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Chapter 5 · Parallel and Intersecting Lines

कटान पर बने चार angles: vertically opposite angles और linear pairs

Two lines that meet11 मिनट

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2 सीधी lines एक दूसरे को काटती हैं, और 4 angle बनते हैं। पर नाप सिर्फ़ 2 निकलते हैं। क्यों, और क्या यह बिना नापे पता चल सकता है?

मुख्य idea

दो कटती हुई lines चार angles बनाती हैं, लेकिन उनके नाप हमेशा सिर्फ़ दो तरह के हो सकते हैं — और यह बात आप बिना protractor के भी जान सकते हैं। इस section की असली चाल नापने की जगह तर्क करना है: हर पड़ोसी जोड़ी एक straight line के साथ पड़ी है, इसलिए एक angle बाक़ी तीनों को तय कर देता है, और तर्क की वही तीन पंक्तियाँ काम करती हैं, पहला angle चाहे जो हो। "मैंने चार drawings जाँचीं" से "इसका नतीजा कुछ और हो ही नहीं सकता" तक का यही क़दम है जिसे chapter proof कहता है, और उसके बाद वाला पन्ना समझाता है कि protractor फिर भी उससे असहमत क्यों होता रहेगा।

आपको क्या आना चाहिए

  • बताना कि दो intersecting lines कितने angles बनाती हैं, और उन angles के कितने अलग-अलग नाप हो सकते हैं
  • कटान पर बने चार angles में से एक दिया हो, तो बाक़ी तीन नापकर नहीं, तर्क से निकालना
  • letters वाले कटान में हर linear pair और vertically opposite angles की हर जोड़ी पहचानना
  • straight angle से समझाना कि linear pair का जोड़ 180° क्यों होता है
  • यह तर्क फिर से बनाना कि vertically opposite angles बराबर होते हैं, कोई चुनी हुई value नहीं, बल्कि letters इस्तेमाल करके
  • बताना कि वह तर्क proof क्यों है और protractor की readings का एक set proof क्यों नहीं
  • दो कारण बताना कि पन्ने पर नापे गए linear pair का जोड़ 180° क्यों नहीं आ सकता

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
intersectएक point पर मिलना, एक ही सपाट सतह पर पड़ी दो lines के लिए कहा जाता हैप्रतिच्छेद करना§5.1, p.106 में bold में छपा
plane surfaceसपाट सतह, जैसे मेज़ का ऊपरी हिस्सा या काग़ज़ की शीटसमतल पृष्ठ§5.1, p.106 में bold में छपा
angleएक साझा point से निकली दो rays के बीच का खुलाव, degrees में नापा जाता हैकोणपूरे §5.1, pp.106–108 में छपा
straight angleवह 180° का angle जो straight line अपने किसी point पर बनाती हैऋजु कोण§5.1, p.107 में छपा
adjacent anglesकटान पर बने वे दो angles जो एक arm साझा करते हैं और एक-दूसरे के बगल में हैंआसन्न कोण§5.1, p.107 में छपा
linear pairकटान पर adjacent angles की एक जोड़ी; दोनों मिलकर straight angle बनाते हैंरैखिक युग्म§5.1, p.107 में bold में छपा
vertically opposite anglesकटान के वे दो angles जो vertex के आर-पार एक-दूसरे के सामने हैंशीर्षाभिमुख कोण§5.1, p.108 में bold में छपा
proofऐसा औचित्य जो किसी दावे को नापकर नहीं, तर्क से तय करता हैउपपत्ति§5.1, p.108 में bold में छपा
protractorangle को degrees में नापने का instrumentचाँदा§5.1, p.107 में छपा और फिर "Measurements and Geometry", p.108 में
measurement errorsऐसी readings जो instrument ठीक से इस्तेमाल न करने के कारण ग़लत आती हैंमाप त्रुटि"Measurements and Geometry", p.108 में छपा
vertexवह साझा point जहाँ दोनों lines कटती हैंशीर्षकटान वाले point के लिए यहाँ इस्तेमाल किया गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा

हिंदी column में NCERT की standard हिंदी गणितीय शब्दावली है। Ganita Prakash Part I का हिंदी संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल की गई सामग्री में नहीं है, इसलिए इन शब्दों को हिंदी छपाई से नहीं मिलाया गया — Notes देखें।

व्याख्या के लिए दो सावधानियाँ। पहली, chapter vertically opposite angles को कभी छोटा नहीं करता; पूरा phrase ही रखें, क्योंकि छोटा रूप ग़लत तस्वीर बनवाता है (Misconceptions देखें)। दूसरी, chapter यहीं, p.108 पर, तीन वाक्यों के एक तर्क के लिए proof शब्द देता है — proof को किसी बाद की कक्षा के लिए रखी गई चीज़ की तरह पेश न करें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "Vertically opposite का मतलब है कि एक दूसरे के ऊपर है।" Fig. 5.3 इसे उसी पन्ने पर तोड़ देती है जहाँ यह शब्द आता है: उसकी vertically opposite जोड़ी ∠a और ∠c vertex के बाएँ और दाएँ बैठी है, एक ही ऊँचाई पर। p.108 से जाँचा गया। यह शब्द vertex की ओर इशारा करता है, ऊपर-नीचे वाली दिशा की ओर नहीं — जब यह शब्द पहली बार आए तो यह बात ज़ोर से कहें।
  • "चार angles हैं, तो चार अलग नाप होंगे।" सिर्फ़ दो नाप आ सकते हैं, और उनमें से एक तय होते ही वे मजबूरन तय हो जाते हैं। Section 5 में दिखना चाहिए कि चौथी value बिना कोई नई जानकारी लगाए आ जाती है।
  • "pattern सही है क्योंकि मैंने चार जोड़ियाँ नापीं और वह चल गया।" Activity 1 सबूत देती है, कारण नहीं। chapter जान-बूझकर letters वाला तर्क नापने के बाद रखता है, और फिर उस फ़र्क़ को नाम देता है। जो व्याख्या नापने पर ही रुक जाए, उसने section का उलटा सिखा दिया।
  • "मेरे protractor ने 179° बताया, तो नियम बस लगभग सही है।" chapter इसे उलट देता है: तर्क एकदम सटीक है और drawing अनुमानित। आदर्श, बिना मोटाई वाली line इस बात का फ़ैसला है कि किस चीज़ के बारे में तर्क हो रहा है, कोई बहाना नहीं।
  • "इन चार में से दो बराबर हों, तो lines perpendicular होनी चाहिए।" हर कटान में पहले से दो बराबर जोड़ियाँ होती हैं। बराबर पड़ोसी होना अतिरिक्त शर्त है, और वही अगला topic है।
  • "linear pairs का जोड़ 180° इसलिए है कि किताब ऐसा कहती है।" उनका जोड़ 180° इसलिए है कि उनकी दोनों बाहरी arms मिलकर एक straight line बनाती हैं, और straight line एक straight angle बनाती है। दोनों arms को घूमकर एक line बनते हुए दिखाएँ।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 1 Q1

पूरा transcript1,559 शब्द

एक चौकोर कागज़ लो, और उसे कई तरह से मोड़ो, बीच से आधा, फिर दूसरी तरफ़ से आधा, फिर कोने से कोने तक। खोलो, तो उस पर मोड़ के निशान दिखते हैं, कुछ सीधे, कुछ तिरछे, और कुछ एक दूसरे के बराबर दूरी पर चलते हुए। जहाँ भी 2 निशान मिलते हैं, वहाँ एक crossing बनती है, और ऐसी बहुत सी crossings हैं। और कुछ मोड़ ऐसे भी हैं जो कागज़ पर कहीं नहीं मिलते, बराबर दूरी पर चलते रहते हैं, उनकी बात अगली बार।

सवाल यह है कि 2 सीधी lines जहाँ एक दूसरे को काटती हैं, वहाँ क्या होता है, और क्या हम उसे बिना नापे जान सकते हैं? जब 2 lines एक बिंदु पर मिलकर आगे निकल जाती हैं, तो कहते हैं कि वे एक दूसरे को काटती हैं। यह सब एक सपाट सतह पर हो रहा है, जैसे वह खुला हुआ कागज़। कोई भी 2 सीधी lines ज़्यादा से ज़्यादा एक ही बिंदु पर मिल सकती हैं, उस बिंदु को vertex कहते हैं, यानी मिलने का बिंदु।

और एक बात अभी से याद रखो, जिन lines की हम बात कर रहे हैं उनकी कोई मोटाई नहीं, यह बात अंत में बहुत काम आएगी। एक line l, आड़ी, और उसे काटती हुई line m, नीचे बाएँ से ऊपर दाएँ की ओर। vertex के चारों ओर 4 angle बनते हैं, ऊपर बाएँ से घड़ी की दिशा में उनके नाम a, b, c और d। ये चारों मिलकर vertex के एक पूरे चक्कर को ढकते हैं, यानी कुल 360 degree।

तो 4 angle हैं, क्या उनके 4 अलग अलग नाप होंगे? पहले नापकर देखो, 4 अलग crossings बनाओ, और हर एक के चारों angle protractor से नापो। पहली में मिलता है 35, 145, 35, 145, और दूसरी में 62, 118, 62, 118। तीसरी में 118, 62, 118, 62, और चौथी में 145, 35, 145, 35। कुल 16 नाप, और हर crossing में बस 2 अलग नाप, हर एक 2 बार।

नापते वक्त protractor का बीच वाला निशान ठीक vertex पर, और उसकी सीधी किनार एक line पर, फिर देखो कि दूसरी line कहाँ पड़ती है। यह एक pattern है, और एक सबूत भी, पर यह वजह नहीं बताता, 4 crossings नापना हर crossing के बारे में कुछ नहीं कहता। अब नापना छोड़ो, मान लो a है 120 degree। a और b मिलकर line l के एक तरफ़ का पूरा सीधा हिस्सा बनाते हैं, यानी सीधा angle, 180 degree।

इसलिए b है 180 minus 120, यानी 60। अब b और c मिलकर line m के एक तरफ़ सीधा angle बनाते हैं, तो c है 180 minus 60, यानी 120। और c और d, line l के दूसरी तरफ़, तो d है 180 minus 120, यानी 60। एक angle पता था, और बाकी 3 अपने आप तय हो गए, बिना नापे, और फिर से बस 2 नाप, 120 और 60।

अब 120 को भी हटाओ, और a को बस a ही रहने देते हैं, कोई भी angle। a और b सीधी line पर हैं, तो b बराबर 180 minus a। a और d दूसरी line पर हैं, तो d भी 180 minus a। यानी b और d, दोनों 180 minus a, इसलिए बराबर। और b और c सीधी line पर, तो c बराबर 180 minus b, यानी 180 minus, bracket 180 minus a, जो बस a है।

तो a बराबर c, और b बराबर d, और यह किसी एक नाप की बात नहीं, a कुछ भी हो। रुककर देखो कि अभी क्या हुआ, कोई protractor नहीं, कोई नाप नहीं। बस एक ही बात इस्तेमाल हुई, कि पड़ोसी angle एक सीधी line पर पड़े हैं, और सीधी line 180 degree की होती है। और ये 3 पंक्तियाँ हर crossing के लिए काम करती हैं, पहला angle चाहे जो हो।

सिर्फ़ 4 चित्र नापने से यह नहीं मिलता था, यह तर्क से मिला, इसलिए यह किसी भी चित्र पर गलत नहीं हो सकता। ऐसे 2 पड़ोसी angle, जिनकी बाहर वाली भुजाएँ मिलकर एक सीधी line बनाती हैं, उन्हें linear pair कहते हैं। वे 180 इसलिए बनाते हैं कि उनकी बाहरी भुजाएँ मिलकर एक सीधी line हैं, और सीधी line सीधा angle बनाती है। a और b को देखो, a की बाईं भुजा और b की दाईं भुजा, दोनों मिलकर line l ही हैं, बीच में बस line m खड़ी है।

एक crossing में 4 linear pair हैं, a और b, b और c, c और d, और d और a। हर पूरे degree की crossing को, कागज़ के हर पूरे degree घुमाव पर बनाकर पढ़ा गया, कुल 64,440 crossings, और उनके सारे 257760 linear pairs का जोड़ 180 निकला। जो 2 angle vertex के आर पार एक दूसरे के आमने सामने हैं, उन्हें vertically opposite angles कहते हैं। यहाँ ऐसी 2 जोड़ियाँ हैं, a और c, और b और d, और तर्क ने दिखाया कि हर जोड़ी बराबर है।

कुल मिलाकर 4 angle से 6 जोड़ियाँ बनती हैं, 4 linear pair, और 2 आमने सामने वाली, कोई जोड़ी बाकी नहीं। और उन 64,440 crossings में आमने सामने वाली सारी 128880 जोड़ियाँ बराबर निकलीं। तो 4 angle, पर नाप सिर्फ़ 2, एक a वाला, और एक 180 minus a वाला। अब 1 से 179 तक की सारी crossings में, सिर्फ़ 1 में एक ही नाप है, जब a खुद 90 हो।

ठीक 90 पर a और 180 minus a एक ही हो जाते हैं, इसलिए वहाँ चारों angle बराबर, और lines एक दूसरे पर लंब। और एक भी crossing में 3 या 4 अलग नाप नहीं। और हर पहला angle अपनी अलग चौकड़ी देता है, 179 crossings, 179 अलग चौकड़ियाँ। एक आम गलतफ़हमी, अगर 2 angle बराबर हैं, तो lines एक दूसरे पर लंब होंगी। पर हर crossing में पहले से 2 बराबर जोड़ियाँ हैं, इसलिए 2 बराबर angle कोई खास बात नहीं।

खास बात है बराबर पड़ोसी, और वह 179 में से सिर्फ़ एक crossing में होता है, जब a है 90। जो तर्क हमने letter a लेकर किया, उसे प्रमाण कहते हैं। मैंने 4 चित्र नापे, और यह कभी गलत नहीं निकल सकता, इन 2 बातों के बीच का कदम ही प्रमाण है। वे 64,440 बनाई हुई crossings पुष्टि हैं, प्रमाण नहीं, प्रमाण तो वे 3 पंक्तियाँ हैं। नापने से हमें पता चलता है कि क्या सच लगता है, प्रमाण से पता चलता है कि क्यों सच है, और कि कहीं भी गलत नहीं होगा।

पर अगर प्रमाण पक्का है, तो protractor कभी कभी सीधी line पर 179 क्यों दिखाता है? अब एक पतली X जैसी crossing, और नाम अलग तरह से, a बाईं ओर, b ऊपर, c दाईं ओर, d नीचे। यहाँ vertically opposite जोड़ियाँ कौन सी हैं? a और c, जो पन्ने पर एक ही ऊँचाई पर, अगल बगल दिखते हैं, फिर भी vertex के आर पार आमने सामने हैं। और दूसरी जोड़ी b और d, जो ऊपर नीचे हैं।

vertically का मतलब ऊपर नीचे नहीं, इसका मतलब है vertex के आर पार, मिलने वाले बिंदु के उस पार। इसलिए जोड़ी पहचानने के लिए पन्ने की ऊपर नीचे वाली दिशा मत देखो, देखो कि दोनों angle vertex के आर पार हैं या नहीं। linear pairs यहाँ भी 4 हैं, a और b, b और c, c और d, d और a। protractor के गलत दिखने की 2 वजहें हैं। पहली, protractor ठीक से नहीं रखा गया, बीच का निशान vertex से ज़रा हटा, या नीचे वाली line से ज़रा तिरछा।

दूसरी, खींची हुई line की मोटाई होती है, पर जिस line के बारे में तर्क किया उसकी कोई मोटाई नहीं। एक pen की line लगभग 0 दशमलव 7 मिलीमीटर मोटी, और protractor की भुजा 50 मिलीमीटर, तो नज़र टिकाने में लगभग 0 दशमलव 8 degree का फ़र्क। और हर angle की 2 भुजाएँ, तो नाप 1 दशमलव 6 degree तक हट सकता है, इसलिए 179 बिल्कुल उस दायरे में है।

तो 179 देखकर यह मत सोचो कि नियम बस लगभग सच है, नियम पूरी तरह सच है, चित्र लगभग है। line को 0 दशमलव 1 मिलीमीटर पतली करो और भुजा 100 मिलीमीटर, तो फ़र्क घटकर बस 0 दशमलव 0 6 degree। पेंसिल की नोक, स्याही, कागज़ के रेशे, हर खींची हुई line थोड़ी मोटी होगी ही, कितनी भी सावधानी रखो। बिना मोटाई वाली line कोई बहाना नहीं, यह एक फ़ैसला है कि हम किस चीज़ के बारे में तर्क कर रहे हैं।

और तर्क का अनुमान और हाथ का नाप इतने पास रहते हैं कि इसी geometry से इमारतें, मशीनें, चित्र और विज्ञान के हिसाब बनते हैं। अब वापस उस मुड़े हुए कागज़ पर, कोई एक crossing चुनो, एक angle नापो, और बाकी 3 का अनुमान पहले लगाओ। जैसे कोने से कोने वाला मोड़ और बीच वाला आड़ा मोड़, इनके बीच का angle 45 degree। तो उसका पड़ोसी 180 minus 45, यानी 135, फिर सामने वाला फिर से 45, और आखिरी 135।

और दोनों बीच वाले मोड़, वे 90 पर मिलते हैं, तो चारों angle 90, एक ही नाप। अब नापकर मिलाओ, नाप अनुमान के बहुत पास आएगा, और जो ज़रा सा फ़र्क है, उसकी वजह तुम्हें अब पता है। याद रखो, 2 lines की crossing में 4 angle, पर नाप सिर्फ़ 2। एक angle पता हो, तो बाकी 3 तय, क्योंकि हर पड़ोसी जोड़ी सीधी line पर है। linear pair का जोड़ 180, और vertically opposite angle बराबर, जहाँ vertically का मतलब vertex के आर पार।

नापना सबूत देता है, पर प्रमाण बताता है कि इसके अलावा कुछ हो ही नहीं सकता। और protractor का ज़रा सा फ़र्क, line की मोटाई और हाथ का है, नियम का नहीं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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