PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 7 Mathematics · Chapter 5, Parallel and Intersecting Lines
यह video load नहीं हो सकी. फिर से कोशिश करने के लिए page reload करें.
Sign in with Google9 min.
इस chapter में अपनी जगह बनाए रखिए — sign in करें, यह free है.Sign in करें
कक्षा 7 की सभी Hindi videos · सभी Hindi videos
सीधी lines मुड़ी हुई दिख सकती हैं, पड़ी lines झुकी हुई: आँख पूरी तरह उल्टा बता सकती है।
मुख्य idea
chapter अपने ही सबूत पर हमला करके ख़त्म होता है। पहले के हर क़दम ने पूछा था कि क्या दो lines parallel दिखती हैं, और आख़िरी पन्ना तीन ऐसी तस्वीरें दिखाता है जिनमें दिखावट जान-बूझकर गढ़ी गई है — ऐसी lines जो सच में parallel हैं और मुड़ी हुई दिखती हैं, ऐसी कतारें जो सच में सीधी हैं और झुकी हुई दिखती हैं। इससे corresponding-angle वाली जाँच की हैसियत बदल जाती है: वह मुश्किल मामलों के लिए कोई सुविधा नहीं, बल्कि student और उसे धोखा देने के लिए बनाई गई तस्वीर के बीच खड़ी अकेली चीज़ है। और ध्यान दें कि chapter क्या करने से इनकार करता है। वह पूछता है कि इन भ्रमों का कारण क्या है और कोई जवाब नहीं देता, क्योंकि कारण आँखों और दिमाग़ के बारे में एक तथ्य है, lines के बारे में नहीं — और geometry के पास उस पर कहने को कुछ नहीं।
आपको क्या आना चाहिए
- बताना कि parallel होने का भ्रम क्या है, और उसका एक उदाहरण देना
- समझाना कि "ये parallel दिखती हैं" इस बात का सबूत क्यों नहीं कि वे parallel हैं
- समझाना कि "ये मुड़ी हुई दिखती हैं" इस बात का सबूत क्यों नहीं कि वे parallel नहीं हैं
- एक तरीक़ा बताना जो transversal और corresponding-angle वाली जाँच इस्तेमाल करके तीनों छपी तस्वीरों में से हर एक को तय कर दे
- तस्वीर के भटकाने के दो तरीक़ों में फ़र्क़ करना: perspective, जो इस बारे में तथ्य है कि तस्वीर कैसे बनी, और दृष्टि भ्रम, जो देखने वाले student के बारे में तथ्य है
- बताना कि chapter भ्रमों का कारण बिना जवाब क्यों छोड़ता है, और यह अधूरापन क्यों नहीं, ईमानदारी क्यों है
- chapter के मुख्य नतीजे उसी क्रम में फिर से बताना जिसमें वे कमाए गए थे
जानने लायक़ शब्द
| शब्द | एक line में परिभाषा | हिंदी / क्षेत्रीय समकक्ष | पहली बार कहाँ आया |
|---|---|---|---|
| illusion | ऐसी तस्वीर जो आपको कुछ ऐसा दिखाए जो drawing में है ही नहीं | भ्रम | section के title में और आख़िरी सवाल में छपा, §5.9, p.125 |
| parallel lines | एक ही सपाट सतह पर दो lines जो कितना भी बढ़ाने पर कभी नहीं मिलतीं | समांतर रेखाएँ | §5.3, p.110 में छपा |
| transversal | ऐसी line जो दो दूसरी lines को काटती हुई निकलती है | तिर्यक रेखा | §5.5, p.115 में छपा |
| corresponding angles | दो angles, हर कटान पर एक, मिलती-जुलती जगहों पर | संगत कोण | §5.6, p.115 में छपा |
| proof | ऐसा औचित्य जो किसी दावे को नापकर नहीं, तर्क से तय करता है | उपपत्ति | §5.1, p.108 में छपा |
| optical illusion | section जो दिखाता है उसके लिए रोज़मर्रा का नाम | दृष्टि भ्रम | यहाँ इस्तेमाल किया गया जोड़ा हुआ शब्द; chapter सिर्फ़ illusion छापता है, इस विशेषण के साथ कभी नहीं — p.125 और p.126 को देखकर जाँचा गया |
| perspective | वह तरीक़ा जिससे drawing या photograph में parallel किनारे एक point की ओर पास आते दिखते हैं | परिप्रेक्ष्य | p.110 की keyboard वाली photograph में दिखने वाले असर के लिए यहाँ इस्तेमाल किया गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा |
| contrast | रोशनी-बनाम-अँधेरे का वह फ़र्क़ जिसका दूसरी तस्वीर फ़ायदा उठाती है | विषमता | यहाँ इस्तेमाल किया गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा |
हिंदी column में NCERT की standard हिंदी गणितीय शब्दावली है। Ganita Prakash Part I का हिंदी संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल की गई सामग्री में नहीं है, इसलिए इन शब्दों को हिंदी छपाई से नहीं मिलाया गया — Notes देखें।
लोग कहाँ चूकते हैं
- "अगर parallel दिखती है तो शायद है, और जाँच मुश्किल मामलों के लिए है।" p.125 की तीनों तस्वीरें एक साथ दोनों दिशाओं में उलटे उदाहरण हैं: उनमें सच में parallel lines हैं जो मुड़ी हुई दिखती हैं। पता चलता है कि दिखावट का कोई वज़न ही नहीं, सिर्फ़ किनारे के मामलों में भरोसे लायक़ न होना नहीं।
- "उन तस्वीरों की lines सच में मुड़ी हुई हैं — किताब हमें टेढ़ापन दिखा रही है।" वे मुड़ी हुई नहीं हैं। बदलता आसपास का pattern है, lines नहीं। section इसी ग़लत समझ को तोड़ने के लिए है, और यह तब तक बची रहती है जब तक व्याख्या पीछे का pattern हटाकर न दिखाए।
- "तो geometry पर भरोसा नहीं किया जा सकता।" उलटा। section उस तर्क के पक्ष में दलील है जो chapter ने बनाया है, ठीक इसलिए कि देखना अभी-अभी नाकाम हुआ है। Section 8 हार नहीं, बचाव जैसा लगना चाहिए।
- "भ्रम और नापने की ग़लती एक ही चीज़ हैं।" नहीं। chapter का p.108 वाला note protractor और line की मोटाई के बारे में है — छोटी, बेतरतीब, और जितना ज़्यादा ध्यान दो उतनी घटती हुई। भ्रम बड़ा होता है, एक तय ढर्रे वाला, और कितना भी घूरो, घटता नहीं।
- "रेल की पटरियों का क्षितिज पर मिलना वही चाल है।" वह perspective है, और वह तीन-आयामी दृश्य का सच्चा रिकॉर्ड है। p.125 की तस्वीरें सपाट drawings हैं जिनके पीछे कोई दृश्य नहीं। Section 9 इन दोनों के बीच रेखा खींचता है।
- "किताब बताएगी कि इनका कारण क्या है।" नहीं बताती। pp.125 और 126 से जाँचा गया।
Ask your teacher a person
Your teacher reads this and writes back, usually within a day. For an instant answer, use Ask the video in the sidebar.
Your class sees the question and the answer. Only your teacher sees that it was you.
No questions on this topic yet.
Worked answers to this chapter’s exercises
पूरा transcript1,315 शब्द
अक्सर यही पूछा जाता है, क्या ये 2 lines समांतर दिखती हैं? और अक्सर जवाब आँख से ही दिया जाता है, कि हाँ, लगभग समांतर लग रही हैं। आज उसी गवाह पर मुकदमा है, आँख पर, और देखेंगे कि आँख कितनी आसानी से धोखा खाती है। और फिर देखेंगे कि जब आँख हार जाए, तब हमारे पास क्या बचता है। बोर्ड पर 3 चित्र हैं, और तीनों जानबूझकर आँख को धोखा देने के लिए बनाए गए हैं।
हर चित्र में lines सच में समांतर हैं, फिर भी कहीं मुड़ी हुई दिखती हैं, कहीं झुकी हुई। यानी यहाँ आँख थोड़ी सी नहीं चूकती, पूरी तरह उल्टा बताती है। एक एक करके हर चित्र को खोलेंगे, और हर बार पूछेंगे, इसे पक्का कैसे करें? पहला चित्र, एक बिंदु से निकलती 16 सीधी किरणें, पंखे की तरह फैली हुई। और उस बिंदु के दोनों तरफ़ एक एक खड़ी line, ऊपर से नीचे तक, पंखे के बीच से गुज़रती हुई।
आँख कहती है कि ये खड़ी lines बीच में बाहर की ओर फूली हुई हैं, जैसे धनुष। तो क्या ये lines सच में मुड़ी हुई हैं? पंखे की किरणें हटा दी जाएँ, तो वही lines बिल्कुल सीधी दिखती हैं। ध्यान रहे, lines का एक भी बिंदु हिला नहीं, बदला सिर्फ़ उनके आसपास का पैटर्न। अब नापकर देखो, दाईं line को किरणें 16 जगह काटती हैं, और बीच के 15 टुकड़ों में से हर एक ठीक 90 की दिशा में है।
जो बदलता है, वह किरणों का झुकाव है, वे इस line को 8 अलग अलग angles पर काटती हैं। बीच के पास किरणें line को लगभग लंब काटती हैं, और दूर जाकर बहुत तिरछी, यही बदलाव आँख को line का मुड़ना लगता है। तो lines मुड़ी नहीं हैं, बस उनके पीछे का पैटर्न बदलता जाता है। अब एक किरण को ध्यान से देखो, वह बीच वाले बिंदु से निकलती है, और दोनों खड़ी lines को काटती है।
जो line 2 lines को काटे, वह transversal है, तो हर किरण एक transversal है। हर किरण पर दोनों crossings के corresponding angles पढ़े गए, और सभी 16 किरणों पर वे बराबर निकले। और बराबर corresponding angles का मतलब है, lines समांतर। यानी जो पंखा आँख को धोखा दे रहा था, उसी में समांतर होने के 16 सबूत पहले से खिंचे हुए थे। किरणें न भी हों, तो अपना ruler किसी भी झुकाव पर दोनों lines के आर पार रख दो।
हर पूरे degree के झुकाव पर जाँचा गया, खड़े को छोड़कर सभी 179 झुकावों पर corresponding angles बराबर। और दोनों lines के बीच की दूरी, सभी 81 नापी गई ऊँचाइयों पर, हर बार एक जैसी। जाँच भी समांतर कहती है, और दूरी भी, सिर्फ़ आँख कुछ और कहती है। अब एक और चित्र, बीच में एक चमकता बिंदु, और उससे निकलती 36 किरणों का घना गुच्छा, ऊपर और नीचे फैला हुआ।
उस बिंदु के ऊपर एक पड़ी line है, और नीचे एक, बस यही 2 असली lines हैं। आँख को लगता है कि दोनों lines बीच से बाहर की ओर फूली हुई हैं। पर तर्क वही, हर किरण बीच के बिंदु से निकलती है, दोनों lines को काटती है, और सभी 36 पर corresponding angles बराबर। ऊपर वाली line के 35 टुकड़े, हर एक बिल्कुल पड़ा हुआ, जबकि किरणें उसे 18 अलग angles पर काटती हैं।
आख़िरी चित्र अलग है, छोटी छोटी टाइलों की कतारें, हर कतार ऊपर वाली से थोड़ी खिसकी हुई। आँख को कतारें ढलान वाली दिखती हैं, और अलग अलग कतारें अलग अलग तरफ़ झुकी हुई। पर बनावट में सभी 8 कतारों की हर टाइल एक ही ऊँचाई पर है, यानी हर कतार पूरी तरह पड़ी हुई। तो क्या यहाँ भी transversal रखकर जाँच कर सकते हैं? मुश्किल यह है कि यहाँ कोई line खींची ही नहीं गई, जो दिखती है वह टाइलों के किनारों से बनती है।
सबसे लंबा सीधा किनारा बस 1 टाइल का है, जबकि कतार 12 टाइलों की, तो ruler रखने को कुछ है ही नहीं। इसलिए यहाँ ईमानदारी से मानना होगा कि जाँच सीधे नहीं लगती, पर बाकी टाइलें ढककर एक एक कतार खोलें, तो हर कतार सीधी दिखती है। अब सबसे बड़ा सवाल, ये धोखे होते क्यों हैं? सच यह है कि यह सवाल lines के बारे में है ही नहीं, यह आँख और दिमाग के काम करने के बारे में है।
और ज्यामिति के पास इसका कोई जवाब नहीं, इसलिए हम इसे खुला छोड़ते हैं, कोई गढ़ी हुई वजह नहीं जोड़ेंगे। ज्यामिति इतना ज़रूर कह सकती है कि ये चित्र किस बात का सबूत नहीं हैं, lines के मुड़ने का तो बिल्कुल नहीं। पहली गलत बात, कि चित्र में lines सच में टेढ़ी की गई हैं, नहीं, बदला सिर्फ़ पीछे का पैटर्न। दूसरी गलत बात, कि दिखने पर भरोसा आम तौर पर ठीक है, और जाँच बस मुश्किल मौकों के लिए है।
इन चित्रों के बाद साफ़ है कि दिखना कोई सबूत है ही नहीं, न थोड़ा, न ज़्यादा। तीसरी गलत बात, कि तब तो ज्यामिति पर भी भरोसा नहीं, असल में बात उल्टी है। जहाँ आँख हार गई, वहाँ corresponding angles की जाँच ने बचाया, यही तर्क की ताकत है। अब एक अलग चीज़, keyboard की एक फ़ोटो, जिसमें चाबियों के किनारे दूर जाते हुए पास आते दिखते हैं। एक कैमरे की तरह गणना की गई, कमरे में 7 किनारे समांतर, पर फ़ोटो में 7 अलग अलग झुकाव, और सब 1 बिंदु पर मिलते हुए।
और जो 4 किनारे आड़े चलते हैं, वे फ़ोटो में भी पड़े ही रहते हैं। इसे perspective कहते हैं, कैमरा एक गहरी चीज़ को सपाट चित्र पर उतारता है, इसलिए दूर की चीज़ें सिमटती हैं। पटरियों का दूर जाकर मिलना भी यही है, यह धोखा नहीं, असली दृश्य का सच्चा रिकॉर्ड है। पर हमारे 3 चित्र सपाट ही बने थे, उनके पीछे कोई गहराई नहीं, इसलिए वे perspective नहीं, धोखा हैं।
आँख के बाद अगला गवाह, protractor, जो पूरे degree तक पढ़ता है। एक angle 60 हो और दूसरा 60 दशमलव 1, 60 दशमलव 2, 60 दशमलव 3 या 60 दशमलव 4, तो protractor हर बार 60 ही पढ़ेगा। यानी ये सभी 4 जोड़ियाँ नापने पर समांतर लगेंगी, जबकि कोई भी समांतर नहीं। नापने की गलती छोटी होती है, कभी इधर कभी उधर, और ज़्यादा ध्यान से नापो तो घटती जाती है।
धोखा ऐसा नहीं, वह बड़ा होता है, हमेशा एक ही तरफ़, और कितना भी घूरो, घटता नहीं। अब एक जोड़ी सोचो, 8 मिलीमीटर दूर, और बस 1 degree का फ़र्क। क्या ये कभी मिलेंगी, और कहाँ? गणना कहती है, लगभग 458 मिलीमीटर आगे जाकर, जो किसी कॉपी की शीट से कहीं बाहर है। और 100 मिलीमीटर की लंबाई में उनकी दूरी 2 मिलीमीटर से भी कम बदलती है, इतना छोटा फ़र्क आँख पकड़ ही नहीं पाती।
तो शीट पर ये समांतर दिखेंगी, और सिर्फ़ angles की बराबरी या गैरबराबरी ही फ़ैसला करेगी। जाँच इतनी भरोसेमंद क्यों है, क्योंकि 2 corresponding angles का फ़र्क, ठीक उतना होता है जितना दोनों lines के बीच का angle। यह हर पूरे degree के फ़र्क और हर transversal पर जाँचा गया, सभी 3098 मामलों में ठीक यही निकला। तो angles बराबर, यानी फ़र्क शून्य, यानी lines के बीच कोई angle नहीं, यानी समांतर।
और जब angles तर्क से बराबर पता हों, जैसे पंखे की किरणों में, तब नापना ही नहीं पड़ता, फ़ैसला पूरा पक्का। खुद बनाकर देखो, 2 समांतर lines खींचो, और उनके पीछे किसी बिंदु से बहुत सारी किरणें। फिर ruler को आर पार रखो, दोनों corresponding angles देखो, और तय करो कि lines समांतर हैं या नहीं। और खिसकी हुई टाइलों वाले पैटर्न में, बाकी को ढककर एक कतार खोलो, और देखो कि वह कैसी दिखती है।
हर बार खुद से पूछो, मेरा फ़ैसला आँख पर टिका है, या किसी जाँच पर? याद रखो, दिखना कोई सबूत नहीं। चित्रों में lines नहीं बदलीं, बस उनके पीछे का पैटर्न। पंखे की हर किरण एक transversal थी, और हर एक ने समांतर ही बताया। perspective असली दृश्य का सच्चा चित्र है, धोखा नहीं। और धोखा क्यों होता है, यह सवाल आँख और दिमाग का है, ज्यामिति का नहीं।
यह कहाँ बैठता है
यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.
किस पर टिका है
- What "parallel" actually claims, and why it is hard to checkकक्षा 7 · Ch 5, Parallel and Intersecting Lines
- Corresponding angles are equal exactly when the lines are parallelकक्षा 7 · Ch 5, Parallel and Intersecting Lines
- The four angles at a crossing: vertically opposite and linear pairsकक्षा 7 · Ch 5, Parallel and Intersecting Lines
इसके ठीक पहले और ठीक बाद
- Alternate angles, and interior angles that add to 180°कक्षा 7 · Ch 5, Parallel and Intersecting Lines
- Encoding a line-up as a sequence of numbersकक्षा 7 · Ch 6, Number Play