PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 7 Mathematics · Chapter 8, Working with Fractions
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वर्ग के अंदर रंगी पतली सी पट्टी: हर हिस्सा बस अपने ठीक बाहर वाले हिस्से से नापा गया, फिर भी पूरे वर्ग का 3 बटा 32 ठीक ठीक निकलता है, क्योंकि भिन्न की भिन्न की भिन्न, एक ही गुणा है।
मुख्य idea
सापेक्ष कथनों की एक शृंखला सिमटकर एक ही गुणा बन जाती है। कोई भी छायांकित पतली पट्टी को पूरे square से नहीं नापता, और कोई भी कंजूस के दान को पूरे सिक्के से नहीं नापता — हर एक की तुलना सिर्फ़ उसी चीज़ से की जाती है जिसके ठीक अंदर वह है। फिर भी दोनों को पूरे से ठीक-ठीक जोड़ा जा सकता है, क्योंकि "fraction का fraction का fraction" एक ही product है, और product को इससे कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता कि शृंखला के किस सिरे से शुरू किया गया। यही बात एक-दूसरे के अंदर बनी आकृतियों की तस्वीर और एक भिखारी के बारे में बारहवीं सदी की पहेली को एक ही हिसाब बना देती है, और इसीलिए §8.3 के सवाल किसी नए हिसाब से नहीं, एक शृंखला खड़ी करके हल होते हैं।
आपको क्या आना चाहिए
- कुछ भी हिसाब लगाने से पहले word problem को division या multiplication में बदलना
- किसी figure के हिस्से को पूरे के fraction के रूप में बताना, एक-दूसरे के अंदर होने वाले संबंधों को जोड़कर और शृंखला के साथ गुणा करके
- square के अंदर के किसी region का area नापकर नहीं, एक के बाद एक fractions से निकालना
- fractions का लंबा product निकालना और उसे lowest form में लाना
- fractions वाला कोई ऐतिहासिक सवाल पढ़ना, उसकी शृंखला निकालना, और जवाब को उन्हीं units में समझना जो सवाल इस्तेमाल करता है
- विनिमय दरों की सीढ़ी से जुड़ी quantities के बीच, सीढ़ी के साथ गुणा करके बदलना
- बताना कि जिस चीज़ को गिना जा रहा है वह पूरी वस्तु हो, तब भी division का जवाब fraction क्यों हो सकता है
जानने लायक़ शब्द
| शब्द | एक line में मतलब | हिंदी / क्षेत्रीय समकक्ष | पहली बार कहाँ आया |
|---|---|---|---|
| area | कोई region जितनी सतह घेरता है, यहाँ हमेशा पूरे square के मुक़ाबले नापी गई | क्षेत्रफल | §8.3 में छपा, pp.191–193 |
| square units | वह unit जिसमें इन उदाहरणों के areas गिने जाते हैं | वर्ग इकाई | §8.3 में छपा, pp.191–193 |
| whole square | वह region जिसके मुक़ाबले "Fractional Relations" का हर जवाब बताया जाता है | पूरा वर्ग | "Fractional Relations" में छपा, pp.192–193 |
| shaded region | figure का वह हिस्सा जिसका fraction पूछा जा रहा है | छायांकित भाग | "Fractional Relations" में छपा, p.192 |
| non-unit fractions | ऐसे fractions जिनका numerator 1 के सिवा कुछ और हो | अनैकांश भिन्न | §8.3 में छपा, p.190, और "A Pinch of History" में, p.194 |
| reciprocal | वह number जो किसी दिए गए number से गुणा होकर 1 देता है, यहाँ हर division में इस्तेमाल हुआ | व्युत्क्रम | §8.3 में छपा, pp.190–191 |
| dividend | इन हल किए गए उदाहरणों में जिस number को भाग दिया जा रहा है | भाज्य | §8.3 में छपा, pp.190–191 |
| divisor | वह number जिससे भाग दिया जा रहा है | भाजक | §8.3 में छपा, pp.190–191 |
| lowest form | वह रूप जिसमें लंबे product को आख़िर में लाया जाता है | निम्नतम रूप | "A Dramma-tic Donation" में छपा, p.194 |
| dramma | चाँदी का वह सिक्का जिसमें Līlāvatī वाला सवाल रखा गया है | द्रम्म | "A Dramma-tic Donation" में छपा, pp.193–194 |
| cowrie shell | chapter की सिक्कों वाली सीढ़ी की सबसे छोटी इकाई | कौड़ी | "A Dramma-tic Donation" में छपा, pp.193–194 |
| chain of relations | "fraction का fraction का…" वाले कथनों की एक कड़ी, जो एक product से हल होती है | संबंधों की शृंखला | व्याख्या का वाक्यांश; इस chapter में नहीं छपा |
| nested | एक region जो पूरी तरह दूसरे के अंदर बैठा हो | अंतर्निहित | व्याख्या का शब्द; इस chapter में नहीं छपा |
हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash Part I का हिंदी संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल किए गए corpus में नहीं है, इसलिए इन शब्दों को हिंदी छपाई से मिलाकर नहीं जाँचा गया — Notes देखो।
लोग कहाँ चूकते हैं
- "शृंखला के साथ fractions को जोड़ते हैं।" एक-आठवें का तीन-चौथाई एक product है। जोड़ने से दोनों में से हर एक से बड़ा number मिलता है, जिसे तस्वीर फ़ौरन ग़लत साबित कर देती है — छायांकित पतली पट्टी उस triangle से छोटी है जिसके अंदर वह बैठी है।
- "triangle के 3/4 का मतलब है square के 3/4." शृंखला का हर fraction एक अलग whole के मुक़ाबले नापा जाता है, और सिर्फ़ आख़िरी गुणा उसे वापस square पर लाता है। हर कड़ी पर ज़ोर से कहो कि इस समय whole क्या है।
- "आख़िरी जवाब लगभग एक quarter होना चाहिए, क्योंकि हमने एक quarter से शुरू किया था।" हर कड़ी उसे और सिकोड़ती है। 3/32 पर पहुँचना ही असली बात है।
- "375/2 ईंटें एक ग़लती है।" यह chapter का छपा हुआ जवाब है, और division का ईमानदार नतीजा है। आधी ईंट लगाई जा सकती है या नहीं, यह इस सवाल से अलग सवाल है कि हिसाब सही है या नहीं।
- "चार फव्वारे, तो समय जोड़ दो।" एक दिन, आधा दिन, एक-चौथाई और एक-पाँचवाँ जोड़ने से सबसे धीमे फव्वारे के अकेले समय से भी लंबा समय मिलता, जो साथ चल रहे नलों के लिए बेतुका है। जो जुड़ता है वह यह है कि हर एक दिन में कितने हौज़ भरता है।
- "कंजूस ने सिक्के का 1/1280 दिया, यानी लगभग कुछ नहीं।" उसने ठीक एक सिक्का दिया — चलन में सबसे छोटा। unit का बदलना ही fraction को एक वस्तु में बदलता है, और यही पहेली का मज़ेदार अंत है।
- "p.194 की विनिमय दरें ऐतिहासिक तथ्य हैं।" chapter कहता है कि वे बदलती थीं, और अपना set एक मान्यता के रूप में रखता है। सावधानी बनाए रखो; मानी हुई सीढ़ी तो कहानी में दी गई 1280 कौड़ियों से भी मेल नहीं खाती।
- "word problem के लिए सही formula चाहिए।" इनमें से हर एक के लिए सही शृंखला चाहिए, और उसके बाद का हिसाब बिना बदले §8.1 और §8.2 ही है।
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पूरा transcript1,819 शब्द
एक वर्ग के अंदर एक पतली सी रंगी हुई पट्टी। इसे कोई पूरे वर्ग से नहीं नापता, हर हिस्सा बस अपने ठीक बाहर वाले हिस्से से तुलना में बताया जाता है। फिर भी पूरे वर्ग का कितना हिस्सा है, यह ठीक ठीक निकलता है, क्योंकि भिन्न की भिन्न की भिन्न, एक ही गुणा है। यहाँ कई सवाल देखेंगे, और हर एक में नया गणित नहीं, बस एक सही कड़ी बनानी है।
यहाँ 1 बटा 4 लीटर दूध, 5 कपों में बराबर। यह भाग है, 1 बटा 4 भाग 5। भाग को गुणा में बदलो, 5 का reciprocal 1 बटा 5, तो 1 बटा 4 गुणा 1 बटा 5। हर कप में 1 बटा 20 लीटर। एक लीटर की पट्टी लो, उसे 4 बराबर हिस्सों में काटो। फिर एक चौथाई को 5 बराबर हिस्सों में। ऐसे छोटे हिस्से पूरे लीटर में 20 समाते हैं, इसलिए हर एक 1 बटा 20।
एक चौथाई का पाँचवाँ हिस्सा, यही यहाँ की पहली कड़ी है, और कड़ी का मतलब गुणा। जाँच हमेशा उल्टी दिशा से, 5 कप, हर एक में 1 बटा 20 लीटर। और 5 गुणा 1 बटा 20, वापस 1 बटा 4 लीटर, जितना दूध शुरू में था। भाग का जवाब, गुणा करके वापस जाँचा जा सकता है, यह आदत पूरे सवालों में काम आएगी। अब एक फ़र्श, जिसका क्षेत्रफल 7 पूरे और 1 बटा 2 वर्ग इकाई है।
उसे चौकोर ईंटों से ढकना है, हर ईंट की भुजा 1 बटा 5 इकाई। एक ईंट का क्षेत्रफल, 1 बटा 5 गुणा 1 बटा 5, यानी 1 बटा 25। कितनी ईंटें लगेंगी? एक इकाई वर्ग पर ईंटें बिछाकर देखो। अब 5 पंक्तियाँ, हर पंक्ति में 5 ईंटें, कुल 25, और कोई ईंट काटनी नहीं पड़ती। इसलिए एक ईंट, इकाई वर्ग का 1 बटा 25, यह गुणा गिनती से भी दिखता है।
पहले 7 पूरे और 1 बटा 2 को एक भिन्न बनाओ, 15 बटा 2। अब 15 बटा 2 भाग 1 बटा 25, यानी 15 बटा 2 गुणा 25। जवाब 375 बटा 2, यानी 187 पूरे और 1 बटा 2 ईंटें। इस क्षेत्रफल का एक फ़र्श लो, 3 बटा 2 इकाई चौड़ा, 5 इकाई लंबा। चौड़ाई में ईंट की भुजा कितनी बार? हिसाब, 3 बटा 2 भाग 1 बटा 5, यानी 15 बटा 2, जो 7 पूरे और 1 बटा 2 है।
लंबाई में, 5 भाग 1 बटा 5, यानी 25। गुणा करो, 15 बटा 2 गुणा 25, फिर से 375 बटा 2। आधी ईंट, क्या हिसाब में गलती है? नहीं, 3 बटा 2 और 5 इकाई का फ़र्श लो, और ईंटें कोने से एक एक करके बिछाओ। देखो, 175 ईंटें पूरी बैठती हैं, और किनारे पर 25 ईंटें आधी काटनी पड़ती हैं। कुल मिलाकर 375 बटा 2 ईंटों जितना, फ़र्श ठीक ठीक ढक गया।
हिसाब बिल्कुल सही है, ईंट काटी जा सकती है या नहीं, वह अलग सवाल है। अब 4 फव्वारे, एक ही टंकी भरते हैं। अकेले, पहला 1 दिन लेता है, दूसरा 1 बटा 2 दिन, तीसरा 1 बटा 4 दिन, चौथा 1 बटा 5 दिन। सब एक संग चलें, तो टंकी कितनी देर में भरेगी? पहला ख्याल, समय जोड़ो। जोड़ो तो आता है 39 बटा 20 दिन। यह तो सबसे धीमे फव्वारे के अकेले 1 दिन से भी ज़्यादा है, मिलकर चलने पर देर कैसे बढ़ सकती है?
जो जुड़ता है, वह समय नहीं, एक दिन में भरी गई टंकियों की गिनती है। एक दिन में हर फव्वारा कितनी टंकियाँ भरता है? जवाब, 1 भाग उसका समय। पहला 1 टंकी, दूसरा 2, तीसरा 4, और चौथा 5 टंकियाँ। मिलकर एक दिन में 12 टंकियाँ। तो एक टंकी में 1 बटा 12 दिन, यानी 2 घंटे। टंकियाँ इसलिए जुड़ती हैं, क्योंकि उसी एक दिन में हर फव्वारा अपना काम अलग से कर रहा है।
जाँच, सब फव्वारे 1 बटा 12 दिन चलाओ। पहला टंकी का 1 बटा 12 भरता है, दूसरा 1 बटा 6, तीसरा 1 बटा 3, चौथा 5 बटा 12। जोड़ो, ठीक 1 पूरी टंकी। एक और समझ वाली जाँच, सब मिलकर सबसे तेज़ फव्वारे से भी जल्दी भरेंगे। सबसे तेज़ वाला 1 बटा 5 दिन लेता है, और मिलकर 1 बटा 12 दिन, जो उससे कम है। घंटों में, अकेले, 24, 12, 6 और 24 बटा 5 घंटे।
और मिलकर सिर्फ़ 2 घंटे। अब वह वर्ग, दोनों विकर्ण, बीच की खड़ी और आड़ी लकीरें, और ऊपर दाईं ओर के हिस्से में कुछ और लकीरें। उस हिस्से के अंदर एक पतली सी जगह रंगी है। पूरे वर्ग का कितना हिस्सा रंगा है? पूरे वर्ग को 1 वर्ग इकाई मानो। पहली कड़ी, ऊपर दाईं ओर का छोटा वर्ग, बड़े वर्ग का 1 बटा 4। इस कड़ी में पूरा, यानी जिससे तुलना हो रही है, वह बड़ा वर्ग है।
यह कैसे पता चला? बीच की खड़ी और आड़ी लकीरें बड़े वर्ग को 4 बराबर छोटे वर्गों में बाँटती हैं। दूसरी कड़ी, उस छोटे वर्ग का विकर्ण उसे 2 बराबर त्रिभुजों में बाँटता है। एक त्रिभुज, छोटे वर्ग का 1 बटा 2। ध्यान रखो, अब पूरा बड़ा वर्ग नहीं, छोटा वर्ग है। बड़े वर्ग से तुलना में, 1 बटा 2 गुणा 1 बटा 4, यानी 1 बटा 8। तीसरी कड़ी, रंगा हुआ हिस्सा उस त्रिभुज का 3 बटा 4।
और अब पूरा त्रिभुज है, हर कड़ी में पूरा बदलता जाता है। पर यह 3 बटा 4 ही क्यों? यह बात अक्सर बिना वजह मान ली जाती है, हम इसे तस्वीर से खुद निकालेंगे। त्रिभुज की 3 भुजाओं के बीच के बिंदु लो, और उन्हें जोड़ो। त्रिभुज 4 छोटे त्रिभुजों में बँट जाता है, और चारों का क्षेत्रफल बराबर, हर एक 1 बटा 32। रंगी हुई जगह इनमें से 3 को ढकती है।
इसलिए त्रिभुज का 3 बटा 4, यह हमने खुद तस्वीर से दिखाया। अब कड़ियाँ गुणा करो, 3 बटा 4 गुणा 1 बटा 8, बराबर 3 बटा 32। यह जवाब किससे तुलना में है? पूरे बड़े वर्ग से, क्योंकि आखिरी गुणा वहीं तक ले जाता है। और सीधे कोनों से क्षेत्रफल नापो, तो भी वही 3 बटा 32। कड़ी जितनी भी लंबी हो, तरीका यही रहता है, हर कड़ी की भिन्न लिखो, और सबका गुणा करो।
आम गलती, त्रिभुज का 3 बटा 4 पढ़कर, वर्ग का 3 बटा 4 समझ लेना। वर्ग का 3 बटा 4 तो रंगी जगह का 8 गुना होता। इसलिए हर कड़ी पर खुद से पूछो, इस वक्त पूरा क्या है। कोई कड़ियों को जोड़ दे, 1 बटा 4 जोड़ 1 बटा 2 जोड़ 3 बटा 4। आता है 3 बटा 2, पूरे वर्ग से भी बड़ा। पर तस्वीर साफ़ कहती है, रंगी जगह अपने त्रिभुज के अंदर है, उससे छोटी ही होगी।
किसी का 3 बटा 4, यह गुणा है, जोड़ नहीं। किसी को लगे, शुरुआत 1 बटा 4 से की थी, तो जवाब भी लगभग 1 बटा 4 होगा। पर हर कड़ी 1 से छोटी है, और 1 से छोटी संख्या से गुणा, संख्या को और घटाता है। यहाँ 1 बटा 4 से 1 बटा 8, फिर 3 बटा 32। एक और बात, कड़ी किस सिरे से शुरू करो, फ़र्क नहीं पड़ता।
और 3 कड़ियों को 6 तरह से क्रम में रख सकते हैं। हर क्रम में जवाब 3 बटा 32। अंदर से बाहर की ओर चलो। रंगी जगह, छोटे वर्ग का, 3 बटा 4 गुणा 1 बटा 2, यानी 3 बटा 8। फिर बड़े वर्ग का, 3 बटा 8 गुणा 1 बटा 4, वही 3 बटा 32। एक और नज़र, बीच के बिंदुओं वाले छोटे त्रिभुज, हर एक 1 बटा 32।
पूरे वर्ग में ऐसे कितने? हिसाब, 1 भाग 1 बटा 32, यानी 32। और रंगी जगह उनमें से 3, इसलिए 3 बटा 32। अब एक बहुत पुरानी पहेली, थोड़ी बदलकर। एक कंजूस दाता, दानों से भरे जार में से देने का वादा करता है। देने का हिस्सा, जार के 3 बटा 4 का 2 बटा 3 का 1 बटा 2 का 1 बटा 4 का 1 बटा 16 का 1 बटा 5।
सुनने में बड़ा दान लगता है, असल में कितना? ध्यान रहे, हर कड़ी पिछली कड़ी के हिस्से की बात करती है, पूरे जार की नहीं। यह भी एक ही गुणा है, बस कड़ी लंबी है। ऊपर की संख्याओं का गुणा, 6। और नीचे की सभी संख्याओं का गुणा करो, तो मिलता है 7680। अब 6 बटा 7680, छोटा करो तो 1 बटा 1280। अब जार के दाने कड़ी दर कड़ी गिनो, जार से शुरू करके।
देखो, 1280 का 3 बटा 4 बराबर 960, उसका 2 बटा 3 बराबर 640, और उसका 1 बटा 2 बराबर 320। फिर उसका 1 बटा 4 बराबर 80, फिर उसका 1 बटा 16 बराबर 5, और आखिर में 5 का 1 बटा 5, बस 1 दाना। हर कदम पर पूरे दाने, कहीं कोई दाना तोड़ना नहीं पड़ा। और जार में ठीक 1280 दाने हैं। तो दान, 1280 का 1 बटा 1280, यानी पूरा 1 दाना।
यहाँ 6 कड़ियों के सभी 720 क्रमों में जवाब वही। यही मज़ाक है, इतनी शानदार लगने वाली कड़ी, और हाथ में आया बस एक दाना। और ध्यान रखो, भिन्न को चीज़ में बदलता है इकाई का हिसाब, यहाँ, जार में कितने दाने। इकाइयों की सीढ़ी भी एक कड़ी है। एक घंटा, दिन का 1 बटा 24, और एक दिन, हफ़्ते का 1 बटा 7। तो घंटा, हफ़्ते का 1 बटा 7 गुणा 1 बटा 24, यानी 1 बटा 168।
गिनकर देखो, हफ़्ते में 168 घंटे। हर सीढ़ी बस अपनी ठीक ऊपर वाली इकाई से तुलना करती है, फिर भी हफ़्ते से सीधी तुलना, गुणा से निकल आती है। एक सीढ़ी और, मिनट, घंटे का 1 बटा 60। तो दिन का 1 बटा 24 गुणा 1 बटा 60, यानी 1 बटा 1440। और हफ़्ते का 1 बटा 10080। सीढ़ी ऊपर चढ़ो, तो पूरी संख्याओं का गुणा। हफ़्ते में मिनट, 7 गुणा 24 गुणा 60, यानी 10080।
और यह ठीक 1 बटा 10080 का reciprocal है, नीचे उतरो तो भिन्न, ऊपर चढ़ो तो उसका reciprocal। आखिरी, एक रास्ता 2 में बँटता है, और उसका एक हिस्सा आगे 3 बराबर रास्तों में। और 36 लोगों का समूह, हर मोड़ पर बराबर बँटता है। किसी दूर वाले सिरे तक, 1 बटा 2 गुणा 1 बटा 3, यानी 1 बटा 6, पूरे 6 लोग। और सारे सिरे जोड़ो, 1 बटा 2 जोड़ 1 बटा 6 जोड़ 1 बटा 6 जोड़ 1 बटा 6, कुल 1।
रास्ते पर आगे बढ़ते हुए गुणा, और अलग अलग सिरों के बीच जोड़। खुद करो, 2 बटा 3 का 3 बटा 4 का 1 बटा 2 कितना? और एक रास्ता पहले 2 में, फिर 3 में, फिर 2 में बराबर बँटे, तो एक सिरे का हिस्सा? जवाब, 1 बटा 4 और 1 बटा 12। इनमें से किसी सवाल में नया सूत्र नहीं चाहिए था। हर बार बस यह पहचानना था कि कौन किसका कितना हिस्सा है, और कड़ी बनानी थी।
उसके बाद का हिसाब, वही पुराना गुणा और भाग। याद रखो, भिन्न की भिन्न, यानी गुणा। हर कड़ी पर पूछो, इस वक्त पूरा क्या है। अब 1 से छोटी हर कड़ी जवाब को और छोटा करती है। कड़ी किसी भी सिरे से गुणा करो, जवाब एक। और मिलकर काम करने वालों में समय नहीं, हर दिन का काम जुड़ता है।
यह कहाँ बैठता है
यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.
किस पर टिका है
- A fraction of a fraction, and why the numerators and denominators multiplyकक्षा 7 · Ch 8, Working with Fractions
- Cancelling common factors before multiplying, not afterकक्षा 7 · Ch 8, Working with Fractions
- Reciprocals, and Brahmagupta's rule for dividing fractionsकक्षा 7 · Ch 8, Working with Fractions
इसके ठीक पहले और ठीक बाद
- Why dividing can make a number biggerकक्षा 7 · Ch 8, Working with Fractions
- Same shape and same size: superimposition as the testकक्षा 7 · Ch 1, Geometric Twins