PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 7 Mathematics · Chapter 4, Another Peek Beyond the PointPrepShorts

Chapter 4 · Another Peek Beyond the Point

जब भाज्य में दशमलव हो तब भाग

Dividing decimals12 मिनट

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3.9 मीटर रिबन के 10 बराबर टुकड़े: हर टुकड़ा 0.39 मीटर। 10 से भाग पर हर अंक एक दर्जा नीचे उतरता है, इसलिए बिंदु एक जगह बाईं ओर।

मुख्य idea

भाज्य में बिंदु होने से प्रक्रिया में कुछ नहीं बदलता — बदलता सिर्फ़ यह है कि प्रक्रिया शुरू कहाँ से होती है। 9.5 को नौ इकाई और पाँच दशांश की तरह पढ़िए, तो पहला पुनःसमूहन पहले से इकाई के नीचे हो रहा है, और quotient को बिंदु किसी अनजानी चीज़ के होने से पहले ही मिल जाता है। इस तरह देखें तो दस से भाग वाला shortcut याद रखने लायक़ कोई अलग तरकीब नहीं रह जाता: दस में बाँटने पर हर place-value इकाई एक दर्जा नीचे उतरती है, और अंकों का पूरा column एक साथ एक दर्जा नीचे उतरे, तो बाहर से वह ठीक "बिंदु को एक स्थान बाईं ओर खिसकाओ" जैसा दिखता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • किसी decimal को 10, 100 या 1000 से भाग दीजिए और बताइए कि बिंदु कहाँ पहुँचता है
  • बिंदु खिसकाने के नियम को सिर्फ़ कह देने के बजाय इस बात से समझाइए कि भाग हर स्थानीय मान के साथ क्या करता है
  • दस की घातों से भाग वाली table को उलटी दिशा में चलाइए: नतीजा दिया हो, तो शुरुआती decimal वापस निकालिए
  • decimal भाज्य को पूर्ण संख्या से long division द्वारा भाग दीजिए, बिंदु सही जगह लगाते हुए
  • 1 से छोटे भाज्य को संभालिए, जहाँ quotient शून्यों से शुरू होता है
  • बताइए कि quotient के दशांश वाले स्थान का शून्य क्या दर्ज कर रहा है
  • पहले से बताइए कि अगर भाज्य को दस से भाग दिया जाए पर भाजक वैसा ही रहे, तो quotient कैसे बदलेगा

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
dividendवह संख्या जिसे भाग दिया जा रहा है — इस topic में वही जिसमें बिंदु हैभाज्य§4.3 में छपा, Part II, p.86
divisorवह संख्या जिससे भाग देते हैंभाजक§4.3 में छपा, Part II, pp.74–75
quotientभाग का जवाबभागफल§4.3 में छपा, Part II, pp.74–83
decimal dividendchapter के इस हिस्से के शीर्षक वाला वाक्यांशदशमलव भाज्य§4.3 में छपा, Part II, p.82
reciprocalवह fraction जो भाजक को उलटा करने पर मिलता हैव्युत्क्रम§4.3 में छपा, Part II, p.74
decimal pointवह निशान जिसकी जगह भाग वाला नियम खिसकाता हैदशमलव बिंदु§4.1 में छपा, Part II, p.68
regroupकिसी स्थान की एक इकाई को नीचे वाले स्थान की दस इकाइयों से बदलनापुनःसमूहन करना§4.3 में छपा, Part II, pp.82–83
place valueवह मान जो किसी अंक को उसके column की वजह से मिलता हैस्थानीय मान§4.3 में छपा, Part II, pp.76–78
Onesबिंदु के ठीक बाईं ओर का स्थानइकाई§4.3 में छपा, Part II, pp.82–83
Tenthsबिंदु के दाईं ओर पहला स्थानदशांश§4.3 में छपा, Part II, pp.82–83
Hundredthsबिंदु के दाईं ओर दूसरा स्थानशतांश§4.3 में छपा, Part II, pp.82–83
Thousandthsबिंदु के दाईं ओर तीसरा स्थानसहस्रांश§4.3 में छपा, Part II, pp.82–83
long divisionplace-value वाली प्रक्रिया का किताब का अपना नामदीर्घ भाग§4.3 में मोटे अक्षरों में छपा, Part II, p.78
equivalent fractionवह दूसरा रास्ता जिसे chapter बार-बार जाँच के तौर पर देता हैतुल्य भिन्न§4.3 में छपा, Part II, pp.76, 80
leading zeroपहले सार्थक अंक के आगे किसी ख़ाली स्थान को खुला रखने वाला शून्य — इस पाठ का शब्दअग्रस्थ शून्यइस पाठ का शब्द, इस chapter में नहीं छपा

हिंदी column मानक NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली है, Part II के किसी हिंदी संस्करण से नहीं लिया गया — Notes देखिए।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "जब भाज्य में बिंदु हो, तो जवाब में बिंदु उसके ठीक ऊपर लगा दो।" यह नुस्ख़ा पूर्ण संख्या वाले भाजक के लिए संयोग से काम कर जाता है और कोई कारण नहीं देता। इसके बजाय पूछिए कि किस step ने इकाइयों को दशांशों में पुनःसमूहित किया — जवाब वही आता है और यह अगले topic में भी टिकता है, जहाँ भाजक में बिंदु है और नुस्ख़ा टूट जाता है।
  • "10 से भाग देने पर अंक खिसकते हैं, और 0.1 से भाग देने पर भी अंक खिसकते हैं, तो दिशा से कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता।" chapter का नियम 10, 100 और 1000 से भाग के लिए साफ़-साफ़ बाईं ओर का है। किस तरफ़ जाता है, यही नियम की पूरी बात है, और Q4, Part II p.87 पर, student से ऐसा भाजक भरने को कहता है जो बड़ा जवाब दे।
  • "quotient में शून्य का मतलब है कुछ नहीं हुआ, तो उसे छोड़ा जा सकता है।" 0.06 भाग 5 में दशांश वाले स्थान पर एक शून्य है, जो दर्ज करता है कि कोई दशांश बाँटा नहीं जा सका। उसे हटा दीजिए और जवाब दस गुना बड़ा हो जाता है।
  • "भाज्य में बिंदु आ जाए तो नया तरीक़ा चाहिए।" decimal भाज्य की घोषणा करने वाले उप-शीर्षक के बाद दो उदाहरण आते हैं, जो ठीक पिछले चार पन्नों वाले ढाँचे में हल किए गए हैं। नयापन भाज्य में है, तरीक़े में नहीं।
  • "3.9 भाग 100 में दो दशमलव स्थान हैं, क्योंकि 100 में दो शून्य हैं।" इसमें तीन हैं। शून्य गिनने से यह पता चलता है कि बिंदु कितनी दूर खिसकता है, यह नहीं कि जवाब में आख़िर में कितने स्थान होंगे — भाज्य के अपने स्थान नीचे अब भी मौजूद हैं।
  • "भाग देने से संख्या हमेशा छोटी होती है, तो 0.06 भाग 5 लगभग कुछ भी नहीं होना चाहिए।" यहाँ यह छोटा है, क्योंकि 5, 1 से बड़ा है। सामान्य दावे को Dividing when the divisor has a decimal में तोड़ा गया है, और यहाँ उसे मज़बूत नहीं किया जाना चाहिए।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 2 Q3, Figure it Out · 2 Q4, Figure it Out · 3 Q7, Figure it Out · 3 Q10, Figure it Out · 4 Q1

पूरा transcript1,523 शब्द

एक रिबन, 3 दशमलव 9 मीटर लंबा, उसे 10 बराबर टुकड़ों में काटना है। हर टुकड़ा कितना लंबा? नया क्या है, अब बाँटी जाने वाली संख्या में ही बिंदु है। भिन्न में, 3 दशमलव 9, यानी 39 बटा 10। यहाँ 10 से भाग, यानी 1 बटा 10 से गुणा, 39 बटा 10 गुणा 1 बटा 10, बराबर 39 बटा 100। यानी 0 दशमलव 3 9 मीटर, हर में एक शून्य और जुड़ गया।

जगह जगह देखो, 3 Ones को 10 में, हर एक को शून्य, 3 बचे। और 3 Ones, 30 दशांश बने, और साथ में 9, कुल 39 दशांश, हर एक को 3, 9 बचे। अब 90 शतांश, हर एक को 9, जवाब 0 दशमलव 3 9। देखो क्या हुआ, 3 Ones, 3 दशांश बन गए, और 9 दशांश, 9 शतांश, हर अंक एक जगह नीचे उतरा। एक और जाँच, इकाई बदलो, 3 दशमलव 9 मीटर, यानी 390 सेंटीमीटर।

देखो, 390 बटा 10, बराबर 39 सेंटीमीटर, और 39 सेंटीमीटर, यानी 0 दशमलव 3 9 मीटर, वही जवाब, बिना दशमलव के। बाहर से यही दिखता है, बिंदु एक जगह बाईं ओर खिसका। अंक 3 और 9 वही, उनका क्रम वही, सिर्फ़ उनकी जगह का मान एक दर्जा नीचे। पूरी संख्याओं में भी यही, 390 बटा 10, बराबर 39, 3 Hundreds, 3 Tens बने, 9 Tens, 9 Ones। पर दिशा ही असली बात, 3 दशमलव 9 गुणा 10, बराबर 39, बिंदु दाएँ, और 3 दशमलव 9 बटा 10, बराबर 0 दशमलव 3 9, बिंदु बाएँ।

भाग में हर इकाई नीचे उतरती है, गुणा में ऊपर चढ़ती है, इसलिए दिशा उल्टी। अब 100 टुकड़े, 100 से भाग, यानी 10 से 2 बार, 0 दशमलव 3 9, फिर 0 दशमलव 0 3 9। कोई कहेगा, 100 में 2 शून्य, तो जवाब में बिंदु के बाद 2 अंक, पर यहाँ 3 हैं। शून्य गिनते हैं कि बिंदु कितना खिसके, जवाब में कितने अंक, यह नहीं, 3 दशमलव 9 में खुद एक अंक मौजूद है।

और 1000 से, 0 दशमलव 0 0 3 9। इकाई से जाँचो, 0 दशमलव 0 3 9 मीटर, यानी 3 दशमलव 9 सेंटीमीटर, यानी 39 मिलीमीटर, 100 टुकड़ों में हर एक। पूरी संख्या के लिए नियम, पहले उसके दाएँ सिरे पर बिंदु लगाओ। फिर भाजक के शून्य गिनो, और बिंदु को उतनी जगह बाईं ओर खिसकाओ, जगह कम पड़े, तो आगे शून्य। यहाँ 123 बटा 10, एक जगह, 12 दशमलव 3।

और 24 बटा 100, 2 जगह, 0 दशमलव 2 4, और 678 बटा 1000, 3 जगह, 0 दशमलव 6 7 8। अब 12 बटा 1000, 3 जगह, पर अंक सिर्फ़ 2, तो आगे एक शून्य, 0 दशमलव 0 1 2। देखो, संख्या 12345 को 1000 से, तो 12 दशमलव 3 4 5। एक तालिका, 10, 100, 1000 और 10000 से भाग, पहली पंक्ति 18 दशमलव 7 से। मिलते हैं, 1 दशमलव 8 7, 0 दशमलव 1 8 7, 0 दशमलव 0 1 8 7, 0 दशमलव 0 0 1 8 7।

हर कदम पर बिंदु एक जगह और बाईं ओर, अंक 1, 8, 7 वही के वही। यहाँ 21 दशमलव 1 से, 2 दशमलव 1 1, 0 दशमलव 2 1 1, 0 दशमलव 0 2 1 1, 0 दशमलव 0 0 2 1 1। और 0 दशमलव 1 3 से, 0 दशमलव 0 1 3, 0 दशमलव 0 0 1 3, 0 दशमलव 0 0 0 1 3, 0 दशमलव 0 0 0 0 1 3।

आखिरी में बिंदु और 13 के बीच पूरे 4 शून्य, हर एक किसी खाली जगह का निशान। अब 2 पंक्तियों में शुरुआत नहीं दी, एक में 100 वाले खाने में 2 दशमलव 1 4 6, तो शुरुआत क्या है? उल्टा चलो, 100 से गुणा, बिंदु 2 जगह दाएँ, 214 दशमलव 6, फिर बाकी खाने, 21 दशमलव 4 6, 0 दशमलव 2 1 4 6, 0 दशमलव 0 2 1 4 6।

दूसरी पंक्ति, 10000 वाले खाने में 0 दशमलव 0 0 5 8, 4 जगह दाएँ, शुरुआत 58, और बाकी, 5 दशमलव 8, 0 दशमलव 5 8, 0 दशमलव 0 5 8। अब 9 दशमलव 5 किलो चीनी, 4 थैलियों में बराबर। यहाँ Tens है ही नहीं, बाँटना सीधे Ones से शुरू, और तरीका वही पुराना। देखो, 9 Ones, हर थैली में 2, 1 बचा। बचा One, यानी 10 दशांश, और साथ में 5, कुल 15 दशांश, हर थैली में 3, 3 बचे।

यहाँ 30 शतांश, हर एक में 7, 2 बचे, फिर 20 सहस्रांश, हर एक में 5। हर थैली में 2 दशमलव 3 7 5 किलो। ग्राम में जाँचो, 9 दशमलव 5 किलो, यानी 9500 ग्राम, 4 से भाग, 2375 ग्राम, यानी 2 दशमलव 3 7 5 किलो। जाँच, 2 दशमलव 3 7 5 गुणा 4, बराबर 9 दशमलव 5, और अंदाज़ा, 10 बटा 4, यानी 2 दशमलव 5, पास ही।

भागफल का बिंदु, भाज्य के बिंदु के ठीक ऊपर, दोनों में बिंदु से पहले 1 अंक। पर वजह रटना नहीं, बस देखो, किस कदम पर Ones को दशांश में बदला, वहीं बिंदु। और 2 और, 7 दशमलव 2 को 3 से भाग करो, 7 Ones, हर एक को 2, 1 बचा। बचा One, यानी 10 दशांश, और साथ में 2, कुल 12 दशांश, हर एक को 4, जवाब 2 दशमलव 4।

अब 0 दशमलव 9 को 4 से भाग करो, Ones में शून्य, 9 दशांश, हर एक को 2, 1 बचा। फिर 10 शतांश, 2 हर एक को, 2 बचे, फिर 20 सहस्रांश, 5 हर एक को, जवाब 0 दशमलव 2 2 5। रोज़ की मिसाल, 0 दशमलव 7 5 लीटर जूस, 3 कपों में बराबर। Ones में शून्य, फिर 7 दशांश, हर कप को 2, 1 बचा। बचा 1 दशांश, 10 शतांश बनता है, 5 मिलाकर 15 शतांश, हर कप को 5।

यानी हर कप में 0 दशमलव 2 5 लीटर, जाँच, 3 गुणा, 0 दशमलव 7 5। अब बहुत छोटी संख्या, 0 दशमलव 0 6 को 5 से भाग। पहले जगहें देखो, शून्य Ones, शून्य दशांश, और 6 शतांश। Ones में शून्य, हर एक को शून्य, दशांश में भी शून्य, हर एक को शून्य। देखो, 6 शतांश, हर एक को 1, 1 बचा, फिर 10 सहस्रांश, हर एक को 2। जवाब 0 दशमलव 0 1 2, और जाँच, 0 दशमलव 0 1 2 गुणा 5, बराबर 0 दशमलव 0 6।

किलो में सोचो, 0 दशमलव 0 6 किलो, यानी 60 ग्राम, 5 से भाग, 12 ग्राम, यानी 0 दशमलव 0 1 2 किलो। दशांश वाला शून्य बेकार नहीं, वह बताता है कि कोई दशांश बाँटा नहीं जा सका। उसे हटाओ, तो जवाब 0 दशमलव 1 2, जो असली जवाब से 10 गुना बड़ा। और जाँच यह गलती पकड़ लेती, 0 दशमलव 1 2 गुणा 5, बराबर 0 दशमलव 6, 0 दशमलव 0 6 नहीं।

शतांश में सोचो, 6 शतांश को 5 में, हर एक को 1 दशमलव 2 शतांश, यानी 0 दशमलव 0 1 2। एक परिवार, भाजक 4, और भाज्य, 132, 13 दशमलव 2, 1 दशमलव 3 2, 0 दशमलव 1 3 2। जवाब, 33, फिर 3 दशमलव 3, फिर 0 दशमलव 3 3, और 0 दशमलव 0 3 3। हर जवाब ऊपर वाले का दसवाँ हिस्सा, क्योंकि 13 दशमलव 2, 132 बटा 10 है, तो जवाब भी 33 बटा 10, यानी 3 दशमलव 3।

भाजक 8, भाज्य, 126, 12 दशमलव 6, 1 दशमलव 2 6, 0 दशमलव 1 2 6, 0 दशमलव 0 1 2 6। जवाब, 15 दशमलव 7 5, 1 दशमलव 5 7 5, 0 दशमलव 1 5 7 5, 0 दशमलव 0 1 5 7 5, 0 दशमलव 0 0 1 5 7 5। यहाँ 126 बटा 8 में ही बिंदु के बाद 2 अंक, क्योंकि 8 आसानी से नहीं बँटता, और हर 10 से भाग एक अंक और जोड़ता है।

यहाँ जवाब लंबे होते गए, बिंदु के बाद 2, 3, 4, 5, 6 अंक, हर बार एक और। लंबे जवाब से पहले एक अंदाज़ा लगाओ, वह बताता है कि बिंदु कहाँ होना चाहिए। और 126 के पास 128, और 128 बटा 8, बराबर 16, तो जवाब 16 के करीब, और 15 दशमलव 7 5 सच में करीब है। अब 12 दशमलव 6 के पास 12 दशमलव 8, बटा 8, बराबर 1 दशमलव 6, और 1 दशमलव 5 7 5 उसके करीब।

अगर 12 दशमलव 6 बटा 8 का जवाब किसी ने 15 दशमलव 7 5 लिखा होता, तो अंदाज़ा 1 दशमलव 6 तुरंत बता देता कि बिंदु गलत जगह है, जवाब 10 गुना बड़ा। भाज्य में बिंदु आया, तो नया तरीका चाहिए? नहीं, वही ढाँचा, वही बाँटना और बदलना, फ़र्क सिर्फ़ इतना कि शुरुआत कहाँ से, जहाँ भाज्य का पहला अंक है। देखो, 1 से 2000 तक, 0 से 3 दशमलव अंकों के संग, सभी 32000 मामलों में, बिंदु खिसकाना और 10 की घात से भाग, बिल्कुल एक।

दशमलव वाले भाज्यों पर भी, 2, 4, 5 और 8 से, सभी 8000 भाग, जगह जगह बाँटने से, सही भिन्न के बराबर। भाज्य में बिंदु हो, तो तरीका वही, बस शुरुआत उसके पहले अंक की जगह से। जवाब में बिंदु वहीं, जहाँ Ones से दशांश में उतरे। यहाँ 10 से भाग, हर अंक एक दर्जा नीचे, बाहर से बिंदु एक जगह बाईं ओर। भाजक के शून्य बताते हैं बिंदु कितना खिसके, जवाब के अंक नहीं।

शक हो, तो छोटी इकाई में बदलकर पूरी संख्याओं से जाँचो। भागफल का हर शून्य कुछ दर्ज करता है, उसे मत हटाओ।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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