PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 7 Mathematics · Chapter 3, A Peek Beyond the PointPrepShorts

Chapter 3 · A Peek Beyond the Point

नाप की units दस-दस में क्यों बनी हैं

The decimal place value system13 मिनट

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एक आम ruler का 1 सेंटीमीटर बड़ा करके देखो: अंदर 10 बराबर हिस्से हैं। यानी मिलीमीटर कोई अलग इकाई नहीं, वह सेंटीमीटर का बटा 10 वाला खाना है, और इसलिए 1 मिलीमीटर बिना किसी हिसाब के 0.1 सेंटीमीटर है।

मुख्य idea

metric conversions रटने वाले तथ्य नहीं हैं; वे §3.4 की place value वाली कड़ी ही हैं, बस अलग नाम पहने हुए। millimetre एक दसवाँ है, centimetre metre का सौवाँ है, gram kilogram का हज़ारवाँ है, paisa rupee का सौवाँ है — इसलिए हर छोटी unit पहले से एक जगह है, और unit बदलना उन्हीं digits को फिर से पढ़ना है, उन पर किया गया कोई हिसाब नहीं। इसीलिए chapter 254 g को बदलते समय उसे kilogram के दो दसवें, पाँच सौवें और चार हज़ारवें में बाँटता है (Part I, §3.5, p.67), और यह वही काम है जो place value table भरना।

आपको क्या आना चाहिए

  • chapter के हर unit वाले रिश्ते को बताना और उससे यह कहना कि एक छोटी unit बड़ी unit के fraction के रूप में कितने की है
  • mm और cm, cm और m, g और kg, और paise और rupees के बीच दोनों दिशाओं में बदलना
  • point खिसकाने का कोई नियम दोहराने के बजाय यह बताकर बदलाव को सही ठहराना कि हर digit किस जगह पर पहुँचता है
  • छोटी units की तीन digit वाली गिनती को बड़ी unit के दसवें, सौवें और हज़ारवें में बाँटना, जैसे chapter 254 g के लिए करता है
  • बताना कि पीछे zero वाली मात्रा, जैसे 0.010 kg, बिना zero वाली मात्रा जितनी ही क्यों है
  • एक list से बहुत छोटी चीज़ों के size पढ़ना और उन्हें एक साझा scale पर रखना
  • decimal रूप में लिखी रक़म पढ़ना और बताना कि point के बाद के digits क्या गिनते हैं

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
conversionकिसी मात्रा को बदले बिना उसे दूसरी unit में फिर से लिखनारूपांतरणPart I, §3.5, pp.64 और 67 में उपशीर्षकों Length Conversion और Weight Conversion के रूप में छपा
millimetercentimetre का दसवाँ हिस्सा; किताब यही spelling इस्तेमाल करती हैमिलीमीटरPart I, §3.5, p.64 में छपा
centimetermetre का सौवाँ हिस्सासेंटीमीटरPart I, §3.1, p.47 में छपा
meterलंबाई की वह unit जिसे सौ centimetres भरते हैंमीटरPart I, §3.5, p.66 में छपा; छोटा रूप m p.65 से इस्तेमाल हुआ है
kilogramवज़न की वह unit जिसे हज़ार grams भरते हैंकिलोग्रामPart I, §3.5, p.67 में छपा
gramkilogram का हज़ारवाँ हिस्साग्रामPart I, §3.5, p.67 में छपा
milligramgram का हज़ारवाँ हिस्सामिलीग्रामPart I, §3.5, p.68 में छपा
rupeeपैसे की वह unit जिसे सौ paise भरते हैंरुपयाPart I, §3.5, p.68 में छपा
paisarupee का सौवाँ हिस्सा; बहुवचन paiseपैसाPart I, §3.5, p.68 में छपा
one-thousandthकिसी unit के हज़ार बराबर हिस्सों में से एकहज़ारवाँ भागPart I, §3.5, p.67 में, उस वाक्य में छपा जो kilogram के मुक़ाबले gram का size बताता है
metric systemunits के इस परिवार का आम नाममीट्रिक प्रणालीव्याख्या का अपना शब्द; इस chapter में नहीं छपा, जो units के नाम एक-एक करके लेता है
prefix (milli-, centi-, kilo-)unit के नाम का वह टुकड़ा जो बताता है कि वह दस की किस घात के लिए हैउपसर्गव्याख्या का अपना शब्द; इस chapter में नहीं छपा, जो नामों का कभी विश्लेषण नहीं करता

Hindi column में standard NCERT Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। इस brief के लिए इस्तेमाल हुए corpus में कक्षा 7 Ganita Prakash का कोई Hindi संस्करण नहीं है, इसलिए ये cells किसी Hindi छपाई से नहीं पढ़े गए — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "हर बदलाव सीखने के लिए एक अलग तथ्य है।" इस section में तीन रिश्ते हैं और इसका हर बदलाव उनमें से किसी एक से निकलता है। उन्हें तीन की तरह पेश करो, बीस की तरह नहीं।
  • "बदलने का मतलब है 10, 100 या 1000 से गुणा या भाग करना।" यह बात सच है पर कारण छिपा देती है, और कारण ही जवाब को जाँचने लायक़ बनाता है। chapter का रास्ता — इतने हज़ारवें, जिन्हें दसवें, सौवें और हज़ारवें में फिर से समूहित किया गया — page पर लंबा है और दिमाग़ में छोटा।
  • "0.010 kg में कोई ग़लती है।" यह 0.01 kg जितना ही वज़न है। अतिरिक्त zero यह दर्ज करता है कि गिनती हज़ारवें में शुरू हुई थी, और chapter 10 g के लिए दोनों रूप एक ही line पर छापता है।
  • "बड़े number का मतलब ज़्यादा चीज़।" 254 g और 0.254 kg एक ही वज़न हैं; 250 p और ₹2.50 एक ही रक़म हैं। numbers की तुलना तभी होती है जब unit एक हो।
  • "छोटी units इसलिए हैं कि छोटी चीज़ें नापना मुश्किल है।" वे इसलिए हैं कि unit को बाँटा गया। millimetre centimetre का दसवाँ है, यानी वही चीज़ जो §3.1 ने बारीक ruler से बनाई थी।
  • "paise ख़त्म हो गए, इसलिए 0.01 rupee का कोई मतलब नहीं।" 25 paise और उससे नीचे के सिक्के वापस लिए गए; unit नहीं। पुराना café bill, और कोई भी आज का bank statement, अब भी point के बाद दो digits रखता है।
  • "चावल वाला चित्र बस पाँच थैले दिखाता है।" वह एक number दिखाता है, 11.111 kg, जिसका हर digit उस ढेरी के बगल में खड़ा है जिसे वह गिनता है। तर्क यही है, और जो व्याख्या इसे सजावट मानती है वह इसे बर्बाद कर देती है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 3 Q1, Figure it Out · 3 Q2, Figure it Out · 3 Q11, Figure it Out · 3 Q12

पूरा transcript1,763 शब्द

इस पूरे video की सबसे ज़रूरी तस्वीर शायद तुम्हारे pencil box में पहले से रखी है। यह एक आम सा ruler है, वही जो हर बस्ते में मिलता है। इसका एक सेंटीमीटर लो, और उसे इतना बड़ा करो कि अंदर तक दिख जाए। अंदर 10 छोटे हिस्से हैं, एक सिरे से दूसरे सिरे तक, बराबर दूरी पर। यानी 10 मिलीमीटर मिलकर ठीक 1 सेंटीमीटर भरते हैं, न कम, न ज़्यादा।

यह बात तुम सालों से जानते हो, और यह बस पड़ी पड़ी कुछ नहीं कर रही थी। पर ज़रा देखो, कि यह असल में कह क्या रही है। यहाँ 1 सेंटीमीटर को 10 बराबर हिस्सों में काटा गया है, और यह चाल हम पहले देख चुके हैं। किसी इकाई को 10 बराबर हिस्सों में काटने से ही तो बटा 10 वाला हिस्सा बनता है। तो मिलीमीटर कोई ऐसी छोटी इकाई नहीं जो बस काम की निकल आई, वह 1 सेंटीमीटर का बटा 10 वाला हिस्सा है।

यानी मिलीमीटर एक खाना है, वही बटा 10 वाला खाना जिसमें हम अब तक लिखते आए हैं। इसलिए 1 मिलीमीटर को सेंटीमीटर में लिखने के लिए कोई हिसाब नहीं चाहिए, वह है 0 दशमलव 1 सेंटीमीटर। और 5 मिलीमीटर है 0 दशमलव 5 सेंटीमीटर, यानी 5 बटा 10। यहाँ न कुछ गुणा हुआ, न कुछ भाग। गिनती लिखी गई, और बिंदु वहाँ लगा जहाँ इकाई कहती है। छोटी इकाइयाँ इसलिए नहीं बनीं कि छोटी चीज़ें नापना मुश्किल है, वे इसलिए हैं क्योंकि बड़ी इकाई को 10 में काटा गया।

अब एक ऐसी गिनती, जो इकाई से आगे निकल जाती है, 12 मिलीमीटर। यह सेंटीमीटर के 12 बटा 10 हैं, जितने 1 सेंटीमीटर में समाते हैं उससे ज़्यादा। इनमें से 10 बटा 10 मिलकर 1 पूरा सेंटीमीटर बनाते हैं, और 2 बच जाते हैं। यानी 1 सेंटीमीटर और 2 बटा 10, जिसे लिखते हैं 1 दशमलव 2 सेंटीमीटर। और digits को देखो, पहले भी 1 और 2 थे, अब भी 1 और 2 हैं, बिंदु बस उनके बीच आ बैठा।

अब उल्टा चलते हैं, 5 दशमलव 6 सेंटीमीटर में कितने मिलीमीटर हैं? वही digits लो, और बिंदु को आखिर तक खिसकाओ, जवाब है 56 मिलीमीटर। इकाई बदलने में digits को कोई नहीं छूता, बस यह तय होता है कि बिंदु कहाँ बैठेगा। मिलीमीटर ruler की सबसे छोटी चीज़ है, तो देखते हैं कि इससे क्या क्या नापा जाता है। अख़बार का एक पन्ना करीब 0 दशमलव 0 5 से 0 दशमलव 0 8 मिलीमीटर मोटा होता है।

इंसान का एक बाल करीब 0 दशमलव 1 मिलीमीटर मोटा है, यानी सबसे पतले अख़बार के 2 गुना। सबसे छोटे ज़मीनी घोंघे का खोल करीब 0 दशमलव 7 मिलीमीटर चौड़ा है। सबसे छोटी चींटियों में से एक, 0 दशमलव 8 से 1 मिलीमीटर लंबी होती है। और सरसों का एक दाना 1 से 2 मिलीमीटर का है, इस भीड़ में वह तो पहलवान है। पैमाने के लिए, बारीक pen की लकीर करीब 0 दशमलव 5 मिलीमीटर चौड़ी होती है, बीच वाली 1 मिलीमीटर, और मोटी 1 दशमलव 5 मिलीमीटर।

इन 5 चीज़ों में से 4, एक मोटी लकीर के अंदर समा जाती हैं, बस सरसों का दाना उससे बड़ा हो सकता है। अब एक table भरते हैं, बाईं तरफ़ मिलीमीटर, दाईं तरफ़ सेंटीमीटर। पहला खाना, 70 मिलीमीटर, यानी 70 बटा 10, और वह ठीक 7 सेंटीमीटर है। अगला उल्टा दिया है, 0 दशमलव 9 सेंटीमीटर, जो 9 मिलीमीटर है। फिर 134 मिलीमीटर, digits वही रहते हैं, और जवाब है 13 दशमलव 4 सेंटीमीटर।

और आखिरी, 203 दशमलव 6 सेंटीमीटर, बिंदु को एक खाना दाईं ओर हटाओ तो 2036 मिलीमीटर। हर जवाब को वापस पढ़ो, तो वही गिनती लौटती है जिससे शुरुआत हुई थी। अब दूसरी तरफ़ चलते हैं, एक बड़ी इकाई की ओर, मीटर। पूरे 100 सेंटीमीटर मिलकर ठीक 1 मीटर भरते हैं, यह भी पुरानी जानी पहचानी बात है। तो 1 सेंटीमीटर, 1 मीटर का बटा 100 वाला हिस्सा है, और अब तक पता है इसका मतलब क्या है।

इसलिए 1 सेंटीमीटर है 0 दशमलव 0 1 मीटर, क्योंकि 1 बटा 100 वाले खाने में जाता है। फिर 10 सेंटीमीटर हैं 10 बटा 100, जिसे लिख सकते हैं 0 दशमलव 1 0 मीटर। अब 15 सेंटीमीटर को मीटर में कैसे लिखेंगे? पहला रास्ता, यह 10 बटा 100 और 5 बटा 100 हैं। दूसरा रास्ता, 10 बटा 100, 1 बटा 10 बनाते हैं, तो 1 बटा 10 और 5 बटा 100, यानी 0 दशमलव 1 5 मीटर।

रास्ते 2 अलग, और जवाब एक ही, क्योंकि number शुरू से एक ही था। इन 2 बातों के अंदर एक तीसरी बात भी छुपी है। देखो, 1 मीटर में 100 सेंटीमीटर, और हर सेंटीमीटर में 10 मिलीमीटर। तो 1 मीटर में 100 गुणा 10, यानी 1000 मिलीमीटर। इसलिए 1 मिलीमीटर, मीटर का बटा 1000 वाला हिस्सा है, 0 दशमलव 0 0 1 मीटर। अब तीनों को बगल बगल रखो, मीटर इकाई है, सेंटीमीटर बटा 100 वाला हिस्सा, और मिलीमीटर बटा 1000 वाला हिस्सा।

ये याद करने वाली अलग अलग बातें नहीं हैं। ये एक ही chain के खाने हैं, जिन पर बस नाम लिख दिए गए हैं। और इसीलिए इकाई बदलने में कभी कोई नया हिसाब नहीं लगता। अब एक और table, सेंटीमीटर से मीटर, और यहाँ सेंटीमीटर बटा 100 वाला खाना है। पहले, 36 सेंटीमीटर है 0 दशमलव 3 6 मीटर, और 50 सेंटीमीटर है 0 दशमलव 5 मीटर। उल्टा दिया है 0 दशमलव 8 9 मीटर, तो वह 89 सेंटीमीटर है।

अब 4 सेंटीमीटर, यहाँ ध्यान रखना, 4 बटा 100 हैं, बटा 10 वाले हिस्से कोई नहीं, तो 0 दशमलव 0 4 मीटर। फिर 325 सेंटीमीटर, इसमें पूरे मीटर भी हैं, जवाब है 3 दशमलव 2 5 मीटर। और 2 दशमलव 0 7 मीटर, वापस सेंटीमीटर में, 207 सेंटीमीटर। वज़न में भी यही होता है, तो इसे एक बार और होते हुए देखते हैं। पूरे 1000 ग्राम मिलकर 1 किलोग्राम भरते हैं, इसलिए 1 ग्राम किलोग्राम का बटा 1000 वाला हिस्सा है।

अब 254 ग्राम हैं, इन्हें किलोग्राम में कैसे लिखेंगे? भाग वाला कोई नियम याद करने की ज़रूरत नहीं, बस इसे पढ़ो। सीधी बात, 254 ग्राम, किलोग्राम के 254 बटा 1000 हैं। यानी 200 बटा 1000, 50 बटा 1000, और 4 बटा 1000। और यही है 2 बटा 10, 5 बटा 100 और 4 बटा 1000। जवाब 0 दशमलव 2 5 4 किलोग्राम, और digits फिर अपनी जगह से हिले नहीं।

देखने में 254 बड़ा number लगता है, और 0 दशमलव 2 5 4 छोटा, पर वज़न बिल्कुल एक है, numbers की तुलना तभी होती है जब इकाई एक हो। अब एक बात जो अक्सर उलझाती है। मान लो 10 ग्राम हैं, यानी किलोग्राम के 10 बटा 1000, तो लिखते हैं 0 दशमलव 0 1 0। वह आखिरी zero गलती जैसा दिखता है, पर गलती नहीं है। वह इसलिए है क्योंकि गिनती बटा 1000 वाले हिस्सों में शुरू हुई थी, और ग्राम तीसरा खाना है।

वह zero बस यह याद रखता है कि शुरुआत कहाँ से हुई। चाहो तो उसे हटा सकते हो, 0 दशमलव 0 1 किलोग्राम ठीक वही वज़न है। क्योंकि 10 बटा 1000 मिलकर 1 बटा 100 बनाते हैं, और यह हम जानते हैं। और 1 से 9999 ग्राम तक की हर गिनती में, बटा 1000 वाले हिस्सों तक पूरा लिखो, तो digits वही रहते हैं, जबकि zero हटाने पर वे सिर्फ़ उन 999 गिनतियों में बदलते हैं जो zero पर खत्म होती हैं।

और 5 ग्राम, बिना किसी zero को हटाए, 0 दशमलव 0 0 5 किलोग्राम। अब एक तस्वीर, एक ही शेल्फ़ पर चावल की 5 ढेरियाँ। पहली ढेरी 10 किलोग्राम की है, दूसरी 1 किलोग्राम की। तीसरी, किलोग्राम का बटा 10 वाला हिस्सा, यानी 100 ग्राम। चौथी, बटा 100 वाला हिस्सा, 10 ग्राम, और पाँचवीं, बटा 1000 वाला हिस्सा, बस 1 ग्राम। हर ढेरी अपने बाद वाली से ठीक 10 गुना है, पूरी शेल्फ़ पर।

अब पूरी शेल्फ़ को एक बार में तौलें, तो कितना निकलेगा? जवाब है 11 दशमलव 1 1 1 किलोग्राम। यह कोई संयोग नहीं है, इस number का हर digit एक ढेरी है, number पढ़ो, और पूरी शेल्फ़ पढ़ ली। अब ग्राम से किलोग्राम की table, जहाँ ग्राम बटा 1000 वाला खाना है। पहले, 465 ग्राम है 0 दशमलव 4 6 5 किलोग्राम। अब 68 ग्राम, इसमें ध्यान रखना, बटा 10 वाले हिस्से कोई नहीं, तो 0 दशमलव 0 6 8 किलोग्राम।

फिर 1560 ग्राम है 1 दशमलव 5 6 किलोग्राम, और 704 ग्राम है 0 दशमलव 7 0 4। उल्टी तरफ़, 0 दशमलव 5 6 किलोग्राम है 560 ग्राम, और 2 दशमलव 5 किलोग्राम है 2500 ग्राम। और ग्राम को भी काटा जाता है, 1 ग्राम में 1000 मिलीग्राम, तो 1 मिलीग्राम है 0 दशमलव 0 0 1 ग्राम। पानी जैसी चीज़ें नापने वाली इकाई भी ठीक यही करती है। पूरे 1000 मिलीलीटर मिलकर 1 लीटर भरते हैं, तो 1 मिलीलीटर, लीटर का बटा 1000 वाला हिस्सा है।

एक बोतल में 750 मिलीलीटर हो, तो वह 0 दशमलव 7 5 लीटर है। इसी तरह 1500 मिलीलीटर है 1 दशमलव 5 लीटर, और दवा का 5 मिलीलीटर का चम्मच, 0 दशमलव 0 0 5 लीटर। यह ठीक वही हिसाब है जो 254 ग्राम में किया था, बस चीज़ बदल गई है। कुल 5 इकाई जोड़ियों में 1 से 9999 तक की हर गिनती, कुल 49995 मामलों में, यही खानों वाला तरीका ठीक वही जवाब देता है जो सीधा भाग देता है।

लंबाई, वज़न और आयतन, ये 3 अलग तरीके नहीं, एक ही तरीका है जो 3 चीज़ें नापता है। आखिरी चीज़, सामान की एक सूची, जिसमें 2 खाने बने हैं, एक किलोग्राम का, एक ग्राम का। आटा, किलोग्राम में 1, ग्राम में 500, चीनी, किलोग्राम में कुछ नहीं, ग्राम में 250, और नमक, ग्राम में 75। ग्राम वाला खाना जोड़ो, 500, 250 और 75, कुल 825। किलोग्राम वाला खाना, बस 1, तो सब मिलाकर 1 किलोग्राम और 825 ग्राम।

अब इसे बिंदु लगाकर लिखो, 1 दशमलव 8 2 5 किलोग्राम। ध्यान रहे, नमक के 75 ग्राम, ग्राम वाले खाने में आगे एक zero लगाकर बैठते हैं, यानी 0 दशमलव 0 7 5 किलोग्राम। बिंदु के बाद वाले digits, ग्राम वाला खाना ही हैं। खानों के बीच की लकीर और दशमलव बिंदु, एक ही सीमा को खींचने के 2 तरीके हैं, और वह सीमा वहाँ है जहाँ इकाई खत्म होती है।

याद रखो, हर छोटी इकाई किसी बड़ी इकाई का एक खाना है, मिलीमीटर बटा 10 वाला हिस्सा, सेंटीमीटर बटा 100 वाला हिस्सा, ग्राम बटा 1000 वाला हिस्सा। इकाई बदलना हिसाब नहीं, वही digits दोबारा पढ़ना है, बस बिंदु की जगह बदलती है। कोई भी गिनती खानों में बाँटो, जैसे 254 ग्राम, बटा 10, बटा 100 और बटा 1000 वाले हिस्सों में। आखिर का zero वज़न नहीं बदलता, बस बताता है कि गिनती कहाँ से शुरू हुई।

और 2 मात्राओं की तुलना तभी करो, जब दोनों एक ही इकाई में लिखी हों।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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