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Chapter 4 · Expressions using Letter-Numbers

letter-number किसी भी number की जगह खड़ा होता है, किसी एक की नहीं

From numbers to letter-numbers10 मिनट

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बड़ा बच्चा छोटे से ठीक 3 साल बड़ा है। छोटा 10 का, तो बड़ा 13 का; छोटा 23 का, तो बड़ा 26 का। हर उम्र के लिए नई पंक्ति, या एक ही पंक्ति, a plus 3?

मुख्य idea

Algebra, arithmetic में कोई नई तरह की संख्या नहीं जोड़ता; वह एक नई तरह का नाम जोड़ता है। letter एक ऐसा नाम है जो जान-बूझकर यह बताने से मना करता है कि वह कौन-सा number है, और यही मना करना उसे काम का बनाता है: क्योंकि वह कभी किसी एक number पर टिकता नहीं, इसलिए एक ही line हर case के लिए रिश्ता एक साथ दर्ज कर देती है — उन cases के लिए भी जिन्हें अभी तक किसी ने हल नहीं किया। इसका सबूत chapter की अपनी शुरुआती table है (Part I, §4.1, p.81), जिसकी पहली rows तीन जवाब हैं और जिसकी आख़िरी row जवाब है ही नहीं, बल्कि वह नियम है जिससे बाक़ी जवाब निकले।

आपको क्या आना चाहिए

  • बताना कि letter-number क्या है और chapter उसे यह नाम क्यों देता है
  • दो quantities के बीच बताए गए रिश्ते को algebraic expression में बदलना, letter ख़ुद चुनकर
  • किसी algebraic expression के letter-number की जगह दिया हुआ number रखकर उसे evaluate करना
  • बताए गए रिश्ते को उलटना (एक quantity दी हो तो दूसरी को express करना), और बताना कि दोनों expressions एक ही expression क्यों नहीं हैं
  • ऐसा expression लिखना जिसमें दो अलग letter-numbers हों, और बताना कि हर एक क्या गिनता है
  • किसी number का नाम लेने वाले expression और किसी आम रिश्ते का नाम लेने वाले formula में फ़र्क़ करना
  • समझाना कि एक algebraic expression हल किए गए cases की पूरी table की जगह क्यों ले लेता है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
letter-numbernumber की जगह इस्तेमाल होने वाला letter, जो स्थिति के दिए हुए किसी भी number की जगह खड़ा होता हैअक्षर-संख्याPart I, §4.1, p.82 पर छपा, bold में
algebraic expressionnumbers और letter-numbers से बना expressionबीजीय व्यंजकPart I, §4.1, p.82 पर छपा, bold में
expressionलिखी हुई एक विधि, जो अपने हिस्से पता चलते ही किसी number का नाम बन जाती हैव्यंजकPart I, §4.1, p.81 पर छपा; Chapter 2 से आगे लाया गया
formulaexpression की तरह लिखा गया कोई आम गणितीय रिश्तासूत्रPart I, §4.1, p.83 पर चलते-चलते छपा, और p.84 पर इसी नाम से पुकारा गया
term (of an expression)वे टुकड़े जिनके जोड़ की तरह expression पढ़ा जाता है, उनमें से एकपदPart I, §4.1, p.83 पर छपा; Chapter 2 से आगे लाया गया
sidelengthकिसी regular आकृति की एक भुजा की लंबाईभुजा की लंबाईPart I, §4.1, p.83 पर छपा
perimeterकिसी बंद आकृति के चारों ओर की कुल दूरीपरिमापPart I, §4.1, p.83 पर छपा
regularजिसकी सारी sidelengths और सारे angle measures बराबर होंसमPart I, §4.1, p.84 पर छपा, जहाँ chapter इसे कक्षा 6 से याद दिलाता है
variableवह नाम जो ज़्यादातर दूसरी किताबें letter-number को देती हैंचरयहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा, जो पूरे समय letter-number ही इस्तेमाल करता है
substitutionletter-number की जगह कोई number रखनाप्रतिस्थापनयहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा, जो इस काम का वर्णन करता है पर उसे नाम नहीं देता

Hindi column में standard NCERT Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। इस brief के लिए इस्तेमाल हुए corpus में कक्षा 7 की Ganita Prakash का कोई Hindi संस्करण नहीं है, इसलिए ये cells Hindi छपाई से पढ़कर नहीं लिए गए — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "letter एक छिपा हुआ number है जिसे मुझे ढूँढ़ना है।" इस section में कहीं भी a की value नहीं पूछी गई। letter कोई number छिपा नहीं रहा; वह एक जगह थामे हुए है ताकि रिश्ता लिखा जा सके। chapter कभी किसी letter को solve नहीं करता — वह उसमें substitute करता है।
  • "a का मतलब हमेशा एक ही होता है।" chapter letters को बेझिझक दोबारा इस्तेमाल करता है: a यहाँ एक उम्र है, और chapter में आगे किसी number machine के पहले input की तरह और calendar के एक square की ऊपर-बाईं entry की तरह फिर आता है। letter का मतलब वही है जो उसे लाने वाला वाक्य कहता है, उससे ज़्यादा कुछ नहीं।
  • "a बिल्कुल कोई भी number हो सकता है।" letter-number जो करने से मना करता है, वह है किसी एक ख़ास number का नाम लेना; वह किन numbers की जगह खड़ा हो सकता है, यह फिर भी स्थिति तय करती है। किसी की उम्र या matchsticks की गिनती का negative या fraction होना समझ में नहीं आता। यह बात एक बार, साफ़-साफ़ कह दो, ताकि "कोई भी number" सख़्त होकर एक ग़लत नियम न बन जाए।
  • "s = a + 3 और a = s – 3 दो अलग तथ्य हैं।" ये एक ही रिश्ता है, दो सिरों से लिखा हुआ।
  • "letters वाला expression number नहीं हो सकता।" जैसे ही उसके letter-numbers की जगह numbers रखे जाते हैं, वह number बन जाता है — Section 5 पूरा यही है।
  • "दो quantities को एक-एक letter तभी चाहिए जब वे आपस में जुड़ी न हों।" नारियल-और-गुड़ वाले expression को दो letters इसलिए चाहिए कि दोनों गिनतियाँ एक-दूसरे से अलग बदलती हैं। अगर कोई सवाल गुड़ को नारियल से बाँध देता, तो एक letter काफ़ी होता। letters की गिनती इस पर चलती है कि कितनी चीज़ें बदल सकती हैं, इस पर नहीं कि वाक्य में कितनी संज्ञाएँ हैं।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 4.1 Q1, Figure it Out · 4.1 Q2, Figure it Out · 4.1 Q3, Figure it Out · 4.1 Q5, Figure it Out · 4.1 Q6, Figure it Out · 4.5 Q1, Figure it Out · 4.5 Q2, Figure it Out · 4.5 Q3, Figure it Out · 4.5 Q6, Figure it Out · 4.5 Q10

पूरा transcript1,523 शब्द

सोचो, 2 बच्चे हैं, और उनमें से बड़ा, छोटे से ठीक 3 साल बड़ा है। जब छोटा 10 साल का है, तो बड़ा 13 साल का। कुछ साल बाद छोटा 18 का हो जाता है, तो बड़ा 21 का। सवाल यह है, छोटे की उम्र पता हो, तो बड़े की उम्र कैसे निकालें? किसी एक मामले में इसमें कुछ मुश्किल नहीं, बस 3 जोड़ना है। दिलचस्प बात यह है कि इसे हर मामले के लिए एक बार में कैसे लिखें।

एक table बनाते हैं, बाईं ओर छोटे की उम्र, दाईं ओर बड़े की उम्र का हिसाब। पहली पंक्ति, 4, और उसके आगे 4 plus 3, यानी 7। अगली, 10, और 10 plus 3, यानी 13। फिर 23, और 23 plus 3, यानी 26। हर पंक्ति अपना अलग हिसाब है, और हर नई उम्र के लिए नई पंक्ति चाहिए। पर उस उम्र का क्या, जो अभी किसी ने table में लिखी ही नहीं?

अगली पंक्ति में बाईं ओर बस एक सवाल का निशान है, और दाईं ओर, सवाल का निशान plus 3। अब 'छोटे की उम्र' लिखने की जगह, एक letter चुन लो, जैसे a। आखिरी पंक्ति, बाईं ओर a, और दाईं ओर a plus 3। यह पंक्ति कोई जवाब नहीं है, यह वह नियम है जिससे ऊपर के सारे जवाब बने। गिनकर देखा गया, 0 से 100 तक की सारी 101 उम्रों पर यह एक पंक्ति चलाई गई, और हर बार बड़े की उम्र ठीक निकली, फ़र्क हर बार 3।

a एक ऐसा नाम है जो जानबूझकर नहीं बताता कि वह कौन सा number है। और यही इनकार उसकी ताकत है, वह किसी एक number से बँधता नहीं, इसलिए एक पंक्ति हर मामले को ढक लेती है। a ही क्यों, कोई भी letter चल जाता, बस उसे पहली बार लिखते वक्त बताना होता है कि वह किसकी गिनती है। ऐसे letter को, जो किसी number की जगह बैठा है, letter-number कहते हैं।

और numbers और letter-numbers से जो बनता है, जैसे a plus 3, उसे बीजीय व्यंजक कहते हैं। एक बात साफ़ रहे, a कोई छुपा हुआ number नहीं है जिसे ढूँढना है। वह बस एक जगह पकड़े बैठा है, ताकि रिश्ता लिखा जा सके, दोनों उम्रों के बीच का रिश्ता। और a हर तरह का number नहीं हो सकता, उम्र है, तो वह ऋण नहीं होगी, स्थिति खुद तय करती है कि a क्या क्या हो सकता है।

अब उल्टा चलो, व्यंजक से वापस एक number तक। a की जगह 23 रखो। तो a plus 3 बन जाता है 23 plus 3, यानी 26। यानी letters वाला व्यंजक भी number बन जाता है, जिस पल उसके letters की जगह numbers रखे जाते हैं। a की जगह 50 रखो, तो बड़ा 53 का, कोई नई पंक्ति बनाए बिना। ऊपर की table की हर पंक्ति ठीक इसी तरह बनी थी, बस a की जगह अलग अलग numbers रखकर।

अब यही रिश्ता दूसरी तरफ़ से, बड़े की उम्र पता हो, तो छोटे की? बड़े की उम्र को s लेते हैं। तो छोटे की उम्र है s minus 3। बड़ा 20 साल का है, तो छोटा कितने का? सीधा हिसाब, 20 minus 3, यानी 17। s बराबर a plus 3, और a बराबर s minus 3, ये 2 अलग बातें नहीं, एक ही रिश्ता है, दोनों सिरों से पढ़ा हुआ।

किसी भी उम्र से बड़े की उम्र पर जाओ, फिर वापस आओ, तो वही उम्र मिलती है, सारी 101 उम्रों में। अब दूसरा रिश्ता, इस बार गुणा वाला, तीलियों से बने अंग्रेज़ी के L। हर L में 2 तीलियाँ हैं, एक खड़ी, एक नीचे लेटी। एक L में 2, 2 L में 4, 3 L में 6 तीलियाँ। तो L गिनती में 5 हों, तो 5 गुणा 2, यानी 10, L गिनती में 7 हों, तो 14, और L गिनती में 45 हों, तो 90।

और L पूरे 100 बनाने हों, तो कितनी तीलियाँ? हर L की 2 तीलियाँ, तो पूरी 200 तीलियाँ। L की गिनती n हो, तो तीलियाँ हैं 2 गुणा n। और 1 से 100 तक, हर गिनती के L तीली तीली जोड़कर बनाए गए, और हर बार गिनती 2 गुणा n निकली। अब एक दुकान, जहाँ pencil के डिब्बे हैं, हर डिब्बे में 35, और मोतियों के पैकेट, हर पैकेट में 60।

मान लो 10 डिब्बे और 5 पैकेट लिए, तो 350 pencil और 300 मोती, कुल 650 चीज़ें। और अगर 8 डिब्बे और 9 पैकेट हों, तो 280 और 540, कुल 820। डिब्बों की गिनती c, पैकेटों की गिनती j, तो कुल चीज़ें हैं c गुणा 35 plus j गुणा 60। यहाँ 2 letters इसलिए चाहिए, क्योंकि दोनों गिनतियाँ अपने अपने ढंग से बदलती हैं। गिनकर देखो, 0 से 10 डिब्बे और 0 से 10 पैकेट, इन 121 चुनावों में हर एक का कुल अलग निकला, एक गिनती दूसरी को नहीं बताती।

पर अगर हर डिब्बे के संग एक पैकेट आना तय हो, तो एक letter काफ़ी है, हर डिब्बे पर 95 चीज़ें। एक रिश्ता जो पहले से पता है, वर्ग का परिमाप। वर्ग की भुजा की लंबाई को q लेते हैं। वर्ग के चारों ओर चलो, तो q, फिर q, फिर q, फिर q। यानी परिमाप है 4 गुणा q। भुजा 7 सेंटीमीटर हो, तो परिमाप? यानी 4 गुणा 7, पूरे 28 सेंटीमीटर, और चारों भुजाएँ जोड़कर भी 28।

इसी तरह सम त्रिभुज का परिमाप 3 गुणा भुजा, सम पंचभुज का 5 गुणा, और सम षट्भुज का 6 गुणा, भुजा 7 हो तो 21, 35 और 42। जब कोई व्यंजक किसी आम रिश्ते को लिखता है, जैसे हर वर्ग के परिमाप को, तो उसे सूत्र कहते हैं। यहाँ 4 गुणा q किसी एक वर्ग का परिमाप नहीं, हर वर्ग के परिमाप और उसकी भुजा का रिश्ता है। गिनकर देखा गया, 1 से 50 तक की हर भुजा, और 3 से 6 भुजाओं वाली हर सम आकृति, कुल 200 मामलों में, चारों ओर चलकर जोड़ना ठीक भुजाओं की गिनती गुणा भुजा देता है।

यानी एक पंक्ति, पूरी table की जगह ले लेती है, उन मामलों की भी जो किसी ने अभी तक हल नहीं किए। अब तुम letter चुनो, 20 मीटर का एक पाइप, और उससे जुड़ा k मीटर का दूसरा, कुल लंबाई 20 plus k। अगर k 15 है, तो कुल 35 मीटर। मोतियों की बोरियाँ, हर बोरी में 100, थैलियाँ, हर थैली में 20, और पैकेट, हर पैकेट में 5। मान लो 6 बोरियाँ, 4 थैलियाँ और 3 पैकेट, यानी 600, 80 और 15, कुल 695 मोती।

और x बोरियाँ, y थैलियाँ, z पैकेट हों, तो x गुणा 100 plus y गुणा 20 plus z गुणा 5। एक चक्की चालू होने में 10 सेकंड लेती है, फिर हर किलोग्राम के 8 सेकंड, k किलोग्राम के लिए 10 plus 8 गुणा k। तो 5 किलोग्राम के लिए 50 सेकंड, और हर अगले किलोग्राम पर ठीक 8 सेकंड और। और शब्दों से, किसी number से 5 ज़्यादा, number n हो, तो n plus 5।

अब शब्दों को व्यंजक में बदलते हैं, हर बार number को n लेकर। किसी number से 5 ज़्यादा, यानी n plus 5। किसी number से 3 कम, यानी n minus 3। किसी number का दुगना, यानी 2 गुणा n। और किसी number का 4 गुना, फिर 1 और, यानी 4 गुणा n plus 1। अब n की जगह 12 रखकर देखो, जवाब आते हैं 17, 9, 24 और 49। ध्यान रहे, n से 3 कम, n minus 3 है, 3 minus n नहीं, 0 से 20 तक ये दोनों बस एक जगह बराबर होते हैं, जब n खुद 3 हो।

तो table ही क्यों न रखें, उसमें भी तो सारे जवाब हैं? क्योंकि table सिर्फ़ उन्हीं पंक्तियों का जवाब देती है जो उसमें लिखी हैं। नियम हर पंक्ति का जवाब देता है, उनका भी जो किसी ने अभी लिखी ही नहीं। उम्र वाली एक पंक्ति ने 0 से 100 तक की पूरी 101 उम्रें ढक लीं, और आगे की भी। बीजगणित कोई नया number नहीं जोड़ता, वह एक नया नाम जोड़ता है, जो सारे मामलों को एक ही बार में पकड़ता है।

आखिर में एक कैलेंडर, उसमें 2 पंक्तियों और 3 खानों का एक टुकड़ा घेरो। नीचे वाली पंक्ति की बीच वाली तारीख को w लेते हैं। उसके बाएँ w minus 1, दाएँ w plus 1। ऊपर की पंक्ति हफ़्ते भर पहले की है, 7 दिन कम, तो w minus 8, w minus 7, w minus 6। पूरे 31 दिन के महीने में ऐसे 16 टुकड़े बनते हैं, और सारे 16 में यही लिखावट ठीक बैठती है।

जैसे w 17 हो, तो ऊपर 9, 10, 11, और नीचे 16, 17, 18, और कैलेंडर पर ऐसा टुकड़ा सच में मिलता है, दूसरे और तीसरे हफ़्ते के बीच। ध्यान रहे, यहाँ w एक तारीख है, और पहले a एक उम्र थी, letter का मतलब वही है जो उसे लिखते वक्त बताया गया। याद रखो, letter-number एक नाम है जो नहीं बताता कि वह कौन सा number है। इसलिए एक व्यंजक, जैसे a plus 3, हर मामले का रिश्ता एक ही बार में लिख देता है।

और s minus 3, उसी रिश्ते को दूसरे सिरे से पढ़ना है, कोई नई बात नहीं। letter की जगह number रखो, तो व्यंजक एक number बन जाता है। जितनी चीज़ें अपने आप बदलती हैं, उतने letters चाहिए, नाम गिनने से नहीं। और जो व्यंजक आम रिश्ता लिखे, वह सूत्र है, जैसे 4 गुणा q।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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