंदु के बाद ज़्यादा से ज़्यादा 3 जगह में खत्म। और 10 बटा 3, लंबा भाग शुरू, 3 पूरे, 1 बचा, फिर 10 दशांश, हर एक को 3, और 1 बचा। फिर शतांश में 10, फिर 3, फिर 1 बचा, 6 जगह तक, 3 दशमलव 3 3 3 3 3 3, और बचा 1। देखो, 6 जगह पर रोककर जाँचो, 3 दशमलव 3 3 3 3 3 3 गुणा 3, बराबर 9 दशमलव 9 9 9 9 9 9, जो 10 से ज़रा सा कम, पूरा नहीं पहुँचता।

असल में 10 बटा 3, यानी 3 पूरे और एक तिहाई, और तिहाई को दशांश या शतांश में पूरा लिखा ही नहीं जा सकता। हर कदम पर वही 1 बचता है, इसलिए यह भाग कभी खत्म नहीं होगा। लंबा भाग, स्थानीय मान की इकाइयों को बाँटना और बदलना है। बचा हुआ One, बनता है 10 दशांश, जैसे बचा Hundred बनता है 10 Tens। जवाब में बिंदु वहीं, जहाँ Ones से दशांश में उतरे।

भाग तब रुकता है जब बचा हुआ शून्य हो, अंक खत्म होने पर नहीं। जवाब को भाजक से गुणा करके, या अंदाज़े से, बिंदु की जगह जाँचो। बराबर भिन्न वाली चाल तेज़ पर सीमित, लंबा भाग हमेशा हाज़िर।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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