PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 7 Mathematics · Chapter 5, Parallel and Intersecting Lines
Chapter 5 · Parallel and Intersecting Lines
Perpendicular lines: वह हालत जिसमें चारों angles बराबर हों
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क्या 2 lines ऐसे काट सकती हैं कि चारों angle बिल्कुल बराबर हों? और हों, तो हर angle कितने degree का?
मुख्य idea
Perpendicular होना इस बारे में कोई बात नहीं कि दो lines किस तरफ़ इशारा करती हैं। यह वह अकेला कटान है जहाँ चारों angles दो नापों में आना बंद कर देते हैं और एक ही नाप में सिमट जाते हैं — और जैसे ही आप यह माँगते हैं, 90° की value आप पर थोप दी जाती है, चुनी नहीं जाती। इसीलिए chapter यह section किसी परिभाषा से नहीं, एक सवाल से शुरू करता है: 90° इस सवाल का जवाब है कि "क्या कोई कटान पूरी तरह बराबर हो सकता है?", किसी का तय किया हुआ चलन नहीं। और जिस figure से वह जवाब देता है वह तिरछी बनी है, ताकि साफ़ हो जाए कि horizontal-और-vertical perpendicularity का बस एक उदाहरण है, उसका मतलब नहीं।
आपको क्या आना चाहिए
- वह शर्त बताना जो दो intersecting lines को perpendicular बनाती है
- 90° को मानकर नहीं, "चारों angles बराबर" से निकालना
- linear pair इस्तेमाल करके दिखाना कि "चारों बराबर" और "उनमें से एक right angle है" एक ही शर्त हैं
- perpendicular lines पहचानना जब उनमें से कोई भी horizontal या vertical न हो
- diagram पर perpendicularity को square वाले कोने के निशान से दिखाना
- बिना protractor के perpendicular बनाने के दो तरीक़ों के नाम बताना — set square और काग़ज़ मोड़ना
- समझाना कि perpendicularity दो lines के बीच का संबंध है, किसी एक line का गुण नहीं
जानने लायक़ शब्द
| शब्द | एक line में परिभाषा | हिंदी / क्षेत्रीय समकक्ष | पहली बार कहाँ आया |
|---|---|---|---|
| perpendicular lines | दो lines जो right angles पर कटती हैं | लंब रेखाएँ | §5.2, p.109 में bold में छपा |
| right angle | 90° का angle, पूरे चक्कर का चौथाई | समकोण | §5.2, p.109 में छपा |
| linear pair | कटान पर adjacent angles की एक जोड़ी, जो मिलकर straight angle बनाती है | रैखिक युग्म | §5.1, p.107 में छपा |
| square angle | दो perpendicular lines के बीच बने छोटे square के लिए किताब का phrase | समकोण चिह्न | "Notations", p.112 में छपा |
| set square | geometry box का right angle वाला drawing त्रिभुज | सेट स्क्वायर | §5.7, p.118 में छपा |
| adjacent edges | शीट के वे दो किनारे जो एक कोने पर मिलते हैं, perpendicularity के पहले उदाहरण की तरह इस्तेमाल हुए | संलग्न भुजाएँ | §5.4, p.111 में छपा |
| crease | मोड़ने पर काग़ज़ की शीट में बनी line | मोड़ | "Making Parallel Lines through Paper Folding", p.119 में छपा |
| foot of the perpendicular | वह point जहाँ perpendicular उस line से मिलता है जिस पर वह खींचा गया है | लंब पाद | यहाँ इस्तेमाल किया गया phrase; इस chapter में नहीं छपा |
हिंदी column में NCERT की standard हिंदी गणितीय शब्दावली है। Ganita Prakash Part I का हिंदी संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल की गई सामग्री में नहीं है, इसलिए इन शब्दों को हिंदी छपाई से नहीं मिलाया गया — Notes देखें।
square angle phrase पर एक बात। यह कोने वाले निशान के लिए chapter का अपना शब्द है, p.112 पर छपा; यह 90° वाले angle का नाम नहीं है, जिसे chapter right angle कहता है। व्याख्या में इन दोनों को अलग रखें।
लोग कहाँ चूकते हैं
- "Perpendicular का मतलब है एक line आड़ी और एक खड़ी।" Fig. 5.4 ठीक इसी सोच को ख़त्म करने के लिए तिरछी बनी है। p.109 से जाँचा गया। परिभाषा में पन्ने के किनारों का कहीं ज़िक्र नहीं।
- "perpendicular बनाने के लिए 90° नापना पड़ता है।" set square अपनी बनावट में ही right angle लिए होता है (§5.7, p.118), और ऐसा मोड़ जो किसी line को उसी पर ले आए, बिना किसी instrument के right angle बना देता है (p.119)।
- "Perpendicular कुछ ऐसा है जो एक line होती है।" यह एक जोड़ी के बीच का संबंध है। हमेशा "किसी पर perpendicular" कहें, और दूसरी line को कभी बिना नाम के न छोड़ें।
- "चारों बराबर होना perpendicular होने का एक तरीक़ा है; 90° का angle होना दूसरा।" ये एक ही शर्त हैं, और linear pair ही इन्हें एक बनाता है: अगर एक angle 90° है, तो उसका पड़ोसी 180° − 90° = 90° है, और vertically opposite जोड़ी उसके पीछे आ जाती है। Section 7 में यह दोनों दिशाओं में चलाना चाहिए।
- "90° बस वह number है जो किसी ने right angle के लिए चुन लिया।" इस section के अंदर यह number मजबूरी है: 180 को दो बराबर हिस्सों में और कुछ नहीं बाँटता। degree ख़ुद एक चलन है; पर degree तय होने के बाद 90 चलन नहीं।
- "दो perpendicular lines एक से ज़्यादा point पर कटती हैं।" वे ठीक एक बार मिलती हैं, intersecting lines की किसी भी जोड़ी की तरह — chapter यह सीधे p.107 पर पूछता है।
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पूरा transcript1,263 शब्द
कोई परिभाषा नहीं, पहले एक सवाल, क्या 2 lines ऐसे काट सकती हैं कि चारों angle बिल्कुल बराबर हों? कागज़ पर कोशिश करो, एक line खींचो, फिर दूसरी को घुमाते रहो, और देखो कि चारों angle कब एक जैसे दिखते हैं। और अगर ऐसा हो सकता है, तो हर angle कितने degree का होगा? घुमाते घुमाते एक जगह चारों लगभग बराबर दिखेंगे, पर आँख से लगभग कहना और पक्का कहना अलग बातें हैं।
इस सवाल का जवाब हम चुनेंगे नहीं, जवाब हम पर थोपा जाएगा। पिछली बार का नतीजा याद करो, किसी crossing पर पड़ोसी angle एक सीधी line पर होते हैं, इसलिए उनका जोड़ 180। और vertex के आर पार वाले angle बराबर होते हैं। इसलिए हर crossing में बस 2 नाप होते हैं, a और 180 minus a। जैसे a अगर 60 हो, तो उसके पड़ोसी का नाप 180 minus 60, यानी 120, चारों मिलाकर 2 अलग नाप।
तो सवाल बदल गया, ये 2 नाप कब एक हो जाते हैं? मान लो चारों बराबर हैं, और हर एक का नाप x है। पड़ोसी जोड़ी का जोड़ 180 है, तो x plus x बराबर 180। यानी 2 x बराबर 180, और x बराबर 90। फिर 0 से 180 तक का हर पूरा number आज़माया गया, x plus x से 180 सिर्फ़ 90 पर बनता है। अगर 89 लो तो 89 plus 89 है 178, 91 लो तो 182, कोई भी दूसरा नाप 180 पर नहीं बैठता।
सीधे angle को 2 बराबर हिस्सों में बाँटने वाला कोई और नाप है ही नहीं। अब एक दूसरा रास्ता, जो हम अपनी तरफ़ से जोड़ रहे हैं। vertex के चारों ओर के 4 angle मिलकर एक पूरा चक्कर हैं, यानी 360 degree। चारों बराबर हों तो 4 x बराबर 360, और x फिर से 90। यहाँ भी 0 से 360 तक खोजा गया, x के 4 गुने से 360 बस 90 पर।
यानी 2 अलग रास्ते, एक सीधे angle से, एक पूरे चक्कर से, और दोनों एक ही जगह पहुँचे। अब परिभाषा, जब 2 lines ऐसे काटें कि चारों angle बराबर हों, तो वे एक दूसरे पर लंब हैं, यानी perpendicular। और ऐसे हर angle को right angle कहते हैं, 90 degree। लंब होना किसी एक line का गुण नहीं, यह 2 lines का रिश्ता है, जैसे l, m पर लंब है।
और लंब lines भी बाकी काटने वाली lines की तरह ठीक एक ही बिंदु पर मिलती हैं। हर पूरे degree वाली crossing बनाकर पढ़ी गई, 179 crossings, और चारों बराबर सिर्फ़ 1 में। और वह एक crossing ठीक 90 वाली है। वजह वही है, a और 180 minus a तभी बराबर होंगे जब a ठीक 180 का आधा हो। बराबर पड़ोसी भी सिर्फ़ उसी में, और कोई भी angle 90 का हो, वह भी सिर्फ़ उसी में।
लंब lines का सही चित्र जानबूझकर तिरछा बनाया जाता है, न कोई line आड़ी, न कोई खड़ी। क्योंकि बहुत से बच्चे सोचते हैं कि लंब का मतलब है एक line आड़ी और एक खड़ी। एक right angle वाली crossing को पूरे चक्कर में हर degree पर घुमाया गया, सारे 360 घुमावों पर चारों angle 90 ही रहे। और उन 360 में से सिर्फ़ 4 घुमावों पर lines पन्ने के हिसाब से आड़ी और खड़ी दिखती हैं।
घुमाने से lines की आपसी दिशा नहीं बदलती, बस पन्ने के हिसाब से उनकी दिशा बदलती है, और angle आपसी दिशा से बनता है। परिभाषा में पन्ने के किनारों का कहीं ज़िक्र नहीं, आड़ी और खड़ी बस एक खास मामला है, लंब का मतलब नहीं। अब एक सवाल, चारों बराबर होना एक शर्त है, और एक angle का 90 होना दूसरी, क्या ये अलग हैं? एक angle 90 का हो, तो उसका पड़ोसी 180 minus 90, यानी 90।
और vertex के आर पार वाले उन्हीं के बराबर, तो चारों 90, 90, 90, 90। और उल्टी दिशा में, चारों बराबर हों तो हर एक 90, यह हम पहले ही निकाल चुके। यानी यह एक ही शर्त है, 2 तरह से कही हुई, और दोनों को जोड़ने वाला linear pair का नियम है। चित्र पर right angle दिखाने के लिए, crossing पर एक छोटा सा वर्ग बनाते हैं। वह वर्ग खुद कह देता है कि यहाँ 90 degree है, अलग से number लिखने की ज़रूरत नहीं।
अब चौकोर खानों वाले कागज़ पर कुछ आकृतियाँ बनाओ, और जहाँ जहाँ right angle है, वहाँ यह छोटा वर्ग लगाओ। कोई कहेगा कि 90 तो बस किसी का चुना हुआ number है। सच यह है कि degree चुना हुआ है, किसी ने तय किया कि एक पूरे चक्कर में 360 degree होंगे। अगर पूरे चक्कर को 400 हिस्सों में बाँटते, तो right angle 100 हिस्सों का होता। यानी पैमाना चुनना हमारी मर्ज़ी है, पर उस पैमाने पर right angle का नाप हमारी मर्ज़ी नहीं।
पर right angle हमेशा पूरे चक्कर का ठीक एक चौथाई ही रहता, इसलिए 360 चुनते ही 90 थोपा जाता है। लंब line बनाने के लिए protractor ज़रूरी नहीं, set square के एक कोने में right angle पहले से बना है। ruler को एक line पर रखो, set square को उसके किनारे पर टिकाओ, और सरकाते हुए 2 जगह line खींचो। दोनों line उस ruler पर 90 पर हैं, तो आपस में उनका angle 90 minus 90, यानी 0।
यहाँ नापने का काम set square का कोना कर रहा है, जो बनाते वक्त ही 90 का बना था। और 0 के angle पर lines कोई crossing नहीं बनातीं, हर ruler दिशा में यही, वे कभी नहीं मिलतीं, यह अगली बार के काम आएगा। अब बिना किसी औज़ार के, कागज़ पर एक line है, कागज़ को ऐसे मोड़ो कि line अपने ही ऊपर आ जाए। मोड़ को एक आईने की तरह सोचो, 180 में से सिर्फ़ 2 मोड़ दिशाएँ line को अपने ऊपर लाती हैं, हर line के लिए।
एक, खुद line के ऊपर मोड़ना, पर उससे line हिलती ही नहीं, वह 0 दूर रहती है। दूसरा, line से 90 पर, और यही असली मोड़ है, इसका निशान line पर लंब होता है। मोड़ के दोनों तरफ़ line के 2 हिस्से एक दूसरे पर ठीक बैठते हैं, इसलिए मोड़ के दोनों ओर के angle बराबर, और बराबर पड़ोसी का मतलब 90। यानी एक right angle, बिना protractor, बिना set square, सिर्फ़ मोड़कर।
अब उस नए मोड़ पर फिर से वही करो, उसे अपने ऊपर लाने वाला मोड़। पहला मोड़ line से 90 पर, दूसरा उस मोड़ से 90 पर, यानी शुरू वाली line से 180, जो उसी दिशा में है। सारी 180 दिशाओं में यही निकला, दूसरा मोड़ पहली line के बराबर दिशा में चलता है, कभी उससे नहीं मिलता। एक पुराना कागज़ लो, कोई भी तिरछी line खींचो, और मोड़कर उस पर लंब बनाओ, फिर दूसरी बार मोड़कर देखो कि नया निशान पहली line के बराबर चलता है।
लंब से लंब, और मिलती है बराबर दूरी वाली line, यह अगले हिस्से की शुरुआत है। लंब का मतलब आड़ी और खड़ी नहीं, तिरछी lines भी पूरी तरह लंब हो सकती हैं। लंब किसी एक line का गुण नहीं, हमेशा किसी दूसरी line पर लंब। और लंब lines 2 बार नहीं मिलतीं, बाकी सीधी lines की तरह वे भी सिर्फ़ एक बिंदु पर मिलती हैं। और 90 किसी का माना हुआ number नहीं, वह चारों angle बराबर माँगने से अपने आप निकलता है।
याद रखो, चारों angle बराबर माँगो, तो 90 अपने आप निकलता है, सीधे angle से भी, पूरे चक्कर से भी। ऐसी lines एक दूसरे पर लंब हैं, और हर angle right angle। पन्ने पर दिशा कुछ भी हो, घुमाने से right angle नहीं बदलता। एक angle 90 हो, तो चारों 90, एक ही शर्त, 2 तरह से कही हुई। और set square सरकाकर या कागज़ मोड़कर, बिना नापे लंब बनाया जा सकता है।
यह कहाँ बैठता है
यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.
किस पर टिका है
- The four angles at a crossing: vertically opposite and linear pairsकक्षा 7 · Ch 5, Parallel and Intersecting Lines
आगे फिर कहाँ आता है
- What "parallel" actually claims, and why it is hard to checkकक्षा 7 · Ch 5, Parallel and Intersecting Lines
- Drawing a parallel line using the corresponding-angle testकक्षा 7 · Ch 5, Parallel and Intersecting Lines
- What an altitude is, and how to construct oneकक्षा 7 · Ch 7, A Tale of Three Intersecting Lines