PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 7 Mathematics · Chapter 8, Working with Fractions
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भाग देने से संख्या हमेशा छोटी होती है? 6 भाग 3 बराबर 2, पर 6 भाग 1 बटा 4 बराबर 24, क्योंकि 6 में 1 बटा 4 के 24 टुकड़े समाते हैं। कोई नया नियम नहीं, reciprocal से गुणा ही काफ़ी है।
मुख्य idea
division का आकार वाला rule असल में multiplication का आकार वाला rule ही है, बस भेस बदलकर। 1 से नीचे वाले number से भाग देना उसके reciprocal से गुणा करना ही है, और 1 से नीचे वाले number का reciprocal हमेशा 1 से ऊपर आता है — तो reciprocal ही वह चीज़ है जो तुलना को पलट देती है, और सीखने के लिए मामलों का कोई दूसरा set नहीं है। इसीलिए chapter, यह पूछने के बाद कि quotient अपने dividend से कब आगे निकलता है, जवाब नए सिरे से नहीं निकालता: वह कहता है कि products के बारे में जो तुम पहले तय कर चुके हो, उसी को फिर इस्तेमाल करो। और इसीलिए जो सवाल वह इसके साथ खुला छोड़ता है — quotient की तुलना divisor से कैसी है — उसका जवाब इस तरह दिया ही नहीं जा सकता।
आपको क्या आना चाहिए
- divisor 1 के मुक़ाबले कहाँ बैठा है, इससे अनुमान लगाना कि quotient अपने dividend से ऊपर आएगा या नीचे
- ऐसा division बनाना जिसका quotient अपने dividend से बड़ा हो, और ऐसा जिसका quotient उससे नीचे हो
- division को reciprocal से गुणा में बदलकर अनुमान को समझाना
- division के लिए chapter का पूरा किया हुआ rule बताना, और यह कहना कि वह किन numbers के लिए स्थापित हुआ है
- "इस आकार के कितने टुकड़े उसमें समाते हैं" वाले रूप का division पढ़ना, और बताना कि ऐसी गिनती बड़ी क्यों हो सकती है
- पहचानना कि chapter divisor और quotient की तुलना को खुला सवाल छोड़ता है, और बताना कि सिर्फ़ divisor के रूप में कोई rule इसे तय क्यों नहीं कर सकता
- संभावित expressions में से वह division चुनना जो किसी word problem का जवाब देता है
जानने लायक़ शब्द
| शब्द | एक line में मतलब | हिंदी / क्षेत्रीय समकक्ष | पहली बार कहाँ आया |
|---|---|---|---|
| dividend | वह number जिसे भाग दिया जा रहा है | भाज्य | §8.2 में छपा, pp.186–190 |
| divisor | वह number जिससे भाग दिया जा रहा है | भाजक | §8.2 में छपा, pp.186–190 |
| quotient | division का नतीजा | भागफल | §8.2 में छपा, pp.186–190 |
| reciprocal | वह number जो किसी दिए गए number से गुणा होकर 1 देता है | व्युत्क्रम | §8.2 में bold में छपा, p.188 |
| between 0 and 1 | एक whole से छोटे divisor के लिए chapter का वर्णन | 0 और 1 के बीच | SUMMARY में छपा, p.198 |
| greater than 1 | एक whole से बड़े divisor के लिए chapter का वर्णन | 1 से बड़ा | SUMMARY में छपा, p.198 |
| whole numbers | वे numbers जिनसे शुरुआती तुलना की जाती है | पूर्ण संख्याएँ | §8.2 में छपा, p.189 |
| measurement division | a ÷ b को "a में b आकार के कितने टुकड़े समाते हैं" की तरह पढ़ना | मापन विभाजन | इस पढ़त के लिए व्याख्या का नाम; इस chapter में नहीं छपा |
हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash Part I का हिंदी संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल किए गए corpus में नहीं है, इसलिए इन शब्दों को हिंदी छपाई से मिलाकर नहीं जाँचा गया — Notes देखो।
लोग कहाँ चूकते हैं
- "भाग देने से numbers छोटे होते हैं।"
6 ÷ 1/4 = 24p.189 पर ठीक इसी को तोड़ने के लिए छपा है। यह आदत सालों के whole-number division से आती है, जहाँ divisor हमेशा कम से कम 1 होता है। - "fraction से भाग देने पर जवाब बड़ा होता है।" हमेशा नहीं: 3/2 एक fraction है, और उससे भाग देने पर चीज़ें छोटी होती हैं। मायने यह रखता है कि divisor 1 की किस तरफ़ है, यह नहीं कि वह bar के साथ लिखा है या नहीं। यह वही सुधार है जो multiplication वाले topic में ज़रूरी था, और इसे ज़ोर से कहना ही पूरे topic की बात है।
- "quotient हमेशा divisor से बड़ा होता है।" 6 ÷ 3 से 2 मिलता है, जो 3 से नीचे है। chapter इस तुलना को सवाल के रूप में उठाता है और इसका जवाब नहीं देता; जो व्याख्या इसका जवाब एक line में दे दे, वह ग़लत होगी।
- "divisor और quotient के लिए भी इसी ढाँचे का कोई rule ज़रूर होगा।" सिर्फ़ divisor के रूप में ऐसा कोई rule नहीं है। दिखाने के लिए divisor को स्थिर रखकर dividend को बदलना होगा, क्योंकि यही वह number है जिसे सिर्फ़-divisor वाले rule को अनदेखा करना पड़ता: 6 ÷ 3 = 2, जो divisor 3 से नीचे है, जबकि 12 ÷ 3 = 4, जो उसी divisor 3 से ऊपर है। divisor वही, जवाब उलटा, इसलिए सिर्फ़ divisor के रूप में कहा गया कोई rule हो ही नहीं सकता। 1 से नीचे भी यही होता है: 1/8 ÷ 1/4 = 1/2, divisor 1/4 से ऊपर है, पर 1/100 ÷ 1/4 = 1/25 उससे नीचे है। इसे यहाँ जोड़ी गई बात की तरह रखो, इस कारण के रूप में कि chapter ने यह सवाल खुला क्यों छोड़ा। इसे दो अलग-अलग divisors वाली जोड़ी से मत समझाना — 6 ÷ 3 के बगल में 1/8 ÷ 1/4 सिर्फ़-divisor वाले rule से पूरी तरह मेल खाता है और कुछ सिद्ध नहीं करता।
- "24 कहीं से भी आ गया।" वह 6 में quarters गिनने से आया, और quarter से भाग देना यही पूछता है। गिनती वाली तस्वीर कम से कम एक बार दो।
- "division का rule याद करने के लिए एक दूसरी चीज़ है।" यह reciprocal के ज़रिए देखा गया multiplication का rule ही है, और p.190 पर chapter का अपना निर्देश है कि नया बनाने की बजाय पहले वाला नतीजा ले आओ।
- "chapter division का rule §8.2 में बताता है।" वह इसे p.198 के SUMMARY में बताता है। §8.2 में यह एक सवाल है, साथ में एक संकेत।
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पूरा transcript1,290 शब्द
बचपन से एक बात मन में बैठी है, भाग देने से संख्या छोटी हो जाती है। यहाँ इस बात को परखेंगे, और देखेंगे कि यह कब सच है और कब नहीं। और दिखाएँगे कि इसके लिए कोई नया नियम नहीं चाहिए, गुणा वाला पुराना नियम ही काफ़ी है। यहाँ 6 भाग 3, जवाब 2, और 2 तो 6 से छोटा है। यही उम्मीद थी, 6 चीज़ें 3 हिस्सों में बाँटीं, हर हिस्से में कम।
यह आदत पूरी संख्याओं से आई है, जहाँ divisor हमेशा 1 या उससे बड़ा होता है। अब 6 भाग 1 बटा 4, जवाब 6 से छोटा होगा या बड़ा? जवाब है 24। और 6 से कहीं बड़ा, भाग देने पर संख्या बढ़ गई। और गौर करो, 24 ठीक 4 गुणा 6 है। अब 1 बटा 4 से भाग का मतलब, 6 में कितने 1 बटा 4 समाते हैं? देखो, 0 से चलो, हर कदम 1 बटा 4 का, और 6 तक पहुँचने तक गिनते रहो।
हर 1 में 4 कदम, और ऐसे 6 हिस्से। कुल 24 कदम, यानी 24 कहीं से अचानक नहीं आया, गिनती से आया। अगर टुकड़ा 1 बटा 2 का हो, तो 6 में 12 टुकड़े। यहाँ 1 बटा 3 का हो, तो 18। और 1 बटा 4 का, तो 24। टुकड़ा जितना छोटा, गिनती उतनी बड़ी, 1 बटा 1 से 1 बटा 12 तक, सभी 12 में, गिनती 6 गुणा नीचे वाली संख्या।
कोई सोचे, जवाब इसलिए बड़ा आया क्योंकि 6 बड़ी संख्या थी। तो छोटी संख्याएँ लो, 1 बटा 8 भाग 1 बटा 4। जवाब 1 बटा 2, जो 1 बटा 8 से बड़ा है। यहाँ हर संख्या 1 से छोटी है, फिर भी quotient dividend से बड़ा निकला। यहाँ से 2 सवाल निकलते हैं। पहला, quotient कब dividend से छोटा होता है, और कब बड़ा? दूसरा, quotient और divisor में कोई तुलना बनती है या नहीं?
पहले सवाल का जवाब ढूँढने के लिए, गुणा के बारे में जो पहले से पता है, वहीं लौटते हैं। गुणा का नियम पहले से पता है। और 1 से बड़ी संख्या से गुणा करो, तो संख्या बढ़ती है। अब 1 से छोटी से गुणा करो, तो घटती है, और 1 से गुणा करने पर वही रहती है। ऊपर नीचे 1 से 8 तक की भिन्नों के 4096 जोड़ों में गिना, बढ़ने वाले 1792, घटने वाले 1792, और वही रहने वाले 512, एक भी अपवाद नहीं।
पुल है reciprocal। देखो, 1 बटा 4 से भाग, यानी 1 बटा 4 के reciprocal से गुणा, यानी 4 से गुणा। और 4 तो 1 से बड़ा है, इसलिए गुणा से संख्या बढ़ेगी। यह हर बार होता है, 1 से छोटी संख्या का reciprocal 1 से बड़ा। यहाँ 64 भिन्नों में से 28 भिन्नें 1 से छोटी थीं, सबके reciprocal 1 से बड़े, और 28 भिन्नें 1 से बड़ी थीं, सबके reciprocal 1 से छोटे।
और 6 भाग 3, यानी 6 गुणा 1 बटा 3, और 1 बटा 3 तो 1 से छोटा है, इसलिए जवाब छोटा। अब 6 भाग 1 बटा 4, यानी 6 गुणा 4, और 4 तो 1 से बड़ा है, इसलिए जवाब बड़ा। देखो, 1 बटा 8 भाग 1 बटा 4, यानी 1 बटा 8 गुणा 4, फिर से बड़ा। और सभी 4096 जोड़ों में, भाग का जवाब reciprocal से गुणा के बराबर निकला।
यहाँ 24 तो 6 का 4 गुना है, और 1 बटा 2 भी 1 बटा 8 का 4 गुना है। यह 4 कहाँ से आया? जवाब, 1 बटा 4 का reciprocal, वह संख्या जो 1 बटा 4 को 1 तक ले जाती है। और 6 भाग 3 में जवाब 2, जो 6 का 1 बटा 3 है, 3 का reciprocal। सभी 4096 जोड़ों में, quotient dividend का ठीक उतना गुना निकला, जितना divisor का reciprocal।
अब नियम पूरा, divisor 1 से छोटा हो, तो quotient dividend से बड़ा। divisor 1 से बड़ा हो, तो quotient dividend से छोटा। और divisor ठीक 1 हो, तो quotient वही dividend। उन्हीं 4096 जोड़ों में, पहली तरह के 1792, दूसरी तरह के 1792, और तीसरी तरह के 512, सब नियम के हिसाब से। अब नई गलतफ़हमी का खतरा, कि भिन्न से भाग देने पर जवाब हमेशा बड़ा होता है।
और 3 बटा 2 भी भिन्न है, पर 6 भाग 3 बटा 2 बराबर 4, जो 6 से छोटा है। तो बात भिन्न होने की नहीं, बात यह है कि divisor 1 के किस तरफ़ है। गुणा में भी ठीक यही सुधार करना पड़ा था, भिन्न से गुणा हमेशा घटाता नहीं। यानी भाग के लिए अलग से कुछ रटना नहीं है। भाग का नियम, गुणा का नियम ही है, बस reciprocal के चश्मे से देखा हुआ।
reciprocal 1 के एक तरफ़ से दूसरी तरफ़ ले जाता है, इसलिए छोटा divisor बड़ा गुणनखंड बन जाता है। अब दूसरा सवाल, quotient divisor से बड़ा होता है या छोटा? मन करता है कि इसका भी कोई नियम हो, जो सिर्फ़ divisor को देखकर बता दे। जाँचने का ठीक तरीका, divisor को वहीं रोको, और dividend बदलो। divisor 3, dividend 6, जवाब 2, जो 3 से छोटा। divisor फिर 3, dividend 12, जवाब 4, जो 3 से बड़ा।
divisor वही, पर जवाब उल्टा। तो ऐसा कोई नियम हो ही नहीं सकता जो सिर्फ़ divisor देखकर यह तुलना बताए। divisor 3 पर रखो, और dividend 1 से 20 तक बदलो। अब 8 बार quotient 3 से छोटा। देखो, 1 बार ठीक 3, जब dividend 9 था। और 11 बार 3 से बड़ा। जवाब dividend पर टिका है, सिर्फ़ divisor पर नहीं। divisor 1 बटा 4 पर रोको, dividend 1 बटा 8, जवाब 1 बटा 2, जो 1 बटा 4 से बड़ा।
अब dividend 1 बटा 100, जवाब 1 बटा 25, जो 1 बटा 4 से छोटा। फिर वही बात, divisor एक, जवाब की तुलना उल्टी। पहले सवाल का जवाब सिर्फ़ divisor से मिल जाता है, 1 से छोटा या बड़ा। दूसरे का जवाब dividend और divisor, दोनों पर मिलकर टिका है। और ध्यान रहे, 2 अलग divisor वाले सवाल पास रखकर यह बात साबित नहीं होती, divisor बदलना ही नहीं चाहिए।
इसीलिए यह सवाल एक वाक्य में हल नहीं होता। यहाँ 8 मीटर लेस है, हर थैले पर 1 बटा 4 मीटर लगती है, कितने थैले बनेंगे? और 4 विकल्प, 8 गुणा 1 बटा 4, या 8 भाग 1 बटा 4, या 1 बटा 4 भाग 8, या फिर 8 जोड़ 1 बटा 4। इनमें से कौन सा सही है? अब पूरी लेस में से, 1 बटा 4 मीटर के टुकड़े एक एक करके काटो।
कुल 32 टुकड़े, यानी 32 थैले। अब 4 विकल्पों में से सिर्फ़ 8 भाग 1 बटा 4 से 32 आता है। देखो, 8 गुणा 1 बटा 4 से सिर्फ़ 2 आता, जो बहुत कम है। अब 1 बटा 2 मीटर रिबन, 8 बैज में बराबर बाँटना है। यह बाँटना है, तो 1 बटा 2 भाग 8। हर बैज को 1 बटा 16 मीटर। जाँच, 1 बटा 16 के 8 टुकड़े जोड़ो, वापस 1 बटा 2।
यहाँ 5 किलो आटा है, हर डबलरोटी में 1 बटा 6 किलो लगता है, कितनी बनेंगी? यह फिर कितने समाते हैं वाला सवाल है, 5 भाग 1 बटा 6। जवाब 30, और एक एक 1 बटा 6 हटाकर गिनो तो भी 30। लेस और आटा, दोनों में सवाल था, कितने टुकड़े समाते हैं, divisor टुकड़े का आकार, 1 से छोटा। इसलिए जवाब dividend से बड़ा, 32 थैले, 30 डबलरोटी। रिबन में बाँटना था, divisor 8 है, जो 1 से बड़ा है, इसलिए हिस्सा dividend से छोटा।
असली हुनर यही है, सवाल पढ़कर पहचानना कि कौन सा भाग लिखना है। याद रखो, भाग से संख्या हमेशा छोटी नहीं होती। divisor 1 से छोटा, तो quotient dividend से बड़ा। divisor 1 से बड़ा, तो quotient dividend से छोटा। वजह reciprocal, जो 1 के एक तरफ़ से दूसरी तरफ़ ले जाता है। और quotient की divisor से तुलना, dividend देखे बिना नहीं हो सकती।
यह कहाँ बैठता है
यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.
किस पर टिका है
- Reciprocals, and Brahmagupta's rule for dividing fractionsकक्षा 7 · Ch 8, Working with Fractions
- Why multiplying can make a number smallerकक्षा 7 · Ch 8, Working with Fractions
आगे फिर कहाँ आता है
- Dividing when the divisor has a decimalकक्षा 7 · Ch 4, Another Peek Beyond the Point
इसके ठीक पहले और ठीक बाद
- Fractional relations between two quantitiesकक्षा 7 · Ch 8, Working with Fractions