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Chapter 4 · Expressions using Letter-Numbers

जो बात शब्द एक paragraph में कहते हैं, formula उसे एक line में क्यों कह देता है

Algebra as a language for patterns11 मिनट

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महीने के calendar में 2 by 2 की खिड़की लो, और उसके विकर्ण जोड़ो: 12 + 20 = 32, और 13 + 19 = 32। संयोग, या हर खिड़की में सच?

मुख्य idea

Algebra आम भाषा से उसी वजह से छोटा है जिस वजह से वह ज़्यादा ताक़तवर है: वाक्यों को एक बार में एक square के बारे में बोलना पड़ता है, और एक letter सबके बारे में एक साथ बोलता है। calendar वाला section यह बात सिर्फ़ कहता नहीं, साबित करता है — दो-गुणा-दो squares अनगिनत हैं, इसलिए कितना भी जाँच लो, काम पूरा नहीं हो सकता, पर अनजाने ऊपर-बाएँ कोने को नाम दे देने से एक कभी न ख़त्म होने वाली जाँच simplification की तीन lines में बदल जाती है, जो हर उस square को ढक लेती हैं जो कभी भी होगा।

आपको क्या आना चाहिए

  • numbers के grid में देखा गया कोई pattern शब्दों में कहना
  • समझाना कि और cases जाँचने से अनगिनत cases के बारे में किया गया दावा तय क्यों नहीं हो सकता
  • grid की कोई एक entry चुनना, उसे एक letter से पुकारना, और उसके पड़ोसियों को उसके हिसाब से लिखना
  • दो expressions को सरल करना और नतीजे से यह सही ठहराना कि कोई pattern हमेशा टिकता है
  • बताना कि तर्क ने क्या साबित किया है, और वह कहाँ तक पहुँचता है
  • यही तरीक़ा grid की entries के किसी अलग आकार वाले समूह पर लगाना
  • किसी रिश्ते के algebraic कथन की तुलना आम भाषा में उसी कथन से करना, और बताना कि कौन किस बात में बेहतर है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
algebraic modellingकिसी स्थिति को letters में लिखना, ताकि उसके बारे में किसी दावे को तय किया जा सकेबीजीय निदर्शनPart I, §4.5, p.99 के उल्लू वाले callout में छपा
diagonalentries के किसी square block की कोने-से-कोने वाली दो जोड़ियों में से एकविकर्णPart I, §4.5, p.98 पर छपा
gridrows और columns में सजे numbersजालक / ग्रिडPart I, §4.5, p.98 पर छपा
rowgrid में entries की एक आड़ी lineपंक्तिPart I, §4.5, p.98 पर छपा
columngrid में entries की एक खड़ी lineस्तंभPart I, §4.5, p.105 पर छपा
endlessबिना किसी आख़िरी entry के चलते जाना — chapter calendar को इसी तरह बढ़ाता हैअनंतPart I, §4.5, p.98 पर छपा
simplifyकिसी expression को कम terms के साथ फिर से लिखना, ताकि value हर जगह वही रहेसरल करनाPart I, §4.4, p.88 पर छपा और §4.5, p.99 में इस्तेमाल हुआ
verifyकिसी दावे को एक case में जाँचना — उसे सभी cases में तय करने से अलगसत्यापित करनाPart I, §4.5, p.99 पर छपा
letter-numbernumber की जगह इस्तेमाल होने वाला letterअक्षर-संख्याPart I, §4.1, p.82 पर छपा
proofऐसा तर्क जो हर case को एक साथ तय कर देउपपत्तियहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा, जो इसकी जगह कहता है कि कोई बात किसी भी value के लिए दिखा दी गई है

Hindi column में standard NCERT Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। इस brief के लिए इस्तेमाल हुए corpus में कक्षा 7 की Ganita Prakash का कोई Hindi संस्करण नहीं है, इसलिए ये cells Hindi छपाई से पढ़कर नहीं लिए गए — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "बहुत सारे cases जाँचना ही साबित करना है।" chapter पूरा calendar वाला block इसी को नकारने के लिए बनाता है, और यह पहले grid को अनंत बनाकर करता है।
  • "मैंने जितने squares आज़माए, सब पर चला, इसलिए यह चलता है।" सच है, और बेमानी: दावा उन squares के बारे में है जिन्हें किसी ने नहीं आज़माया। यह वही फ़र्क़ है जो Turning a pattern into a formula that predicts में matchstick वाले formulas ने उठाया था, और यहाँ एक तरीक़े की तरह आता है।
  • "a का मतलब number 12 है।" a वह entry है जो ऊपर-बाएँ कोने में संयोग से हो। तर्क ठीक इसीलिए चलता है कि व्याख्या कभी नहीं बताती कि कौन-सी।
  • "+7 calendars का एक नियम है।" यह सात columns वाले grid का नियम है। यह बात कहो, क्योंकि p.105 वाले चार columns के grid में उसी जगह +4 है, और जिस student ने 7 रट लिया, वह वहाँ उलझ जाएगा।
  • "Algebra बस shorthand है — इसे हमेशा शब्दों में भी लिखा जा सकता है।" नतीजा शब्दों में लिखा जा सकता है। जो शब्दों में नहीं लिखा जा सकता, वह है अनगिनत squares पर जाँच, क्योंकि ऐसा कोई सीमित वाक्य नहीं जो उसे कर दे। यहाँ संक्षेप और व्यापकता एक ही गुण हैं, और यही इस topic का तर्क है।
  • "cross वाला नतीजा साबित है, क्योंकि पाँच उदाहरण चल गए।" किताब बीच वाली के पाँच गुने वाला नतीजा बताती है, फिर पूछती है कि इसे कैसे दिखाया जा सकता है, और तर्क देने के बजाय एक संकेत देती है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 4.1 Q7, Figure it Out · 4.5 Q15

पूरा transcript1,526 शब्द

एक महीने का कैलेंडर लो, हर पंक्ति में 7 दिन, शुरू में 5 खाने खाली, फिर 1 और 2, और आखिरी पंक्ति 30 पर खत्म। अब इस पर एक छोटी खिड़की रखो, 2 पंक्ति और 2 खाने की, जो 12, 13 और उनके नीचे 19, 20 को घेरती है। हर पंक्ति में 7 खाने इसलिए हैं कि हफ़्ते में 7 दिन होते हैं, और यह बात आगे बहुत काम आएगी।

इस खिड़की में कुछ ऐसा ढूँढो जो सच हो, और फिर पूछो कि क्या वह हर खिड़की में सच है। एक विकर्ण, 12 और 20, जोड़ 32। दूसरा विकर्ण, 13 और 19, जोड़ भी 32। पर पंक्तियाँ ऐसा नहीं करतीं, ऊपर 12 plus 13 है 25, नीचे 19 plus 20 है 39, पूरे 14 का फ़र्क। एक और खिड़की आज़माओ, ऊपर 1 और 2, नीचे 8 और 9, तो 1 plus 9 है 10, और 2 plus 8 भी 10।

और महीने के आखिर में, ऊपर 22 और 23, नीचे 29 और 30, तो 22 plus 30 है 52, और 23 plus 29 भी 52। तो क्या विकर्णों का मिलना संयोग है, या हर खिड़की में ऐसा होगा? इस महीने में पूरी भरी हुई ऐसी 19 खिड़कियाँ हैं, और गिनकर देखा, हर एक में विकर्ण बराबर। क्या अब यह साबित हो गया? जितनी खिड़कियाँ आज़माईं, सबमें सच था, यह बात सही है, पर दावा उन खिड़कियों के बारे में भी है जिन्हें किसी ने आज़माया नहीं।

और इस महीने में इससे ज़्यादा खिड़कियाँ हैं ही नहीं, तो यहाँ जाँच पूरी लगती है। और अगला महीना, उसके बाद वाला, और आगे के सारे? अब गिनती 30 पर मत रोको, अगली पंक्ति 31 से 37, फिर 38 से 44, और ऐसे ही आगे। इस फैले हुए ग्रिड की कोई आखिरी पंक्ति नहीं, इसलिए कोई आखिरी खिड़की भी नहीं। अब 7000 तक की गिनती देखें, तो 5993 खिड़कियाँ, और हर एक में विकर्ण बराबर।

पर 7000 के बाद भी पंक्तियाँ हैं, यानी जाँचना कभी खत्म नहीं हो सकता, चाहे कितनी भी खिड़कियाँ गिन लो। ग्रिड को जानबूझकर आगे बढ़ाया गया, ताकि कोई आखिरी खिड़की न बचे, और गिनकर खत्म करने की उम्मीद भी न बचे। इसलिए एक ऐसा तरीका चाहिए जो एक बार में हर खिड़की के बारे में बोले। खिड़की के ऊपर बाएँ कोने वाले number का नाम a रखो। a बराबर 12 नहीं है, a वह number है जो कोने में हो, कोई भी, खिड़की जहाँ भी रखी हो।

letter वही है जो हमने पहले देखा था, एक number जिसकी पहचान छुपा ली गई है, इसलिए हर number वाला नियम उस पर चलता है। पूरा तर्क इसीलिए चलता है कि हम कभी नहीं बताते कि a कौन सा number है। पहले शब्दों में, कोने के दाएँ वाला number, कोने से 1 ज़्यादा। नीचे वाला 7 ज़्यादा, क्योंकि एक पंक्ति में 7 दिन हैं। और तिरछा सामने वाला, 7 plus 1, यानी 8 ज़्यादा।

दाएँ वाला अगला दिन है, और नीचे वाला ठीक एक हफ़्ते बाद, इसलिए ये बातें हर खिड़की पर लागू होती हैं। यह बात महीने की सारी 19 खिड़कियों पर, और 7000 तक की सारी 5993 खिड़कियों पर भी मिलाकर देखी गई। अब letters में, ऊपर की पंक्ति a और a plus 1। नीचे की पंक्ति a plus 7 और a plus 8। जाँच के लिए a बराबर 12 रखो, तो 12, 13, और नीचे 19, 20, ठीक पहली खिड़की।

यह एक खिड़की, हर खिड़की की जगह खड़ी है, कोने में जो भी number आए। पहला विकर्ण, a plus bracket a plus 8, समान पद मिलाओ, 2 a plus 8। दूसरा विकर्ण, bracket a plus 1, plus bracket a plus 7, तो 2 a, और 1 plus 7, यानी 8, फिर से 2 a plus 8। दोनों व्यंजक एक जैसे हैं, a के वही 2 गुना और वही 8, कोई जाँच नहीं, बस सरल करना।

शब्दों में, कोने के दुगने से 8 ज़्यादा। पहली खिड़की पर a बराबर 12, तो 24 plus 8, यानी 32, वही जो हमने जोड़कर पाया था। इन 3 पंक्तियों ने हर वह खिड़की निपटा दी जो कभी भी बनेगी, महीने में या उसके बहुत आगे। गिनती वाली जाँचें पुष्टि थीं, सबूत तो letter वाला हिसाब है। अब पंक्तियों का जोड़ भी देखो, ऊपर a और a plus 1, यानी a का दुगना plus 1, और नीचे a का दुगना plus 15।

तो नीचे वाली हमेशा 14 ज़्यादा, हर खिड़की में, जैसा महीने की सारी 19 खिड़कियों में दिखा भी। यानी letter सिर्फ़ यह नहीं बताता कि क्या बराबर है, यह भी बताता है कि क्या कभी बराबर नहीं होगा। अब एक अलग आकार, एक plus जैसा, ऊपर 8, बीच में 14, 15, 16, और नीचे 22। सबको जोड़ो, कुल 75। और बीच का number 15, उसका 5 गुना भी 75। एक और plus आकार, बीच में 18, ऊपर 11, बाएँ 17, दाएँ 19, नीचे 25, कुल 90, और 18 का 5 गुना भी 90।

पर 16 के चारों ओर plus नहीं बनता, वह आखिरी खाने में है, उसके दाएँ कुछ नहीं। तो यह हर ऐसे plus आकार में सच है, यह कैसे दिखाओगे? वही चाल, बीच वाले का नाम a रखो। ऊपर वाला 7 कम, a minus 7, बाएँ वाला a minus 1, दाएँ a plus 1, और नीचे a plus 7। जोड़ो, 5 बार a, और minus 7 plus 7, minus 1 plus 1, सब कट जाते हैं, बचता है बस 5 a।

ये इसलिए कटते हैं कि आकार बीच के चारों ओर बराबर फैला है, जितना ऊपर कम, उतना नीचे ज़्यादा। इसलिए कुल हमेशा बीच का 5 गुना है, हर plus आकार में जो कभी भी बनेगा। पुष्टि के लिए, महीने के 11 पूरे plus आकार और 7000 तक के 4990, सबमें यही निकला। एक ज़रूरी बात, यह 7 कैलेंडर का कोई नियम नहीं, यह ग्रिड की चौड़ाई है। अब numbers को हर पंक्ति में 4 के हिसाब से रखो, 1 से 4, फिर 5 से 8, और आगे।

यहाँ खिड़की है a, a plus 1, नीचे a plus 4 और a plus 5। विकर्ण, a plus a plus 5, और a plus 1 plus a plus 4, दोनों 2 a plus 5, और 400 तक की सारी 297 खिड़कियों में यही। जिसने बस 7 रट लिया था, वह यहाँ अटक जाएगा, जिसने समझा कि नीचे वाला एक पूरी पंक्ति आगे है, वह नहीं। यानी जहाँ 7 था, वहाँ अब 4 है, तर्क वही, बस चौड़ाई बदली।

इस ग्रिड का आखिरी खाना हमेशा 4 का गुणज है, 4 n, उससे पहले 4 n minus 1, फिर 4 n minus 2, और पहला 4 n minus 3। अब 124 कहाँ है, 4 से भाग करो तो ठीक 31, तो पंक्ति 31, आखिरी खाना। और 147 पंक्ति 37 के खाना 3 में, और 201 पंक्ति 51 के पहले खाने में। और आम तौर पर पंक्ति r, खाना c में लिखा है 4 गुणा bracket r minus 1, plus c, यह 100 पंक्तियों के हर खाने पर मिलाकर देखा गया।

वापस 7 वाले महीने पर, अब 2 पंक्ति और 3 खाने की खिड़की, नीचे बीच वाले का नाम w। नीचे की पंक्ति w minus 1, w, w plus 1। ऊपर वाली, हर एक 7 कम, तो w minus 8, w minus 7, w minus 6। और इसके दूर वाले कोने भी, w minus 8 plus w plus 1, और w minus 6 plus w minus 1, दोनों 2 w minus 7।

महीने में ऐसी 15 खिड़कियाँ हैं, और हर एक इसी तरह भरती है। अब खुद आज़माओ, 3 पंक्ति और 3 खाने की खिड़की, बीच वाले का नाम a। ऊपर की पंक्ति a minus 8, a minus 7, a minus 6, बीच में a minus 1, a, a plus 1, और नीचे a plus 6, a plus 7, a plus 8। सबको जोड़ो, 9 बार a, और हर minus को उसका plus काट देता है, तो कुल 9 a।

महीने में बीच 15 वाली खिड़की लो, 7, 8, 9, 14, 15, 16, 21, 22, 23, कुल 135, और 15 का 9 गुना भी 135। पुष्टि के लिए, महीने की सारी 10 ऐसी खिड़कियों में और 7000 तक की 4988 में, कुल हमेशा बीच का 9 गुना। आकार कोई भी हो, तरीका वही, एक खाने का नाम रखो, बाकी खानों के व्यंजक उसी से बनाओ, और सरल करो। सोचो, शब्दों में यह बात कैसे कहते, हर खिड़की के कोने के दुगने से 8 ज़्यादा, एक लंबा वाक्य, और फिर भी एक समय में एक खिड़की की बात।

letter सबकी बात एक ही बार में करता है, a कोई भी हो सकता है। बीजगणित सिर्फ़ छोटा लिखने का तरीका नहीं, नतीजा शब्दों में लिखा जा सकता है, पर अनगिनत खिड़कियों की जाँच कोई वाक्य नहीं कर सकता। गिनकर जाँचने वाला हर खिड़की पर रुकता, और खिड़कियाँ कभी खत्म नहीं होतीं। यहाँ छोटा होना और हर जगह लागू होना एक ही गुण है। याद रखो, ग्रिड की कोई आखिरी खिड़की नहीं, इसलिए गिनकर जाँचना कभी पूरा नहीं होता।

कोने का नाम a रखो, और बाकी खानों के व्यंजक उसी से बनाओ, पहले शब्दों में, फिर letters में। दोनों विकर्ण 2 a plus 8, एक जैसे व्यंजक, इसलिए हर खिड़की में बराबर। वह 7 ग्रिड की चौड़ाई से आया, 4 की चौड़ाई पर वही तर्क 4 से चलता है। और letter एक बार में हर मामले की बात करता है, यही बीजगणित की ताकत है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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