PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 7 Mathematics · Chapter 3, A Peek Beyond the Point
Chapter 3 · A Peek Beyond the Point
जब decimal जैसा दिखने वाला number decimal नहीं होता: 4.5 घंटे, 5.5 overs
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बस दोपहर से 4.5 घंटे बाद आएगी। 4:05, 4:50 या 4:25? तीनों गलत हैं; सही जवाब 4:30 है, क्योंकि बिंदु घंटे के बटा 10 वाले हिस्से गिनता है, और हर हिस्सा 6 मिनट का है।
मुख्य idea
decimal point का मतलब "दाईं ओर दसवें" सिर्फ़ इसलिए है कि unit को दस में काटने पर सहमति बनी थी। जहाँ दुनिया unit को किसी और तरह काटती है — एक घंटे में साठ minutes, एक over में छह गेंदें, एक foot में बारह inches — वहाँ वही छपा निशान एक अलग सहमति लेकर चलता है, और उसे decimal पढ़ना arithmetic की चूक नहीं, बल्कि इस बात की ग़लती है कि कौन-सा नियम लागू है। chapter की cricket वाली हालत सबसे पैना सबूत है: लापरवाही से पढ़ने वाले को गेंदों की सही गिनती बिल्कुल ग़लत कारण से मिल जाती है, और सावधानी से decimal की तरह पढ़ने वाले को अलग जवाब मिलता है (Part I, §3.8, p.78)।
आपको क्या आना चाहिए
- बताना कि असली decimal number में point के बाद का digit क्या गिनता है
- किसी ग़ैर-decimal नियम में लिखी मात्रा के लिए निकालना कि उसकी unit का एक दसवाँ कितने का होगा, और उसकी तुलना असल में इस्तेमाल हुए नियम से करना
- decimal घंटों में लिखी अवधि को घंटों और minutes में बदलना
- decimal feet में लिखी लंबाई को feet और inches में बदलना
- समझाना कि 5.5 जैसी overs की गिनती का क्या मतलब है, और कौन-सा denominator लागू है
- किसी रोज़मर्रा की मात्रा से पहचानना कि point के बाद का notation decimal है या नहीं, और बताना कि यह कैसे पता चलता है
- decimal जैसे दिखने वाले पर decimal न होने वाले number का एक और उदाहरण देना
जानने लायक़ शब्द
| शब्द | एक line में परिभाषा | हिंदी / क्षेत्रीय समकक्ष | पहली बार कहाँ आया |
|---|---|---|---|
| non-decimals | उन मात्राओं के लिए chapter का अपना शब्द जो point के साथ लिखी जाती हैं पर दसवें में नहीं | अदशमलव संख्याएँ | Part I, §3.8, p.78 में single quotes में छपा |
| decimal-looking | ऐसे लिखे हुए रूप के लिए chapter का वर्णन | दशमलव जैसा दिखने वाला | Part I, §3.8, p.78 में छपा |
| decimal point | वह निशान जो तय करता है कि units की जगह कहाँ ख़त्म होती है | दशमलव बिंदु | Part I, §3.4, p.62 में छपा |
| tenths | असली decimal point के बाद की पहली जगह जो गिनती है | दशांश | Part I, §3.2, p.48 में छपा |
| over | cricket में, छह गेंदों की एक unit | ओवर | Part I, §3.8, p.78 में छपा |
| ball | एक delivery; ऐसी छह एक over भरती हैं | गेंद | Part I, §3.8, p.78 में छपा |
| inch | लंबाई की एक unit, जिनमें से बारह एक ft भरते हैं | इंच | Part I, §3.8, p.77 में छपा |
| ft | लंबाई की उस unit के लिए chapter का छोटा रूप जिसे बारह inches भरते हैं | फुट | Part I, §3.8, p.77 में छपा |
| denominator | उन बराबर हिस्सों की संख्या जिनमें पूरा काटा जाता है | हर | Part I, §3.8, p.78 में छपा |
| mixed unit notation | किसी मात्रा को एक पूरे हिस्से और किसी ग़ैर-decimal छोटी unit की गिनती के रूप में लिखना | मिश्रित मात्रक संकेतन | व्याख्या का अपना शब्द; इस chapter में नहीं छपा, जो ये रूप दिखाता है पर इस चलन का नाम नहीं लेता |
| sexagesimal | साठ-साठ में गिनना, जैसे घड़ी करती है | षष्टिक | व्याख्या का अपना शब्द, इस chapter में नहीं छपा; सिर्फ़ तब के लिए दिया गया है जब व्याख्या को घड़ी के काम के लिए कोई नाम चाहिए |
Hindi column में standard NCERT Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। इस brief के लिए इस्तेमाल हुए corpus में कक्षा 7 Ganita Prakash का कोई Hindi संस्करण नहीं है, इसलिए ये cells किसी Hindi छपाई से नहीं पढ़े गए — Notes देखें।
लोग कहाँ चूकते हैं
- "4.5 घंटे का मतलब चार घंटे और पाँच minutes।" यह पहला संभावित जवाब है जिसे chapter ख़ारिज करता है, और उन students में सबसे आम reading है जो digits देखकर घड़ी के चेहरे के बारे में सोचते हैं।
- "4.5 घंटे का मतलब चार घंटे और पचास minutes।" दूसरा ख़ारिज किया गया जवाब, और यह point के बाद वाले digit को minutes की दहाइयों की गिनती मानने से आता है।
- "2.5 ft का मतलब 2 ft 5 inches।" दरवाज़े की कहानी की पूरी बात यही है। पाँच inches आधा ft नहीं है, और दोनों notations में एक inch का फ़र्क़ है।
- "5.5 overs का मतलब पाँच overs और एक over के पाँच दसवें।" cricket में over छह में कटा होता है, इसलिए दूसरा digit दसवें नहीं, छह में से गेंदें गिनता है।
- "तो लापरवाह reading cricket के लिए काम करती है।" यहाँ वह गेंदों की सही गिनती संयोग से देती है, कारण से नहीं, और वही लापरवाही bus और दरवाज़े के लिए ग़लत जवाब देती है। दिखाओ कि यह क्यों काम करती है और फिर दिखाओ कि यह आम तौर पर लागू नहीं होती, बजाय इसके कि student के पास ऐसा नियम रह जाए जो एक बार संयोग से काम कर गया।
- "point वाला number हमेशा decimal number होता है।" section इसी बात को ठुकराने के लिए है। किसी number को decimal यह बात बनाती है कि unit दस में काटी गई थी, और यह हालत के बारे में एक तथ्य है, छपे निशान के बारे में नहीं।
- "समयों को decimals की तरह जोड़ा जा सकता है।" घड़ी वाले अर्थ में 2.45 और 1.30 लिखी दो अवधियाँ decimals की तरह नहीं जुड़तीं, क्योंकि छोटी unit दस पर आगे नहीं बढ़ती। यह हालत chapter के तर्क का जोड़ा गया विस्तार है और इस पर ऐसा निशान लगाना चाहिए।
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पूरा transcript1,307 शब्द
किसी को संदेश मिलता है, बस दोपहर से 4 दशमलव 5 घंटे बाद स्टेशन पहुँचेगी। तो स्टेशन पर किस समय खड़े होना चाहिए? मन में 3 जवाब आते हैं, और उनमें से एक शायद अभी तुम्हारे दिमाग में भी है। पहला, 4 बजकर 5 मिनट, क्योंकि बिंदु के बाद का 5 मिनटों की गिनती जैसा लगता है। दूसरा, 4 बजकर 50 मिनट, यह सोचकर कि वह 5, 10-10 मिनट के 5 टुकड़े हैं।
तीसरा, 4 बजकर 25 मिनट, जिस तक लोग सबसे आखिर में पहुँचते हैं, और जिसे सबसे ज़ोर से सही ठहराते हैं। और तीनों गलत हैं, सबसे पास वाला भी 5 मिनट दूर है, जो बस छूटने के लिए काफ़ी है। पर यहाँ गलती हिसाब की नहीं है, किसी ने कुछ गलत नहीं जोड़ा। तो संदेश को टुकड़ा टुकड़ा पढ़ो। यानी 4 दशमलव 5 घंटे का मतलब है 4 पूरे घंटे, और फिर एक घंटे के 5 बटा 10।
क्योंकि दशमलव बिंदु हर बार यही कहता है, उसके ठीक बाद वाला digit, जिस इकाई का नाम लिया गया है, उसके बटा 10 वाले हिस्से गिनता है। मिनट नहीं, 10-10 मिनट के टुकड़े भी नहीं, घंटे के बटा 10 वाले हिस्से। तो जवाब से पहले एक ही बात जाननी है, घंटे का 1 बटा 10 कितना लंबा होता है? यह एक घंटा है, एक पट्टी की शक्ल में, और इसे 10 बराबर हिस्सों में काटते हैं, क्योंकि बिंदु ने यही माँगा था।
एक घंटे में 60 मिनट हैं, और 60 को 10 हिस्सों में बाँटो, तो हर हिस्सा 6 मिनट का। यानी घंटे का बटा 10 वाला हिस्सा 6 मिनट है, घड़ी पर लिखा 6 नहीं, पूरे 6 मिनट का समय। और एक छोटी सी किस्मत देखो, 10 के 10 निशान किसी पूरे मिनट पर पड़ते हैं, क्योंकि 10, 60 को पूरा पूरा बाँटता है। अगर घंटे को 7 हिस्सों में काटते, तो अंदर का एक भी निशान पूरे मिनट पर नहीं पड़ता।
अब इनमें से 5 हिस्से लो, क्योंकि संदेश में 5 बटा 10 थे। हर एक 6 मिनट, तो 5 हिस्से मिलकर 30 मिनट। छोटा रास्ता भी है, 5 बटा 10 यानी आधा, और आधा घंटा यानी 30 मिनट। तो बस दोपहर से 4 घंटे 30 मिनट बाद आएगी, यानी 4 बजकर 30 मिनट। सीधी बात, 4 दशमलव 5 घंटे यानी साढ़े 4 घंटे। तीनों लुभाने वाले जवाब एक ही जगह से आए, उस 5 को घड़ी की कोई गिनती मान लेने से।
अब वही घंटा दोबारा, एक बार 10 हिस्सों में, और एक बार 60 में, जैसे घड़ी उसे काटती है। एक को दूसरे पर रखो, 0 से 10 तक के सारे 11 निशान किसी न किसी मिनट के निशान पर बैठ जाते हैं। पर दोनों में टुकड़ों की गिनती अलग है, तो एक की गिनती दूसरे की गिनती नहीं हो सकती। यानी 10 में से 5 आधा घंटा है, और 60 में से 5 बस 5 मिनट।
घड़ी पर दशमलव पढ़ना, एक जाली की गिनती को दूसरी जाली पर पढ़ना है। यही बात फिर से, इस बार लकड़ी में, दीवार में एक खाली जगह के लिए नया दरवाज़ा। कोई उस जगह को नापता है, वह 2 फ़ुट और 5 इंच चौड़ी निकलती है। फिर फ़ोन पर बढ़ई से कहता है, दरवाज़ा 2 दशमलव 5 फ़ुट का बनाना। एक फ़ुट में 12 इंच होते हैं, तो आधा फ़ुट 6 इंच है।
बढ़ई ठीक वही बनाता है जो कहा गया, 2 फ़ुट और 6 इंच। और जगह है 2 फ़ुट 5 इंच, यानी दरवाज़ा 1 इंच ज़्यादा चौड़ा है, और वह कभी बंद नहीं होगा। तो गलती किसकी है? बढ़ई की नहीं, उसने 2 दशमलव 5 फ़ुट सही पढ़ा, और ठीक वही बनाया। नाप की भी नहीं, 2 फ़ुट 5 इंच बिल्कुल सही नापा गया था। गलती बीच में हुई, फ़ोन पर बोले गए एक वाक्य में।
लंबाई फ़ुट और इंच में लिखी थी, और उसे ऐसे बोला गया जैसे वह दशमलव हो। यहाँ 2 लोगों ने एक ही लिखावट इस्तेमाल की, और दोनों अपने अपने ढंग से सही थे, बस उनके समझौते अलग थे। अब जानबूझकर बदलना सीखते हैं, जब सच में दशमलव घंटे या दशमलव फ़ुट दिए हों। पहला, 3 दशमलव 2 घंटे, यानी 3 घंटे और 2 बटा 10, हर बटा 10 वाला हिस्सा 6 मिनट, तो 12 मिनट, जवाब 3 घंटे 12 मिनट।
फिर 1 दशमलव 7 5 घंटे, बिंदु के बाद का हिस्सा पौन घंटा है, यानी 45 मिनट, तो कुल 1 घंटे 45 मिनट। और 5 दशमलव 2 5 फ़ुट, एक चौथाई फ़ुट है 3 इंच, तो 5 फ़ुट 3 इंच। पर ध्यान रहे, फ़ुट का बटा 10 वाला हिस्सा पूरा इंच नहीं बनता, वह एक इंच से थोड़ा ज़्यादा है, क्योंकि 10, 12 को पूरा नहीं बाँटता। तो पहले इकाई पहचानो, फिर उसके असली टुकड़ों में बदलो, बस यही तरीका है।
अब cricket, जहाँ यह बात सच में दिलचस्प हो जाती है, scoreboard पर लिखा है, बचे हुए overs, 5 दशमलव 5। एक over में 6 गेंदें होती हैं, 10 नहीं, 6। तो कितनी गेंदें बचीं, 5 overs और 5 गेंदें, या 5 overs और 3 गेंदें? सही जवाब है 5 overs और 5 गेंदें। क्योंकि cricket में यह बिंदु बटा 10 वाले हिस्से नहीं गिनता, वह 6 में से गेंदें गिनता है।
यानी पूरे 35 गेंदें, जो एक over के 6 हिस्सों में से 5 हिस्से और 5 overs हैं। अब एक जाल, मान लो कोई बिंदु को पूरी तरह नज़रअंदाज़ कर दे, और दूसरे 5 को सीधे गेंदें मान ले। वह सही होगा, बिल्कुल सही, पर बिना किसी वजह के। यही आदत बस वाले सवाल पर ले जाओ, तो वह 4 बजकर 5 मिनट कहेगी, जो गलत है। एक जगह सही, दूसरी जगह गलत, यह तरीका नहीं, किस्मत है।
और उल्टी तरफ़, कोई ध्यान से दशमलव की तरह पढ़े, तो 6 गेंदों के 5 बटा 10, यानी 3 गेंदें। यानी ठीक वही गलत जवाब, जो सही जवाब के बगल में रखा था। और गौर करो, बिंदु के बाद 1 से 5 तक की गेंदों में, दशमलव वाली पढ़ाई सिर्फ़ 5 पर पूरी गेंदें देती है, बाकी पर गेंद के टुकड़े। तो तीनों में एक ही निशान, और 3 बिल्कुल अलग मतलब।
घंटे का 0 दशमलव 5 है 30 मिनट, फ़ुट का 0 दशमलव 5 है 6 इंच, और cricket में over का 0 दशमलव 5 है 5 गेंदें। और सिर्फ़ देखकर इन्हें अलग करने का कोई तरीका नहीं है। घंटे, फ़ुट, over और inning की हर ऐसी लिखावट गिनी गई, कुल 290, और दशमलव वाली पढ़ाई और असली पढ़ाई बस 40 में मिलती हैं, ठीक तब जब बिंदु के बाद 0 हो।
बिंदु बटा 10 वाले हिस्से तभी गिनता है, जब किसी ने उस इकाई को 10 में काटने का समझौता किया हो। तो किसी number को दशमलव बिंदु नहीं बनाता, उसकी इकाई बनाती है। यह और कहाँ कहाँ होता है? घड़ी, फ़ुट इंच और खेल के score, 3 तो हमने देख लिए। अब कुछ और, समय को दशमलव की तरह जोड़ना, 2 घंटे 45 मिनट और 1 घंटा 30 मिनट। सही जोड़ है 4 घंटे 15 मिनट, क्योंकि मिनट 60 पर पलटते हैं, पर digits को दशमलव की तरह जोड़ो, तो 3 दशमलव 7 5 आता है, जो 30 मिनट कम है।
software के version, 3 दशमलव 1 0, 3 दशमलव 9 के बाद आता है, जबकि दशमलव में 3 दशमलव 1 0 छोटा है। और baseball में 5 दशमलव 2 innings का मतलब है 5 innings और 2 outs, 3 में से, यानी 17 outs, जबकि दशमलव से 15 दशमलव 6 outs आते, जो पूरा number भी नहीं। और देखते रहो, ऐसी लिखावटें तुम्हें और भी जगह मिलेंगी। याद रखो, 4 दशमलव 5 घंटे यानी 4 घंटे 30 मिनट, क्योंकि घंटे का बटा 10 वाला हिस्सा 6 मिनट है।
और 2 दशमलव 5 फ़ुट यानी 2 फ़ुट 6 इंच, 2 फ़ुट 5 इंच नहीं। cricket के 5 दशमलव 5 overs यानी 35 गेंदें, पर वह दशमलव नहीं। बिंदु देखकर मत मानो कि दशमलव है, पहले पूछो कि इकाई कितने हिस्सों में कटी है।
यह कहाँ बैठता है
यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.
किस पर टिका है
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