PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 7 Mathematics · Chapter 3, A Peek Beyond the Point
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board पर 1, 8, 8 लिखा है। इसकी कीमत क्या है? 188 सेंटीमीटर या 188 मीटर? 188 या 1.88? digits तभी मात्रा बनते हैं जब 2 लंगर तय हों: इकाई, और इकाई का खाना।
मुख्य idea
digits की एक लड़ी अभी कोई मात्रा नहीं है। वह मात्रा तभी बनती है जब दो और चीज़ें तय हों — वह कौन-सी unit गिनती है, और units की जगह कहाँ बैठी है — और chapter जिस भी घटना का ज़िक्र करता है, वह ऐसा number है जो सही-सलामत आगे पहुँचा पर इन दो लंगरों में से एक छूट गया। इसीलिए section के शीर्षक में decimals और नाप एक साथ हैं, और इसीलिए इस तरह की ग़लती कभी हल्का-सा खिसकना नहीं होती: लंगर छूटने से पूरे जवाब का पैमाना बदल जाता है — दस की किसी घात से, जब खिसकने वाली चीज़ point हो, और उस अनुपात से जिसमें दोनों units खड़ी हैं, जब खोई हुई चीज़ unit हो।
आपको क्या आना चाहिए
- वे दो चीज़ें बताना जिनकी digits की लड़ी को किसी मात्रा का नाम बनने से पहले ज़रूरत होती है
- chapter की बताई तीनों घटनाओं में से हर एक का वर्णन करना, और हर एक में पहचानना कि कौन-सा लंगर खोया
- जब कोई digit एक जगह हटकर पढ़ा जाए, तब यह निकालना कि जवाब कितने गुना ग़लत है
- जगह की ग़लती और unit की ग़लती में फ़र्क़ करना, और बताना कि chapter उन्हें एक साथ क्यों रखता है
- समझाना कि इस तरह की ग़लती page पर जितनी छोटी दिखती है, उसके अनुपात में इतनी बड़ी क्यों होती है
- ऐसी दो जाँचें बताना जो इस तरह की ग़लती को उस पर अमल होने से पहले पकड़ लेती हैं
जानने लायक़ शब्द
| शब्द | एक line में परिभाषा | हिंदी / क्षेत्रीय समकक्ष | पहली बार कहाँ आया |
|---|---|---|---|
| decimal point | वह निशान जो तय करता है कि units की जगह कहाँ ख़त्म होती है | दशमलव बिंदु | Part I, §3.4, p.62 में छपा |
| unit conversion | किसी मात्रा को, वह जो है उसे बदले बिना, दूसरी unit में फिर से लिखना | मात्रक रूपांतरण | Part I, §3.8, p.76 में, उस पहले वाक्य में छपा जो point की ग़लतियों और unit conversion की ग़लतियों का नाम एक साथ लेता है |
| euro-cent | euro का सौवाँ हिस्सा, जैसा chapter इसका मतलब बताता है | यूरो-सेंट | Part I, §3.8, p.77 में छपा |
| pound | वज़न की वह unit जिसमें ईंधन की संख्या ली गई | पाउंड | Part I, §3.8, p.77 में छपा |
| kilogram | वज़न की वह unit जिसमें ईंधन की संख्या होनी चाहिए थी | किलोग्राम | Part I, §3.5, p.67 में छपा |
| milligram | gram का हज़ारवाँ हिस्सा, वह unit जिसमें ख़ुराक लिखी जाती है | मिलीग्राम | Part I, §3.5, p.68 में छपा |
| place | system की एक जगह, अपनी दाईं वाली जगह के दस के बराबर | स्थान | Part I, §3.4, p.59 में छपा |
| order of magnitude | जवाब कितने दस गुना ग़लत है | परिमाण की कोटि | व्याख्या का अपना शब्द; इस chapter में नहीं छपा, जो इसकी जगह कहता है कि ख़ुराक लिखी गई मात्रा की दस गुनी होगी |
| rounding error | किसी number को छोटा करने से आई थोड़ी-सी अशुद्धि | सन्निकटन त्रुटि | व्याख्या का अपना शब्द, इस chapter में नहीं छपा; इसका नाम यहाँ सिर्फ़ इसलिए लिया गया है कि इसे उन ग़लतियों से अलग किया जा सके जिनके बारे में section है |
Hindi column में standard NCERT Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। इस brief के लिए इस्तेमाल हुए corpus में कक्षा 7 Ganita Prakash का कोई Hindi संस्करण नहीं है, इसलिए ये cells किसी Hindi छपाई से नहीं पढ़े गए — Notes देखें।
लोग कहाँ चूकते हैं
- "decimal point की ग़लती छोटी ग़लती है।" यह गुणा है, हल्का-सा खिसकना नहीं। ख़ुराक ठीक दस गुना ग़लत है और Amsterdam का भुगतान लगभग सौ गुना; यहाँ तक कि ईंधन वाली हालत, तीनों में सबसे हल्की, भी लगभग दो गुना ग़लत है और फिर भी उसकी वजह से एक हवाई जहाज़ लगभग गँवा दिया गया। section इसीलिए है कि यह बात कभी न भूले।
- "ये computer की नाकामियाँ हैं, arithmetic की नहीं।" हर हालत में किसी मशीन या इंसान ने digits को सही सँभाला। जो खो गया वह उनसे जुड़ा मतलब था।
- "तीनों point की ग़लतियाँ हैं।" सिर्फ़ ख़ुराक वाली है। Amsterdam वाली हालत euros और cents के बीच unit का उलझना है, और ईंधन वाली हालत pounds और kilograms के बीच unit का उलझना है, जिसमें point का कोई लेना-देना ही नहीं। chapter इन्हें ऐसे शीर्षक के नीचे रखता है जो decimals और नाप का नाम एक साथ लेता है, और ईंधन वाली हालत को decimal की ग़लती बताता है; वही कहो जो छपा page कहता है, और फिर फ़र्क़ बताओ, यह दिखावा करने के बजाय कि तीनों एक ही ढंग की हैं।
- "unit ग़लत होने का मतलब हमेशा दस गुने की ग़लती।" ईंधन वाली हालत ऐसी नहीं है: pounds बनाम kilograms लगभग दो गुने का फ़र्क़ है। फिर भी यह लंगर की नाकामी है, और फिर भी इसने एक हवाई जहाज़ को लगभग तबाह कर दिया।
- "इतनी ग़लत संख्या को कोई तो पकड़ लेता।" तीन में से दो हालतों में किसी ने नहीं पकड़ा, जब तक नतीजा सामने नहीं आया। यही तर्क है कि जाँच अमल करने से पहले हो, बाद में नहीं।
- "यह rounding की वजह से होता है।" rounding किसी number को थोड़ा छोटा करती है। ये ग़लतियाँ उसे दूसरी जगह पहुँचा देती हैं। दोनों को अलग रखो, ख़ास तौर पर इसलिए कि Part I, Chapter 1 ने ईमानदार सन्निकटन पर एक पूरा section लगाया था।
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पूरा transcript1,294 शब्द
board पर 3 digits लिखे हैं, 1, 8 और 8, बताओ इनकी कीमत क्या है? तुम नहीं बता सकते, और इसमें सवाल की कोई गलती नहीं है। digits की एक कतार अभी कोई मात्रा नहीं है। पहली बात जो तय होनी चाहिए, यह किस चीज़ की गिनती है, 188 सेंटीमीटर, या 188 मीटर? दूसरी बात, इकाई का खाना कहाँ है, यह 188 है, या 1 दशमलव 8 8? और हर गलत चुनाव, मात्रा को 100 गुना बदल देता है।
इन 2 बातों को लंगर कहते हैं, digits चलते रहते हैं, और लंगर उन्हें एक आकार से बाँधे रखते हैं। अब कुछ किस्से, जिनमें digits बिल्कुल सही पहुँचे, पर एक लंगर छूट गया। मान लो एक शेल्फ़ 1 दशमलव 8 0 मीटर लंबी है। सेंटीमीटर में वही लंबाई 180 है, क्योंकि 1 सेंटीमीटर, 1 मीटर का 1 बटा 100 है। लंबाई वही है, digits 2 खाने खिसके, और इकाई का नाम भी उनके पीछे पीछे बदल गया।
यही असली बात है, बिंदु और इकाई एक जोड़ी में चलते हैं, वरना मात्रा वही नहीं रहती। अब अगर कोई 180 लिखकर आगे भेज दे, और पढ़ने वाला उसे मीटर समझ ले, तो? तो शेल्फ़ 180 मीटर की बनेगी, जो असली से पूरे 100 गुना लंबी है। इसमें किसी ने एक भी digit गलत नहीं लिखा, सिर्फ़ इकाई का लंगर छूट गया। एक बार एक यात्री विमान को लंबी उड़ान से पहले ईंधन भरा गया।
विमान को 22300 किलोग्राम ईंधन चाहिए था। पर उसमें 22300 पाउंड ईंधन भरा गया। गौर करो, इस बात में कहीं कोई दशमलव बिंदु नहीं है। number हूबहू वही है, बस उसके पीछे लगी इकाई गलत है। उड़ान के बीच ईंधन खत्म हो गया, और विमान को एक बंद पड़ी हवाई पट्टी पर उतरना पड़ा। किसी को चोट नहीं आई, और पूरे किस्से में बस यही एक किस्मत की बात थी।
ईंधन कितना कम पड़ा? एक पाउंड करीब 0 दशमलव 4 5 3 किलोग्राम होता है। तो 22300 पाउंड, करीब 10100 किलोग्राम हुए। और ज़रूरत थी पूरे 22300 किलोग्राम की। अब जो था उसे जो चाहिए था उससे भाग करो, और निकलता है 0 दशमलव 4 5 3, वही पाउंड का आँकड़ा। क्योंकि भरा गया number और चाहिए था वाला number एक ही था, तो बचा हुआ हिस्सा बस 2 इकाइयों का अनुपात है।
यह हर बार होगा, 1 से 30000 तक किसी भी गिनती को पाउंड में पढ़ लो, हिस्सा हमेशा वही 0 दशमलव 4 5 3। पाउंड की पूरी सही कीमत लो, तो भी भरा गया ईंधन करीब 10115 किलोग्राम ही बनता है, सैकड़े तक वही 10100। यानी करीब आधी टंकी, और उस आधे की वजह पाउंड और किलोग्राम के नामों में लिखी है। अगला किस्सा छोटा है, शांत है, और दवाओं में एक से ज़्यादा बार हुआ है।
दवा की खुराक लिखी है 0 दशमलव 0 5 मिलीग्राम। और उसे पढ़ लिया गया 0 दशमलव 5 मिलीग्राम। यह लिखी गई खुराक का ठीक 10 गुना है, करीब करीब नहीं, ठीक 10। digits वही हैं, उसी क्रम में, बस 5 एक खाना खिसक गया, बटा 100 वाले खाने से बटा 10 वाले खाने में। फ़र्क बस एक digit का है, बिंदु और 5 के बीच बैठा वह 0। इन किस्सों में यह अकेला है जिसमें बिंदु की जगह बदली।
तो ये सारे बिंदु की गलतियाँ नहीं हैं, जैसा पहली बार में लगता है। दवा में इकाई के खाने का लंगर छूटा, वह सच में बिंदु की गलती है। शेल्फ़ में इकाई का नाम छूटा, सेंटीमीटर और मीटर। ईंधन में भी इकाई छूटी, पाउंड और किलोग्राम, और वहाँ कोई बिंदु था ही नहीं। फिर भी तीनों एक ही गलती हैं, अलग अलग कपड़ों में, एक लंगर छूटा, और digits उसके बिना आगे बढ़ गए।
और कौन सा लंगर छूटा, यही तय करता है कि नुकसान कितना बड़ा होगा। गलती कितनी बड़ी है, यह number पर निर्भर नहीं करता, सिर्फ़ इस पर कि कौन सा लंगर छूटा। बिंदु एक खाना खिसके, तो जवाब 10 गुना, 2 खाने, तो 100 गुना, 3 खाने, तो 1000 गुना। यह बात 0 दशमलव 0 1 से 99 दशमलव 9 9 तक की सारी 9999 मात्राओं पर जाँची गई, और हर एक पर ठीक यही निकला।
हर 3 digit वाले number को बिंदु की अलग अलग जगहों पर पढ़ो, कुल 2700 अनुपात बनते हैं, और उनमें सबसे छोटा भी 10 है। यानी बिंदु की कोई भी चूक 10 गुना से छोटी नहीं हो सकती। तुम बिंदु के बारे में थोड़ा सा गलत नहीं हो सकते, सबसे छोटी गलती भी सीढ़ी का एक पूरा डंडा है। और इकाई की गलती उतनी बड़ी होती है जितना दोनों इकाइयों का अनुपात, सेंटीमीटर और मीटर में 100, पाउंड और किलोग्राम में 2 से थोड़ा ज़्यादा।
एक बात साफ़ कर लें, यह गोल करना नहीं है। जैसे, 22 दशमलव 3 4 9 को एक दशमलव खाने तक गोल करो, तो मिलता है 22 दशमलव 3। number बस 0 दशमलव 0 4 9 हिला, अपने आकार के एक प्रतिशत का भी बहुत छोटा हिस्सा। गोल करने से number कभी भी आखिरी रखे खाने की आधी इकाई से ज़्यादा नहीं हिलता। गिनती के लिए 0 से 9 दशमलव 9 9 9 तक के सारे 10000 numbers पर यह देखा गया, एक दशमलव खाने तक गोल करने पर कोई भी 0 दशमलव 0 5 से ज़्यादा नहीं हिला।
पर लंगर वाली गलतियाँ number को छोटा नहीं करतीं, वे पूरी मात्रा को उठाकर कहीं और रख देती हैं। एक छोटी, ईमानदार कमी है जो जानबूझकर मानी जाती है, दूसरी एक गुणा है जो अनजाने में हो गया। तो 2 जाँचें, और दोनों इतनी छोटी हैं कि आदत बन सकती हैं। पहली, यह number किस इकाई में है, और जवाब किस इकाई में चाहिए? ईंधन पर चलाओ, 22300 किस चीज़ के?
पाउंड के, और जवाब चाहिए किलोग्राम में, तो बदलो, करीब 10100, जो काफ़ी नहीं। दूसरी, इकाई का खाना कहाँ है? दवा की खुराक पर चलाओ, 0 दशमलव 5, बिंदु को एक खाना वापस ले जाओ, तो 0 दशमलव 0 5। और ध्यान रहे, मोटा अंदाज़ा 10 गुना और 100 गुना गलती पकड़ लेता है, पर 10100 और 22300 दोनों 5 digit के numbers हैं, तो करीब 2 गुने का फ़र्क उससे फिसल जाता है।
अब तुम्हारी बारी, 3 और मामले, हर एक में बताओ कि कौन सा लंगर छूटा, और गलती कितने गुना की है। पहला, दवा 2 दशमलव 5 मिलीलीटर लिखी थी, और पढ़ी गई 25 मिलीलीटर। यहाँ इकाई का खाना छूटा, बिंदु एक खाना खिसका, तो गलती ठीक 10 गुना। दूसरा, एक सड़क 1 दशमलव 2 किलोमीटर लंबी है, और नक्शे पर लिख दिया गया 1 दशमलव 2 मीटर। digits सही हैं, बिंदु भी सही, पर इकाई छूट गई, और किलोमीटर में 1000 मीटर होते हैं, तो सड़क 1000 गुना छोटी दर्ज हुई।
तीसरा, एक पार्सल 3 किलोग्राम का है, और रजिस्टर में लिखा गया 3 पाउंड, तो रजिस्टर के हिसाब से वह कितने किलोग्राम का है? रजिस्टर के हिसाब से बस 1 दशमलव 3 5 9 किलोग्राम, यानी असली वज़न का 0 दशमलव 4 5 3 हिस्सा, फिर वही पाउंड वाला आँकड़ा। एक तीसरा बचाव भी है, और उसमें कुछ खर्च नहीं होता। बचाव यह है कि number ज़ोर से बोला जाए, और बिंदु के बाद हर digit अलग अलग।
एक है 0 दशमलव 0 5, दूसरा है 0 दशमलव 5। ऐसे बोलने पर ये दोनों ज़रा भी एक जैसे नहीं सुनाई देते, एक में एक शब्द ज़्यादा है। और वही एक ज़्यादा शब्द, पूरी गलती है, बोलकर सुनाई देती हुई। याद रखो, digits तभी मात्रा बनते हैं जब इकाई और इकाई का खाना, दोनों तय हों। बिंदु की गलती हमेशा 10 का गुणा है, कम से कम। इकाई की गलती, दोनों इकाइयों का अनुपात है, चाहे वह 100 हो या 2 के पास।
यह गोल करना नहीं, गोल करना थोड़ा सा हिलाता है, यह पूरी मात्रा को उठा ले जाता है। इकाई जाँचो, बिंदु जाँचो, और number को एक एक digit ज़ोर से बोलो।
यह कहाँ बैठता है
यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.
किस पर टिका है
- Extending Indian place value to the right of the pointकक्षा 7 · Ch 3, A Peek Beyond the Point
- Why measurement units are built in tensकक्षा 7 · Ch 3, A Peek Beyond the Point
- Adding and subtracting decimals by aligning place valueकक्षा 7 · Ch 3, A Peek Beyond the Point
इसके ठीक पहले और ठीक बाद
- When a decimal-looking number is not a decimal: 4.5 hours, 5.5 oversकक्षा 7 · Ch 3, A Peek Beyond the Point