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Chapter 5 · Parallel and Intersecting Lines

Corresponding angles ठीक तभी बराबर होते हैं जब lines parallel हों

The transversal and its corresponding angles12 मिनट

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12 min.

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2 lines समांतर दिखें, तो क्या वे सच में समांतर हैं? आँख यह तय नहीं कर सकती, पर corresponding angles कर सकते हैं।

मुख्य idea

यह chapter की धुरी है, और इसकी बनावट इसकी सामग्री से ज़्यादा मायने रखती है। section एक नियम नहीं बताता; वह दो नियम बताता है जो उलटी दिशाओं में चलते हैं — बराबर corresponding angles lines को parallel बनाते हैं, और parallel lines corresponding angles को बराबर होने पर मजबूर करती हैं — और दोनों होने पर ही यह बराबरी एक काम की जाँच बनती है। जो student सिर्फ़ दूसरा नियम सीखता है वह किसी ऐसे दावे को जाँच सकता है जो उसे पहले से दिया गया हो; जिसके पास दोनों हैं वह ऐसा सवाल तय कर सकता है जो आँख नहीं कर सकती। Activity 5 वह हिस्सा है जो छूट जाता है, और वही हिस्सा "ठीक तभी" शब्द को कमाता है: वह आपसे कुछ करने की कोशिश करवाता है और आप नाकाम होते हैं, और वह नाकामी ही सबूत है।

आपको क्या आना चाहिए

  • transversal के दूसरे point पर किसी दिए गए angle की नक़ल बनाना, और बताना कि वह नक़ल क्या पक्का करती है
  • यह दावा बताना कि बराबर corresponding angles दो lines को parallel बनाते हैं
  • उलटा दावा बताना, कि parallel lines corresponding angles को बराबर होने पर मजबूर करती हैं
  • समझाना कि दोनों दावे अलग-अलग कथन क्यों हैं और दोनों की ज़रूरत क्यों है
  • पहले अनुमान लगाना, और फिर देखना, कि जो lines parallel नहीं हैं उन पर corresponding angles बराबर बनाने की कोशिश करने पर क्या होता है
  • दिए गए नापों से, corresponding angles की एक जोड़ी इस्तेमाल करके तय करना कि दो lines parallel हैं या नहीं
  • अपने शब्दों में बताना कि दावों की इस जोड़ी के लिए "necessary and sufficient" का क्या मतलब है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
corresponding anglesदो angles, हर कटान पर एक, जो मिलती-जुलती जगहों पर हैंसंगत कोण§5.6, p.115 में bold में छपा
transversalऐसी line जो दो दूसरी lines को काटती हुई निकलती हैतिर्यक रेखा§5.5, p.115 में छपा
parallel linesएक ही सपाट सतह पर दो lines जो कितना भी बढ़ाने पर कभी नहीं मिलतींसमांतर रेखाएँ§5.3, p.110 में छपा
linear pairकटान पर adjacent angles की एक जोड़ी, जो मिलकर straight angle बनाती हैरैखिक युग्म§5.1, p.107 में छपा
tracing paperआर-पार दिखने वाली शीट, जिससे किसी angle को एक जगह से दूसरी जगह ले जाया जाता हैट्रेसिंग पेपर§5.6, pp.116–117 में छपा
protractordegrees में angle नापने या बनाने का instrumentचाँदा§5.6, pp.116–117 में छपा
necessary and sufficientकिसी जाँच का वह गुण कि वह दोनों दिशाओं में काम करेआवश्यक और पर्याप्तNote to the Teacher, §5.7, p.119 में छपा
converseकिसी दावे की शर्त और उसका नतीजा आपस में बदलने से मिलने वाला कथनविलोमbox में छपे दोनों दावों के बीच के संबंध के लिए यहाँ इस्तेमाल किया गया शब्द; इस chapter में कहीं नहीं छपा

हिंदी column में NCERT की standard हिंदी गणितीय शब्दावली है। Ganita Prakash Part I का हिंदी संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल की गई सामग्री में नहीं है, इसलिए इन शब्दों को हिंदी छपाई से नहीं मिलाया गया — Notes देखें।

Necessary and sufficient छपा है, पर सिर्फ़ p.119 पर Note to the Teacher के अंदर, student वाले text में नहीं। इसे ऐसी शब्दावली मानें जिसे व्याख्या इस्तेमाल कर सकती है और समझा सकती है, ऐसी नहीं जिसे कक्षा 7 के student से ख़ुद बोलने की उम्मीद हो।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "Corresponding angles बराबर होते हैं।" सिर्फ़ parallel lines के आर-पार। यह सबसे नुक़सानदेह बात है जो कोई student इस chapter से लेकर जा सकता है, और किताब p.118 पर box में एक पूरे कथन से इससे बचाती है, जो parallel न होने वाली lines के लिए उलटी बात कहता है। व्याख्या जब भी बराबरी बताए, उसी साँस में शर्त भी बताए।
  • "p.117 पर box वाले दोनों दावे एक ही बात दो बार कहते हैं।" वे उलटी दिशाओं में चलते हैं। एक बराबर angles लेकर parallel होना देता है; दूसरा parallel होना लेकर बराबर angles देता है। Section 11 इसीलिए है कि यह फ़र्क़ साफ़ सुनाई दे।
  • "बराबर corresponding angles की एक जोड़ी काफ़ी नहीं — चारों जाँचो।" एक जोड़ी फ़ैसला कर देती है। Activity 3 एक ही नक़ल किए गए angle से parallel जोड़ी बनाती है, और lines parallel होते ही बाक़ी तीन जोड़ियाँ पीछे आ जाती हैं।
  • "Activity 5 एक drawing का काम है जिसमें मैं नाकाम रहा।" यह एक नतीजा है। निर्देश पूरा किया ही नहीं जा सकता, और यह पहचान लेना ही जवाब है। student के कोशिश करने से पहले नाकामी को खोज के रूप में रखें, वरना वह मान लेगा कि उसका हाथ काँप गया।
  • "tracing paper इसे साबित करता है।" tracing और नापना सबूत हैं, और chapter p.108 पर पहले ही बता चुका है कि इस तरह का सबूत हमेशा थोड़ा चूकेगा। जो साबित करता है वह दोनों दावों की जोड़ी है।
  • "अगर corresponding angles में थोड़ा-सा फ़र्क़ है, तो lines लगभग parallel हैं, और इतना काफ़ी है।" degree के एक हिस्से जितना फ़र्क़ रखने वाली दो lines भी मिलती हैं — पन्ने से बहुत दूर, पर मिलती हैं, और p.110 की परिभाषा में "लगभग" की कोई जगह नहीं।
  • "दोनों corresponding angles काटने वाली line की एक तरफ़ बैठे हैं, इसलिए उस तरफ़ के कोई भी दो angles corresponding हैं।" मेल कटान के अंदर की जगह का है, सिर्फ़ तरफ़ का नहीं। ∠2 को ∠6 के साथ, फिर ∠7 के साथ जोड़कर दिखाएँ, और दोनों जोड़ियाँ नापें।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript1,769 शब्द

corresponding angles, यानी 1 और 5, 2 और 6, 3 और 7, 4 और 8, एक जैसी जगह वाले angle। ज़्यादातर स्थितियों में उनके नाप अलग होते हैं, एक जैसी जगह का मतलब एक जैसा नाप नहीं। आज का सवाल, वे बराबर कब होते हैं, और उस बराबरी से हमें क्या पता चलता है? और हर crossing पर पड़ोसी angle मिलकर 180 बनाते हैं, यह बात आगे बार बार काम आएगी।

यह इस पूरे विषय का सबसे अहम मोड़ है, क्योंकि यहीं से समांतर lines को पहचानने का पक्का तरीका निकलेगा। एक line l खींचो, बिल्कुल आड़ी, और एक transversal t, नीचे बाएँ से ऊपर दाएँ जाती हुई। जहाँ ये मिलती हैं, उस बिंदु का नाम X रखो। t, l पर लंब नहीं, तिरछी है, और l को आड़ा बस सुविधा के लिए रखा है, पन्ने की दिशा से कुछ नहीं बदलता।

अब हम एक दूसरी line बनाएँगे, सोच समझकर, और फिर देखेंगे कि वह कैसी दिखती है। l के ऊपर और t के दाएँ वाला angle नापो, उसका नाम a, और a बराबर 60 degree। उसका पड़ोसी, जो l के ऊपर पर t के बाएँ है, linear pair है, तो 180 minus 60, यानी 120। और vertex के आर पार, l के नीचे t के बाएँ वाला angle भी 60, उसका पड़ोसी फिर 120।

तो इस crossing पर अभी तक बस 2 नाप, 60 और 120। अब निर्देश यह है कि पूरी आकृति बन जाने पर भी बस यही 2 नाप दिखें, कोई नया नहीं। पर 2 ही क्यों, यह निर्देश हमसे असल में क्या माँग रहा है? दूसरी crossing पर भी 2 नाप बनेंगे, और वे नए हुए तो गिनती 2 से ऊपर चली जाएगी। और 2 पर रुकने का मतलब है कि दूसरी crossing कोई नया नाप न लाए, यानी वह पहली की हूबहू नकल हो।

अगर m किसी और दिशा में गई, तो Y वाली crossing पर 60 और 120 की जगह कोई और नाप आएँगे, और गिनती 2 से ऊपर चली जाएगी। और नकल का सबसे सीधा तरीका है, 60 वाला angle ठीक उसी जगह पर दोबारा बनाना। t पर X से नीचे एक और बिंदु लो, उसका नाम Y। Y पर, t के दाएँ और नई line के ऊपर वाली जगह पर, 60 degree का angle बनाओ।

एक जैसी जगह, यानी t के उसी तरफ़, दाएँ, और अपनी line के उसी तरफ़, ऊपर, जैसे X पर था। Y, t पर X से नीचे कहीं भी हो सकता है, पास या दूर, तरीका वही रहता है। उस angle की भुजा के सहारे Y से होकर एक line खींचो, उसका नाम m। angle की नकल बनाने का एक तरीका, tracing paper पर X वाला angle उतारो, और उसे Y पर ठीक वैसे ही रखो।

या फिर, protractor से 60 नापो, और Y पर 60 बनाओ। protractor वाले तरीके में एक दिक्कत है, नाप में ज़रा सा फ़र्क, line की मोटाई और हाथ की वजह से। tracing वाला तरीका खास है, क्योंकि उसमें कोई number नहीं, आँख के सामने दिखता है कि angle वही का वही है। line m जितनी दिशाओं में जा सकती है, उन सबमें से सिर्फ़ 1 दिशा ऐसी है जो उस जगह पर 60 देती है।

और वह दिशा ठीक l वाली है, m भी बिल्कुल आड़ी। पूरी आकृति के आठों angle देखो, सिर्फ़ 60 और 120, कोई तीसरा नाप नहीं। m को किसी और दिशा में घुमाओ, तो Y वाली उस जगह का angle 60 से हट जाता है, एक भी और दिशा काम नहीं करती। और l और m, दोनों समांतर दिखती हैं। पर रुको, दिखती हैं, बस इतना कहना ठीक है, क्योंकि कागज़ सीमित है और lines असीमित।

यह बनावट एक अच्छा सबूत है, पर अकेले यह साबित नहीं करती कि l और m कभी नहीं मिलेंगी। कमी भरने के लिए हमें यह दिखाना होगा कि अगर m समांतर न होती, तो वहाँ 60 बन ही नहीं सकता था। इस कमी को याद रखो, इसे आगे एक तीसरी बात से भरेंगे। पहली बात, अगर corresponding angles बराबर हों, तो lines समांतर हैं। गौर करो, यह बराबर angle से शुरू होकर समांतर होने तक पहुँचती है।

हर पूरे degree की दिशाओं वाली 384,492 स्थितियाँ बनाकर देखी गईं, corresponding angles बराबर सिर्फ़ 2148 में। और उन 2148 में से हर एक में l और m एक ही दिशा में हैं, एक भी अपवाद नहीं। इसका काम, जब तुम्हें दिखाना हो कि 2 lines समांतर हैं, तो बस एक corresponding जोड़ी बराबर दिखाओ। अब सवाल उल्टा, 2 lines पहले से समांतर दी हैं, दोनों पर तीर का निशान, और उन्हें काटती एक t।

l के ऊपर t के दाएँ angle a, और m के ऊपर t के दाएँ angle b, यानी corresponding जोड़ी। तीर के निशान कहते हैं कि यह बात हमें दी गई है, हमें इसे जाँचना नहीं, इससे आगे चलना है। a को tracing paper पर उतारो, और b के ऊपर रखो, देखो, क्या वह ठीक बैठता है? दूसरी बात, अगर lines समांतर हों, तो corresponding angles बराबर होते हैं। एक ही दिशा वाली कुल 2148 स्थितियों में, चारों corresponding जोड़ियाँ, कुल 8592 जोड़ियाँ, सब बराबर।

और जब भी यह बराबरी की बात हो, शर्त साथ में रहे, समांतर lines हों तभी। इसका काम, जब कोई कहे कि lines समांतर हैं, तो एक angle से बाकी corresponding angles तुरंत मिल जाते हैं। ये 2 बातें एक ही बात को दोहराती नहीं हैं, इन्हें ध्यान से अलग रखना। पहली बराबर angle लेती है और समांतर होना देती है। दूसरी समांतर होना लेती है और बराबर angle देती है।

जैसे, बारिश हुई तो ज़मीन गीली है, यह सच है, पर ज़मीन गीली है तो बारिश हुई, यह ज़रूरी नहीं, पानी कहीं और से भी आ सकता है। इसलिए किसी बात का उल्टा अपने आप सच नहीं होता, यहाँ दोनों अलग अलग साबित हुए, और दोनों सच हैं। सिर्फ़ दूसरी जानने वाला उस दावे की जाँच कर सकता है जो उसे पहले से दिया गया, पर दोनों जानने वाला वह सवाल तय कर सकता है जो आँख नहीं कर पाती।

अब 2 lines, एक ऊपर एक नीचे, पर समांतर नहीं, बाईं ओर थोड़ी पास आती हुई, दाईं ओर दूर होती हुई। निर्देश, ऐसी transversal खींचो कि corresponding angles की कोई एक जोड़ी बराबर हो जाए। पहले से बता दें, तुम नहीं कर पाओगे, और यह तुम्हारे हाथ की गलती नहीं, यही इस प्रयोग का नतीजा है। जो lines बाईं ओर पास आ रही हैं, वे उधर कहीं मिलेंगी, इसलिए ये समांतर नहीं।

अब 5 degree के झुकाव वाली ऐसी जोड़ी पर, t को हर उस दिशा में रखा गया जो दोनों को काटे, कुल 178 कोशिशें। और एक भी कोशिश में corresponding angles बराबर नहीं हुए, बिल्कुल 0। हर बार angle 1 और angle 5 में ठीक lines के झुकाव जितना फ़र्क, 5 degree, ऐसी 174 कोशिशें। और 4 कोशिशों में, जब t दोनों lines की दिशाओं के बीच से गुज़रती है, फ़र्क 180 minus 5, यानी 175।

t को कैसे भी घुमाओ, lines के बीच का झुकाव कहीं नहीं जाता, इसलिए फ़र्क कभी 0 नहीं होता। यानी corresponding angles का फ़र्क असल में lines के आपस के झुकाव को ही नाप रहा है। तीसरी बात, जो lines समांतर नहीं, उन पर corresponding angles कभी बराबर नहीं हो सकते। बाकी की कुल 382,344 स्थितियों में, जहाँ lines अलग दिशा में हैं, एक भी corresponding जोड़ी बराबर नहीं। यह असल में पहली बात को उल्टा करके कहना है, कोई नई जानकारी नहीं, पर वह नाकाम प्रयोग इसी का सबूत है।

और यह सिर्फ़ 5 degree वाली जोड़ी की बात नहीं, बाकी सारी स्थितियों में भी गिना गया, नतीजा वही। और इसी से वह कमी भरती है, अगर Y पर बनी line समांतर न होती, तो वहाँ 60 बन ही नहीं सकता था। दोनों दिशाएँ मिलकर एक पक्की जाँच बनाती हैं, बराबर corresponding angles समांतर होने के लिए ज़रूरी भी हैं, और काफ़ी भी। यानी corresponding angles बराबर, ठीक तब, जब lines समांतर, न उससे ज़्यादा, न कम।

और चारों जोड़ियाँ जाँचने की ज़रूरत नहीं, किसी भी स्थिति में कुछ जोड़ियाँ बराबर और कुछ अलग, ऐसा कभी नहीं मिला। किसी नई जोड़ी पर जाँच ऐसे चलाओ, एक transversal खींचो, एक corresponding जोड़ी नापो, बराबर तो समांतर, अलग तो नहीं। जाँच वही जो नए मामले तय करे, सिर्फ़ पहले से पता बात को दोहराए नहीं। कोई कहेगा, corresponding angles में आधे degree का फ़र्क है, तो lines लगभग समांतर हैं, इतना चलेगा।

पर 50 मिलीमीटर दूर की 2 lines, आधे degree के झुकाव से, 5729 मिलीमीटर पर मिल जाती हैं, यानी लगभग 5 दशमलव 7 मीटर दूर। कागज़ से बहुत दूर, पर मिलती तो हैं, और समांतर की परिभाषा में लगभग जैसा कोई शब्द नहीं। झुकाव जितना छोटा, मिलने की जगह उतनी दूर, पर जब तक झुकाव 0 नहीं, मिलना पक्का है। अब जाँच का इस्तेमाल, एक transversal l और m को काटती है, angle a है 120 और angle f है 70।

a और b, l के ऊपर पास पास, linear pair, तो b है 180 minus 120, यानी 60। और b और f corresponding जगहों पर हैं। पर 60 और 70 बराबर नहीं, इसलिए तीसरी बात के हिसाब से l और m समांतर नहीं, बिना नापे, बिना देखे। अगर f भी 60 होता, तो पहली बात के हिसाब से l और m समांतर होतीं। यह वही सवाल है जो आँख तय नहीं कर पाती, पर यह जाँच कर देती है।

एक और उलझन, t के एक तरफ़ के कोई भी 2 angle corresponding नहीं होते। समांतर lines वाली कुल 2148 स्थितियों में angle 2 और angle 6 हर बार बराबर। पर angle 2 और angle 7, जो t के उसी तरफ़ हैं, सिर्फ़ 12 स्थितियों में बराबर, जब t ठीक 90 पर हो। यानी t का तरफ़ भी मिले, और अपनी line का तरफ़ भी, तभी corresponding। angle 7, angle 2 का नहीं, angle 3 का जोड़ीदार है, और 3 और 2 पड़ोसी हैं, बराबर तभी जब दोनों 90 हों।

tracing paper से angle ठीक बैठ गया, इससे बात साबित नहीं होती। खींची हुई lines और नाप हमेशा ज़रा से हटे होते हैं, line की मोटाई और हाथ की वजह से। साबित करती हैं वे दोनों बातें मिलकर, और उनका उल्टा रूप, जो वह नाकाम प्रयोग दिखाता है। नापना बेकार नहीं, वह हमें बताता है कि किस बात को साबित करने की कोशिश करें, पर फ़ैसला तर्क करता है। याद रखो, corresponding angles बराबर, ठीक तब, जब lines समांतर।

एक बात बराबर angle से समांतर तक जाती है, दूसरी समांतर से बराबर angle तक, दोनों मिलकर जाँच बनती है। समांतर न हों तो corresponding angles बराबर बनाना नामुमकिन, वह नाकाम प्रयोग ही उसका सबूत है। एक जोड़ी काफ़ी है, और लगभग बराबर का मतलब लगभग समांतर नहीं, मिलती हुई lines है। और corresponding angles बराबर होते हैं, यह कभी शर्त के बिना मत कहना।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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