PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 7 Mathematics · Chapter 3, A Peek Beyond the PointPrepShorts

Chapter 3 · A Peek Beyond the Point

सौवाँ भाग, और बँटवारे को आगे बढ़ाना

Splitting the unit13 मिनट

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8 इकाई और 9 बटा 10 लंबी कागज़ की पट्टी को बीच से मोड़ो, तो उसका सिरा ruler के 2 निशानों के बीच अटक जाता है। उसकी लंबाई है, बस ruler उसे बता नहीं पाता।

मुख्य idea

दसवाँ हिस्सा कोई ख़ास काम नहीं था। वह एक handle का पहला घुमाव था जो फिर से घूमता है: हर दसवें को दस में बाँटो और ऐसा हिस्सा मिलता है जिसके सौ हिस्से unit को भर देते हैं। क्योंकि हर नया हिस्सा अपने ऊपर वाले हिस्से से उसी दस-से-एक वाले रिश्ते में खड़ा है, इसलिए किसी नए arithmetic की ज़रूरत नहीं पड़ती — chapter यह बात साबित करता है: वह सौवें हिस्सों वाले एक जोड़ को पूरे numbers के सीधे-सादे जोड़ 483 + 268 के बगल में रखता है और student को यह देखने का न्योता देता है कि दोनों का हिसाब एक ही है (Part I, §3.3, p.57)। जो आगे बढ़ाया जा रहा है वह कोई तरकीब नहीं, एक system है।

आपको क्या आना चाहिए

  • समझाना कि हर दसवें को दस बराबर हिस्सों में बाँटने से ऐसा हिस्सा क्यों बनता है जिसके सौ हिस्से मिलकर unit बनाते हैं
  • एक ही लंबाई को units, दसवें और सौवें के रूप में; units और सौवें के रूप में; और सौवें हिस्सों की सीधी गिनती के रूप में लिखना, और तीनों के बीच आराम से आना-जाना
  • वे दो अदला-बदली की दरें बताना जिन पर chapter टिका है: एक दसवें के बदले दस सौवें, एक unit के बदले सौ सौवें
  • ऐसी लंबाइयों की तुलना करना जिनमें दसवें और सौवें मिले हुए हों, उन जोड़ियों समेत जो जान-बूझकर भ्रम पैदा करने के लिए बनी हैं
  • ऐसी लंबाइयों को कम से कम दो अलग रास्तों से जोड़ना और घटाना, और जाँचना कि वे मेल खाते हैं
  • expanded form में पूरे numbers के एक जोड़ और दसवें व सौवें में किए गए उसी जोड़ के बीच क़दम-दर-क़दम मेल दिखाना
  • घटाव के बीच में एक unit या एक दसवें को तोड़ना और बताना कि किसके बदले क्या लिया गया

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
one-hundredthउन सौ बराबर हिस्सों में से एक जिनमें unit काटी जाती हैसौवाँ भागPart I, §3.3, p.53 में छपा
hundredthsवही हिस्से, गिने हुएशतांशPart I, §3.3, p.53 में छपा
one-tenthउन दस बराबर हिस्सों में से एक जिनमें unit काटी जाती हैदसवाँ भागPart I, §3.2, p.48 में छपा
unitवह एक पूरा जिसके ये हिस्से हैंइकाईPart I, §3.1, p.47 में छपा
markingscale पर खिंची एक line, जिसके बिना किसी लंबाई को सिर्फ़ दो दूसरी लंबाइयों के बीच रखा जा सकता हैअंकनPart I, §3.3, p.53 में छपा
Math Talkbox में दिए उस सवाल के लिए किताब का label जिस पर class में बहस होनी हैगणित चर्चाPart I, §3.3, p.53 में किनारे के label के रूप में छपा
Figure it Outछपे हुए अभ्यास set के लिए किताब का labelहल कीजिएPart I, §3.3, p.58 में छपा
expanded formकिसी number को इस तरह लिखना कि वह उसकी हर जगह की क़ीमत का जोड़ होविस्तारित रूपव्याख्या का अपना शब्द; इस chapter में नहीं छपा, जो बस जोड़ों को उसी तरह लिख देता है
placesystem की एक जगह, जो अपनी दाईं वाली जगह की चीज़ का दस गुना रखती हैस्थानPart I, §3.4, p.59 में छपा, जहाँ chapter जगहों के नाम साफ़-साफ़ लेता है

Hindi column में standard NCERT Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। इस brief के लिए इस्तेमाल हुए corpus में कक्षा 7 Ganita Prakash का कोई Hindi संस्करण नहीं है, इसलिए ये cells किसी Hindi छपाई से नहीं पढ़े गए — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "3 दसवें और 3 सौवें पास-पास हैं।" इनमें दस गुने का फ़र्क़ है, और p.55 का समूह (a) इसीलिए है कि student यह बात ज़ोर से कहे। जो व्याख्या इन दोनों को पड़ोसी मान लेती है, वह section खो चुकी है।
  • "सौवें हिस्से जोड़ना एक नया तरीक़ा है।" यह वही तरीक़ा है, बस एक column और। chapter का अपना सबूत पूरे numbers के वे दो हिसाब हैं जो वह बगल में रखता है; उनका इस्तेमाल करो, और पूरे size में करो।
  • "जोड़ने से पहले सब कुछ सौवें में बदलना ज़रूरी है।" चार छपे रास्तों में से एक ऐसा करता है; तीन नहीं करते। बदलने पर ज़ोर देना एक विकल्प को नियम बना देता है।
  • "जोड़ के बीच में बारह सौवें आना ग़लती है।" यह बीच की जायज़ गिनती है जिसे ऊपर बदल लिया जाता है। §3.2 में तेरह दसवें के साथ भी यही था।
  • "हिस्से काफ़ी छोटे हो जाएँ तो रुका जा सकता है।" मोड़े हुए काग़ज़ को दूसरा बँटवारा चाहिए था; chapter §3.4 में तीसरे तक जाता है। कोई आख़िरी बँटवारा नहीं है।
  • "दो निशानों के बीच पड़ने वाली लंबाई की कोई लंबाई नहीं होती।" लंबाई होती है; scale बस उसे बता नहीं सकती। मोड़ा हुआ काग़ज़ इसी ग़लत पढ़ाई को पकड़ने के लिए बना है, और यह हर बार लौटती है जब कोई student लिखता है "नापा नहीं जा सकता"।
  • "zeros जोड़ने या हटाने से कहीं कुछ नहीं बदलता।" इस section में अभी कुछ भी decimal point के साथ नहीं लिखा जाता, इसलिए यह सवाल उठता ही नहीं — लेकिन जिस पल यह उठता है, Part I, §3.6, p.70 पर, उसे सावधानी भरा जवाब चाहिए। यहाँ उसे पहले से मत छेड़ना।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 3.3 Q1, Figure it Out · 3 Q13

पूरा transcript1,981 शब्द

यहाँ कागज़ की एक लंबी पट्टी है, जो ruler पर 8 इकाई और 9 बटा 10 लंबी निकलती है। इसे लंबाई में ठीक बीच से मोड़ दिया जाता है, ताकि दोनों आधे बराबर हों। तो हर आधा कितना लंबा है? पूरी इकाइयाँ आराम से बँटती हैं, 8 की 4 और 4। पर 9 बटा 10 बराबर नहीं बँटते, हर तरफ़ 4, और 1 बटा 10 बीच में बच जाता है।

तो हर आधा है 4 इकाई, 4 बटा 10, और थोड़ा सा और। और उस थोड़े से हिस्से के लिए ruler के पास कोई नाम ही नहीं है। अब आधे टुकड़े को ruler पर रखो, और देखो उसका सिरा कहाँ रुकता है। वह 4 इकाई और 4 बटा 10 के निशान से आगे है। पर 4 इकाई और 5 बटा 10 के निशान तक नहीं पहुँचता। वह इन दोनों के बीच है, और कहीं भी नहीं, ठीक बीचों बीच।

ruler बस इतना बता सकता है कि सिरा किन 2 निशानों के बीच है, और उसके बाद उसके पास कहने को कुछ नहीं। इसका मतलब यह नहीं कि आधे की कोई लंबाई नहीं, लंबाई है, बस यह ruler उसे बता नहीं पाता। यह मुश्किल हम पहले भी देख चुके हैं, बस एक सीढ़ी ऊपर। तब पूरी इकाइयाँ बहुत मोटी थीं, और हर इकाई को 10 हिस्सों में काटने से बात बन गई थी।

अब बटा 10 वाले हिस्से बहुत मोटे पड़ रहे हैं, और इलाज भी बिल्कुल वही है। 1 बटा 10 लो, और उसे 10 बराबर टुकड़ों में काटो। फिर यही ruler के हर बटा 10 वाले हिस्से पर करो। हर नया टुकड़ा, 1 बटा 10 का भी बटा 10 वाला हिस्सा है। इसका नाम है, 1 बटा 100। इकाई में 10 बटा 10 थे, और अब हर बटा 10 वाले हिस्से में 10 टुकड़े हैं।

यानी 10 गुणा 10, पूरे 100 टुकड़े 1 इकाई में समाते हैं। पूरा विचार बस इतना ही है, इसके अंदर और कुछ छुपा नहीं है। जो हत्था एक बार घूमा था, वह बस फिर से घूम गया है। इससे 2 अदला बदली निकलती हैं, और हमें बस इन्हीं की ज़रूरत है। पहली, 10 बटा 100 मिलकर 1 बटा 10 बनाते हैं। दूसरी, 100 बटा 100 मिलकर 1 पूरी इकाई बनाते हैं।

पहली को देखो, यहाँ 10 बटा 100, एक के बाद एक रखे हैं। वे ठीक उतनी दूर पहुँचते हैं जितना 1 बटा 10, लगभग नहीं, ठीक उतना। अगर 9 ही हों, तो 1 बटा 100 कम पड़ता है। तो 10 बटा 100 देकर 1 बटा 10 ले सकते हो, और 1 बटा 10 तोड़कर 10 बटा 100 बना सकते हो। यह वही अदला बदली है जो 10 बटा 10 और 1 इकाई में थी, और जो 10 ones और 1 ten में होती है।

इस पूरे तरीके में हर अदला बदली 10 पर होती है, ऊपर भी और नीचे भी, बदलता है तो बस हिस्सों का आकार। अब उसी सिरे पर लौटो, जो 2 निशानों के बीच अटका था। वह जगह अब 10 हिस्सों में कट चुकी है, तो उसके अंदर भी निशान हैं। और सिरा ठीक एक निशान पर आकर रुकता है, बीच वाले, 5वें निशान पर। तो हर आधा है 4 इकाई, 4 बटा 10 और 5 बटा 100।

इसे कहने के और तरीके भी हैं, और सब एक ही लंबाई बताते हैं। यहाँ 4 बटा 10 और 5 बटा 100 मिलकर 45 बटा 100 हैं, तो यह 4 इकाई और 45 बटा 100 भी है। या इकाइयों को भूलकर 0 से सिर्फ़ बटा 100 वाले हिस्से गिनो, पूरे 445। जाँच लो, पूरी पट्टी 890 बटा 100 थी, और उसका आधा है 445। मोड़ शुरू से ही सटीक था, बस हमारे पास उसे लिखने लायक छोटे हिस्से नहीं थे।

अब एक तार, और इसके भी 3 नाम हैं। सीधे तरीके से नापो, तो यह है 1 इकाई, 1 बटा 10 और 4 बटा 100। अब उस बटा 10 वाले हिस्से को बटा 100 वाले हिस्सों में बदलो, 1 बटा 10 यानी 10 बटा 100, और 4 मिलकर 14। तो यह हुआ 1 इकाई और 14 बटा 100। अब इकाई को भी बदलो, 1 इकाई यानी 100 बटा 100, कुल 114 बटा 100।

नाम 3, तार 1, न कुछ जोड़ा गया, न कुछ फेंका गया। इनके बीच आना जाना बस वही अदला बदली है, आगे चलाओ या पीछे। कौन सा नाम इस्तेमाल करना है, यह इस पर निर्भर है कि आगे क्या करना है। यह एक ही line है, जिस पर ऊपर बटा 10 वाले हिस्से लिखे हैं, और नीचे बटा 100 वाले हिस्से। नीचे जहाँ 20 बटा 100 लिखा है, ऊपर वहीं 2 बटा 10।

जहाँ 100 बटा 100, वहाँ ऊपर 1 पूरी इकाई। जहाँ 130 बटा 100, वहाँ 1 इकाई और 3 बटा 10। और 200 बटा 100 पर, 2 पूरी इकाइयाँ। ये 2 अलग गिनतियाँ नहीं, एक ही line के 2 नाम हैं, और हर जोड़ी में वही अदला बदली है। अब 3 लंबाइयाँ, पहली 3 बटा 10, दूसरी 3 बटा 100, और तीसरी 33 बटा 100। एक ही अंक से बनी हैं, तो लगती हैं जैसे पास पास हों।

पर ऐसा बिल्कुल नहीं है। पहली, 3 बटा 10, यानी 30 बटा 100। दूसरी, बस 3 बटा 100। यानी पहली, दूसरी की पूरी 10 गुना है, करीब करीब नहीं, 10 गुना। और तीसरी, 33 बटा 100, जो सबसे बड़ी दिखती है, पहली से बस 3 बटा 100 आगे है। तो सबसे लंबी तीसरी, और सबसे छोटी दूसरी। अगला समूह, 3 इकाई और 6 बटा 10, फिर 3 इकाई और 6 बटा 100, फिर 3 इकाई, 6 बटा 10 और 6 बटा 100।

बटा 100 वाले हिस्सों में बदलो, तो ये बनते हैं 360, 306 और 366। वही 6, एक जगह बाएँ खिसके, तो 10 गुना कीमत का हो जाता है, 6 बटा 100 की जगह 60 बटा 100। एक और समूह, 3 इकाई और 1 बटा 10, फिर 30 बटा 10, फिर 1 इकाई और 3 बटा 10। बटा 100 वाले हिस्सों में, 310, 300 और 130, तो सबसे लंबी पहली, और सबसे छोटी तीसरी।

और यह, 45 बटा 100, 54 बटा 100, 5 बटा 10, और 4 बटा 10। बटा 100 वाले हिस्सों में, 45, 54, 50 और 40, सबसे लंबी 54 बटा 100, और सबसे छोटी 4 बटा 10। एक आखिरी, 7 इकाई, 3 बटा 10 और 5 बटा 100, फिर 7 इकाई और 5 बटा 10, फिर 7 इकाई और 41 बटा 100। बटा 100 वाले हिस्सों में, 735, 750 और 741, यानी सबसे लंबी बीच वाली, और सबसे छोटी पहली।

ऐसे 7 समूहों में से किसी में भी 2 लंबाइयाँ बराबर नहीं निकलतीं, और हर बार तरीका वही, सब कुछ बटा 100 वाले हिस्सों में गिनो, फिर तुलना करो। अब इनमें से 2 को जोड़ते हैं। पहली लंबाई 15 इकाई, 3 बटा 10 और 4 बटा 100, और दूसरी 2 इकाई, 6 बटा 10 और 8 बटा 100, तो दोनों मिलाकर कितनी? मेल खाते हिस्सों को एक सीध में रखो, इकाई के नीचे इकाई, बटा 10 वाले हिस्सों के नीचे बटा 10 वाले हिस्से, बटा 100 वाले हिस्सों के नीचे बटा 100 वाले हिस्से।

इकाइयाँ 17, बटा 10 वाले हिस्से 9, और बटा 100 वाले हिस्से 12। यह 12 बटा 100 एक सच्ची गिनती है, पर इसमें 1 बटा 10 से ज़्यादा भरा है। तो बदलो, 10 बटा 100, 1 बटा 10 बनकर आगे जाते हैं, और 2 पीछे रहते हैं। बटा 10 वाले हिस्से अब 9 और 1, यानी पूरे 10, और 10 बटा 10, 1 इकाई हैं। वह इकाई भी आगे जाती है, 17 के 18 हो जाते हैं, और बटा 10 वाले हिस्सों का खाना खाली हो जाता है।

जवाब है 18 इकाई और 2 बटा 100। यही जोड़ दूसरे रास्तों से भी हो सकता है। बटा 10 वाले हिस्से और बटा 100 वाले हिस्से मिलाकर बटा 100 वाले हिस्सों में लिखो, पहली में 34 बटा 100, दूसरी में 68। इकाइयाँ 17, और बटा 100 वाले हिस्से 102, जिनमें 1 इकाई छुपी है, तो फिर 18 इकाई और 2 बटा 100। या सब कुछ बटा 100 वाले हिस्सों में बदलो, 1534 और 268, यानी 1802 बटा 100।

और 1802 बटा 100 फिर से वही 18 इकाई और 2 बटा 100 हैं। सब कुछ बदलना एक रास्ता है, नियम नहीं, बाकी रास्ते बिना बदले भी पहुँचते हैं। जाँच के लिए, 2 इकाई, 9 बटा 10 और 9 बटा 100 तक की लंबाइयों के सारे 90000 जोड़े लो, खानों वाला जोड़ और सटीक जोड़, 90000 में से 90000 बार एक ही जवाब। इनमें से 27225 में कोई अदला बदली नहीं, 40500 में 1, और 22275 में 2।

अब वह बात, जो असल में इस पूरे हिस्से का मकसद है। इस जोड़ के बगल में एक बिल्कुल आम जोड़ रखो, 483 और 268। ones में 3 और 8, यानी 11, खाने के लिए बहुत, तो 10 ones 1 ten बनकर आगे जाते हैं, और 1 रहता है। tens में 8, 6 और आया हुआ 1, यानी 15, फिर ज़्यादा, तो 10 tens 1 hundred बनकर आगे जाते हैं।

hundreds में 4, 2 और आया हुआ 1, यानी 7, और जवाब 751। फैलाकर लिखो, तो पहले 600, 140 और 11, और अदला बदली के बाद 700, 50 और 1। अब दोनों को पास पास देखो, दोनों सबसे दाएँ खाने में छलकते हैं, और दोनों बीच वाले में भी। और यह संयोग नहीं, उन 90000 जोड़ों में से 90000 में, हिस्सों वाला जोड़ ठीक उन्हीं खानों में बदलता है जिनमें उन्हीं अंकों वाला आम जोड़।

यह मिलता जुलता तरीका नहीं, यह वही तरीका है, बस छोटे हिस्सों पर। घटाने में यही अदला बदली उल्टी चलती है, और इसमें एक पल पर धीरे चलना ज़रूरी है। एक तख्ता 25 इकाई और 9 बटा 10 लंबा है, उसमें से 6 इकाई, 4 बटा 10 और 7 बटा 100 काट लिया जाए, तो कितना बचेगा? सबसे छोटे हिस्से से शुरू करो, बटा 100 वाले हिस्सों में 0 में से 7।

वहाँ लेने को कुछ है ही नहीं। तो एक जगह ऊपर जाओ और 1 बटा 10 तोड़ो, 9 बटा 10 बन जाते हैं 8 बटा 10 और 10 बटा 100। तख्ते की लंबाई नहीं बदली, वही तख्ता है, बस अलग तरह से लिखा। बटा 100 वाले हिस्सों में 10 में से 7, बचे 3, बटा 10 वाले हिस्सों में 8 में से 4, बचे 4, और इकाइयों में 25 में से 6, बचीं 19।

जवाब है 19 इकाई, 4 बटा 10 और 3 बटा 100, और बटा 100 वाले हिस्सों में भी 2590 में से 647, यानी 1943। एक और, जिसमें यह 2 बार करना पड़ता है। अब 15 इकाई, 3 बटा 10 और 4 बटा 100 में से 2 इकाई, 6 बटा 10 और 8 बटा 100 घटाओ। बटा 100 वाले हिस्सों में 4 में से 8 नहीं निकलते, तो 1 बटा 10 तोड़ो, बटा 10 वाले हिस्से 2, और बटा 100 वाले हिस्से 14।

बटा 100 वाले हिस्सों में 14 में से 8, बचे 6। अब बटा 10 वाले हिस्सों में 2 में से 6 नहीं निकलते, तो 1 इकाई तोड़ो, इकाइयाँ 14, और बटा 10 वाले हिस्से 12। बटा 10 वाले हिस्सों में 12 में से 6, बचे 6, और इकाइयों में 14 में से 2, बचीं 12। और इसके बगल में 653 में से 268, वह भी ठीक इन्हीं 2 जगहों पर टूटता है, और जवाब 385।

जिन 45150 जोड़ों में पहली लंबाई छोटी नहीं, उन सब में, खानों वाला घटाना सही निकलता है, और आम घटाने की तरह ठीक उन्हीं जगहों पर टूटता है। याद रखो, इकाई को 10 में काटा, फिर हर बटा 10 वाले हिस्से को 10 में। इसलिए 1 इकाई में 100 बटा 100 हैं, और 10 बटा 100, 1 बटा 10। हर अदला बदली 10 पर होती है, जोड़ने में 10 देकर 1 लो, घटाने में 1 तोड़कर 10 बनाओ।

और हिसाब वही है जो आम संख्याओं का, बस एक खाना और। कोई नहीं कहता कि यहाँ रुकना है, 1 बटा 100 को 10 में काटो, तो बटा 1000 वाला हिस्सा मिलता है, और 1000 बटा 1000, 1 इकाई भरते हैं। यानी आखिरी कटाई कोई नहीं, जितना पैना चाहिए, उतना काटते जाओ।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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