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Chapter 1 · Large Numbers Around Us

दहाइयों का देश: हर जगह अपने से पहले वाली की दस गुना है

Building a large number13 मिनट

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एक calculator जिसमें सिर्फ़ एक button है, और वह हर बार एक ही number जोड़ता है। 1,000 वाले button से 1 लाख तक 100 presses लगते हैं, 100 वाले से 1,000, और 10 वाले से 10,000। पर 1,000 वाला calculator 3,700 कभी नहीं दिखा सकता — उसका screen 3,000 से सीधे 4,000 पर कूदता है।

मुख्य idea

सिर्फ़ जोड़ने वाले buttons वाला calculator किसी संख्या तक कई अलग-अलग तरीक़ों से पहुँच सकता है — कुल 72 तरीक़े, 321 के लिए — पर तरीक़े गिनती के ही होते हैं, और उनमें से ठीक एक तरीक़ा सबसे सस्ता होता है; और वह सबसे सस्ता तरीक़ा निकलता है संख्या का अपना लिखा हुआ रूप। कारण वही एक नियम है जो हमारे लिखने के ढंग को परिभाषित करता है: हर जगह अपने से नीचे वाली जगह की दस गुना है, इसलिए किसी बड़े button के एक press को छोटे buttons से बदलने पर हमेशा नौ press ज़्यादा लगते हैं। इसलिए place value कई चलनों में से बस एक चलन नहीं है। यह किसी संख्या का सबसे छोटा संभव नुस्ख़ा है, और chapter clicks गिनवाकर तुमसे यह बात ख़ुद खोजवाता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • किसी एक तय button के कितने press किसी लक्ष्य तक पहुँचने के लिए चाहिए, यह निकालना, और बताना कि कब लक्ष्य तक पहुँचा ही नहीं जा सकता
  • तय करना कि एक-button वाले तीनों calculators में से हर एक कौन-सी संख्याएँ दिखा सकता है और कौन-सी नहीं, और जवाब को आज़माकर नहीं, विभाज्यता से सही ठहराना
  • एक ही संख्या देने वाले दो या ज़्यादा अलग button expressions लिखना
  • किसी संख्या के लिए सबसे कम press वाला नुस्ख़ा ढूँढ़ना और उससे मेल खाता expression लिखना
  • अपने-से-नीचे-वाले-का-दस-गुना नियम से समझाना कि सबसे कम press वाला नुस्ख़ा संख्या के अंकों को ही क्यों दोहराता है
  • अनुमान लगाना कि किसी button के एक press को उससे अगले छोटे button के दस press से बदलने पर press की गिनती कैसे बदलती है
  • जब उपलब्ध buttons संख्या की सबसे ऊँची जगह तक न पहुँचें, तब सबसे कम press निकालना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
button clickcalculator के जोड़ने वाले buttons में से किसी एक का एक press; इस section में क़ीमत की इकाईबटन क्लिकइस chapter में छपा (Part I, §1.2, p.6)
expression(5 × 1000) + (7 × 10) + (2 × 1) जैसा लिखा हुआ मेल, जो किसी संख्या का नाम लेता हैव्यंजकइस chapter में छपा (Part I, §1.2, p.6)
Indian place value notationकिसी संख्या को उसकी जगहों पर बैठे अंकों के रूप में लिखना, भारतीय comma समूहों के साथभारतीय स्थानीय मान संकेतनइस chapter में छपा (Part I, §1.2, p.7)
Land of Tensउस माहौल के लिए chapter का नाम जिसमें ये calculators रहते हैंदहाइयों का देशइस chapter में छपा (Part I, §1.2, p.5)
Thoughtful Thousands, Tedious Tens, Handy Hundredsएक-button वाले तीनों calculators, जो क्रम से 1000, 10 और 100 जोड़ते हैं— (व्यक्तिवाचक नाम, जैसे छपे वैसे ही रखे गए)इस chapter में छपा (Part I, §1.2, pp.5–6)
Creative Chittiसात buttons वाला calculator जो किसी संख्या तक कई तरीक़ों से पहुँचता है— (व्यक्तिवाचक नाम, जैसा छपा वैसा ही रखा गया)इस chapter में छपा (Part I, §1.2, p.6)
Systematic Sippyछह buttons वाला calculator जिसकी कोशिश है कि उसे कम से कम इस्तेमाल किया जाए— (व्यक्तिवाचक नाम, जैसा छपा वैसा ही रखा गया)इस chapter में छपा (Part I, §1.2, p.7)
press countकिसी नुस्ख़े में इस्तेमाल हुए button presses की कुल गिनतीप्रेस-संख्याव्याख्या का अपना जोड़ा हुआ शब्द, इस chapter में नहीं छपा; chapter clicks गिनता है पर कुल को कोई नाम नहीं देता
digit sumकिसी संख्या के अंकों को जोड़ने पर मिलने वाला कुलअंकों का योगव्याख्या का अपना शब्द, इस chapter में नहीं छपा — और chapter जान-बूझकर यह जोड़ बताने के बजाय student से पूछता है

व्यक्तिवाचक नाम ठीक वैसे ही रखे गए हैं जैसे chapter उन्हें छापता है, ताकि व्याख्या देखने वाला और किताब पढ़ने वाला student एक ही पात्र देखे। Hindi column में standard Hindi गणितीय शब्दावली है, Ganita Prakash के Hindi संस्करण से नहीं ली गई, जिसे मैंने नहीं देखा।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "किसी संख्या को बनाने का एक ही सही तरीक़ा होता है।" पूरा Creative Chitti इसी सोच को तोड़ने के लिए है। नुस्ख़े कई हैं — कुल 72, 321 के लिए — पर गिनती के; जो अकेला है वह सबसे सस्ता नुस्ख़ा है।
  • "सबसे कम press एक नियम है जो तुम्हें बताया जाता है।" यह एक निष्कर्ष है। chapter student से कहता है कि वह किसी संख्या और उसकी सबसे कम press वाली गिनती के बीच का जोड़ ख़ुद पहचाने, और जवाब नहीं छापता।
  • "बड़ा button हमेशा बेहतर होता है।" सिर्फ़ तब, जब वह बैठता हो। +1 के बारह press उस +1000 button के एक press से बेहतर हैं जिसे तुम इस्तेमाल ही नहीं कर सकते।
  • "क्योंकि 100, 10 से बड़ा है, इसलिए Handy Hundreds ज़्यादा कर सकता है।" वह साफ़ तौर पर कम कर सकता है: उसकी पहुँच वाली संख्याएँ Tedious Tens की संख्याओं का एक उपसमुच्चय हैं।
  • "अंक और press की गिनती एक ही चीज़ हैं।" ये सिर्फ़ तब मेल खाते हैं जब buttons संख्या की सबसे ऊँची जगह तक पहुँचते हों। सिर्फ़ +10,000 और +100 हों, तो गिनती सैकड़ों में पहुँच जाती है — 65,30,000 देखो।
  • "press की कोई भी गिनती कोई भी संख्या बना सकती है।" अदला-बदली से गिनती हमेशा नौ से बदलती है, इसलिए किसी तय संख्या के लिए संभव गिनतियाँ नौ-नौ के अंतर पर होती हैं। इसीलिए 999 ठीक तीस press में नहीं बन सकती।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 2 Q1, Figure it Out · 3 Q1, Figure it Out · 3 Q2, Figure it Out · 3 Q3, Figure it Out · 1.6 Q7

पूरा transcript2,076 शब्द

सोचो एक ऐसा calculator है जिसमें सिर्फ़ एक button है। वह button हर बार एक ही number जोड़ता है, और इसके अलावा वह कुछ नहीं कर सकता। पहले calculator का button हर press पर 1,000 जोड़ता है। इसे 3 बार दबाओ, तो screen पर 3,000 आ जाता है। दूसरे calculator का button हर press पर 10 जोड़ता है, और तीसरे calculator का button हर press पर 100 जोड़ता है। ऐसे 3 calculators हैं, और हर एक में एक ही button है।

इनके साथ खेलते-खेलते हम एक ऐसी बात तक पहुँचेंगे जो हमारे numbers लिखने के तरीके के बारे में है। पहले एक आसान सवाल लेते हैं, कि 1,000 वाले calculator पर 1 लाख तक पहुँचने के लिए button कितनी बार दबाना पड़ेगा? जवाब 100 presses है, क्योंकि 100 बार 1,000 मिल कर 1 लाख बनता है। अब 100 वाले calculator पर उसी 1 लाख के लिए 1,000 presses लगते हैं। और 10 वाले calculator पर पूरे 10,000 presses लगते हैं।

मंज़िल एक ही है, पर मेहनत बहुत अलग है। हर छोटे button को ऊपर वाले button से 10 गुना presses चाहिए, क्योंकि ऊपर वाले button का एक press नीचे वाले button के 10 presses के बराबर है। यह बात उल्टी तरफ़ भी चलती है, यानी presses से number भी निकलता है। मान लो किसी ने 1,000 वाला button 153 बार दबाया, तो screen पर 1 लाख 53,000 आएगा। इसी तरह, 10 वाले button के 435 presses से 4,350 बनता है, और 100 वाले button के 582 presses से 58,200 बनता है।

और 100 वाले calculator पर 10,000 तक पहुँचने के लिए 100 presses चाहिए, जबकि 1 लाख तक पहुँचने के लिए 1,000 presses चाहिए। यानी presses की गिनती से number पढ़ा जा सकता है, और number से presses की गिनती निकाली जा सकती है। अब एक बेहतर सवाल, जो यह नहीं पूछता कि कितनी देर लगेगी, बल्कि यह कि पहुँच भी पाएँगे या नहीं। क्या 1,000 वाला calculator screen पर 3,700 दिखा सकता है?

नहीं, वह calculator 3,700 को नहीं दिखा सकता। उसका screen 3,000 से सीधे 4,000 पर कूदता है, और 3,700 बीच में ही छूट जाता है। पर 100 वाला calculator 3,700 तक 37 presses में पहुँच जाता है, और 10 वाला calculator 370 presses में पहुँचता है। तो ये calculators सिर्फ़ धीमे या तेज़ नहीं हैं; ये अलग-अलग numbers तक पहुँचते हैं। और इसका फ़ैसला बिना दबाए हो सकता है, क्योंकि 100 वाला calculator सिर्फ़ 100 के गुणजों पर ही रुक सकता है।

पूरे 1 लाख तक के हर number पर यह जाँचा गया है। जहाँ button दबाने से screen रुकता है, वहीं भाग देने से भी पूरा भाग जाता है, और एक भी number पर दोनों में फ़र्क़ नहीं निकलता। अब 100 वाला calculator एक दावा करता है कि कुछ numbers ऐसे हैं जो वह दिखा सकता है, पर बाकी दोनों नहीं दिखा सकते। तो क्या उसका यह दावा सच में सही है?

देखो, 1,000 वाले calculator के मुकाबले यह सही है। पूरे 1 लाख तक ऐसे 900 numbers हैं जिन्हें 100 वाला दिखाता है और 1,000 वाला नहीं दिखा सकता, और 3,700 उन्हीं में से एक है। पर 10 वाले calculator के मुकाबले यह दावा पूरी तरह ग़लत है। बहुत से students सोचते हैं कि बड़ा button ज़्यादा कर सकता है, पर 100 का हर गुणज 10 का भी गुणज होता है।

तो जो भी number 100 वाला calculator दिखा सकता है, उसे 10 वाला भी दिखा सकता है, बस 10 गुना presses में। पूरे 1 लाख तक ऐसा एक भी number नहीं है जिसे 100 वाला दिखाए और 10 वाला न दिखा सके। पर उल्टी तरफ़ यह बात नहीं चलती, क्योंकि 10 वाला calculator 1 लाख तक ऐसे 9,000 numbers दिखाता है जिन्हें 100 वाला नहीं दिखा सकता, इसलिए इनकी पहुँच के घेरे एक के अंदर एक बैठते हैं।

अब एक ऐसा calculator लो जिसमें 7 buttons हैं, जो 1, 10, 100, 1,000, 10,000, 1 लाख और 10 लाख जोड़ते हैं। चलो इससे 321 बनाते हैं। पहले 10 वाला button 32 बार दबाओ और 1 वाला 1 बार, तो 321 बन जाता है, और इसमें 33 presses लगते हैं। या फिर 100 वाला button 2 बार, 10 वाला 12 बार और 1 वाला 1 बार दबाओ। यह भी 321 है, पर इस बार सिर्फ़ 15 presses लगते हैं।

दोनों तरीके सही हैं, और इनमें से कोई भी ग़लत नहीं है। तो किसी number को बनाने का कोई एक ही सही तरीका नहीं होता। तो इन 7 buttons से 321 बनाने के कुल कितने अलग-अलग तरीके होंगे? सारे तरीके एक-एक करके गिनो, तो ठीक 72 अलग तरीके निकलते हैं। यह बहुत हैं, पर ध्यान दो कि यह एक गिनती है, कोई अंतहीन सिलसिला नहीं। जब 72 तरीके मिल गए, तो सारे तरीके मिल गए।

और इन 72 में से सिर्फ़ 1 तरीका ऐसा है जिसमें सबसे कम presses लगते हैं। वह कौन सा है, यह हम थोड़ी देर में खुद ढूँढ निकालेंगे। उस तरीके को ढूँढने से पहले, तरीकों को ठीक से लिखना सीखते हैं। इसके लिए हम 5,072 वाला number लेते हैं। पहला तरीका यह है कि 100 वाला button 50 बार, 10 वाला 7 बार, और 1 वाला 2 बार दबाया जाए।

इसे expression की तरह लिखें तो यह 50 गुणा 100, जोड़ 7 गुणा 10, जोड़ 2 गुणा 1 बनता है। presses गिनो तो 50, 7 और 2 मिल कर 59 presses होते हैं। दूसरा तरीका यह है कि 1,000 वाला button 3 बार, 100 वाला 20 बार, और 1 वाला 72 बार दबाया जाए। screen पर वही 5,072 आता है, पर इस बार 95 presses लग जाते हैं। तो एक ही number के 2 तरीके हैं, और उनमें से एक में दूसरे से 36 presses ज़्यादा लगते हैं।

अब एक और calculator लो, जिसमें 6 buttons हैं, 1 से लेकर 1 लाख तक, और जो कम से कम presses में काम करना चाहता है। वह 5,072 बनाने के लिए 1,000 वाला button 5 बार दबाता है, 100 वाला एक बार भी नहीं, 10 वाला 6 बार, और 1 वाला 12 बार। कुल मिला कर 5, शून्य, 6 और 12, यानी 23 presses लगते हैं। यह 59 presses से तो बहुत बेहतर है, पर क्या 23 presses सच में सबसे कम हैं?

एक बार फिर कोशिश करते हैं, 1,000 वाला 5 बार, 10 वाला 7 बार, और 1 वाला 2 बार। यह भी 5,072 है, और इसमें सिर्फ़ 14 presses लगते हैं। असल में 14 presses से कम में 5,072 बन ही नहीं सकता, और 14 presses वाला तरीका सिर्फ़ एक ही है। यह 14 याद रखना, क्योंकि आगे कुछ दिलचस्प होने वाला है। आख़िर 14 से कम क्यों नहीं हो सकता?

इसका पूरा जवाब एक ही बात में छिपा है। फिर से 321 वाले 15 presses के तरीके को लो, और उसमें से 100 वाला एक press निकाल दो। अब screen पर 100 कम है, तो उसे 10 वाले button से वापस लाओ, जिसके लिए 10 presses चाहिए। तुमने 1 press हटाया और 10 जोड़े, तो कुल presses 9 बढ़ गए, यानी 15 से 24 हो गए, और number अब भी 321 ही है।

यह बात हर जगह सच है, 1 लाख वाले button से लेकर 10 वाले button तक, किसी भी button का 1 press नीचे वाले button के 10 presses से बदलो, तो number वही रहता है और presses ठीक 9 बढ़ जाते हैं। और यह उल्टा भी चलता है, क्योंकि 23 वाले तरीके में 1 वाले 12 presses थे; उनमें से 10 presses को 10 वाले एक press से बदलो, तो 9 presses बचते हैं और 23 घट कर 14 रह जाते हैं।

इसलिए सबसे कम presses वाले तरीके में कभी नीचे की तरफ़ अदला-बदली नहीं होती। जो सबसे बड़ा button समा सके, उसे जितनी बार समा सके उतनी बार दबाओ; यह कोई चालाकी नहीं है, यह मजबूरी है। अब 5,072 के सबसे कम presses वाले तरीके को फिर से देखो, जिसमें 1,000 वाले 5, 100 वाले शून्य, 10 वाले 7, और 1 वाले 2 presses थे। अब ख़ुद number को देखो, जिसके digits 5, शून्य, 7 और 2 हैं।

ये दोनों बिल्कुल एक ही चीज़ हैं। सबसे कम presses वाला तरीका लिखे हुए number जैसा दिखता भर नहीं है, बल्कि वह वही लिखा हुआ number है। हमारा numbers लिखने का तरीका असल में उस number को बनाने का सबसे छोटा नुस्खा है। इससे एक सीधा नियम मिलता है कि सबसे कम presses उस number के digits का जोड़ होते हैं। पूरे 1 लाख तक के हर number पर यह जाँचा गया है, और एक भी number पर यह नियम नहीं टूटता।

जैसे 66,666 में 5 बार 6 आता है, तो इसके लिए 30 presses लगते हैं, और इसके लिए कुछ भी आज़माना नहीं पड़ा। अब खुद करके देखो, और 8,300 और 40,629 के लिए सबसे कम presses निकालो। देखो, 8,300 के digits 8, 3, शून्य और शून्य हैं, तो इसके लिए 11 presses लगते हैं। और 40,629 के digits का जोड़ 21 है, तो उसके लिए 21 presses लगते हैं। इसी तरह 56,354 के लिए 23 presses लगते हैं, और 3 लाख 67,813 के लिए 28 presses लगते हैं।

इन सब में जवाब digits के जोड़ से मिला, और हर बार वही सबसे कम presses थे। अब इस नियम को तोड़ कर देखते हैं, क्योंकि जिस नियम को सिर्फ़ चलते हुए देखा हो, उसे अभी पूरा समझा नहीं गया है। एक ऐसा calculator लो जिसमें सिर्फ़ 2 buttons हैं, एक 10,000 जोड़ने वाला और एक 100 जोड़ने वाला। इनके बीच में या इनसे ऊपर कोई और button नहीं है।

इससे 20,800 बनाना आसान है, क्योंकि 10,000 वाला 2 बार और 100 वाला 8 बार दबाने पर 10 presses लगते हैं, बिल्कुल digits के जोड़ जितने। अब इसी calculator से 65 लाख 30,000 माँगो, और सोचो कि इसमें कितने presses लगेंगे। इसका सबसे बड़ा button 10,000 का है, और उससे बड़ा कोई button है ही नहीं। इसलिए इसे 653 presses लगते हैं, जबकि इस number के digits का जोड़ सिर्फ़ 14 है।

नियम इसलिए नहीं टूटा कि गणित बदल गया, बल्कि इसलिए टूटा कि इस calculator में बड़ी जगहों के buttons ही नहीं थे। digits का जोड़ तभी presses बताता है जब हर जगह के लिए एक button हो, और यही छिपी हुई शर्त थी। अब एक और बात देखते हैं, जो इसी 9 से निकलती है। देखो, 997 बनाने में सबसे कम 25 presses लगते हैं, क्योंकि 9, 9 और 7 का जोड़ 25 है।

पर इसे 34 presses में भी बनाया जा सकता है, जब 100 वाला 8 बार, 10 वाला 19 बार, और 1 वाला 7 बार दबाया जाए। तो क्या 997 को ठीक 30 presses में बनाया जा सकता है? नहीं, 997 को ठीक 30 presses में नहीं बनाया जा सकता। हर अदला-बदली presses को 9 बढ़ाती है, इसलिए 997 के presses 25, फिर 34, फिर 43 ही हो सकते हैं, और 30 इस सूची में है ही नहीं।

कई लोग सोचते हैं कि presses की कोई भी गिनती चुनो, तो number बन जाएगा। पर किसी एक number के presses की गिनतियाँ हमेशा 9 के फ़ासले पर ही होती हैं। तो बताओ, 3 digits वाला वह सबसे बड़ा number कौन सा है, जिसे ठीक 30 presses में बनाया जा सके? देखो, 993 के digits का जोड़ 21 है, और 21 में 9 जोड़ो तो 30 बनता है। तो एक अदला-बदली से 993 ठीक 30 presses में बन जाता है, जब 100 वाला 8 बार, 10 वाला 19 बार, और 1 वाला 3 बार दबाया जाए।

सारे 3 digits वाले numbers में यही सबसे बड़ा है। और सबसे छोटा number 102 है, जिसके digits का जोड़ 3 है; 3 अदला-बदलियों के बाद वह 30 पर पहुँचता है, 10 वाले 8 presses और 1 वाले 22 presses से। पर 999 कभी भी 30 presses में नहीं बनता। उसके digits का जोड़ 27 है, और वहाँ से सिर्फ़ 36 या 45 तक ही पहुँचा जा सकता है। तो 30 उसकी सूची में है ही नहीं, चाहे कितनी भी कोशिश कर लो।

तो किसी number को बनाने के कई तरीके होते हैं, पर गिने-चुने ही होते हैं; 321 के लिए कुल 72 तरीके हैं। उनमें सबसे कम presses वाला तरीका सिर्फ़ एक होता है, और वह उस number के अपने digits हैं, बशर्ते हर जगह के लिए एक button हो। हर जगह अपने से नीचे वाली जगह की 10 गुना है, इसलिए नीचे की तरफ़ हर अदला-बदली presses को 9 बढ़ा देती है।

अब तुम्हारी बारी है, तो कोई भी 4 digits वाला number चुनो, और उसका सबसे कम presses वाला तरीका लिखो। यह तुम निकालना जानते हो, तो उसके बाद बताओ कि उस number के presses की अगली 3 गिनतियाँ कौन सी होंगी?

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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