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Chapter 8 · Working with Fractions

fraction का fraction, और numerators तथा denominators आपस में गुणा क्यों होते हैं

Multiplying fractions13 मिनट

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1 बटा 2 गुणा 1 बटा 4: न नकलें बिछती हैं, न कोई पूरी संख्या कटती है। एक चौकोर को दोनों ओर से काटो, और खाने खुद गिनती बता देते हैं।

मुख्य idea

numerators आपस में गुणा होते हैं और denominators आपस में — यह कोई ऐसा चलन नहीं जिसे किसी ने चुन लिया हो, यह वह बात है जो एक square तुम पर थोप देता है। एक unit square को एक तरफ़ से rows में और दूसरी तरफ़ से columns में काटो, और टुकड़े ख़ुद-ब-ख़ुद गिन जाते हैं: rows गुणा columns, बिना कोई हिसाब किए। तो product का denominator उन टुकड़ों की गिनती है जो तस्वीर पहले ही बना चुकी है, और numerator उन टुकड़ों की गिनती है जो तुमने रखे। जब तक chapter formula लिखता है, तब तक वह याद रखने वाला rule नहीं रह जाता, बल्कि एक तस्वीर का वर्णन बन जाता है — और इसीलिए उसी formula को एक rectangle के area की तरह भी पढ़ा जा सकता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • किसी fraction को unit square के छायांकित हिस्से के रूप में दिखाना
  • छायांकित हिस्से को दूसरी direction में फिर से काटकर और cells गिनकर, किसी fraction का fraction निकालना
  • बताना कि एक तरफ़ से और फिर दूसरी तरफ़ से काटने पर ठीक-ठीक (rows × columns) बराबर टुकड़े क्यों बनते हैं
  • ऐसे दो fractions को गुणा करने का rule बताना और इस्तेमाल करना जिनके numerators दोनों 1 हों, और denominator को तस्वीर से समझाना
  • दो fractions को गुणा करने का आम rule बताना, और उसे Brahmagupta के Brāhmasphuṭasiddhānta (628 CE) से जोड़ना
  • ऐसे product को दोनों fractions पर बने rectangle के area की तरह पढ़ना
  • whole number को 1 के ऊपर लिखे fraction के रूप में फिर से लिखना, ताकि वही rule whole-number factor पर भी लागू हो
  • समझाना कि 1/12 और 1/18 जैसे fractions के लिए तस्वीर वाला तरीक़ा व्यावहारिक क्यों नहीं रहता, और उसकी जगह क्या आता है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
unit squareएक unit भुजा वाला square, जो एक whole की जगह इस्तेमाल होता हैइकाई वर्ग§8.1 में छपा, p.177
wholeवह quantity जिसका कोई fraction लिया जा रहा हैपूर्ण§8.1 में छपा, p.177 से आगे, और Fig. 8.1 (p.178) के अंदर label किया हुआ
equal partsएक ही आकार के टुकड़े, जिनमें किसी whole को काटा जाता हैबराबर भाग§8.1 में छपा, pp.177–178
rows and columnsकाटने की दो directions, हर factor के denominator के लिए एकपंक्तियाँ और स्तंभ§8.1 में छपा, pp.178–181
areaकोई region कितनी सतह घेरता हैक्षेत्रफल§8.1 में छपा, p.180
square unitsवह unit जिसमें area गिना जाता हैवर्ग इकाई§8.1 में छपा, p.180
length and breadthकिसी rectangle की दो भुजाएँलंबाई और चौड़ाई§8.1 में छपा, p.180
rectangleचार भुजाओं वाली आकृति, जिसका area यहाँ उसकी दोनों भुजाओं के गुणा के रूप में निकलता हैआयत§8.1 में छपा, p.180
fractional unitsnumerator में 1 वाले fractions, जिनका product 1 बटा denominators का product होता हैइकाई भिन्न§8.1 में छपा, p.181
formulaअक्षरों में लिखा rule, ताकि वह एक साथ हर हालत पर लागू होसूत्र§8.1 में छपा, p.182
Brahmaguptaसातवीं सदी के भारतीय गणितज्ञ, जिन्हें chapter गुणा का rule पहली बार आम रूप में कहने का श्रेय देता हैब्रह्मगुप्त§8.1 में छपा, p.182
cellrows-and-columns वाली तस्वीर का एक छोटा टुकड़ाखानाव्याख्या का शब्द; इस chapter में नहीं छपा

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash Part I का हिंदी संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल किए गए corpus में नहीं है, इसलिए इन शब्दों को हिंदी छपाई से मिलाकर नहीं जाँचा गया — Notes देखो।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "'का' (of) का मतलब है जोड़ना, या भाग देना।" किसी fraction का fraction एक गुणा है, और unit square यही दिखाता है: दूसरा कट पहले छायांकित हिस्से के अंदर पड़ता है, उसके बगल में नहीं।
  • "denominators को इसलिए गुणा करते हैं क्योंकि यही rule है।" chapter इसे कभी rule की तरह नहीं थोपता। 5 rows में और फिर 4 columns में काटने से 20 टुकड़े बनते हैं, क्योंकि आर-पार कटने वाले कट यही करते हैं।
  • "दोबारा काटने पर whole बदल जाता है।" नहीं बदलता, और Fig. 8.1 इस तरह बनी है कि यह दिखे: दूसरी बार काटने से पहले और बाद में बाहर वाला square वही square है, और इसीलिए जवाब 20 के मुक़ाबले पढ़ा जाता है, 8 के मुक़ाबले नहीं।
  • "multiplicand को एक whole से छोटा होना चाहिए।" Fig. 8.2 ठीक इसका उलटा उदाहरण है — multiplicand 3/2 है, एक पूरे square और एक आधे के रूप में बना हुआ — और वही procedure बिना बदले चलता है।
  • "6/20 और 3/10 अलग-अलग जवाब हैं।" वे एक ही number हैं, दो तरह से लिखे हुए। chapter दोनों को p.179 पर बिना कुछ कहे दर्ज करता है, और सरल करना Cancelling common factors before multiplying, not after का विषय बनता है।
  • "area rectangles का formula है; यह fractions है; ये अलग-अलग chapters हैं।" p.180 पर chapter की बात उलटी दिशा में चलती है: दो fractions का product एक area है, इसलिए किसी भी गुणा को हमेशा चित्र में बनाया जा सकता है।
  • "whole number fraction वाले formula में नहीं जा सकता।" उसे 1 के ऊपर लिखना formula को लागू करवाने की कोई चाल नहीं है; यह उस number के बारे में एक सच्ची बात है, और chapter p.182 पर इसका इस्तेमाल करके वह अलग मामला ख़त्म कर देता है जो A whole number times a fraction, read as repeated distance में सँभाला गया था।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 2 Q1, Figure it Out · 2 Q2, Figure it Out · 3 Q1, Figure it Out · 3 Q3, Figure it Out · 4 Q3

पूरा transcript1,788 शब्द

एक कछुआ, 1 घंटे में 1 बटा 4 किलोमीटर चलता है, और बस 1 बटा 2 घंटा चलता है। एक छोटी तालिका, 1 घंटा, 1 बटा 4 किलोमीटर, और 1 बटा 2 घंटा, कितना? अब गुणा की दोनों संख्याएँ भिन्न हैं, न नकलें बिछा सकते हैं, न सीधे किसी पूरी संख्या को काट सकते हैं। यहाँ देखेंगे कि ऊपर गुणा ऊपर, और नीचे गुणा नीचे, कोई रटा हुआ नियम नहीं, एक चौकोर खुद यह करवाता है।

यहाँ 1 को एक चौकोर से दिखाओ, इसे unit square कहते हैं, यह पूरा 1 है। चौकोर को 2 दिशाओं में काटा जा सकता है, लेटी पट्टियों में भी, और खड़ी पट्टियों में भी, यही हमें चाहिए। चौकोर को 4 लेटी पट्टियों में काटो, और सबसे ऊपर वाली को रंगो। रंगा हुआ हिस्सा, 1 पट्टी 4 में से, यानी 1 घंटे की दूरी, 1 बटा 4। अब आधे घंटे के लिए, रंगी पट्टी का आधा चाहिए, तो बीच से एक खड़ी line से काटो।

पूरा चौकोर अब कितने टुकड़ों में है, गिनो, 8। और आधी पट्टी उनमें से 1 टुकड़ा, यानी 1 बटा 8। तो 1 बटा 2 गुणा 1 बटा 4 बराबर 1 बटा 8 किलोमीटर। इसे दूसरे रास्ते से भी जाँच लेते हैं, 1 बटा 4 किलोमीटर यानी 250 मीटर। आधे घंटे में उसका आधा, 125 मीटर, और वह ठीक 1 बटा 8 किलोमीटर है। चौकोर के खाने और मीटर की गिनती, दोनों एक ही जवाब पर पहुँचे।

तालिका में एक और पंक्ति जोड़ो, 3 बटा 4 घंटा, उसी कछुए के लिए। चौकोर को 4 लेटी और 4 खड़ी पट्टियों में काटो, 16 खाने, और रंगी पट्टी के 4 में से 3 खाने रखो। और 3 खाने 16 में से, यानी 3 बटा 16 किलोमीटर। कुछ बच्चे सोचते हैं, किसी हिस्से का हिस्सा लेना मतलब जोड़ना, या भाग देना। पर देखो, दूसरी काट पहले रंगे हिस्से के अंदर पड़ी, बगल में नहीं, एक हिस्से का हिस्सा, यानी गुणा।

और इसके पीछे एक वाक्य है, दूरी बराबर रफ़्तार गुणा समय। अब एक तेज़ कछुआ, 1 घंटे में 2 बटा 5 किलोमीटर, और वह 3 बटा 4 घंटा चलता है। कितनी दूर जाएगा? पहले अंदाज़ा, घंटे से कम चला, तो 2 बटा 5 किलोमीटर से कम, पर कितना कम, यह चौकोर बताएगा। चौकोर को 5 लेटी पट्टियों में काटो, और ऊपर की 2 को रंगो, यह 2 बटा 5। फिर 4 खड़ी पट्टियों में काटो, घंटे के 4 हिस्सों के लिए।

लेटी पट्टियाँ रफ़्तार के लिए, यानी multiplicand, और खड़ी पट्टियाँ समय के लिए, यानी multiplier। अब खाने गिनो, एक एक करके, पूरे 20। और ऊपर की 2 पट्टियों में 8 खाने। कोई हिसाब नहीं किया, खाने खुद गिनती में आ गए, हर लेटी पट्टी हर खड़ी पट्टी से मिलती है। कोई कहे, नई काट से पूरा बदल गया। नहीं, बाहर का चौकोर वही है, बस अब 20 छोटे खाने, हर एक 1 बटा 20।

इसलिए जवाब 20 के मुकाबले पढ़ते हैं, रंगे हुए 8 के मुकाबले नहीं। दूसरी काट से पहले और बाद, चौकोर का बाहरी किनारा एक जैसा, बस अंदर के टुकड़े छोटे हुए। एक लुभाने वाली गलती, रंगे 8 खानों को ही पूरा मान लेना। तब 3 बटा 4 घंटे के खाने, 8 में से 6, यानी 3 बटा 4। यह बस बताता है कि रंगे हिस्से का कितना रखा, जो हम पहले से जानते थे, दूरी नहीं।

दूरी के लिए हमेशा पूरा चौकोर गिनो, वही 1 किलोमीटर है। पहले 1 बटा 4 घंटा, यानी रंगे हिस्से का एक खड़ा हिस्सा, 2 खाने। पूरे 20 में से 2, यानी 2 बटा 20। अब 3 बटा 4 घंटा, तो ऐसे 3 खड़े हिस्से, 6 खाने। अब 6 बटा 20, यानी 3 बटा 10 किलोमीटर। देखो, 6 बटा 20 और 3 बटा 10, 2 जवाब नहीं, एक ही संख्या 2 तरह से लिखी, इसे छोटा करने का तरीका यहाँ खुला छोड़ते हैं।

2 कदम में, 3 बटा 4 का नीचे वाला 4, रंगे 2 बटा 5 को 4 हिस्सों में काटता है। ऊपर वाला 3, उनमें से 3 हिस्से उठाता है। पहले 2 बटा 20, फिर उसका 3 गुना, 6 बटा 20। अब 5 बटा 4 गुणा 3 बटा 2, यहाँ multiplicand 3 बटा 2 है, जो 1 से बड़ा है। क्या चौकोर वाला तरीका अब भी चलेगा? एक पूरा चौकोर, 2 पंक्तियाँ और 4 खड़ी पट्टियाँ, 8 खाने, और उसके नीचे आधी पट्टी, 4 खाने और।

इसका 1 बटा 4, यानी बाईं खड़ी पट्टी, 3 खाने, और पूरे के 8 खानों के मुकाबले, 3 बटा 8। और 5 ऐसे हिस्से, 15 बटा 8। तो multiplicand का 1 से छोटा होना ज़रूरी नहीं, वही तरीका बिना बदले चलता है, बस पूरा वही 8 खानों वाला चौकोर रहता है। यहाँ 5 बटा 4 भी 1 से बड़ा, तो आयत चौकोर के बाहर दाईं ओर भी निकलता है, और नीचे भी।

उसमें 1 बटा 8 वाले 15 खाने, यानी 15 बटा 8। यानी 1 पूरा चौकोर और 7 बटा 8, पूरा चौकोर 8 खानों से भरता है, बाकी 7 बचते हैं। पूरी संख्याओं में यह आसान है, 4 चौड़ा और 3 ऊँचा आयत, उसमें 12 छोटे चौकोर। भिन्नों में बस खाने छोटे हैं, 5 गुणा 4 वाले चौकोर का एक खाना, 1 बटा 4 चौड़ा, 1 बटा 5 ऊँचा। और उसका क्षेत्रफल 1 बटा 20, क्योंकि ऐसे 20 खाने पूरा 1 भरते हैं।

चौकोर को 4 लेटी और 2 खड़ी पट्टियों में काटो, एक खाना 1 बटा 2 चौड़ा और 1 बटा 4 ऊँचा। ऐसे 8 खाने पूरा चौकोर भरते हैं, तो एक खाने का क्षेत्रफल 1 बटा 8। यानी 1 बटा 2 गुणा 1 बटा 4, उस आयत का क्षेत्रफल है जिसकी भुजाएँ 1 बटा 2 और 1 बटा 4। 3 बटा 4 घंटे वाला चित्र भी एक आयत है, कोने से 3 बटा 4 चौड़ा, 2 बटा 5 ऊँचा, 6 खाने।

उसका क्षेत्रफल 3 बटा 10, वही दूरी। क्षेत्रफल और भिन्न अलग विषय नहीं, 2 भिन्नों का गुणा हमेशा एक आयत बनकर दिख सकता है। हर लेटी पट्टी को हर खड़ी line काटती है, तो हर पट्टी में उतने खाने जितनी खड़ी पट्टियाँ। और ऐसी जितनी पट्टियाँ, उतनी बार, तो कुल खाने, पंक्तियाँ गुणा खड़ी पट्टियाँ। और 5 पंक्तियाँ, हर एक में 4 खाने, 4 धन 4 धन 4 धन 4 धन 4, यानी 20, बिना कोई नियम याद किए।

इसलिए जवाब का नीचे वाला, 2 नीचे वालों का गुणा है, वह चित्र में बने टुकड़ों की गिनती है। अब 3 बटा 4 गुणा 2 बटा 5, और 2 बटा 5 गुणा 3 बटा 4, क्या अलग हैं? चित्र को थोड़ा घुमाकर खड़ा करो, लेटी पट्टियाँ खड़ी हो जाती हैं, और खाने वही रहते हैं। सभी 6084 उदाहरणों में, क्रम बदलकर गिने गए खाने हर बार बराबर निकले। दूसरी काट पहले रंगे हिस्से के अंदर पड़ती है, तो रखा हुआ टुकड़ा रंगे हिस्से से बड़ा हो ही नहीं सकता।

जब दोनों भिन्न 1 या उससे कम हों, तब सभी 6084 में, गुणनफल दोनों में से किसी से बड़ा नहीं निकला। यह भी चित्र में दिखता है, याद रखने की ज़रूरत नहीं। अब 1 बटा 12 गुणा 1 बटा 18, 18 लेटी पट्टियाँ, 12 खड़ी। खाने, 18 गुणा 12, यानी 216, और कोने का एक खाना, 1 बटा 216। लेटी पट्टियाँ multiplicand के नीचे वाले से, खड़ी multiplier के नीचे वाले से।

इतना चित्र बनाना मुश्किल है, पर गिनती के लिए चित्र बनाना ज़रूरी नहीं, हम जानते हैं खाने कैसे बनते हैं। चित्र टूट जाता है, पर गिनती का तरीका नहीं टूटता, पंक्तियाँ गुणा खड़ी पट्टियाँ, 18 गुणा 12। अब 5 बटा 12 गुणा 7 बटा 18, कोने से 5 खाने चौड़ा, 7 खाने ऊँचा एक टुकड़ा। उसमें 35 खाने, पूरे 216 में से, यानी 35 बटा 216। तो ऊपर वाला भी गुणा है, 5 गुणा 7, रखे हुए खानों की गिनती।

2 कदम में, 7 बटा 18 को 12 बराबर हिस्सों में काटो, हर हिस्सा 7 बटा 216। और ऐसे 5 हिस्से, 35 बटा 216, खानों वाला ही जवाब। अब नियम लिखो, 2 भिन्नों का गुणा, ऊपर गुणा ऊपर, बटा नीचे गुणा नीचे। आधे घंटे वाले कछुए पर, ऊपर 1 गुणा 1, नीचे 2 गुणा 4, यानी 1 बटा 8, वही 8 में से 1 खाना। पर अब यह रटने वाला नियम नहीं, एक चित्र का वर्णन है, नीचे वाला बने हुए खाने, ऊपर वाला रखे हुए खाने।

देखो, 12 तक के हर नीचे वाले और हर ऊपर वाले के संग, कुल 6084 गुणा, चित्र बनाकर गिने गए, सभी 6084 में नियम से मेल। यह नियम बहुत पुराना है, बहुत पहले एक गणित के ग्रंथ में, शब्दों में, किन्हीं भी 2 भिन्नों के लिए लिखा गया था। पर यह पुराना होने से सच नहीं, चौकोर के खानों से सच है, जो तुम खुद गिन सकते हो। आम शब्दों में, कोई भी 2 भिन्न लो, ऊपर वालों का गुणा ऊपर, नीचे वालों का गुणा नीचे।

और पूरी संख्या, 3 को 3 बटा 1 लिख सकते हैं, यह कोई चाल नहीं, 3 सच में 3 बटा 1 है। यहाँ 3 बटा 1 गुणा 3 बटा 4, ऊपर 9, नीचे 4, 9 बटा 4, और 3 बटा 4 को 3 बार बिछाओ, तब भी 9 बटा 4। और 3 बटा 5 गुणा 4 बटा 1 बराबर 12 बटा 5। और 3 बटा 5 की 4 नकलें बिछाओ, तब भी 12 बटा 5, नकलें बिछाना और यह नियम एक ही जगह पहुँचे।

तो पूरी संख्या वाला अलग तरीका अब अलग नहीं, एक ही नियम सब पर। अभ्यास, चित्र बनाकर, 1 बटा 3 गुणा 1 बटा 5, 1 बटा 4 गुणा 1 बटा 3, 1 बटा 5 गुणा 1 बटा 2, 1 बटा 6 गुणा 1 बटा 5। हर बार एक कोने का खाना, 1 बटा 15, 1 बटा 12, 1 बटा 10, 1 बटा 30। और 4 सवाल, 2 बटा 3 गुणा 4 बटा 5, 1 बटा 4 गुणा 2 बटा 3, 3 बटा 5 गुणा 1 बटा 2, 4 बटा 6 गुणा 3 बटा 5।

जवाब, 8 बटा 15, 1 बटा 6, 3 बटा 10, 2 बटा 5। पहला बनाकर देखो, 3 लेटी और 5 खड़ी पट्टियाँ, 15 खाने, और 4 चौड़ा, 2 ऊँचा टुकड़ा, 8 खाने। और कुछ जवाब छोटे रूप में भी लिखे जा सकते हैं, जैसे 2 बटा 12 और 1 बटा 6, एक ही संख्या। यहाँ कोने का एक खाना नहीं, खानों का एक टुकड़ा, ऊपर वालों के गुणा जितना। खुद करो, 2 बटा 3 गुणा 3 बटा 4 का चौकोर बनाओ, और कोई नियम लिखने से पहले खाने गिनो।

फिर नियम से जाँचो, और देखो कि नीचे वाला वाकई खानों की गिनती है। और चित्र को घुमाकर 3 बटा 4 गुणा 2 बटा 3 भी पढ़ो, खाने वही गिनने चाहिए। याद रखो, 1 को एक चौकोर से दिखाओ, और दोनों दिशाओं में काटो। नीचे वाला, बने हुए खानों की गिनती, पंक्तियाँ गुणा खड़ी पट्टियाँ। ऊपर वाला, रखे हुए खानों की गिनती। अब 2 भिन्नों का गुणा, एक आयत का क्षेत्रफल।

और पूरी संख्या, बस 1 के ऊपर लिखी भिन्न।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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