PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 7 Mathematics · Chapter 3, A Peek Beyond the PointPrepShorts

Chapter 3 · A Peek Beyond the Point

number line पर decimal ढूँढ़ना, और दो decimals की तुलना

Comparing and combining decimals13 मिनट

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1.4 number line पर कहाँ बैठता है? 1 और 2 के बीच के टुकड़े को 10 बराबर हिस्सों में काटो, और 1.4 ठीक 4 निशान आगे है। बिंदु के बाद वाले हर digit ने बस पिछले टुकड़े के 10 हिस्सों में से एक चुना।

मुख्य idea

number line पर कोई decimal ढूँढ़ना और दो decimals की तुलना करना एक ही काम है, दो तरफ़ से देखा हुआ। 4.185 को रखने के लिए chapter चार बार zoom करता है, और हर digit पिछले हिस्से के दस छोटे intervals में से एक चुनता है (Part I, §3.6, p.71) — और ठीक इसीलिए तुलना उस पहली जगह पर रुक सकती है जहाँ दोनों numbers अलग होते हैं: एक बार जब वे अलग-अलग छोटे intervals चुन लेते हैं, तो आगे आने वाला सब कुछ उन्हीं के अंदर पड़ता है, और digits की कोई भी पूँछ अपने interval से बाहर निकलकर दूसरे से आगे नहीं जा सकती। chapter student से रुकने का कारण बताने को कहता है (Part I, §3.6, p.73), और यही वह कारण है।

आपको क्या आना चाहिए

  • दिए गए decimal को बार-बार बाँटकर number line पर ढूँढ़ना, और बड़ी की हुई lines की वह कड़ी बनाना जो यह काम करती है
  • किसी अनजानी number line से कुछ भी पढ़ने से पहले यह निकालना कि उसका एक भाग कितने का है
  • तय करना कि अलग-अलग गिनती के digits से लिखे दो decimal numbers बराबर हैं या नहीं, और place value से इस फ़ैसले को सही ठहराना
  • आख़िरी सार्थक digit के बाद लिखे zero और point व किसी digit के बीच लिखे zero में फ़र्क़ करना
  • सबसे बाईं जगह से शुरू करके दो decimals की तुलना करना, और उस पहली जगह पर रुकना जहाँ वे अलग हों
  • समझाना कि वहाँ रुकना सुरक्षित क्यों है
  • एक लक्ष्य number और कई उम्मीदवार दिए हों, तो तय करना कि कौन-सा उम्मीदवार सबसे पास है और एक दूरी से इसे साबित करना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
number lineएक सीधी line जिस पर हर number की एक जगह हैसंख्या रेखाPart I, §3.6, p.70 में छपा
magnifiedइतना बड़ा किया हुआ कि line का एक हिस्सा पूरे चित्र को भर देआवर्धितPart I, §3.6, p.71 में छपा
divisionline पर पड़ोसी निशानों के बीच की एक ख़ाली जगहविभाजनPart I, §3.6, p.71 में छपा
most significant digitवह digit जो number की इस्तेमाल हुई सबसे बड़ी जगह में बैठा हैसर्वाधिक सार्थक अंकPart I, §3.6, p.73 में छपा, जहाँ chapter इसका मतलब भी समझाता है
place valueकोई digit जहाँ बैठा है, उसकी वजह से उसकी क़ीमतस्थानीय मानPart I, §3.4, p.59 में छपा
ascending orderसबसे छोटा पहलेआरोही क्रमPart I, §3.6, p.73 में छपा
descending orderसबसे बड़ा पहलेअवरोही क्रमPart I, §3.8, p.79 में छपा
thousandthsवे हिस्से जिनमें से हज़ार एक unit भरते हैंसहस्रांशPart I, §3.4, p.61 में छपा
equivalent decimalsदो decimal numbers जो एक ही मात्रा का नाम हैंतुल्य दशमलवव्याख्या का अपना शब्द, इस chapter में नहीं छपा; बराबरी ख़ुद p.70 पर बिना किसी नाम के दिखाई गई है, और यह जाँचने के लिए pp.70–73 देखे गए
trailing zerofractional हिस्से के आख़िरी non-zero digit के बाद लिखा zeroअनुगामी शून्यव्याख्या का अपना शब्द; इस chapter में नहीं छपा, जो दाईं ओर zeros लगाने की बात करता है

Hindi column में standard NCERT Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। इस brief के लिए इस्तेमाल हुए corpus में कक्षा 7 Ganita Prakash का कोई Hindi संस्करण नहीं है, इसलिए ये cells किसी Hindi छपाई से नहीं पढ़े गए — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "number line का हर भाग एक दसवाँ होता है।" इस section की तीन छपी lines कुछ और कहती हैं — 5 और 10 के बीच आधी units, 8 और 8.1 के बीच सौवें, 4.3 और 4.8 के बीच पाँच सौवें। सिरों को पढ़ना और ख़ाली जगहें गिनना इनमें से हर item का पहला क़दम है, और chapter यह क़दम student के लिए कभी नहीं उठाता।
  • "ज़्यादा digits वाला decimal बड़ा होता है।" यह Part I, §3.8, p.79 पर सीधे एक अभ्यास के रूप में पूछा गया है। व्याख्या में एक हल किया हुआ उलटा उदाहरण होना चाहिए: 2.5 बनाम 2.05.
  • "दाईं ओर zeros लगाने से number बड़ा हो जाता है।" यह p.70 पर Zara की चिंता है, और इसका जवाब किसी दावे से नहीं, place value table से दिया गया है। table दिखाओ।
  • "तो zeros कभी मायने नहीं रखते।" वही table 0.2 को 0.02 और 0.002 से अलग करती है। point और किसी digit के बीच का zero उस digit को छोटी जगह में धकेल देता है; आख़िरी digit के बाद का zero कुछ नहीं धकेलता।
  • "point के बाद के digits गिनकर तुलना करो।" 3.81 बनाम 13.800 इसे एक line में ख़त्म कर देता है।
  • "फ़ैसला करने से पहले हर digit जाँचना पड़ता है।" chapter का box वाला सवाल ठीक यही है, और जवाब है नहीं। फ़ैसला करने वाली जगह के बाद जो कुछ भी आता है, वह उस जगह की एक unit से छोटा है, इसलिए वह कम से कम एक ऐसी unit के फ़ासले को पाट नहीं सकता।
  • "सबसे पास का मतलब सबसे कम digits अलग।" नज़दीकी एक दूरी है। page उसे नापता है — एक सौवाँ बनाम दस सौवें।
  • "04.50, 4.5 से अलग number है।" आगे का zero कुछ नहीं जोड़ता; पीछे का zero कुछ नहीं जोड़ता। दोनों इसी कारण सात numbers वाली list में हैं।

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पूरा transcript1,861 शब्द

एक number line पर 1 दशमलव 4 कहाँ बैठता है, आज यहीं से शुरू करते हैं। इसमें पूरी इकाई 1 है, तो यह 1 और 2 के बीच कहीं है। तो 1 से 2 तक के टुकड़े को 10 बराबर हिस्सों में काटो। अंदर के निशान पढ़े जाते हैं 1 दशमलव 1, 1 दशमलव 2, और ऐसे ही 1 दशमलव 9 तक। और 1 दशमलव 4, 1 से ठीक 4 निशान आगे है।

गौर करो, बिंदु के बाद वाले digit ने बस इतना किया, कि 10 हिस्सों में से एक चुन लिया। अब 1 और 1 दशमलव 1 के बीच वाले छोटे से फ़ासले को देखो। अगर इसे भी 10 हिस्सों में काटें, तो अंदर के निशानों के नाम क्या होंगे? हर हिस्सा 1 बटा 100 है, तो निशान हैं 1 दशमलव 0 1, 1 दशमलव 0 2, और ऐसे ही 1 दशमलव 0 9 तक।

और 1 दशमलव 0 4, 1 से ठीक 4 निशान आगे है। यानी हर अगला digit, पिछले चुने हुए हिस्से को फिर से 10 में काटता है। अब एक बहस, जो हर कक्षा में कभी न कभी होती है। कोई कहता है, 0 दशमलव 2 को 0 दशमलव 2 0 भी लिख सकते हैं, और 0 दशमलव 2 0 0 भी। कोई और डरता है कि दाईं ओर zero लगाने से number बदल जाता है, शायद बड़ा हो जाता है।

इन दोनों में सही कौन है? इसका फ़ैसला किसी की बात मानकर नहीं, खानों वाली table से होगा। table के खाने हैं, इकाई, बटा 10, बटा 100 और बटा 1000 वाले हिस्से। पहली पंक्ति, 0 दशमलव 2, बटा 10 वाले खाने में 2, बाकी सब खाली। अब 0 दशमलव 2 0 और 0 दशमलव 2 0 0, 2 अब भी बटा 10 वाले खाने में है, नए zero बस खाली खानों में जाकर बैठ गए।

तो ये तीनों एक ही मात्रा हैं, पहले वाले की बात सही थी। पर 0 दशमलव 0 2 में 2 खिसककर बटा 100 वाले खाने में चला गया है, और 0 दशमलव 0 0 2 में बटा 1000 वाले खाने में। यानी यहाँ लिखने के 5 तरीके हैं, पर मात्राएँ सिर्फ़ 3। तो क्या zero से कभी फ़र्क नहीं पड़ता? पड़ता है, सवाल बस यह है कि zero कहाँ लगा।

आखिरी digit के बाद लगा zero किसी digit को उसकी जगह से नहीं हिलाता। पर बिंदु के ठीक बाद लगा zero, पीछे वाले हर digit को एक खाना छोटा कर देता है। गिनकर देखा गया, 0 दशमलव 0 1 से 9 दशमलव 9 9 तक की सारी 999 मात्राओं में, दाईं ओर zero लगाने से मात्रा एक बार भी नहीं बदली। और इनमें से जिन 900 में बटा 10 वाला खाना भरा था, उन सब में बिंदु के बाद zero डालते ही मात्रा बदल गई।

अब 7 numbers हैं, और पता करना है कि इनमें कौन कौन से एक ही मात्रा हैं। सूची यह है, 4 दशमलव 5, 4 दशमलव 0 5, 0 दशमलव 4 0 5, 4 दशमलव 0 5 0, 4 दशमलव 5 0, 4 दशमलव 0 0 5, और 04 दशमलव 5 0। पहला समूह, 4 दशमलव 5, 4 दशमलव 5 0 और 04 दशमलव 5 0, आगे का zero भी कुछ नहीं जोड़ता, पीछे का भी नहीं।

दूसरा समूह, 4 दशमलव 0 5 और 4 दशमलव 0 5 0, बटा 10 वाला खाना खाली, बटा 100 वाले खाने में 5। और 0 दशमलव 4 0 5, और 4 दशमलव 0 0 5, दोनों अकेले, हर एक अपनी अलग मात्रा। तो 7 लिखावटें, पर मात्राएँ सिर्फ़ 4। अब एक लंबा number, 4 दशमलव 1 8 5, इसे line पर ढूँढते हैं। पहली line 0 से 10 तक है, 10 हिस्सों में कटी, और पूरी इकाई 4 हमें 4 से 5 वाले हिस्से में भेजती है।

उस हिस्से को बड़ा करो, अब बटा 10 वाले खाने का digit 1 चुनता है 4 दशमलव 1 से 4 दशमलव 2 तक का टुकड़ा। फिर बड़ा करो, बटा 100 वाले खाने का digit 8 चुनता है 4 दशमलव 1 8 से 4 दशमलव 1 9 तक। और आखिरी बार बड़ा करने पर, बटा 1000 वाले खाने का digit 5, यानी उस टुकड़े की शुरुआत से 5 निशान आगे, वहीं बैठा है 4 दशमलव 1 8 5।

हर digit ने पिछले चुने हुए टुकड़े के 10 हिस्सों में से एक चुना, बस इतनी सी बात है। यही तरीका 9 दशमलव 8 7 6 पर चलाओ, तो हर level पर चुने गए हिस्से हैं 9, 8, 7 और 6। और 0 दशमलव 4 0 7 पर, 0, 4, 0 और 7। यहाँ zero वाला digit भी एक हिस्सा चुनता है, 10 में से पहला, वह कुछ छोड़ता नहीं।

और 0 से 9 दशमलव 9 9 9 तक के सारे 10000 numbers पर यह गिनकर देखा गया, और हर एक में ये कटाइयाँ ठीक उसी number के digits चुनती हैं। यानी number को line पर ढूँढना और उसे लिखना, एक ही काम है, बस अलग अलग तरफ़ से देखा हुआ। अब सावधान, line पर हर हिस्सा बटा 10 वाला हिस्सा नहीं होता। यहाँ एक line है, 5 से 10 तक, और उसे भी 10 हिस्सों में काटा गया है।

तो एक हिस्से की कीमत क्या है? देखो, 5 से 10 तक पूरी 5 इकाइयाँ हैं, 10 हिस्सों में बँटीं, तो हर हिस्सा 0 दशमलव 5 है। इसलिए 5 से ठीक 5 निशान आगे वाला खाना b, 7 दशमलव 5 है। हर line पर पहला कदम यही है, सिरों के numbers पढ़ो, फ़ासले गिनो, फिर एक हिस्से की कीमत निकालो। एक और line, 8 से 8 दशमलव 1 तक कुल 11 निशान, यानी बीच में 10 फ़ासले।

तो हर फ़ासला 0 दशमलव 0 1 है, यानी 1 बटा 100। अगली line पर 4 दशमलव 3 से 4 दशमलव 8 तक 11 निशान हैं, और उसके बाद एक और, कुल 12। बीच में 10 फ़ासले, पूरा 0 दशमलव 5 का टुकड़ा, तो हर फ़ासला 0 दशमलव 0 5 है, बटा 10 वाला हिस्सा नहीं, बटा 100 वाला हिस्सा भी नहीं। और आखिरी निशान 4 दशमलव 8 से एक फ़ासला आगे है, यानी 4 दशमलव 8 5।

अब 2 बहुत पास पास के numbers, 6 दशमलव 4 5 6 और 6 दशमलव 4 6 5। इनमें से बड़ा कौन है? पहली line पर दोनों 6 और 7 के बीच, कोई फ़र्क नहीं। बड़ा करो, दोनों 6 दशमलव 4 और 6 दशमलव 5 के बीच, अब भी एक ही टुकड़े में। एक बार और बड़ा करो, और अब रास्ते अलग, 6 दशमलव 4 5 6 पड़ता है 6 दशमलव 4 5 से 6 दशमलव 4 6 में, और 6 दशमलव 4 6 5 पड़ता है 6 दशमलव 4 6 से 6 दशमलव 4 7 में।

तो 6 दशमलव 4 6 5 बड़ा है, क्योंकि उसका पूरा टुकड़ा दूसरे के पूरे टुकड़े से आगे है। यही तुलना line बनाए बिना, बस digits से भी होती है। सबसे बड़े खाने से शुरू करो, जब तक digits बराबर हैं, एक खाना दाईं ओर चलो। इकाई में 6 और 6, बटा 10 वाले खाने में 4 और 4, और बटा 100 वाले खाने में 5 और 6। पहला फ़र्क बटा 100 वाले खाने में मिला, और वहीं फ़ैसला हो गया, 6 दशमलव 4 5 6 छोटा है।

line पर जहाँ रास्ते अलग हुए थे, digits में भी ठीक वहीं फ़र्क पड़ा। और 0 से 4 दशमलव 9 9 तक के numbers की सारी 250000 जोड़ियों पर, खाने दर खाने वाला फ़ैसला सीधी तुलना से हर बार मिलता है। पर क्या बाद वाले digits फ़ैसला पलट सकते हैं? नहीं, क्योंकि जिस पल दोनों ने अलग अलग टुकड़े चुने, बाकी सब कुछ उन्हीं टुकड़ों के अंदर रहता है। जैसे, 6 दशमलव 4 5 6 के बाकी digits जो भी हों, वह 6 दशमलव 4 5 से 6 दशमलव 4 6 वाले टुकड़े से बाहर नहीं जा सकता।

यानी फ़ैसले वाले खाने के बाद जो कुछ भी है, वह उस खाने की 1 इकाई से कम है, और 1 पूरे खाने का फ़र्क पाट नहीं सकता। एक और उदाहरण, 1 दशमलव 9 9 और 2, फ़ैसला इकाई में है, 1 और 2, और 1 दशमलव 9 9 का बाकी हिस्सा 0 दशमलव 9 9 है, जो 1 से कम है, इसलिए वह कितना भी पास आए, 2 तक नहीं पहुँच सकता।

सारी 249500 असमान जोड़ियों में यह गिनकर देखा गया, हर एक में फ़ैसले वाले खाने के बाद का हिस्सा उस खाने की 1 इकाई से कम है। इसलिए पहले फ़र्क पर रुकना बिल्कुल सुरक्षित है। पहली जोड़ी, 1 दशमलव 2 3 और 1 दशमलव 3 2, फ़ैसला बटा 10 वाले खाने में, और 1 दशमलव 3 2 बड़ा। दूसरी, 3 दशमलव 8 1 और 13 दशमलव 8 0 0, यहाँ बिंदु के बाद digits गिनने से धोखा होगा, फ़ैसला तो tens में ही हो जाता है, और 13 दशमलव 8 0 0 बड़ा है।

तीसरी, 1 दशमलव 0 0 9 और 1 दशमलव 0 9 0, इकाई और बटा 10 वाले खाने बराबर, फ़ैसला बटा 100 वाले खाने में, और 1 दशमलव 0 9 0 बड़ा। और ज़्यादा digits वाला number बड़ा हो, ज़रूरी नहीं, 2 दशमलव 5 और 2 दशमलव 0 5 में बटा 10 वाले खाने पर ही फ़ैसला है, और 2 दशमलव 5 बड़ा है। अब नज़दीकी का सवाल, 0 दशमलव 9, 1 दशमलव 1, 1 दशमलव 0 1 और 1 दशमलव 1 1 में से 1 के सबसे पास कौन है?

पहले इन्हें क्रम से लगाओ, 0 दशमलव 9, 1 दशमलव 0 1, 1 दशमलव 1, 1 दशमलव 1 1। अब 1 को इनके बीच रखो, वह 0 दशमलव 9 और 1 दशमलव 0 1 के बीच आता है। दूरियाँ नापो, 1 दशमलव 0 1 सिर्फ़ 0 दशमलव 0 1 दूर है, जबकि 0 दशमलव 9 और 1 दशमलव 1, दोनों 0 दशमलव 1 दूर। यानी 1 बटा 100, 10 बटा 100 के मुकाबले, तो जवाब 1 दशमलव 0 1।

नज़दीकी का मतलब सबसे कम digits का फ़र्क नहीं, नज़दीकी एक दूरी है, और उसे line पर नापा जाता है। उन्हीं 4 में से 1 दशमलव 0 9 के सबसे पास है 1 दशमलव 1, सिर्फ़ 0 दशमलव 0 1 दूर। अब 3 दशमलव 5 6, 3 दशमलव 6 5 और 3 दशमलव 0 9 9 में से 4 के सबसे पास है 3 दशमलव 6 5, 0 दशमलव 3 5 दूर।

और 0 दशमलव 8, 0 दशमलव 6 9, 1 दशमलव 0 8 में से 1 के सबसे पास 1 दशमलव 0 8, बस 0 दशमलव 0 8 दूर। अब एक पहेली, digits 4, 1, 8, 2 और 5 को एक एक बार लगाकर, बिंदु से पहले 2 और बाद में 3, 25 के सबसे पास क्या बनेगा? जवाब 25 दशमलव 1 4 8, 0 दशमलव 1 4 8 दूर, और सबसे करीबी मुकाबला 24 दशमलव 8 5 1, जो 0 दशमलव 1 4 9 दूर है।

याद रखो, line पर हर digit पिछले टुकड़े के 10 हिस्सों में से एक चुनता है। किसी line को पढ़ने से पहले, सिरे पढ़ो और फ़ासले गिनो, हर हिस्सा बटा 10 वाला हिस्सा नहीं होता। आखिरी digit के बाद का zero कुछ नहीं बदलता, पर बिंदु के ठीक बाद का zero सब बदल देता है। तुलना सबसे बड़े खाने से करो, और पहले फ़र्क पर रुक जाओ, बाकी digits फ़ैसला नहीं पलट सकते।

और नज़दीकी को दूरी से नापो, digits गिनकर नहीं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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