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Chapter 7 · Finding the Unknown

दोनों तरफ़ एक ही काम करने से बराबरी बनी रहती है

Solving equations systematically12 मिनट

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अंदाज़ा लगाकर 2n + 1 = 99 का हल 49 मिल जाता है - पर 5x - 4 = 7 पर अंदाज़ा हार जाता है, क्योंकि हल पूरी संख्या ही नहीं।

मुख्य idea

अंदाज़ा लगाना काम करता है। chapter उसे काम करने देता है — पढ़ने वाले को n = 5 से चलाकर पूरे रास्ते n = 49 तक ले जाता है, और तब जाकर मानता है कि इसमें कितनी मेहनत लगी — और फिर वह सवाल पूछता है जिसका जवाब ख़ुद यह खोज नहीं दे सकती: तुम्हें कभी कैसे पता चलेगा कि और कुछ नहीं है? जो विकल्प सामने रखा जाता है वह कोई ज़्यादा चतुर खोज नहीं है, और वह भी उस सवाल को नहीं सुलझाता। वह बिल्कुल अलग तरह की चाल है: एक बार में एक operation, हर तरफ़ लगाया हुआ, ताकि काम भटकने के बजाय एक दिशा में चले, ख़त्म हो, और हर line अपने लिखे जाने का कारण साथ लिए चले। जवाब संयोग से हाथ नहीं लगता, उस तक पहुँचा जाता है — और क्या equation को कुछ और भी संतुष्ट करता है, यह सवाल यह कक्षा खुला छोड़ देती है। chapter यह चाल दो बार कमाता है, एक बार भौतिक तराज़ू से और एक बार सीधे-सादे arithmetic से, जहाँ किसी लंबे गुणनफल का मान पता होने पर उससे छोटे वाले का मान बिना कुछ भी हिसाब लगाए पढ़ा जा सकता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • दिए गए equation पर trial and error से खोज करना, और जवाब के पास पहुँचते जाने को शब्दों में बताना
  • trial and error वाले तरीक़े की दो अलग-अलग कमज़ोरियाँ बताना
  • बराबर के चिह्न के मतलब से सही ठहराना कि दोनों तरफ़ लगाया गया operation दावे को सच क्यों रहने देता है
  • इस बात से कि जोड़ना और घटाना एक-दूसरे को उलट देते हैं, किसी जाने हुए arithmetic कथन को छोटा करना
  • किसी जाने हुए गुणनफल के लिए भी यही करना, गुणा और भाग को उलटने वाली जोड़ी लेकर, fraction के साथ भी
  • घटाए गए negative पद को हटाना, दोनों तरफ़ वही negative जोड़कर
  • 5x − 4 = 7 जैसा दो क़दम वाला equation, इस चाल को दो बार लगाकर हल करना
  • रखकर देखने (substitution) से हल की जाँच करना, और बताना कि यह जाँच क्या साबित करती है और क्या नहीं

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
trial and errorउम्मीदवार मानों को बारी-बारी आज़माना, जब तक कोई दोनों पक्षों को बराबर न कर देप्रयत्न एवं त्रुटिPart II, §7.2, p.168 पर मोटे अक्षरों में छपा
substituteletter की जगह कोई ख़ास संख्या रखकर देखना कि क्या निकलता हैप्रतिस्थापित करनाPart II, §7.2, p.168 पर छपा
inverse operationsoperations की ऐसी जोड़ी जो एक-दूसरे को उलट देती है — जोड़ना और घटाना, गुणा और भागप्रतिलोम संक्रियाएँPart II, §7.2, p.169 पर छपा
termउन टुकड़ों में से एक, जिन्हें जोड़कर या घटाकर expression बनता हैपदPart II, §7.2, p.169 पर छपा
factorउन टुकड़ों में से एक, जिन्हें गुणा करके गुणनफल बनता हैगुणनखंडPart II, §7.2, p.169 पर छपा
equalityदोनों पक्षों की वह बराबरी जिसका दावा equation करता हैसमताPart II, §7.2, p.169 पर छपा
solutionletter का वह मान जो दोनों पक्षों को बराबर कर देता हैहलPart II, §7.2, p.168 पर छपा
LHS / RHSबराबर के चिह्न से पहले वाला expression, और उसके बाद वालाबायाँ पक्ष / दायाँ पक्षPart II, §7.1, p.167 पर छपा
solving the equationवे सारे मान ढूँढ़ने का काम जो दावे को सच बनाते हैंसमीकरण हल करनाPart II, §7.1, p.167 पर छपा
balancedउस तराज़ू के लिए कहा जाता है जिसके दोनों तरफ़ बराबर हैं — वही तस्वीर जिससे यह section तर्क करता हैसंतुलितPart II, §7.2, p.169 पर छपा
checking a solutionमिले हुए मान को वापस रखकर पक्का करना कि दोनों पक्ष बराबर हैंहल की जाँचयह संज्ञा-वाक्यांश इस पाठ का शब्द है; किताब Part II, §7.2, pp.171–172 में चार बार यह काम करवाती है, पर उसे कभी नाम नहीं देती
equivalent equationsदो equations जिनके हल बिल्कुल एक जैसे होंतुल्य समीकरणइस chapter में नहीं छपा — सभी 28 छपे पन्ने, 164 से 191 तक, देखे और पढ़े गए; यह विचार p.169 से आगे इस्तेमाल होता है और p.180 पर संकेत के रूप में कहा गया है, पर यह वाक्यांश इस पाठ का शब्द है
reversible moveऐसे operation के लिए इस पाठ का नाम जिसे उलटा जा सके, ताकि कोई हल न खोएप्रतिवर्ती चरणइस पाठ का शब्द; किताब यहाँ ऐसी किसी श्रेणी का नाम नहीं लेती

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Part II का हिंदी संस्करण यहाँ इस्तेमाल हुई सामग्री में नहीं था — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "trial and error बस आलसी तरीक़ा है।" chapter की शिकायत यह नहीं है। p.168 पर यह कामयाब होता है और सही जवाब देता है। इसकी दो असली कमज़ोरियाँ ये हैं कि इसमें कितना भी लंबा समय लग सकता है, और यह कभी पक्का नहीं कर सकता कि इसने सब कुछ ढूँढ़ लिया है — इसीलिए दूसरे हलों वाला सवाल इसके ठीक बाद छपा है।
  • "यह सिर्फ़ उन्हीं equations पर कर सकते हैं जिनमें कोई अज्ञात हो।" 15 + 8 = 23 में कोई अज्ञात है ही नहीं, और Examples 1 से 4 में भी नहीं। यह गुण बराबर के चिह्न का है। पहले बिना letters वाले कथनों पर इसे स्थापित करना chapter की रणनीति है।
  • "एक तरफ़ जो करो, दूसरी तरफ़ उसका उलटा करो।" यह बाद में आने वाले एक छोटे रास्ते की गड़बड़ आधी-अधूरी याद है। इस चरण पर नियम सच में सममित है: वही operation, हर तरफ़। चिह्न पलटने की जो बात student को आधी याद है, वह तभी दिखती है जब बीच वाली line छोड़ दी जाए, और वह बाद में आती है (Part II, §7.2, p.173).
  • "कुछ भी करने से पहले बायाँ पक्ष हल करना पड़ता है।" चारों arithmetic examples इसी आदत को तोड़ने के लिए हैं। 14593 − 1459 + 145 − 14 का मान Example 1 में कहीं भी नहीं निकाला जाता।
  • "minus के चिह्न को उलटने के लिए हमेशा जोड़ना होता है।" Example 3 एक negative को घटाता है, और उसे उलटने के लिए वही negative जोड़ना होता है। चिह्न पर धीमे चलो; arithmetic असल में यहीं काटता है।
  • "दोनों तरफ़ fraction से भाग देना अलग नियम है।" Example 4 ठीक यही दिखाने के लिए रखा गया है कि ऐसा नहीं है। 8/9 से भाग देना 9/8 से गुणा करना है, और चाल ख़ुद नहीं बदली।
  • "जाँच साबित करती है कि यही अकेला जवाब है।" वह साबित करती है कि मिला हुआ मान equation को संतुष्ट करता है। कुछ और भी करता है या नहीं, यह अलग सवाल है, और यही वह सवाल है जिसे trial and error नहीं सुलझा सका।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 2 Q6, End-of-Chapter Figure it Out Q1, End-of-Chapter Figure it Out Q10

पूरा transcript1,660 शब्द

तराज़ू के दोनों पलड़ों से बराबर वज़न हटाओ, तो बोरी का वज़न अपने आप निकल आता है। यहाँ वही चाल तराज़ू के बिना, सीधे equation पर चलती है। पर पहले, सबसे सीधा तरीका, जिसे हर कोई सबसे पहले आज़माता है। equation है, 2 गुणा n जोड़ 1, बराबर 99। सीधा तरीका, n की जगह कोई संख्या रखो, और देखो बाईं तरफ़, यानी LHS, कितना बनता है। n बराबर 5 रखो, तो LHS 11, बहुत कम।

n बराबर 10, तो 21, अब भी काफ़ी कम। थोड़ा बड़ा कदम, n बराबर 30, तो 61। n बराबर 40, तो 81, अब पास आ रहे हैं। n बराबर 50, तो 101, इस बार निशाने से आगे निकल गए। एक पीछे हटो, n बराबर 49, और LHS ठीक 99। पूरा रास्ता देखो, 4 बार कम, एक बार ज़्यादा, और फिर ठीक निशाने पर। कुल 6 कोशिशें, और हर कोशिश के बाद अगली संख्या बस अंदाज़े से चुनी गई।

इस तरीके को trial and error कहते हैं, यानी अंदाज़ा लगाओ और जाँचो। कुछ लोग कहते हैं कि यह आलसी लोगों का तरीका है। पर यह तरीका काम करता है, n बराबर 49 रखो, तो LHS सच में 99। और 0 से 1000 तक हर पूरी संख्या जाँचो, तो बस 49 ही बैठता है। पर क्या इस equation का कोई और हल भी हो सकता है? अंदाज़े वाला तरीका इस सवाल का जवाब अपने आप कभी नहीं दे सकता।

6 संख्याएँ आज़माई गईं, और बस 1 से 200 के बीच ही 194 संख्याएँ बिना जाँचे रहीं। जो संख्या जाँची ही नहीं, उसके बारे में यह तरीका कुछ नहीं कहता, न हाँ, न ना। खोज जहाँ रुकती है, बस वहीं तक की बात बताती है, 0 से 49 तक खोजो, तो 49 मिलता है। पर 0 से 48 तक खोजो, तो कुछ नहीं मिलता, और खोज यह भी नहीं बता सकती कि क्यों।

यहाँ 0 से 10 तक खोजो, तब भी कुछ नहीं, जबकि हल मौजूद है। तो इस तरीके की 2 असली कमियाँ हैं। पहली, इसमें कितना भी समय लग सकता है, कोई नहीं जानता कितनी कोशिशें लगेंगी। दूसरी, यह कभी पक्का नहीं कह सकता कि सारे हल मिल गए, बस इतना कि जो मिला, वह काम करता है। अब एक और equation, 5 गुणा x घटा 4, बराबर 7। x बराबर 2 रखो, तो 6, थोड़ा कम।

x बराबर 3 रखो, तो 11, इस बार ज़्यादा। और 2 और 3 के बीच कोई पूरी संख्या ही नहीं है। ऋण 500 से 500 तक, 1001 पूरी संख्याएँ आज़माओ, एक भी काम नहीं करती। अंदाज़े वाला तरीका यहाँ हार जाता है, पर हल फिर भी है, बस वह पूरी संख्या नहीं। उस तक पहुँचने के लिए कोई बेहतर अंदाज़ा नहीं, बल्कि एक अलग तरह की चाल चाहिए। तराज़ू वाली चाल में एक भी अंदाज़ा नहीं लगता।

दोनों पलड़ों से बराबर हटाओ, तो हर कदम पर संतुलन बचा रहता है। वह खोज नहीं, एक सोची समझी चाल है, जिसका हर कदम तय है। अब पलड़ों को नया नाम मिलता है, बायाँ पलड़ा LHS, और दायाँ पलड़ा RHS। पहले एक ऐसा वाक्य लो जिसमें कुछ भी अनजान नहीं, 15 जोड़ 8, बराबर 23। अब दोनों तरफ़ 10 जोड़ो। बाईं तरफ़ 33, दाईं तरफ़ भी 33, बात अब भी सच।

कुछ लोग सोचते हैं कि यह चाल बस उन equations के लिए है जिनमें कोई letter हो। पर यहाँ कोई letter नहीं, फिर भी चाल बिल्कुल ठीक चलती है। यानी यह गुण बराबर के निशान का है, अनजान का नहीं। पर यह हमेशा सच क्यों रहता है? क्योंकि बराबर का निशान कहता है, दोनों तरफ़ एक ही संख्या के 2 नाम हैं। एक ही संख्या में 10 जोड़ो, तो नतीजा भी एक ही, चाहे वह संख्या किसी भी नाम से लिखी हो।

यही बात घटाने, गुणा करने, और भाग करने पर भी लागू होती है। इसकी जाँच भी हुई, 5 बराबर जोड़े, 4 क्रियाएँ, और 5 अलग संख्याएँ। कुल 100 मौके, और 100 में दोनों तरफ़ बराबर रहीं। बस एक शर्त, 0 से भाग कोई क्रिया ही नहीं। और 15 और 16 बराबर नहीं, और 5 से जोड़ो, घटाओ, गुणा करो, या भाग करो, वे बराबर नहीं बनते। पर दोनों को 0 से गुणा करो, तो दोनों 0, जो बराबर नहीं हैं, वे बराबर दिखने लगते हैं।

एक और आम ग़लतफ़हमी, एक तरफ़ जो करो, दूसरी तरफ़ उसका उल्टा करो। अब 15 जोड़ 8 बराबर 23 में, बाईं तरफ़ 10 जोड़ो, और दाईं तरफ़ 10 घटाओ। बाईं तरफ़ 33, दाईं तरफ़ 13, बात टूट गई। नियम सीधा है, वही क्रिया, दोनों तरफ़, बिना किसी उलटफेर के। यह चाल कोई हल खोती भी नहीं, और कोई नया हल बनाती भी नहीं। देखो, 3 गुणा x जोड़ 2, बराबर x जोड़ 10, ऋण 200 से 200 तक इसका बस 1 पूरा हल है, 4।

दोनों तरफ़ 17 जोड़ो, या ऋण 400 जोड़ो, या 6 से गुणा करो, या ऋण 1 से, हल वही 4 रहता है। पर दोनों तरफ़ 0 से गुणा करो, तो ऋण 200 से 200 तक सभी 401 संख्याएँ हल बन जाती हैं। यही वह चाल है जिसे वापस नहीं लौटाया जा सकता, इसलिए इसकी मनाही है। हर इजाज़त वाली चाल वापस लौटाई जा सकती है, 17 जोड़ा, तो 17 घटाकर वापस, 6 से गुणा किया, तो 6 से भाग करके वापस।

इसीलिए कोई हल न खोता है, न नया बनता है, जो पहले सच है, वह बाद में भी सच, और बाद वाला सच हो, तो पहले वाला भी। पर 0 से गुणा को वापस लौटाने के लिए 0 से भाग चाहिए, और वह कोई क्रिया ही नहीं। अब एक लंबा जोड़ घटाना, जिसे किसी ने पहले ही हल कर रखा है। यहाँ 14593 घटा 1459 जोड़ 145 घटा 14 जोड़ 88, बराबर 13353।

अब बताओ, 14593 घटा 1459 जोड़ 145 घटा 14, कितना? पूरा हिसाब दोबारा करने की ज़रूरत नहीं, दोनों तरफ़ से 88 घटाओ। बाईं तरफ़, 88 का जोड़ और 88 का घटाना कट जाते हैं, और वही छोटा जोड़ बचता है। दाईं तरफ़ 13353 घटा 88, यानी 13265, और यही छोटे जोड़ का मान है। कुछ लोग सोचते हैं कि कुछ भी करने से पहले बाईं तरफ़ का पूरा हिसाब करना पड़ेगा।

पर यहाँ लंबा जोड़ एक बार भी हल नहीं किया, बस पढ़ लिया। अब गुणा, 23 गुणा 41 गुणा 11 गुणा 8 गुणा 7, बराबर 580888। पूछा है, 23 गुणा 41 गुणा 11 गुणा 8, कितना। दोनों तरफ़ 7 से भाग करो, बाईं तरफ़ 7 कट जाता है। दाईं तरफ़ 580888 बटा 7, यानी 82984। पहले वाले जोड़ की तरह, यहाँ भी लंबा गुणा एक बार भी नहीं किया, बस एक भाग।

यानी गुणा से एक हिस्सा हटाना, दोनों तरफ़ उसी से भाग करना ही है। जोड़ का उल्टा घटाना है, और गुणा का उल्टा भाग। अब एक पेचीदा वाला, 12345 घटा 5432 जोड़ 135 घटा 24, घटा ऋण 67, बराबर 7091। आख़िरी हिस्सा हटाओ, तो कितना बचेगा? ऋण 67 घटाया गया है, तो उसे हटाने के लिए दोनों तरफ़ ऋण 67 जोड़ो। दाईं तरफ़ 7091 में ऋण 67 जोड़ो, यानी 7024।

और बाईं तरफ़ बस छोटा जोड़ बचता है, तो उसका मान 7024। कुछ लोग सोचते हैं कि घटा हटाना हो, तो हमेशा धन संख्या जोड़ो। पर यहाँ ऋण संख्या घटाई गई है, तो उल्टी क्रिया है, वही ऋण संख्या जोड़ना। निशानों पर यहीं धीमे चलना है, असली हिसाब यहीं फिसलता है। अब भिन्न वाला गुणा, 35 बटा 113, गुणा 24, गुणा 14, गुणा 8 बटा 9, बराबर 31360 बटा 339।

दोनों तरफ़ 8 बटा 9 से भाग करो, और 8 बटा 9 से भाग, 9 बटा 8 से गुणा ही है। दाईं तरफ़ 11760 बटा 113, और बाईं तरफ़ बस छोटा गुणा बचता है। भिन्न से भाग कोई नया नियम नहीं। चाल वही, दोनों तरफ़ एक ही क्रिया, बस वह क्रिया उल्टी भिन्न से गुणा बनकर चलती है। अब वापस उसी equation पर, जहाँ अंदाज़ा हार गया, 5 गुणा x घटा 4, बराबर 7।

दोनों तरफ़ 4 जोड़ो, बाईं तरफ़ घटा 4 कट जाता है, दाईं तरफ़ 7 जोड़ 4, यानी 11। अब 5 गुणा x, बराबर 11, दोनों तरफ़ 5 से भाग करो। x बराबर 11 बटा 5। और 5 गुणा x घटा 4 बराबर 7, और 5 गुणा x बराबर 11, ये 2 lines x के बारे में एक ही दावा हैं, दोनों का हल 11 बटा 5। और हर line के बगल में उसकी वजह लिखी है, कौन सी क्रिया, दोनों तरफ़।

हल पूरी संख्या नहीं, और इसीलिए अंदाज़ा उसे कभी नहीं पकड़ पाया। यह चाल दिशा वाली है, हर कदम पहले से तय, और काम कहीं जाकर ख़त्म होता है। हल तक हम पहुँचे, उससे टकराए नहीं। अब जाँच, 11 बटा 5 को वापस LHS में रखो। अब 5 गुणा 11 बटा 5, दोनों 5 कट जाते हैं, बचा 11। देखो, 11 घटा 4, यानी 7, और RHS भी 7। भिन्न वाला हल डरावना नहीं, जाँच में वह भिन्न ख़ुद ग़ायब हो जाती है।

कुछ लोग सोचते हैं कि जाँच हो गई, तो यही अकेला हल है। जाँच बस इतना पक्का करती है कि यह संख्या काम करती है, पास वाली 9 बटा 5, 10 बटा 5, 12 बटा 5, 13 बटा 5 में से किसी पर भी LHS 7 नहीं बनता। पर कोई और हल है या नहीं, यह सवाल अभी खुला है, और जाँच उसका जवाब नहीं देती। अब तुम्हारी बारी, 3 गुणा x जोड़ 2, बराबर x जोड़ 10, हर बार दोनों तरफ़ एक ही क्रिया करके हल करो।

हर line के बगल में यह भी लिखा हो, कि कौन सी क्रिया की, और क्यों। आख़िर में हल वापस रखकर जाँचो कि दोनों तरफ़ सच में बराबर हैं। अंदाज़ा काम करता है, पर उसमें कितना भी समय लग सकता है, और वह कभी नहीं कहता कि सारे हल मिल गए। बराबर के निशान के दोनों तरफ़ वही क्रिया करो, बात सच रहती है, बस 0 से भाग नहीं, और 0 से गुणा नहीं।

लंबे जोड़ और गुणा का छोटा रूप, बिना हिसाब किए पढ़ा जा सकता है। equation पर वही चाल, एक एक क्रिया, हर line की वजह लिखकर। और जाँच बताती है कि हल काम करता है, पर यह नहीं कि वह अकेला है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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