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Chapter 3 · A Peek Beyond the Point

भारतीय place value को point के दाईं ओर आगे बढ़ाना

The decimal place value system15 मिनट

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इकाई को 10 में ही क्यों काटते हैं? 4 में काटो तो भी पैमाना चलता है: एक पेंसिल 2 इकाई और 2 चौथाई पढ़ी जाती है। 10 एक चुनाव है, और उसकी वजह इकाई के बाईं तरफ़ बैठी है, जहाँ सब कुछ पहले से 10-10 में गिनता है।

मुख्य idea

place value सिर्फ़ जगह के बल पर काम करती है, और जिस पल fractional जगहों की इजाज़त मिलती है, ठीक यही चीज़ टूट जाती है: बिना किसी निशान के लिखे digits 705 तीन अलग मात्राओं का नाम हो सकते हैं, और उनमें कुछ भी नहीं बताता कि कौन-सी (Part I, §3.4, p.61)। decimal point कोई नया number वाला विचार नहीं, वह मरम्मत है — एक निशान जो तय करता है कि units की जगह कहाँ बैठी है, और उसके बाद हर दूसरी जगह अपने आप तय हो जाती है। और दस का चुनाव भी प्रकृति ने थोपा नहीं है: chapter unit को चार में और सोलह में बँटा हुआ दिखाता है और साफ़ कहता है कि यह भी काम करता है (Part I, §3.4, p.59)। दस इसलिए चुना जाता है कि point के बाईं ओर वाला system पहले से दस-दस में गिनता है, और जो system आधे रास्ते में अपनी दर बदल दे, वह एक system नहीं रहेगा।

आपको क्या आना चाहिए

  • बताना कि unit को कितने भी बराबर हिस्सों में बाँटा जा सकता है, और हमेशा दस चुनने का chapter का कारण देना
  • जगहों की दस-से-एक वाली कड़ी को units के आगे दाईं ओर बढ़ाना और उससे बनने वाली जगहों के नाम बताना
  • समझाना कि इस कड़ी की किसी भी दिशा में कोई आख़िरी जगह क्यों नहीं है
  • बताना कि इस system को decimal क्यों कहा जाता है, और शब्द का इतिहास वैसे देना जैसे chapter देता है
  • एक हल किए हुए उदाहरण से दिखाना कि बिना किसी अलग करने वाले निशान के digits लिखने से मात्रा अस्पष्ट रह जाती है
  • decimal point से उन मात्राओं को लिखना जो वरना आपस में उलझ जातीं, और point को इस निशान की तरह पढ़ना कि units की जगह कहाँ ख़त्म होती है
  • दिए गए decimal number के लिए place value table भरना और पढ़ना कि हर digit क्या जोड़ता है
  • decimal number को point के बाद digit-दर-digit बोलकर पढ़ना, और बताना कि point के बाद के digits को एक पूरे number की तरह क्यों नहीं पढ़ा जाता
  • एक ही size के हिस्सों की गिनती को decimal रूप में बदलना, जैसे 234 दसवें के साथ

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
decimal pointunits की जगह और दसवें की जगह के बीच लगाया गया निशानदशमलव बिंदुPart I, §3.4, p.62 में छपा, bold में
separatorchapter point के काम को यही कहता हैविभाजकPart I, §3.4, p.62 में छपा
periodख़ुद निशान के लिए chapter का दूसरा नामविराम चिह्नPart I, §3.4, p.62 में छपा
decimal systemnumbers लिखने का वह तरीक़ा जो दस से बार-बार बाँटने पर बना हैदशमलव प्रणालीPart I, §3.4, p.61 में छपा
decimal notationpoint का इस्तेमाल करके लिखी गई मात्रादशमलव संकेतनPart I, §3.4, p.62 में छपा
decimal numberउस notation में लिखा गया numberदशमलव संख्याPart I, §3.4, p.62 में छपा
place valueकोई digit जहाँ बैठा है, उसकी वजह से उसकी क़ीमतस्थानीय मानPart I, §3.4, p.59 में छपा
Indian place value systemपूरे numbers का वह system जिसे यह chapter दाईं ओर बढ़ाता हैभारतीय स्थानीय मान प्रणालीPart I, §3.4, p.59 में छपा
one-thousandthउन दस हिस्सों में से एक जिनमें सौवाँ काटा जाता हैहज़ारवाँ भागPart I, §3.4, p.63 में बहुवचन में, one-thousandths के रूप में छपा; एकवचन बाद में, Part I, §3.5, p.67 पर आता है
thousandthsवही हिस्से, गिने हुएसहस्रांशPart I, §3.4, p.61 में, How Big? वाले सवालों में छपा
daśhaदस के लिए Sanskrit शब्द, जिससे chapter इस नाम को जोड़ता हैदशPart I, §3.4, p.61 में italics में छपा
decimal placepoint के दाईं ओर की जगहों में से एकदशमलव स्थानPart I, §3.8, p.78 में, एक प्रतिद्वंद्वी notation के ब्योरे में छपा
base tenदस-दस के समूह बनाने वाले system का दूसरी जगहों पर चलने वाला आम नामदशाधारव्याख्या का अपना शब्द; इस chapter में नहीं छपा, जो कहता है कि system दस number पर बना है

Hindi column में standard NCERT Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। इस brief के लिए इस्तेमाल हुए corpus में कक्षा 7 Ganita Prakash का कोई Hindi संस्करण नहीं है, इसलिए ये cells किसी Hindi छपाई से नहीं पढ़े गए — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "unit को चार में बाँटने की इजाज़त नहीं है।" chapter साफ़ शब्दों में इसका उलटा कहता है और इसे साबित करने के लिए चौथाई और सोलहवें वाली scales छापता है। जो व्याख्या दस वाले बँटवारे को क़ानून बना देती है, उसने section को उलट दिया है: बात यह है कि दस चुना गया है, एक कारण से, और वह कारण बताया गया है।
  • "decimal point एक नई क्रिया है।" यह जगह का निशान है। इससे न कुछ गुणा होता है, न भाग, न कुछ जुड़ता है।
  • "point number के बीच में बैठता है।" वह units की जगह के ठीक दाईं ओर बैठता है, और number उसके दोनों ओर एक जैसा नहीं है। units और दसवें के बीच कोई जगह नहीं है, और दाईं ओर units के जोड़ की कोई जगह नहीं है।
  • "7.05 यानी सात और पाँच।" यह सात units और पाँच सौवें है, और दसवें की जगह ख़ाली है। 705 की chapter वाली तीन readings ठीक इसी student के लिए हैं।
  • "point के बाद digits को एक पूरे number की तरह पढ़ो।" page 0.274 के लिए इसे ख़ारिज करता है और कारण बताता है: वे तीन digits तीन अलग size के हिस्सों का नाम लेते हैं, इसलिए हर एक अलग बोला जाता है।
  • "234 दसवें को point के साथ नहीं लिखा जा सकता क्योंकि 234, 10 से बड़ा है।" यह 23.4 बन जाता है। base से बड़ी गिनतियों को सँवारा जाता है, ठीक वैसे जैसे 23 सैकड़े 2300 बन जाते हैं।
  • "जगहें हज़ारवें पर रुक जाती हैं।" chapter की आख़िरी कड़ी दस-हज़ारवें तक जाती है और कहती है कि यह बढ़ना दोनों सिरों पर जारी रहता है।
  • "decimal यूरोप का विचार है क्योंकि शब्द Latin है।" chapter का अपना ब्योरा इससे ज़्यादा सावधान है: वह दस के लिए Latin शब्द देता है, उसे Sanskrit से जोड़ता है, और आठ भारतीय भाषाओं के जुड़े हुए शब्द गिनाता है। ख़ुद notation का इतिहास Part I, §3.8, p.78 पर उठाया गया है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 3 Q16

पूरा transcript2,260 शब्द

अब तक हर बार इकाई को 10 बराबर हिस्सों में काटा है, और फिर हर हिस्से को दोबारा 10 में। पर किसी ने यह नहीं बताया कि 10 ही क्यों, तो आज यही सवाल पूछते हैं। तो 10 की जगह 4 हिस्से करके देखते हैं, कि होता क्या है। यह एक इकाई है, 4 बराबर हिस्सों में कटी हुई, और हर हिस्सा एक चौथाई है। अब एक पेंसिल को इस पैमाने पर लिटाकर रखते हैं।

वह 2 पूरी इकाइयों तक पहुँचती है, और फिर 2 चौथाई और आगे। यानी 2 इकाई और 2 चौथाई, और यह पढ़ाई बिल्कुल ठीक है। अब यही पेंसिल बटा 10 के निशानों वाले पैमाने पर रखें, तो वह क्या पढ़ी जाएगी? वह पढ़ी जाती है 2 इकाई और 5 बटा 10, यह भी बिल्कुल ठीक पढ़ाई है, और पेंसिल वही है। और चौथाई वाला पैमाना यहीं खत्म नहीं होता, उसे भी आगे बाँटा जा सकता है।

एक चौथाई लो, और उसे भी 4 बराबर हिस्सों में काटो। अब गिनो कि ऐसे कितने छोटे हिस्से एक पूरी इकाई को भरते हैं। इकाई में 4 चौथाई हैं, और हर चौथाई में 4 छोटे हिस्से। यानी 4 गुणा 4, पूरे 16 हिस्से, और वे इकाई को ठीक ठीक भर देते हैं। इस बारीक पैमाने पर वही पेंसिल 2 इकाई, और फिर ऐसे 8 छोटे हिस्से आगे तक पहुँचती है।

तो यह पूरा का पूरा 4 पर बना पैमाना है, और यह नापता है, और ज़रूरत पड़ने पर फिर से बँटता है। यानी 10 में बाँटना कोई मजबूरी नहीं थी, 4 में बाँटना भी बिल्कुल मना नहीं है। असल में 10 एक चुनाव है, और हर चुनाव के पीछे कोई वजह होनी चाहिए। वजह यह नहीं है कि 10 कोई 4 से बेहतर संख्या है। वजह इकाई के बाईं तरफ़ बैठी है, उन खानों में जिन्हें हम पहले से जानते हैं।

जैसे 281 को देखो, इसमें 2 hundreds हैं, 8 tens हैं, और 1 one है। नियम यह है, 10 ones मिलकर 1 ten बनाते हैं, 10 tens मिलकर 1 hundred, और 10 hundreds मिलकर 1 thousand। यानी बाईं तरफ़ का पूरा हिस्सा पहले से ही 10-10 में गिनता है। अब सोचो, अगर इकाई के दाईं तरफ़ 4 में बाँटें, और बाईं तरफ़ जैसा है वैसा रहने दें, तो क्या बनेगा?

तब एक ही number एक तरफ़ 10 में गिनेगा, और दूसरी तरफ़ 4 में, और गिनती की दर ठीक इकाई पर बदल जाएगी। तब लिखे हुए 2 और 2 का मतलब 2 इकाई और 2 चौथाई होता, जो 2 इकाई और 2 बटा 10 से पूरे 3 बटा 10 ज़्यादा है। जिस तरीके की दर बीच में बदल जाए, वह एक तरीका नहीं, 2 जोड़े हुए टुकड़े हैं। इसलिए इकाई को 10 में काटते हैं, ताकि पूरी चीज़ एक ही रहे।

अब बाईं तरफ़ को ठीक से बनाते हैं, क्योंकि इसे आगे बढ़ाना है। एक कतार में खाने हैं, 10000, 1000, 100, 10, और 1। बाईं ओर चलो तो हर खाना पिछले खाने का 10 गुना है। देखो, 1 का 10 गुना 10, 10 का 10 गुना 100, 100 का 10 गुना 1000, और 1000 का 10 गुना 10000। और दाईं ओर चलो तो हर खाना पिछले खाने का 1 बटा 10 है।

उल्टा चलें, तो 10000 को 10 से भाग देने पर 1000 मिलता है, फिर 100, फिर 10, और फिर 1। यह पूरी chain का एक ही नियम है, बाईं ओर 10 से गुणा, और दाईं ओर 10 से भाग। और यह नियम हर पड़ोसी जोड़ी पर लगता है, यहाँ के सारे 4 फ़ासलों पर। तो सीधी सी बात है, 1 पर पहुँचकर रुकने की कोई वजह नहीं है। दाईं ओर चलते रहो, और फिर से 10 से भाग करो।

यानी 1 को 10 से भाग देने पर मिलता है 1 बटा 10, और यही अगला खाना है। इस खाने में क्या रहता है, यह हम पहले से जानते हैं, बटा 10 वाले हिस्से। फिर भाग करो, 1 बटा 10 को 10 से भाग देने पर मिलता है 1 बटा 100। और फिर, 1 बटा 100 को 10 से भाग देने पर मिलता है 1 बटा 1000। यहाँ कुछ नया नहीं बनाया गया, वही नियम बस रोका नहीं गया।

इकाई के दाईं तरफ़ के खाने बाईं तरफ़ वालों से किसी अलग किस्म के नहीं हैं। एक लंबी chain बनाओ, तो उसमें 10 खाने आते हैं, बाईं ओर 100000 से, दाईं ओर 1 बटा 10000 तक, और सारे 9 फ़ासलों पर वही 10 का नियम। हर खाने के 10 मिलकर अगला खाना बनाते हैं, दोनों दिशाओं में, पूरी chain में। अब कुछ गिनती करते हैं, ताकि ये खाने हाथ में आ जाएँ।

पहली, 1 इकाई को बटा 1000 वाले हिस्सों से भरें, तो पूरे 1000 लगते हैं। इसी तरह 1 बटा 10 को भरने में 100 बटा 1000 लगते हैं, और 1 बटा 100 को भरने में सिर्फ़ 10। अब उल्टी तरफ़ से, 1 ten को बटा 10 वाले हिस्सों से भरने में 100 बटा 10 लगते हैं। और 1 ten को बटा 100 वाले हिस्सों से भरने में पूरे 1000 बटा 100।

गौर करो, हर जवाब में 1 के बाद बस zero हैं, और जितने खाने दूर, उतने ही zero। बटा 1000 वाले खाने से hundreds तक के खानों की सारी 15 जोड़ियों में यह गिनकर देखा गया, और हर जोड़ी में यही निकलता है। और इस chain का किसी भी सिरे पर कोई आखिरी खाना नहीं है। इसे अपनी आँखों से देखते हैं, एक line को बड़ा कर करके। यह 0 से 1 तक की line है, बटा 10 वाले हिस्सों में बँटी हुई।

अब 6 बटा 10 और 7 बटा 10 के बीच वाले टुकड़े को उठाओ, और बड़ा करके देखो। अब यह बटा 100 वाले हिस्सों में बँटा है, एक सिरे पर 60 बटा 100, और दूसरे पर 70। अब 66 बटा 100 और 67 बटा 100 के बीच वाले टुकड़े को फिर से बड़ा करो। यह टुकड़ा बटा 1000 वाले हिस्सों में बँटा है, 660 बटा 1000 से 670 बटा 1000 तक।

हर बार टुकड़ा 10 हिस्सों में कटता है, और हर नया टुकड़ा पिछले टुकड़े का 1 बटा 10 है। ये सब एक ही line के एक ही हिस्से हैं, बस बड़े करके देखे गए, और कहीं भी जगह खत्म नहीं होती। लिखने के इस पूरे तरीके का एक नाम है, और वह नाम असल में 10 का ही नाम है। हिंदी में इसे दशमलव प्रणाली कहते हैं, और इस शब्द की शुरुआत ही दश से होती है।

संस्कृत में 10 को दश कहा जाता है। Latin में 10 को decem कहते हैं, और अंग्रेज़ी का decimal उसी से बना है। Greek में यही शब्द deka है, भाषाएँ अलग, आवाज़ें अलग, पर नीचे वही पुराना शब्द बैठा है। तो दशमलव का मतलब बिंदु नहीं है, और न ही भिन्न। इसका मतलब है 10, और यह इस तरीके के बारे में सबसे ज़रूरी बात बताता है। इसमें सब कुछ, बिंदु के दोनों तरफ़, 10-10 में बँधता है।

अब एक मुश्किल आती है, और बाकी पूरा video इसी मुश्किल की वजह से है। हर हिस्से को शब्दों में लिखना धीमा है, जैसे 4 इकाई और 2 बटा 10। तो वही करते हैं जो जगह वाला तरीका पहले से करता है, कि जगह ही मतलब बताए। बस digits लिखो, पहले 4, और फिर 2। पर ऐसे लिखा हुआ तो 42 पढ़ा जाता है। जबकि हमारा मतलब था 4 इकाई और 2 बटा 10, जो बिल्कुल अलग चीज़ है।

बगल बगल बैठे 4 और 2 का मतलब, 4 tens और 2 ones भी हो सकता है, और 4 इकाई और 2 बटा 10 भी। ये 2 बिल्कुल अलग मात्राएँ हैं, एक दूसरी की 10 गुनी, और digits अकेले नहीं बताते कि कौन सी। मामला 3 digits में और बिगड़ता है, जैसे 7, 0 और 5। पहली पढ़ाई, 7 hundreds और 5 ones, यानी 705। दूसरी पढ़ाई, 7 tens और 5 बटा 10, यानी 70 और आधा।

तीसरी पढ़ाई, 7 इकाई और 5 बटा 100, यानी 7 से थोड़ा सा ज़्यादा। यहाँ 3 मात्राएँ हैं, और सबसे बड़ी सबसे छोटी की पूरी 100 गुनी है। पर क्या पढ़ाइयाँ बस इतनी ही हैं? नहीं, इकाई वाली जगह को और खिसकाते जाओ, तो हर बार नई मात्रा मिलती है, 7 जगहों पर 7 अलग मात्राएँ। हर पढ़ाई 705 ही है, बस 10 से कुछ बार गुणा या भाग की हुई।

और यह हर 3 digit वाले number में होता है, सारे 900 में हर एक की 3 पढ़ाइयाँ 3 अलग मात्राएँ हैं। digits यह तय करते हैं कि कौन सा number है, पर यह नहीं कि इकाई की जगह कहाँ बैठी है। तो इलाज सीधा है, लिखकर बताओ कि इकाई की जगह कहाँ है, और इसके लिए बस एक निशान चाहिए। इकाई वाले digit के ठीक बाद एक बिंदु लगाओ।

पहली मात्रा में इकाई आखिरी digit है, तो बिंदु के बाद कुछ नहीं, और वह 705 ही रहती है। दूसरी है 70 दशमलव 5, यानी 7 tens, कोई one नहीं, और 5 बटा 10। तीसरी है 7 दशमलव 0 5, यानी 7 इकाई, कोई बटा 10 वाला हिस्सा नहीं, और 5 बटा 100। हर बार वही digits हैं, 7, 0 और 5, और फ़ैसला बिंदु करता है। इस बिंदु का नाम है दशमलव बिंदु, और यह इकाई की जगह को बटा 10 वाले हिस्सों की जगह से अलग करता है।

यह कोई गणित की क्रिया नहीं है, इससे न कुछ गुणा होता है, न भाग, न जोड़, यह बस एक विभाजक है। और यह number के बीचों बीच नहीं बैठता, इकाई के ठीक दाईं ओर बैठता है, और इकाई और बटा 10 वाले हिस्सों के बीच कोई और खाना नहीं है। कोई भी मात्रा, 1 बटा 100 से लेकर 99999 बटा 100 तक, इस तरह लिखकर वापस पढ़ो, तो हर बार ठीक वही मात्रा लौटती है।

एक गलती बहुत होती है, 7 दशमलव 0 5 को 7 और 5 पढ़ लेना। पर 7 इकाई और 5 बटा 10 तो 7 दशमलव 5 होता है, और वह एक अलग मात्रा है। देखो, 7 दशमलव 0 5 में बटा 10 वाले हिस्सों की जगह खाली है, और वह 0 उसी खाली जगह को पकड़े बैठा है। यह बात एक खानों वाली table में साफ़ दिखती है। ऊपर खानों के नाम हैं, hundreds, tens, इकाई, फिर बिंदु, फिर बटा 10 वाले हिस्से और बटा 100 वाले हिस्से।

पहली पंक्ति में, 70 दशमलव 5 के खानों में लिखा है, 7 गुणा 10, 0 गुणा 1, और 5 गुणा 1 बटा 10। और 7 दशमलव 0 5 के खानों में, 7 गुणा 1, 0 गुणा 1 बटा 10, और 5 गुणा 1 बटा 100। हर खाने में digit नहीं, digit गुणा उसकी जगह लिखी है, और इन सबका जोड़ ही पूरी मात्रा है। अब कुछ मात्राएँ हैं, जिन्हें बिंदु लगाकर लिखना है।

पहली, 2 इकाई, 3 बटा 10 और 5 बटा 100, यानी 2 दशमलव 3 5। अगली, 1 ten और 5 बटा 10, यानी 10 दशमलव 5, और बीच में इकाई की जगह पर 0। फिर 4 इकाई और 6 बटा 100, यानी 4 दशमलव 0 6, और यहाँ बटा 10 वाले हिस्सों की जगह पर 0। और 1 hundred, 1 इकाई और 1 बटा 100, यानी 101 दशमलव 0 1।

अब यह, 8 बटा 100 और 9 बटा 10, इसे कैसे लिखेंगे? बोलने में बटा 100 वाले हिस्से पहले आए, पर लिखने में खाने अपनी जगह नहीं छोड़ते, जवाब है 0 दशमलव 9 8, न कि 0 दशमलव 8 9। और जब पूरी इकाइयाँ भी हों, जैसे 2 और 1 बटा 100, तो लिखेंगे 2 दशमलव 0 1। इसी तरह 4 और 1 बटा 10 है 4 दशमलव 1, और 7 और 7 बटा 1000 है 7 दशमलव 0 0 7।

अब इन्हें बोलने की बात करते हैं। यह एक number है, 0 दशमलव 2 7 4। बिंदु के बाद वाले हिस्से को एक पूरा number पढ़ने का मन करता है, जैसे 274, पर ये digits एक number नहीं हैं। यहाँ 2 बटा 10 हैं, 7 बटा 100 हैं, और 4 बटा 1000 हैं। ये हिस्सों के 3 अलग आकार हैं, इसलिए इन्हें एक एक करके बोलते हैं, 0 दशमलव 2 7 4।

हाँ, जोड़ें तो ये मिलकर 274 बटा 1000 ही बनते हैं, मात्रा वही है। पर 274 कहने से यह पता नहीं चलता कि हर digit किस आकार के हिस्से का है, इसलिए digit digit बोलते हैं। आखिर में, एक ही तरह के हिस्सों की गिनती। पहले, 23 hundreds यानी 2300, और 23 tens यानी 230। अब 234 बटा 10, क्या इन्हें भी बिंदु लगाकर लिखा जा सकता है? हाँ, 10 बटा 10, 1 इकाई बनाते हैं, तो 230 बटा 10, 23 इकाई बन जाते हैं, और 4 बटा 10 बच जाते हैं।

और 23 इकाइयों में 2 tens और 3 इकाई हैं, तो जवाब है 23 दशमलव 4। यानी 10 से बड़ी गिनती कोई रुकावट नहीं थी, उसे बस अदला बदली चाहिए थी, जैसी पहले भी होती आई है। इसी तरह 234 बटा 100 हों तो 2 दशमलव 3 4, और 105 बटा 10 हों तो 10 दशमलव 5। बटा 1000 वाले हिस्सों से hundreds तक, हर खाने की 1 से 999 तक हर गिनती, कुल 5994 मामलों में, यह अदला बदली ठीक वही मात्रा देती है।

याद रखो, इकाई को 4 में भी बाँटा जा सकता है, 10 एक चुनाव है। वजह यह है कि बाईं तरफ़ सब पहले से 10 में गिनता है, और तरीका एक ही रहना चाहिए। खानों की chain दाईं ओर बटा 10 वाले हिस्से, बटा 100 वाले हिस्से, बटा 1000 वाले हिस्सों तक चलती है, और किसी सिरे पर खत्म नहीं होती। बिना बिंदु के 705 कई मात्राएँ हो सकता है, और बिंदु इकाई की जगह तय कर देता है।

और बिंदु के बाद के digits एक एक करके बोले जाते हैं, क्योंकि हर digit एक अलग आकार का हिस्सा गिनता है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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