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Chapter 5 · Parallel and Intersecting Lines

Transversal चार-चार angles के दो मिलते-जुलते sets बनाती है

The transversal and its corresponding angles10 मिनट

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एक तीसरी line 2 lines को काटे, तो 8 angle बनते हैं। क्या वे आठों अलग हो सकते हैं?

मुख्य idea

आठ angles याद करने लायक़ आठ अलग तथ्यों जैसे दिखते हैं, पर ऐसा है नहीं। तीसरी line कोई नई हालत नहीं बनाती — वह वही हालत दोहराती है जो आप पहले से समझते हैं, दो बार, इसलिए आठ में से चार angles बाक़ी चार से पहले ही तय हो जाते हैं। इसलिए दिलचस्प सवाल यह नहीं कि "आठों क्या हैं?" बल्कि यह कि "ज़्यादा से ज़्यादा कितने कम अलग-अलग नाप हो सकते हैं?", और section इसका जवाब नापकर नहीं, गिनकर देता है: ज़्यादा से ज़्यादा चार। chapter का बाक़ी सारा काम उस चार को दबाकर दो तक लाना है।

आपको क्या आना चाहिए

  • transversal की परिभाषा देना, और figure में उसे पहचानना
  • बताना कि जब transversal दो lines को काटती है तो कितने angles बनते हैं
  • उस figure में vertically opposite angles की जोड़ियाँ गिनना, और बताना कि वे ठीक चार क्यों हैं
  • तर्क देना कि आठों में ज़्यादा से ज़्यादा चार अलग angle नाप आ सकते हैं
  • समझाना कि किसी नाम दिए गए subset में ठीक पाँच अलग नाप क्यों असंभव हैं
  • आठों angles को उन दो sets में बाँटना जो transversal बनाती है, हर कटान पर एक
  • एक set के किसी angle को दूसरे set में उसी जगह बैठे angle से मिलाना, और उस संबंध का नाम बताना
  • बताना कि section के आख़िर में अभी क्या साबित नहीं हुआ है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
transversalऐसी line जो दो दूसरी lines को काटती हुई निकलती हैतिर्यक रेखा§5.5, p.115 में bold में छपा
vertically opposite anglesकटान के वे दो angles जो कटान वाले point के आर-पार एक-दूसरे के सामने हैंशीर्षाभिमुख कोण§5.1, p.108 में छपा
linear pairकटान पर adjacent angles की एक जोड़ी, जो मिलकर straight angle बनाती हैरैखिक युग्म§5.1, p.107 में छपा
corresponding anglesदो angles, हर कटान से एक, जो मिलती-जुलती जगहों पर बैठे हैंसंगत कोण§5.6, p.115 में bold में छपा
sets of anglesचार-चार के दो समूह, दोनों कटानों में से हर एक पर बना एककोणों के समुच्चय§5.6, p.115 में छपा
distinct angle measuresआठों में सच में अलग-अलग नापों की संख्याभिन्न कोण मान§5.5 के आख़िर में, p.115 पर छपा
interior anglestransversal की एक तरफ़, दोनों lines के बीच वाली जोड़ीअंतःकोण§5.8, p.122 में छपा — इसी chapter में आगे नाम दिया गया
alternate anglesदोनों lines के बीच, transversal के आर-पार एक-दूसरे के सामने वाली जोड़ीएकांतर कोण§5.8, p.120 में छपा — इसी chapter में आगे नाम दिया गया

हिंदी column में NCERT की standard हिंदी गणितीय शब्दावली है। Ganita Prakash Part I का हिंदी संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल की गई सामग्री में नहीं है, इसलिए इन शब्दों को हिंदी छपाई से नहीं मिलाया गया — Notes देखें।

ध्यान दें कि chapter transversal को ऐसी दो lines के लिए लाता है जिन्हें parallel नहीं माना गया है। §5.5 में कुछ भी parallel होने की माँग नहीं करता, और व्याख्या को इसे पहले से चुपके से नहीं घुसाना चाहिए: §5.6 की पूरी बात यही है कि parallel होना वह अतिरिक्त चीज़ है जिसे स्थापित करना पड़ता है।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "transversal को दोनों lines पर perpendicular होना चाहिए, या तिरछा होना चाहिए।" उसे बस दोनों को काटना है। Fig. 5.14 में तिरछी transversal है; §5.7 (p.118) में transversal दोनों lines से 90° पर है, और फिर भी वह transversal है।
  • "transversal का मतलब सिर्फ़ parallel lines के लिए बनता है।" §5.5 इसे ऐसी दो lines के लिए लाता है जिनके parallel होने की कोई मान्यता नहीं, और Fig. 5.14 उन्हें parallel नहीं बनाती। p.115 से जाँचा गया। अगर व्याख्या यहाँ parallel होना मान ले, तो §5.6 के पास साबित करने को कुछ नहीं बचता।
  • "आठ angles हैं, तो सीखने को आठ चीज़ें।" उनमें से चार नक़लें हैं। section गिनती का तर्क है, नाम रटने का अभ्यास नहीं।
  • "corresponding angles वे हैं जो बराबर होते हैं।" अभी नहीं। §5.5 में और §5.6 की शुरुआत में वे सिर्फ़ मिलती-जुलती जगहों वाले angles हैं। उनका बराबर होना अगला topic है, और वह शर्त पर टिका है।
  • "दोनों कटानों के angles का आपस में कोई संबंध न हो, ऐसा हो सकता है।" अभी तक, हो सकता है — और इस topic के आख़िर में ठीक यही ईमानदार हालत है। Section 11 में यह बात ज़ोर से कही जानी चाहिए, जवाब की ओर इशारा करने के बजाय।
  • "corresponding का मतलब बस इतना कि दोनों angles दोनों lines की एक तरफ़ बैठे हैं।" इसका मतलब है हर कटान के अंदर एक ही जगह: transversal की एक तरफ़ और अपनी line की एक तरफ़, दोनों बातों में मेल। एक ग़लत जोड़ी को सही जोड़ी के बगल में दिखाएँ।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript1,420 शब्द

एक ईमानदार बात से शुरू करते हैं, कभी कभी देखकर तय नहीं हो सकता कि 2 lines समांतर हैं या नहीं। अब उसका औज़ार बनाना शुरू करते हैं, और वह औज़ार है एक तीसरी line, जो दोनों को काटती है। उन 2 lines को सीधे देखने से बात नहीं बनी, पर एक तीसरी line दोनों को काटती है, और दोनों से angle बनाती है जिन्हें आपस में मिलाया जा सके।

पर आज हम कुछ साबित नहीं करेंगे, आज बस गिनेंगे कि इस तीसरी line से क्या क्या बनता है। ये 2 lines, l और m, दोनों नीचे बाएँ से ऊपर दाएँ की ओर, एक ऊपर, एक नीचे। गौर करो, इन्हें समांतर नहीं बनाया गया, और हम इन्हें समांतर मानेंगे भी नहीं। अब एक ज़्यादा खड़ी line t, जो ऊपर से नीचे दोनों को काटती हुई निकलती है। t इतनी खड़ी है कि वह दोनों lines को साफ़ काटती है, किसी के बराबर दिशा में नहीं चलती।

तो अब 2 crossings हैं, एक जहाँ t, l को काटती है, और एक जहाँ t, m को। जो line 2 lines को काटती हुई निकल जाए, उसे transversal कहते हैं। transversal का तिरछा होना ज़रूरी नहीं, और लंब होना भी नहीं, उसे बस दोनों को काटना है। अगर t किसी line पर 90 पर हो, तो वहाँ चारों angle 90, 90, 90, 90, और t फिर भी transversal ही है।

और transversal सिर्फ़ समांतर lines के लिए नहीं, यहाँ l और m समांतर नहीं, फिर भी t उनका transversal है। हर crossing पर 4 angle, तो कुल 8। l वाली crossing पर, ऊपर बाएँ angle 1, ऊपर दाएँ 2, नीचे दाएँ 3, और नीचे बाएँ 4। m वाली crossing पर ठीक उसी तरह, ऊपर बाएँ 5, ऊपर दाएँ 6, नीचे दाएँ 7, और नीचे बाएँ 8। गौर करो, 1 और 2 दोनों l के ऊपर, t के 2 तरफ़, यानी linear pair, इनका जोड़ 180।

यह क्रम याद रखो, क्योंकि आगे की हर बात इन्हीं numbers से कही जाएगी। पहला सवाल, क्या ये आठों angle अलग अलग नाप के हो सकते हैं? कुछ नापो मत, बस वह याद करो जो एक crossing के बारे में पहले से पता है। नापने का मन करेगा, पर आठों नापकर भी बस एक चित्र का जवाब मिलेगा, हर चित्र का नहीं। किसी भी crossing पर vertex के आर पार वाले angle बराबर होते हैं, क्योंकि दोनों अपने बीच वाले angle के साथ मिलकर 180 बनाते हैं।

l वाली crossing पर, 1 और 3 आमने सामने, और 2 और 4। m वाली पर 5 और 7, और 6 और 8। यानी कुल 4 जोड़ियाँ, हर crossing पर 2। l और m को हर पूरे degree की दिशा में, और t को हर 15 degree पर रखकर, कुल 384,492 स्थितियाँ बनाई गईं, और उनकी सारी 1,537,968 जोड़ियाँ बराबर निकलीं। इसलिए आठों अलग होना नामुमकिन, उन सारी स्थितियों में एक में भी नहीं।

बल्कि 5 अलग नाप भी किसी स्थिति में नहीं मिले। हर स्थिति में कम से कम 4 नाप दोहराए जाते हैं, क्योंकि हर आमने सामने वाली जोड़ी एक ही नाप की है। क्योंकि 8 में से 4 angle तो बाकी 4 की नकल हैं, 3, 1 की नकल, 4, 2 की, 7, 5 की, और 8, 6 की। अब एक खास सवाल, क्या angle 6, 5, 4, 3 और 2, ये पाँचों अलग अलग हो सकते हैं?

इस सूची में आमने सामने वाली कोई जोड़ी ढूँढो। मिल गई, 2 और 4, ये बराबर हैं, इसलिए पाँचों कभी अलग नहीं हो सकते। और गिनकर भी, एक भी स्थिति ऐसी नहीं मिली जहाँ ये पाँचों अलग हों। किसी सूची को सब अलग होने से रोकने के लिए उसमें बस एक बराबर जोड़ी काफ़ी है, पूरी सूची जाँचने की ज़रूरत नहीं। यह तर्क खुद करके देखो, किसी भी सूची पर यही जाँच काम करती है।

तो नतीजा, इन 8 angle में ज़्यादा से ज़्यादा 4 अलग नाप। इसलिए 8 अलग बातें याद करने की ज़रूरत नहीं, असल में जानने लायक बस 4 नाप हैं, और शायद उससे भी कम। और यह किसी नाप से नहीं, गिनती से निकला, 8 angle, 4 जोड़ियाँ बराबर, तो 4 से ज़्यादा नहीं। अब एक दूसरा रास्ता, जो हम अपनी तरफ़ से जोड़ रहे हैं। किसी एक crossing पर बस 2 नाप होते हैं, a और 180 minus a।

यहाँ 2 crossings हैं, तो ज़्यादा से ज़्यादा 2 plus 2, यानी 4। और कुल 384,492 स्थितियों में, हर crossing पर अलग से 2 से ज़्यादा नाप कभी नहीं मिले। अभी तक हमें यह नहीं पता कि एक crossing का नाप दूसरी crossing को कुछ बताता है या नहीं, इसलिए दोनों के 2 नाप अलग अलग गिने। यह रास्ता बेहतर है, क्योंकि यह बताता है कि 4 कहाँ से आता है, हर crossing से 2।

ज़्यादातर स्थितियों में पूरे 4 नाप मिलते हैं, 375,936 में। जब एक crossing 90 पर हो, तो वहाँ बस एक नाप, और कुल 3, ऐसी 4272 स्थितियाँ। किसी 90 वाली crossing पर a और 180 minus a एक ही हो जाते हैं, इसलिए वहाँ 2 की जगह एक नाप। कुछ में सिर्फ़ 2, 4272 स्थितियों में, और यह कब होता है, वही अगला सवाल है। और सिर्फ़ 12 स्थितियों में एक ही नाप, जब t दोनों lines पर 90 पर हो।

एक खास चित्र लो, l की दिशा 20 degree, m की 35, और t की 100। l वाली crossing पर angle 1 से 4 हैं, 100, 80, 100, 80। m वाली crossing पर angle 5 से 8 हैं, 115, 65, 115, 65। जाँच के लिए, 1 और 2, यानी 100 और 80, जोड़ 180, और 5 और 6, यानी 115 और 65, जोड़ भी 180। यानी पूरे 4 नाप, 100, 80, 115 और 65, ठीक छत तक।

t और l मिलकर 4 angle का एक समूह बनाती हैं, और t और m मिलकर दूसरा। अब m वाली crossing को t के ऊपर सरकाते हुए l वाली crossing पर ले आओ। सरकाने पर crossing की बनावट ऊपर आ जाती है, पर जरूरी नहीं कि वहाँ के angle, यहाँ के angle जितने बड़े हों। angle 5 ठीक angle 1 की जगह पर बैठता है, 6, 2 पर, 7, 3 पर, और 8, 4 पर।

एक ही जगह पर बैठने वाले ऐसे angle को corresponding angles कहते हैं, 1 और 5, 2 और 6, 3 और 7, 4 और 8। जैसे 1, t के बाएँ और l के ऊपर, तो उसका जोड़ीदार वह जो t के बाएँ और m के ऊपर, यानी 5। एक ही जगह का मतलब, t के एक ही तरफ़, और अपनी अपनी line के भी एक ही तरफ़, दोनों बातें मिलनी चाहिए।

पर 1 और 6 corresponding नहीं, दोनों ऊपर तो हैं, पर 1, t के बाएँ है और 6 दाएँ। उस खास चित्र में, हर corresponding जोड़ी में फ़र्क 15 का है, कभी एक तरफ़, कभी दूसरी, 15, minus 15, 15, minus 15। यानी corresponding का मतलब अभी बस एक जैसी जगह है, बराबर होना नहीं। अब खुद बनाओ, 2 lines जो समांतर न हों, और एक transversal, फिर angle 1 से 8 तक नाम दो।

नापने से पहले अंदाज़ा लगाओ कि कितने अलग नाप होंगे, 4, या उससे कम। जैसे l आड़ी, m 30 degree पर, और t ठीक खड़ी, तो l वाली crossing पर चारों 90। और m वाली crossing पर 120, 60, 120, 60, तो कुल 3 नाप। अब कोशिश करो कि सिर्फ़ 2 नाप बचें, lines को कैसे रखोगे, इसका जवाब अगली बार मिलेगा। कुल 384,492 स्थितियों में से 382,344 में angle 1 और angle 5 अलग निकले।

और एक दिलचस्प बात, किसी भी स्थिति में चारों corresponding जोड़ियाँ या तो सब बराबर होती हैं, या एक भी नहीं, आधी अधूरी कभी नहीं। तो ईमानदारी से, अभी तक कुछ भी यह नहीं कहता कि दोनों समूह एक जैसे होंगे, 2 crossings के angle बिल्कुल अलग भी हो सकते हैं। यहाँ कोई इशारा नहीं दे रहे, बस इतना पक्का है कि बराबरी हर बार नहीं होती। वे कब बराबर होते हैं, यही अगला सवाल है, और उसी से समांतर lines को पहचानने का तरीका निकलेगा।

याद रखो, transversal 2 lines को काटे तो 8 angle, पर उनमें 4 बाकी 4 की नकल। इसलिए ज़्यादा से ज़्यादा 4 अलग नाप, और यह गिनती से निकला, नाप से नहीं। आमने सामने की 4 जोड़ियों से, या हर crossing पर 2 नाप से, दोनों रास्ते 4 पर पहुँचते हैं। corresponding angles एक जैसी जगह वाले angle हैं, 1 और 5, 2 और 6, 3 और 7, 4 और 8।

और अपना चित्र बनाओ तो पहले अंदाज़ा, फिर नाप, नाप अंदाज़े की जाँच है, जवाब का स्रोत नहीं। और वे बराबर कब होते हैं, यह अभी खुला सवाल है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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