PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 7 Mathematics · Chapter 3, A Peek Beyond the PointPrepShorts

Chapter 3 · A Peek Beyond the Point

place value को सीध में रखकर decimals जोड़ना और घटाना

Comparing and combining decimals12 मिनट

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2.7 मीटर और 3.5 मीटर कपड़ा, कुल कितना? दशमलव जोड़ने का कोई नया तरीका नहीं है: बिंदु की सीध में लिखो, और हर खाना अपने जैसे खाने से जुड़ता है।

मुख्य idea

§3.7 में कुछ भी नया नहीं सिखाया जाता। column वाला जोड़ कभी इस बारे में नहीं था कि digits page के दाएँ किनारे पर सीध में आएँ; वह एक जैसी चीज़ों को एक जैसी चीज़ों से जोड़ने के बारे में था, और point बस वह निशान है जो बताता है कि कौन-से columns एक जैसे हैं। chapter यह दावा दिखाई देने लायक़ बनाता है: वह वही दो हिसाब दो बार रखता है — एक बार दसवें में लिखे हुए, एक बार point के साथ लिखे हुए — और बताता है कि हिसाब हू-ब-हू एक है (Part I, §3.7, p.74)। ऊपर ले जाया गया 1 वही दस-के-बदले-एक वाली अदला-बदली है जो §3.2 और §3.3 में थी, और p.75 का पूरी तरह फैलाया हुआ जोड़ हर एक अदला-बदली को होते हुए दिखाता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • columns में रखे decimal numbers को जोड़ना और घटाना, digits के सिरों के हिसाब से नहीं बल्कि जगह के हिसाब से सीध में रखकर
  • ऐसा जोड़ सँभालना जिसमें दोनों numbers के point के बाद अलग-अलग गिनती के digits हों, उस हालत समेत जिसमें एक के point के बाद कुछ भी न हो
  • जब भी carry या borrow हो, दसवें, सौवें और हज़ारवें की भाषा में बताना कि किसकी अदला-बदली हो रही है
  • दिए गए जोड़ के लिए पूरी तरह फैलाया हुआ place value वाला हिसाब बनाना, और उसे छोटे column वाले रूप से line-दर-line मिलाना
  • decimal अनुक्रम को आगे बढ़ाना, चाहे वह बढ़ता हो या घटता, और क़दम बताना
  • जोड़ निकालने से पहले उसके size की एक सीमा बताना, और जाँचना कि कोई सुझाई गई सीमा हमेशा सही रहती है या नहीं

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
decimal pointवह निशान जो तय करता है कि units की जगह कहाँ ख़त्म होती हैदशमलव बिंदुPart I, §3.4, p.62 में छपा
place valueकोई digit जहाँ बैठा है, उसकी वजह से उसकी क़ीमतस्थानीय मानPart I, §3.4, p.59 में छपा
tenthsवे हिस्से जिनमें से दस एक unit भरते हैंदशांशPart I, §3.2, p.48 में छपा
hundredthsवे हिस्से जिनमें से दस एक दसवाँ भरते हैंशतांशPart I, §3.3, p.53 में छपा
thousandthsवे हिस्से जिनमें से दस एक सौवाँ भरते हैंसहस्रांशPart I, §3.4, p.61 में छपा
whole number partdecimal number का point के बाईं ओर वाला हिस्सापूर्ण संख्या भागPart I, §3.7, p.76 में छपा
fractional partpoint के दाईं ओर वाला हिस्साभिन्नात्मक भागPart I, §3.4, p.62 में छपा
sequenceऐसी list जिसमें हर entry पिछली से एक तय बदलाव करके आती हैअनुक्रमPart I, §3.7, p.75 में छपा
estimatingहल करने से पहले मोटे तौर पर आँकना कि जवाब क्या होना चाहिएआकलनPart I, §3.7, p.76 में उपशीर्षक Estimating Sums and Differences के रूप में छपा
carryवह एक जो किसी हिस्से के दस ऊपर बदले जाने पर अगले column के ऊपर लिखा जाता हैहासिलPart I, §3.7, p.74 में छपा, पर सिर्फ़ किसी हिसाब को पूरा करने (carry out) के आम मतलब में; बदला गया दस वहाँ artwork में बिना label के digit के रूप में आता है, और उसके लिए carry का इस्तेमाल व्याख्या का अपना है
boundऐसा number जिसके पार जवाब पक्के तौर पर नहीं जाएगापरिसीमाव्याख्या का अपना शब्द; chapter दोनों सीमाएँ शब्दों में बताता है

Hindi column में standard NCERT Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। इस brief के लिए इस्तेमाल हुए corpus में कक्षा 7 Ganita Prakash का कोई Hindi संस्करण नहीं है, इसलिए ये cells किसी Hindi छपाई से नहीं पढ़े गए — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "numbers को उनके दाएँ सिरों पर सीध में रखो।" अभ्यास set इसी ग़लती को उजागर करने के लिए बना है। 18 + 8.8 में और 17 − 16.198 में दाएँ सिरे बिल्कुल अलग जगहों पर हैं, और जो student उन्हें सीध में रखता है उसका जवाब दस गुने या उससे भी ज़्यादा से ग़लत आता है।
  • "पूरे number को decimal number में नहीं जोड़ा जा सकता।" अभ्यास set के चार items ठीक यही करते हैं। पूरे number के point के बाद वाली जगहों में बस कुछ नहीं होता।
  • "हिसाब के दौरान point खिसकता है।" दोनों numbers के और जवाब के points एक खड़ी line में बैठते हैं और कभी नहीं खिसकते। वह line खींचो और उसे दिखता रहने दो।
  • "carry करना एक तरकीब है जो सीखी जाती है।" यह वही अदला-बदली है जिस पर पिछले दो sections ने छह pages लगाए। p.75 का फैलाया हुआ हिसाब एक ही figure में दस दसवें को एक unit बनकर ऊपर जाते और दस सौवें को एक दसवाँ बनकर ऊपर जाते दिखाता है।
  • "9.9 − 9.09 बराबर 0.9 है क्योंकि 9 घटा 0 बराबर 9।" व्याख्या में एक हल किया हुआ उलटा उदाहरण होना चाहिए; यह item छपे set में है।
  • "घटता हुआ अनुक्रम अनुक्रम नहीं होता।" आठ छपे अनुक्रमों में से तीन घटते हैं, और Part I, §3.8, p.79 के आख़िरी अभ्यास set में एक अनुक्रम अपने क़दम का size बारी-बारी बदलता है।
  • "Sonu का कथन chapter का सिखाया हुआ नियम है।" नहीं है। वह एक पात्र के नाम है, उसके तुरंत बाद box में एक सवाल है कि क्या वह आम तौर पर सही है, और उसे खुला छोड़ दिया गया है। जो व्याख्या उसे नियम की तरह बताती है, वह इस हिस्से की बात को उलट देती है, जो यह है कि किसी सही लगने वाले आम कथन पर भरोसा करने से पहले उसे परखना पड़ता है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 3.7 Q1, Figure it Out · 3.7 Q2, Figure it Out · 3 Q7, Figure it Out · 3 Q8, Figure it Out · 3 Q9, Figure it Out · 3 Q10

पूरा transcript1,836 शब्द

कपड़े के 2 टुकड़े हैं, एक कमीज़ के लिए 2 दशमलव 7 मीटर, और एक स्कर्ट के लिए 3 दशमलव 5 मीटर। सवाल यह है कि कुल कितना कपड़ा है, और दूसरा टुकड़ा पहले से कितना लंबा है। इसके लिए कोई नया तरीका नहीं चाहिए, बस वह जो पहले से आता है। बटा 10 वाले हिस्सों को जोड़ना हम पहले कर चुके हैं, बिंदु आने से पहले। तो इसे 2 तरह से लिखकर देखते हैं, एक बार बटा 10 वाले हिस्सों में, एक बार बिंदु लगाकर।

बाईं तरफ़, 2 इकाई और 7 बटा 10, उसके नीचे 3 इकाई और 5 बटा 10। इकाइयाँ जोड़ो तो 5, और बटा 10 वाले हिस्से जोड़ो तो 12। पर 12 बटा 10 एक इकाई से ज़्यादा हैं, 10 बटा 10, 1 इकाई बनाते हैं, तो बनता है 6 इकाई और 2 बटा 10। दाईं तरफ़ वही जोड़, बिंदु लगाकर, 2 दशमलव 7 के नीचे 3 दशमलव 5, और बिंदु के नीचे बिंदु।

पहले बटा 10 वाला खाना, 7 और 5, यानी 12, तो 2 नीचे लिखो, और 1 इकाई वाले खाने के ऊपर। फिर इकाइयाँ, 2 और 3 और ऊपर वाला 1, यानी 6, जवाब 6 दशमलव 2 मीटर। ऊपर वाला छोटा सा 1 कोई जादू नहीं है, यह वही अदला बदली है, 10 बटा 10 देकर 1 इकाई। बाईं तरफ़ यह शब्दों में हुई, दाईं तरफ़ बस एक छोटे 1 की शक्ल में।

अगर सब कुछ बटा 10 वाले हिस्सों में गिनो, तो 27 बटा 10 और 35 बटा 10, कुल 62 बटा 10, और यही 6 दशमलव 2 मीटर है। यानी हासिल कोई याद करने वाली चाल नहीं, यह वही लेन देन है जो हम बटा 10 और बटा 100 वाले हिस्से बनाते वक्त देख चुके हैं। अब दूसरा सवाल, स्कर्ट वाला टुकड़ा कितना ज़्यादा लंबा है? बटा 10 वाले खाने में 5 में से 7 नहीं निकलते।

तो 1 इकाई तोड़ो, 3 दशमलव 5 बन जाता है 2 इकाई और 15 बटा 10, कपड़ा वही, बस लिखा अलग। अब 15 में से 7, बचे 8 बटा 10, और इकाइयों में 2 में से 2, बचा 0। जवाब 0 दशमलव 8 मीटर, और बटा 10 वाले हिस्सों में भी 35 में से 27, यानी 8। दाईं तरफ़ 3 दशमलव 5 के ऊपर जो छोटे 2 और 1 लिखे जाते हैं, वे इसी टूटी हुई इकाई का हिसाब हैं।

तो नतीजा साफ़ है, आम numbers वाला तरीका दशमलव पर भी चलता है, बिना किसी बदलाव के। खानों वाला जोड़ कभी भी digits को दाएँ किनारे से मिलाने के बारे में नहीं था, वह हमेशा एक जैसी चीज़ों को जोड़ने के बारे में था। और बिंदु वह निशान है जो बताता है कि कौन से खाने एक जैसे हैं, इसलिए सारे बिंदु एक सीधी लकीर में। अब यह जोड़ो, 18 और 8 दशमलव 8, इन्हें एक के नीचे एक कैसे लिखोगे?

अगर दाएँ किनारे मिला दिए, तो 18 के digits बटा 10 वाले खाने में खिसक जाते हैं, और जवाब आता है 10 दशमलव 6, जो गलत है। असल में 18 के बाद भी बिंदु है, बस दिखता नहीं, उसके बटा 10 वाले हिस्से खाली हैं, तो बिंदु पर मिलाओ, और जवाब 26 दशमलव 8। यानी पूरी संख्या को दशमलव वाली संख्या में जोड़ना बिल्कुल ठीक है, उसके बिंदु के बाद वाले खाने बस खाली होते हैं।

अब एक बड़ा जोड़, 75 दशमलव 3 4 5 और 86 दशमलव 6 9 1, और इस बार हर खाना अलग अलग लिखकर। सबसे छोटे खाने से, बटा 1000 वाला खाना, 5 और 1, यानी 6, कोई अदला बदली नहीं। बटा 100 वाला खाना, 4 और 9, यानी 13, इनमें से 10 बटा 100, 1 बटा 10 बनकर ऊपर जाते हैं। बटा 10 वाला खाना, 3 और 6 और आया हुआ 1, यानी पूरे 10, तो 1 इकाई ऊपर, और यहाँ 0।

इकाई, 5 और 6 और आया हुआ 1, यानी 12, 1 ten ऊपर, और 2 यहीं। और tens, 7 और 8, जो खुद 15 होते, पर ऊपर से एक और आया, तो 16 tens, यानी 1 hundred और 6 tens। ध्यान रहे, tens में 15 नहीं, 16 हैं, वह आखिरी ten इकाई वाले खाने से आया है। अब उसी जोड़ को छोटे रूप में, एक के नीचे एक, बिंदु की सीध में।

इसमें ऊपर 4 छोटे 1 आते हैं, बटा 100 वाले खाने से बटा 10 वाले खाने में, बटा 10 वाले खाने से इकाई में, इकाई से tens में, और tens से hundreds में। हर छोटा 1, फैले हुए रूप की एक अदला बदली है, 10 देकर 1 लेना, बस कम जगह में लिखा। और दोनों रूप एक ही जवाब पर पहुँचते हैं, 162 दशमलव 0 3 6। यही अभ्यास घटाने में भी करो, 84 दशमलव 6 9 1 में से 77 दशमलव 3 4 5।

बटा 1000 वाले खाने में 1 में से 5 नहीं निकलते, तो 1 बटा 100 टूटता है, और इकाइयों में 4 में से 7 नहीं निकलते, तो 1 ten टूटता है, जवाब 7 दशमलव 3 4 6। अब अभ्यास के 16 सवाल, 8 जोड़ के और 8 घटाने के। इनमें से 7 सवालों में दोनों numbers के बिंदु के बाद अलग अलग खाने हैं, और 4 में तो एक तरफ़ पूरी संख्या है।

दाएँ किनारे मिलाने वाला गलत तरीका, बाकी 9 में संयोग से ठीक निकलता है, और इन सभी 7 में गलत। जैसे 17 में से 16 दशमलव 1 9 8, 17 के बाद बिंदु और 3 खाली खाने लगाओ, और जवाब 0 दशमलव 8 0 2। और 9 दशमलव 9 में से 9 दशमलव 0 9, जवाब 0 दशमलव 9 नहीं, क्योंकि 9 बटा 10 में से 0 बटा 10 और 9 बटा 100 जाते हैं, जवाब है 0 दशमलव 8 1।

कुछ और, 0 दशमलव 9 3 4 और 0 दशमलव 6, कुल 1 दशमलव 5 3 4, और 34 दशमलव 5 0 5 में से 18 दशमलव 1, बचे 16 दशमलव 4 0 5। बिंदु की सीध में लिखो, तो सारे 16 जवाब सीधे हिसाब से मिलते हैं। बाकी जोड़ भी देख लेते हैं, पहला 2 दशमलव 1 5 और 5 दशमलव 2 6, बटा 100 वाले खाने में 5 और 6, यानी 11, तो 1 बटा 10 ऊपर, और जवाब 7 दशमलव 4 1।

फिर 9 दशमलव 0 1 और 9 दशमलव 1 0, digits एक जैसे दिखते हैं, पर digit 1 पहले में बटा 100 वाले खाने में है, दूसरे में बटा 10 वाले खाने में, जवाब 18 दशमलव 1 1। अब 29 दशमलव 1 9 और 9 दशमलव 9 1, यहाँ हर खाने से हासिल ऊपर जाता है, बटा 100 वाले खाने से, बटा 10 वाले खाने से, इकाई से, और जवाब आता है 39 दशमलव 1।

पूरा लिखो तो बटा 100 वाले खाने में 0 आता है, पर वह आखिरी zero कुछ नहीं बदलता, तो उसे छोड़ सकते हैं। एक आसान, 0 दशमलव 7 5 और 0 दशमलव 0 3, कोई हासिल नहीं, जवाब 0 दशमलव 7 8। और आखिर में एक ही जोड़ी दोनों तरह से, 6 दशमलव 2 3 6 और 0 दशमलव 4 8 7 का जोड़ 6 दशमलव 7 2 3, और अंतर 5 दशमलव 7 4 9।

और इन दोनों को आपस में परख सकते हो, अंतर में छोटा number वापस जोड़ो, तो बड़ा number लौट आता है। यह कहना कि तरीका वही है, एक दावा है, तो इसे गिनकर देखते हैं। पहले, 0 से 4 दशमलव 9 9 तक के numbers की सारी 250000 जोड़ियाँ ली गईं। हर जोड़ में, खानों वाला जवाब सीधे जोड़ से मिला, और हासिल ठीक उन्हीं खानों से ऊपर गया, जिनसे वही digits आम numbers की तरह जोड़ने पर जाता।

और जिन 125250 जोड़ियों में पहला number छोटा नहीं, उन सब में घटाना भी सही निकला। इसलिए यहाँ सीखने को कुछ नया नहीं था, बस बिंदुओं को एक सीध में रखना था। अब एक क्रम, 4 दशमलव 4, 4 दशमलव 8, 5 दशमलव 2, 5 दशमलव 6, 6 दशमलव 0। आगे क्या आएगा? पहले कदम ढूँढो, हर बार 0 दशमलव 4 बढ़ता है, और यह सारे 4 कदमों पर एक ही है।

तो अगले 3 हैं 6 दशमलव 4, 6 दशमलव 8 और 7 दशमलव 2। हर कदम एक दशमलव जोड़ है, और हर जोड़ बिंदु की सीध में। अब कुछ और, 4 दशमलव 4, 4 दशमलव 4 5, 4 दशमलव 5, कदम 0 दशमलव 0 5, तो आगे 4 दशमलव 5 5 और 4 दशमलव 6। फिर 10 दशमलव 5 6, 10 दशमलव 6 7, 10 दशमलव 7 8, कदम 0 दशमलव 1 1, तो आगे 10 दशमलव 8 9 और 11।

और 13 दशमलव 5, 16, 18 दशमलव 5, यहाँ कदम 2 दशमलव 5 है, 1 से बड़ा, तो आगे 21 और 23 दशमलव 5। कुछ क्रम नीचे भी जाते हैं, और वे भी पूरे क्रम हैं, बस कदम घटाने का है। जैसे 5, 4 दशमलव 9 5, 4 दशमलव 9 0, हर बार 0 दशमलव 0 5 कम, तो आगे 4 दशमलव 8 5 और 4 दशमलव 8। और 36 दशमलव 5, 33, 29 दशमलव 5, हर बार 3 दशमलव 5 कम, तो आगे 26 और 22 दशमलव 5।

कुल 8 क्रमों में से 3 नीचे जाते हैं, और 2 के कदम 1 से बड़े हैं। अब एक दावा, जो कोई अपने दोस्तों के सामने रखता है। दावा यह है, 2 दशमलव numbers जोड़ो, तो जवाब हमेशा उनके बिंदु से पहले वाले हिस्सों के जोड़ से बड़ा होगा, और उस जोड़ में 2 मिलाने से छोटा। जैसे 25 दशमलव 9 3 6 और 8 दशमलव 2 0 2, पूरे हिस्से 25 और 8, जोड़ 33, तो दावे के हिसाब से जवाब 33 और 35 के बीच।

जोड़कर देखो, 34 दशमलव 1 3 8, और यह सच में 33 और 35 के बीच है। एक लंबे number पर भी, 34 दशमलव 1 3 8 0 3 2 5 9, फिर से 33 और 35 के बीच। पर क्या यह हर जोड़ी पर सच है? कोई बात ठीक लगने से सच नहीं हो जाती, उसे पहले परखना पड़ता है। ऊपर वाली सीमा देखो, बिंदु के बाद वाले दोनों हिस्से 1 से छोटे हैं, तो उनका जोड़ 2 से छोटा ही रहेगा।

जाँची गई जोड़ियों में यह जोड़ ज़्यादा से ज़्यादा 1 दशमलव 9 8 तक गया, 2 तक कभी नहीं। पर नीचे वाली सीमा एक जगह टूटती है, जब दोनों numbers पूरे हों, जैसे 3 और 4, तब जोड़ 7 है, 7 से बड़ा नहीं। सारी 250000 जोड़ियों में ऊपर वाली सीमा हर बार सही निकली, और नीचे वाली सिर्फ़ 25 बार टूटी, ठीक उन्हीं जोड़ियों में जहाँ दोनों numbers पूरे थे।

तो दावे में बस एक सुधार चाहिए, बड़ा होगा या बराबर। और ऐसा अंदाज़ा पहले लगा लो, तो कोई गलत जवाब तुरंत पकड़ में आ जाता है। याद रखो, जोड़ना और घटाना हमेशा एक जैसी चीज़ों का होता है, बटा 10 के साथ बटा 10, बटा 100 के साथ बटा 100। सारे बिंदु एक सीधी लकीर में रहते हैं, और कभी नहीं हिलते। हर हासिल 10 देकर 1 लेना है, और हर उधार 1 तोड़कर 10 बनाना।

किसी क्रम में पहले कदम ढूँढो, फिर उसे आगे या पीछे चलाओ। और कोई दावा मानने से पहले उसे परखो, जैसे उस सीमा को परखा।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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