PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 7 Mathematics · Chapter 8, Working with Fractions
Chapter 8 · Working with Fractions
division को ग़ायब factor वाले multiplication के रूप में फिर से कहना
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12 भाग 4 बराबर 3, इसमें कोई नया नियम नहीं। भिन्न से भाग में भी नहीं: सवाल को उल्टा पूछो, divisor को किससे गुणा करें कि dividend बने, और खाली डिब्बा भरो।
मुख्य idea
fraction से भाग देना तुम्हें पहले से आता है, क्योंकि division कभी अपने आप में अलग operation था ही नहीं। 12 को 4 से भाग देने पर मिलने वाला quotient बस उस number का नाम है जो 4 से गुणा होकर वापस 12 बना देता है — और इस वर्णन को इससे कोई मतलब नहीं कि divisor whole number है या fraction. एक बार सवाल इस रूप में पूछ लिया जाए, तो 2/3 से भाग देने के लिए किसी नए rule की ज़रूरत ही नहीं पड़ती। ज़रूरत पड़ती है बस एक नई बात पर ध्यान देने की: कौन-सा number 2/3 से गुणा होकर ठीक 1 तक पहुँचता है। उसके बाद का सब कुछ scaling है, और पूरा §8.2 यही एक सवाल चार बार, हर बार कठिन numbers के साथ, पूछकर बना है।
आपको क्या आना चाहिए
- किसी भी division को एक ऐसे multiplication के रूप में फिर से लिखना जिसका एक factor ग़ायब हो
- लिखे हुए division में dividend, divisor और quotient के नाम बताना
- काटकर वह number ढूँढ़ना जो किसी दिए गए fraction से गुणा होकर 1 तक पहुँचे
- ऐसा division हल करना जिसका divisor fraction हो और dividend 1 हो
- जवाब को scale करके इसे whole-number dividend तक बढ़ाना
- इसे फिर आगे fractional dividend तक बढ़ाना
- चारों हल किए गए divisions में साझा दो चालों वाला pattern बताना
- समझाना कि fractional divisor आने पर भी ग़ायब-factor वाली पढ़त क्यों टिकी रहती है, जबकि बराबर groups में बाँटने वाली पढ़त नहीं टिकती
जानने लायक़ शब्द
| शब्द | एक line में मतलब | हिंदी / क्षेत्रीय समकक्ष | पहली बार कहाँ आया |
|---|---|---|---|
| division | वह operation जो किसी multiplication को उलट देता है | भाग | §8.2 के शीर्षक के रूप में छपा, p.186 |
| dividend | वह number जिसे भाग दिया जा रहा है | भाज्य | §8.2 के label वाले callout में छपा, p.186 |
| divisor | वह number जिससे भाग दिया जा रहा है | भाजक | §8.2 के label वाले callout में छपा, p.186 |
| quotient | division का जवाब | भागफल | §8.2 के label वाले callout में छपा, p.186 |
| cancel out | bar के ऊपर और नीचे से किसी factor को हटाना, ताकि पीछे 1 बचे | निरसित करना | §8.2 में छपा, p.187 |
| product | multiplication से जो बनता है, यहाँ वह लक्ष्य जिस तक ग़ायब factor को पहुँचना है | गुणनफल | §8.2 में छपा, p.187 |
| missing factor | ऐसे multiplication का अनजान number जिसका product दिया हुआ है | अज्ञात गुणनखंड | chapter जो box बनाता है उसके लिए व्याख्या का नाम; इस chapter में नहीं छपा |
| undoing | किसी number से गुणा करने के असर को पलट देना | प्रतिलोम क्रिया | व्याख्या का शब्द; इस chapter में नहीं छपा |
हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash Part I का हिंदी संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल किए गए corpus में नहीं है, इसलिए इन शब्दों को हिंदी छपाई से मिलाकर नहीं जाँचा गया — Notes देखो।
लोग कहाँ चूकते हैं
- "fraction से भाग देने के लिए नया rule चाहिए।" इस चरण पर किसी rule की ज़रूरत ही नहीं — ज़रूरत है सवाल को फिर से पूछने की। chapter जान-बूझकर कोई formula बताने से पहले ही जवाबों तक पहुँचता है, और formula p.189 पर ही आता है।
- "division का मतलब है बराबर groups में बाँटना, इसलिए fractional divisor का कोई मतलब नहीं।" एक group के 2/3 हिस्से में बाँटने का कोई मतलब नहीं; पर ग़ायब-factor वाले सवाल का मतलब है। बाँटने वाली पढ़त को टूटते हुए, और ग़ायब-factor वाली पढ़त को सीधे आगे बढ़ते हुए दिखाओ — इसीलिए chapter §8.2 को किसी उदाहरण से नहीं, सवाल को फिर से कहने से खोलता है।
- "ख़ाली जगह वाली चीज़ अंदाज़ा लगाकर फिर जाँचनी होती है।" उसे ढूँढ़ा जाता है, अंदाज़ा नहीं लगाया जाता: तुम पूछते हो कि काटने के बाद पीछे 1 क्या छोड़ेगा, और उलटा किया हुआ fraction यही करता है।
- "12 ÷ 4 और 4 ÷ 12 एक ही हैं, क्योंकि दोनों divisions हैं।" p.186 का callout किसी वजह से बताता है कि कौन-सा number क्या है, और labels आपस में बदले नहीं जा सकते।
- "3 ÷ 2/3 पाने के लिए बिल्कुल शुरू से करना पड़ता है।" chapter 1 ÷ 2/3 का जवाब दोबारा इस्तेमाल करता है और उसे scale करता है। इस दोबारा इस्तेमाल को साफ़ दिखाओ; यही तर्क है, कोई shortcut नहीं।
- "quotient को dividend से छोटा होना ही चाहिए।" 3 ÷ 2/3 का जवाब 9/2 आता है, जो 3 से बड़ा है।
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पूरा transcript1,416 शब्द
यहाँ 12 भाग 4, जवाब 3, इसमें किसी को मदद नहीं चाहिए। इसीलिए यहीं से शुरू करते हैं, क्योंकि इसी आसान सवाल में भिन्न से भाग का पूरा राज़ छिपा है। यहाँ देखेंगे कि भिन्न से भाग के लिए कोई नया नियम चाहिए ही नहीं, बस सवाल को दोबारा पूछना है। और 12, जिसे बाँटा जा रहा है, dividend। अब 4, जिससे बाँटा जा रहा है, divisor। और 3, जो जवाब है, quotient।
ये नाम भिन्नों में भी वही रहते हैं, 2 बटा 3 भाग 3 बटा 5 में, 2 बटा 3 dividend, 3 बटा 5 divisor। कोई कहे, 12 भाग 4 और 4 भाग 12, दोनों भाग ही तो हैं। पर पहला 3, और दूसरा 1 बटा 3, बिल्कुल अलग। इसीलिए नाम ज़रूरी हैं, कौन dividend, कौन divisor, यह अदला बदली नहीं होती। अब इसी सवाल को उल्टा पूछो, 4 को किस संख्या से गुणा करें कि 12 बने?
जवाब 3, क्योंकि 3 गुणा 4 बराबर 12। और खोजकर देखा, ऐसी संख्या बस 1 है, कोई और नहीं। यह कोई चाल नहीं, quotient का मतलब ही यही है, वह संख्या जो divisor को गुणा करके वापस dividend बना दे। यानी भाग, एक गुणा है जिसमें एक गुणनखंड गायब है। और इस परिभाषा को फ़र्क नहीं पड़ता कि divisor पूरी संख्या है या भिन्न। तो हर भाग के सवाल को एक गुणा के सवाल में बदलो, जिसमें एक खाली डिब्बा है, और डिब्बे को भरो।
पूरी संख्या 4 को भी उल्टा कर सकते हो, 4 यानी 4 बटा 1, उल्टा 1 बटा 4। यहाँ 1 बटा 4 गुणा 4 बराबर 1। फिर उसे 12 गुना करो, 1 बटा 4 गुणा 12 बराबर 3, वही जवाब जो शुरू में मिला। तो जो तरीका भिन्नों के लिए बनेगा, वह पुराने भाग को भी अपने संग लेकर चलता है। भाग का एक और मतलब, बाँटना, 12 चीज़ें 4 बराबर ढेरों में, हर ढेर में 3।
पर 12 चीज़ें 2 बटा 3 ढेरों में बाँटो, इसका कोई मतलब ही नहीं बनता। वहीं, किस संख्या को 2 बटा 3 से गुणा करें, यह सवाल बिल्कुल साफ़ है, यही पढ़ाई आगे चलती है। एक और पढ़ाई भी चलती है, 3 भाग 1 बटा 4, यानी 3 में 1 बटा 4 कितनी बार समाता है? number line पर 1 बटा 4 के टुकड़े एक के बाद एक रखो, ठीक 12 टुकड़े 3 तक पहुँचते हैं।
और गायब गुणनखंड वाला सवाल, 1 बटा 4 को किससे गुणा करें कि 3 बने, जवाब भी 12। बाँटने वाली पढ़ाई टूटी, पर कितनी बार समाता है और गायब गुणनखंड, दोनों एक संग चलते हैं। अब पहला भिन्न वाला divisor, 1 भाग 2 बटा 3, यानी 2 बटा 3 को किससे गुणा करें कि 1 बने? सोचो, गुणा के बाद ऊपर का 2 और नीचे का 3 दोनों गायब होने चाहिए, तभी जवाब 1 आएगा।
तो ऊपर 3 रखो, नीचे 2, यानी 3 बटा 2। और 2 बटा 3 गुणा 3 बटा 2, ऊपर 2 गुणा 3, नीचे 3 गुणा 2, 2 से 2 कटा, 3 से 3 कटा, बचा 1। तो 1 भाग 2 बटा 3 बराबर 3 बटा 2। यह अंदाज़ा लगाकर जाँचना नहीं था, हमने पूछा क्या बचना चाहिए, और भिन्न उल्टी करके वही मिला। और खोजकर देखा, ऐसी संख्या बस 1।
अब 3 भाग 2 बटा 3, नए सिरे से शुरू मत करो, 1 वाला जवाब इस्तेमाल करो। अब 3 बटा 2 से 2 बटा 3 का 1 बनता था, तो 3 बनाने के लिए उसका 3 गुना, यानी 9 बटा 2। जाँच, 9 बटा 2 गुणा 2 बटा 3 बराबर 3। देखो, 5 भाग 2 बटा 3 के लिए भी वही, 3 बटा 2 का 5 गुना, यानी 15 बटा 2।
यही तरीका है, पहले 1 के लिए हल करो, फिर dividend जितना बढ़ाओ। अगर 3 बटा 2 से 1 बनता है, तो उसके 3 गुने से 3 गुना, यानी 3, बस इतनी सी बात। गौर करो, 9 बटा 2 तो 3 से बड़ा है, भाग करके संख्या बढ़ गई। भाग हमेशा छोटा नहीं करता, यह बात नोट करने लायक है। एक इशारा, हमने 1 से छोटे divisor से भाग किया, और 1 से छोटी संख्या को 1 तक ले जाने के लिए बड़ी संख्या चाहिए।
अब 1 बटा 5 भाग 1 बटा 2, पहले पूछो, 1 बटा 2 को किससे गुणा करें कि 1 बने? जवाब 2। फिर dividend जितना, 2 गुणा 1 बटा 5 बराबर 2 बटा 5। सीधे खोजो, 1 बटा 2 को किससे गुणा करें कि 1 बटा 5 बने, फिर वही 2 बटा 5। इस बार बढ़ाने वाली संख्या खुद भिन्न है, पर तरीके को कोई फ़र्क नहीं पड़ा। अब दोनों भिन्न, 2 बटा 3 भाग 3 बटा 5, पहले बताओ, 3 बटा 5 को किससे गुणा करें कि 1 बने?
उसे उल्टा करो, 5 बटा 3। यहाँ 3 बटा 5 गुणा 5 बटा 3, 3 से 3 कटा, 5 से 5 कटा, बचा 1। फिर 2 बटा 3 जितना, 5 बटा 3 गुणा 2 बटा 3 बराबर 10 बटा 9। और सीधी खोज भी यही कहती है, 10 बटा 9। हर जवाब की जाँच आसान है, उसे divisor से गुणा करो, dividend वापस आना चाहिए। और 3 बटा 2 गुणा 2 बटा 3 बराबर 1, और 9 बटा 2 गुणा 2 बटा 3 बराबर 3।
अब 2 बटा 5 गुणा 1 बटा 2 बराबर 1 बटा 5, और 10 बटा 9 गुणा 3 बटा 5 बराबर 2 बटा 3। भाग का मतलब ही गुणा से जुड़ा है, इसलिए जाँच हमेशा मुफ़्त में मिलती है। अब एक अजीब सवाल, 12 भाग 0, यानी 0 को किससे गुणा करें कि 12 बने? कोई भी संख्या 0 से गुणा होकर 0 ही रहती है, 50 तक के ऊपर और नीचे वाली सभी भिन्नें आज़माईं, 12 बनाने वाली 0।
और 0 को 1 तक ले जाने वाली संख्या भी कोई नहीं, तो पहली चाल ही नहीं चल सकती। इसलिए 0 से भाग का कोई जवाब नहीं, यह भी गायब गुणनखंड वाली पढ़ाई से सीधा दिखता है। और 1 से भाग, 5 बटा 7 भाग 1 बराबर 5 बटा 7, कुछ नहीं बदला। क्योंकि 1 को 1 तक ले जाने के लिए 1 से ही गुणा करना है, पहली चाल कुछ करती ही नहीं।
एक असली सवाल, 3 कप आटा है, एक बार की बेकिंग में 3 बटा 4 कप लगता है, कितनी बार बना सकते हो? देखो, 3 बटा 4 उल्टा करो तो 4 बटा 3, और उसका 3 गुना, यानी 4 बार। जाँच, 4 गुणा 3 बटा 4 बराबर 3 कप, ठीक पूरा आटा। उदाहरणों का क्रम देखो, पहले dividend 1, फिर पूरी संख्या, फिर भिन्न, और आख़िर में दोनों भिन्न। हर कदम पर बस एक चीज़ बदली, इसलिए हर कदम पिछले पर टिका रहा।
पहली चाल, divisor को 1 तक ले जाने वाली संख्या ढूँढो, यानी divisor को उल्टा करो। दूसरी चाल, उसे dividend जितना बढ़ाओ, यानी dividend से गुणा करो। यहाँ 1 से 8 तक के ऊपर और नीचे वाली भिन्नों के सभी 4096 भाग के सवाल, हर एक में गायब गुणनखंड मिला, और बस एक, कुल 4096। और सभी 4096 में वह ठीक उल्टे divisor गुणा dividend के बराबर, और उल्टा divisor हर बार divisor को 1 तक ले गया, सभी 4096 में।
उल्टा करना हर बार क्यों चलता है, कोई भी भिन्न लो, उसे उसकी उल्टी से गुणा करो। ऊपर पहले का ऊपर गुणा दूसरे का ऊपर, नीचे पहले का नीचे गुणा दूसरे का नीचे, और ये वही 2 संख्याएँ हैं, बस क्रम उल्टा। ऊपर और नीचे बराबर, तो जवाब 1, हर भिन्न के लिए, बस ऊपर वाला 0 न हो। और 4 भाग 12 फिर देखो, 12 को किससे गुणा करें कि 4 बने?
जवाब 1 बटा 3। अब 1 बटा 3 गुणा 12 बराबर 4, ठीक। तो quotient भी भिन्न हो सकता है, गायब गुणनखंड वाली परिभाषा को इससे कोई दिक्कत नहीं। कई लोग सोचते हैं, भिन्न से भाग के लिए कोई अलग नियम रटना पड़ता है। हमने कोई नियम नहीं रटा, बस सवाल उल्टा पूछा, किस संख्या से गुणा करें। जो नियम लोग रटते हैं, वह इन्हीं 2 चालों का छोटा रूप है।
खुद करो, 4 भाग 2 बटा 5, और 3 बटा 4 भाग 1 बटा 8, दोनों चालों से। हर जवाब को divisor से गुणा करके देखो कि dividend वापस आता है या नहीं। जवाब 10 और 6, और दोनों dividend से बड़े। याद रखो, quotient वह संख्या है जो divisor को गुणा करके dividend बनाए। भिन्न को 1 तक ले जाने वाली संख्या, वही भिन्न उल्टी। फिर उसे dividend से गुणा करो।
जवाब को divisor से गुणा करके हमेशा जाँच सकते हो। और भाग से संख्या बढ़ भी सकती है।
यह कहाँ बैठता है
यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.
किस पर टिका है
- A fraction of a fraction, and why the numerators and denominators multiplyकक्षा 7 · Ch 8, Working with Fractions
- Cancelling common factors before multiplying, not afterकक्षा 7 · Ch 8, Working with Fractions
आगे फिर कहाँ आता है
- Reciprocals, and Brahmagupta's rule for dividing fractionsकक्षा 7 · Ch 8, Working with Fractions
इसके ठीक पहले और ठीक बाद
- Why multiplying can make a number smallerकक्षा 7 · Ch 8, Working with Fractions