PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 7 Mathematics · Chapter 3, A Peek Beyond the PointPrepShorts

Chapter 3 · A Peek Beyond the Point

दसवाँ भाग

Splitting the unit14 मिनट

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14 min.

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एक पेंसिल, 3 इकाई और 4 दसवें लंबी। वही पेंसिल 34 दसवें भी है। एक लंबाई, 2 नाम, और दोनों को जोड़ने वाली बात बस एक: 10 दसवें मिलकर 1 इकाई।

मुख्य idea

unit को दस में काटने से हर लंबाई को दो नाम मिल जाते हैं — इतनी units और इतने दसवें, या बस दसवें हिस्सों की एक गिनती — और जब तुम इन दोनों के बीच आराम से आ-जा सकते हो, तो इन्हें जोड़ने और घटाने के बारे में सीखने को कुछ नहीं बचता। दस दसवें मिलकर एक unit बनाते हैं, इसलिए दसवें हिस्सों की जो गिनती दस तक पहुँचती है उसे एक unit से बदल लिया जाता है, और जब किसी घटाव को ज़रूरत हो तो एक unit को फिर से दस में तोड़ा जा सकता है। यह अदला-बदली वही है जो ones और tens पर पहले से लागू है; §3.2 कोई नया arithmetic नहीं लाता, वह दिखाता है कि पुराना arithmetic student की सोच से कहीं ज़्यादा नीचे तक पहुँचता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • एक ही लंबाई को दोनों उपलब्ध रूपों में लिखना: units और दसवें हिस्सों के रूप में, और दसवें हिस्सों की सीधी गिनती के रूप में
  • इन दोनों रूपों के बीच किसी भी दिशा में बदलना, और दस-से-एक वाले रिश्ते से इस बदलाव को सही ठहराना
  • ऐसे चार numbers बोलकर पढ़ना और उनमें फ़र्क़ करना जो एक ही digits को अलग तरह से इस्तेमाल करते हैं
  • दसवें हिस्सों में लिखी लंबाइयों की list को बढ़ते क्रम में रखना
  • ऐसी दो लंबाइयों को जोड़ना — units को units से और दसवें को दसवें से मिलाकर — और जब दसवें दस से ज़्यादा हो जाएँ तो दस दसवें एक unit से बदलना
  • जब घटाने के लिए दसवें काफ़ी न हों, तो एक unit को दस दसवें में तोड़कर घटाना
  • वही जोड़ या घटाव पहले दोनों numbers को दसवें हिस्सों की गिनती में बदलकर करना, और जाँचना कि दोनों रास्ते एक ही जवाब देते हैं
  • दसवें हिस्सों में लिखे किसी अनुक्रम का स्थिर क़दम ढूँढ़ना और उसे आगे बढ़ाना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
one-tenthउन दस बराबर हिस्सों में से एक जिनमें unit काटी जाती हैदसवाँ भागPart I, §3.2, p.48 में छपा
tenthsवही हिस्से, गिने हुएदशांशPart I, §3.2, p.48 में छपा
unitवह एक पूरी लंबाई जिसके हिस्से दसवें हैंइकाईPart I, §3.1, p.47 में छपा
fractional unitऐसी मात्रा के लिए किताब का वाक्यांश जिसमें एक से छोटा हिस्सा लिखा होभिन्नात्मक इकाईPart I, §3.2, p.49 में छपा
increasing orderसबसे छोटा पहलेआरोही क्रमPart I, §3.2, p.49 में छपा
sequenceऐसी list जिसमें हर entry पिछली entry से एक तय बदलाव करके मिलती हैअनुक्रमPart I, §3.2, p.52 में छपा
term (of a sequence)ऐसी list की एक entryपदPart I, §3.2, p.52 में छपा
denominatorउन बराबर हिस्सों की संख्या जिनमें पूरा काटा जाता हैहरPart I, §3.8, p.78 में छपा
regroupingएक size के दस हिस्सों को उससे अगले बड़े size के एक हिस्से से बदलनापुनर्समूहनव्याख्या का अपना शब्द; इस chapter में नहीं छपा, जो यह अदला-बदली शब्दों में बताता है
borrowingएक unit को फिर से दस दसवें में तोड़ना ताकि घटाव आगे चल सकेउधार लेनाव्याख्या का अपना शब्द; इस chapter में नहीं छपा, जो कहता है कि unit को बाँटकर बदला जाता है

Hindi column में standard NCERT Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। इस brief के लिए इस्तेमाल हुए corpus में कक्षा 7 Ganita Prakash का कोई Hindi संस्करण नहीं है, इसलिए ये cells किसी Hindi छपाई से नहीं पढ़े गए — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "41 दसवें और 41 और 1 दसवाँ लगभग एक ही हैं।" इनमें 36 units से भी ज़्यादा का फ़र्क़ है। p.49 के चार हमशक्ल ठीक इसीलिए हैं कि उनमें फ़र्क़ किया जाए, और जो व्याख्या उन पर से जल्दी-जल्दी निकल जाती है वह section की सबसे अच्छी चीज़ गँवा देती है।
  • "दसवें हिस्सों की गिनती की तुलना अलग-अलग चित्रों के बीच की जा सकती है।" page साफ़ कहता है कि unit की लंबाई हर चित्र में अलग है। दसवें हिस्सों की गिनती तभी लंबाई बनती है जब unit तय हो।
  • "तेरह दसवें कोई ग़ैरक़ानूनी number है।" यह बिल्कुल ठीक गिनती है; बस जवाब छोड़ने का यह सबसे साफ़-सुथरा तरीक़ा नहीं है। carry वाला पूरा क़दम इसी को एक unit और तीन दसवें में बदलना है।
  • "कोई एक सही तरीक़ा होता है।" chapter Sonu की बाँह की लंबाई तक पहुँचने के तीन रास्ते देता है और Shylaja की उँगली तक दो, और student से एक और रास्ता आज़माने को कहता है। सबक़ रास्तों का आपस में मेल खाना है, कोई एक रास्ता नहीं।
  • "इसे 3.4 लिखा जा सकता है।" अभी नहीं। chapter के इस मुक़ाम तक decimal point आया ही नहीं है — वह Part I, §3.4, p.62 पर आता है। इस topic में सब कुछ units और दसवें के रूप में या दसवें हिस्सों की गिनती के रूप में लिखा जाता है, और जो व्याख्या point तक पहले ही पहुँच जाती है वह उस तर्क को बिगाड़ देती है जो §3.4 आगे रखने वाला है।
  • "घटाव हमेशा बाएँ से दाएँ चलता है।" page कहता है कि दसवें हिस्सों से शुरू करना सुविधाजनक है, ठीक वैसे ही जैसे पूरे numbers में। units से शुरू करना और फिर पाना कि तुम पूरा नहीं कर सकते — यही आम ग़लती है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 3 Q14

पूरा transcript1,948 शब्द

यहाँ एक पेंसिल है, एक ऐसे ruler के पास रखी हुई, जिसकी हर इकाई 10 बराबर हिस्सों में कटी है। अब 0 से शुरू करके पेंसिल के सिरे तक चलो। पहले पूरी इकाइयाँ गिनो, ये 3 हैं। फिर उसके आगे के छोटे हिस्से, 4 और। तो पेंसिल है 3 इकाई और 4 दसवें। पर यही बात कहने का एक दूसरा तरीका भी है। पूरी इकाइयों को एक पल के लिए भूल जाओ, और 0 से सिर्फ़ छोटे हिस्से गिनो।

ऐसे 34 हिस्से हैं, यानी 34 दसवें। वही पेंसिल, वही लंबाई, पर उसके 2 नाम। इन 2 नामों के बीच आना जाना सीख लो, तो जोड़ना और घटाना अपने आप आ जाता है। ये 2 नाम एक ही तथ्य पर टिके हैं, और इस पूरे विचार में नई बात बस यही है। यानी 10 दसवें मिलकर 1 इकाई बनाते हैं। देखो, यह रहा 1 दसवाँ हिस्सा। एक और, फिर एक और, जब तक 10 हिस्से एक के बाद एक न लग जाएँ।

और वे ठीक उतनी दूर पहुँचते हैं जितनी 1 पूरी इकाई। लगभग नहीं, ठीक उतनी। अगर 9 ही हों, तो 1 दसवाँ हिस्सा कम पड़ता है। इसलिए जब भी 10 दसवें इकट्ठे हों, उन्हें 1 इकाई से बदल सकते हो। और जब दसवें चाहिए हों, तो 1 इकाई को तोड़कर 10 दसवें बना सकते हो। यह अदला बदली नई नहीं है, गिनती में भी 10 ones मिलकर 1 ten बनते हैं, और 10 tens मिलकर 1 hundred।

जो गणित तुम पहले से जानते हो, वह बस उससे और नीचे तक जाता है जितना तुमने सोचा था। अब इसे पेंसिल पर आज़माते हैं, और जानबूझकर एक नाम से दूसरे तक चलते हैं। हम 34 दसवों से शुरू करते हैं, और इनमें से 10 उठाते हैं और उन्हें बदलते हैं, यह हुई 1 इकाई। फिर 10 और, 2 इकाइयाँ। फिर 10 और, 3 इकाइयाँ। अब 4 दसवें बचे हैं, और 10 पूरे करने लायक कुछ नहीं बचा।

यानी 3 बार बदला, और मिला 3 इकाई और 4 दसवें। अब उल्टी दिशा, जो और भी आसान है। हर इकाई में 10 दसवें हैं, तो 3 इकाइयाँ हुईं 30 दसवें। उसमें पहले से मौजूद 4 जोड़ो, और मिले 34। एक लंबाई, एक पट्टी, 2 अलग तरह से कटी, और इस बीच उसका आकार ज़रा भी नहीं बदला। अब 4 लंबाइयाँ, जो एक ही अंकों से बनी हैं, और इन पर धीरे चलना ज़रूरी है।

पहली, 4 और 1 दसवाँ। दूसरी, 4 दसवें। तीसरी, 41 दसवें। चौथी, 41 और 1 दसवाँ। सुनने में ये लगभग एक जैसी हैं, इसलिए हर एक को सिर्फ़ दसवों की गिनती में बदलो। पहली है 4 इकाई और 1 दसवाँ, यानी 40 और 1, कुल 41 दसवें। दूसरी में कोई पूरी इकाई नहीं, वह बस 4 दसवें है। तीसरी पहले से गिनती में है, 41 दसवें। यानी पहली और तीसरी बिल्कुल एक ही लंबाई है, बस 2 तरह से लिखी हुई।

और चौथी, 41 इकाई और 1 दसवाँ, है 411 दसवें। वह तीसरी से 370 दसवें लंबी है, यानी पूरी 37 इकाइयाँ। क्रम से रखें, तो सबसे छोटी दूसरी, फिर पहली और तीसरी बराबर, और सबसे आखिर में चौथी। तो इनमें से कोई भी करीब करीब वाली बात नहीं है। इन्हें धीरे पढ़ो। अब एक ऐसा जाल, जिसमें लोग अक्सर फँसते हैं, इसे एक बार देख लेना काफ़ी है। यहाँ 2 चीज़ें हैं, हर एक अपने अपने ruler पर नापी गई।

पहली चीज़ एक पत्ता है, जो 8 दसवें लंबा है। दूसरी चीज़ एक डिब्बा है, और वह भी 8 दसवें लंबा है। गिनती वही, हिस्सों की संख्या भी वही। पर अब दोनों rulers को पास पास रखो। दूसरे ruler की इकाई, पहले की इकाई से ढाई गुना लंबी है। तो उसके दसवें भी ढाई गुना लंबे हैं, और उसके 8 दसवें ढाई गुना दूर तक जाते हैं। यानी दसवों की गिनती अपने आप में लंबाई नहीं है।

लंबाई तब बनती है, जब पता हो कि 1 इकाई कितनी है। जैसे यह cable, 4 इकाई और 8 दसवें, यानी 48 दसवें, पर किस इकाई के? इसलिए किसी भी पैमाने पर पहला सवाल यही है, इसका एक हिस्सा कितने का है? यहाँ 8 लंबाइयाँ हैं, कुछ इकाई और दसवों में लिखी, कुछ सिर्फ़ गिनती में। पहली 4 हैं, 9 दसवें, 1 और 7 दसवें, 130 दसवें, और 13 और 1 दसवाँ।

बाकी 4, 10 और 5 दसवें, 7 और 6 दसवें, 6 और 7 दसवें, और 4 दसवें। आँख से यह करना लगभग नामुमकिन है, तो इन्हें छोटे से बड़े के क्रम में कैसे रखोगे? तो पहले हर एक को एक ही रूप में लाओ, सिर्फ़ दसवों की गिनती। अब ये बस पूरी संख्याएँ हैं, और पूरी संख्याओं को क्रम में रखना तुम्हें आता है। क्रम है 4, 9, 17, 67, 76, 105, 130, और 131।

देखो, 6 और 7 दसवें और 7 और 6 दसवें, अंक वही हैं, पर इकाई वाला अंक तय करता है कि कौन बड़ी है। अब आखिरी 2 देखो, 130 दसवें ठीक 13 इकाइयाँ हैं, और 13 और 1 दसवाँ उससे बस 1 दसवाँ ज़्यादा। जिस पर बड़ी दिखने वाली संख्या लिखी है, वही इन 2 में छोटी है, और पूरी सूची का सबसे कम फ़र्क यहीं है। अब जोड़ने की बारी, किसी के हाथ का निचला हिस्सा 2 इकाई और 7 दसवें है।

और ऊपरी हिस्सा 3 इकाई और 6 दसवें। पूरा हाथ कितना लंबा है? जो हिस्से आपस में मेल खाते हैं, उन्हें जोड़ो। पहले इकाइयों को इकाइयों से। इकाइयों में 2 और 3, यानी 5। फिर दसवों को दसवों से, 7 और 6। यानी 13 दसवें। तो जवाब है 5 इकाई और 13 दसवें। यह बात पूरी तरह सच है, पर थोड़ी अजीब दिखती है, भला 13 दसवें? यह 13 दसवें एक बिल्कुल ठीक गिनती है, इसमें कुछ गलत नहीं।

बस जवाब छोड़ने का यह सबसे साफ़ तरीका नहीं, क्योंकि इसके अंदर एक पूरी इकाई छुपी है। इन 13 में से 10 दसवें 1 इकाई बनाते हैं, तो उन्हें बदलो। बदले में 1 इकाई, इकाइयों की तरफ़ जाती है, और 3 दसवें पीछे रह जाते हैं। इकाइयों में 5 थीं, और 1 नई आई, कुल 6। यानी 6 इकाई और 3 दसवें। यही हिसाब ऊपर नीचे खानों में लिखो, तो ठीक वैसा दिखता है जैसा हमेशा दिखता है।

दसवों के खाने में 13, वहाँ 3 लिखो और 1 आगे ले जाओ, इकाइयों के खाने में। जब ones का खाना 9 से आगे जाता है, तुम ठीक यही करते हो, 13 ones यानी 1 ten और 3 ones। दसवें भी 10 पर आगे बढ़ते हैं, उसी वजह से, यहाँ किसी भी चीज़ के 10 मिलकर अगली बड़ी चीज़ का 1 बनाते हैं। अब यही जोड़ एक बिल्कुल अलग तरीके से करो, और देखो क्या होता है।

शुरू करने से पहले, दोनों हिस्सों को सिर्फ़ दसवों की गिनती में बदलो। निचला हिस्सा, 2 इकाई और 7 दसवें, यानी 27 दसवें। ऊपरी हिस्सा, 3 इकाई और 6 दसवें, यानी 36 दसवें। अब बस दोनों गिनतियाँ जोड़ो, 27 और 36, यानी 63 दसवें। और 63 दसवें हैं 6 इकाई और 3 दसवें। वही जवाब, और यह किस्मत से नहीं, न इसलिए कि इनमें से कोई एक तरीका ही सही है।

दोनों एक ही ढेर को बता रहे हैं, तो इनमें अलग जवाब आ ही नहीं सकता। जाँच के लिए, 0 से लेकर 9 और 9 दसवें तक की लंबाइयों के सारे 10000 जोड़े लो। दोनों तरीके और सीधा हिसाब, 10000 में से 10000 बार एक ही जवाब देते हैं, और इनमें से 4500 में बदलना पड़ता है। अब एक मधुमक्खी, जिसके शरीर के 3 हिस्से हैं। सिर 2 इकाई और 3 दसवें, बीच का हिस्सा 5 इकाई और 4 दसवें, और पेट 7 इकाई और 5 दसवें।

पूरी मधुमक्खी कितनी लंबी है? इकाइयों में 2, 5 और 7, यानी 14। दसवों में 3, 4 और 5, यानी 12। यहाँ भी 12 दसवों में 1 इकाई छुपी है, 10 दसवें बदलो, और 2 बचते हैं। तो कुल 15 इकाई और 2 दसवें। दसवों में जाँचो, 23, 54 और 75, कुल 152 दसवें, वही लंबाई। अब घटाना, और इसकी सबसे दिलचस्प जगह। एक हाथ, कलाई से उंगली के सिरे तक, 12 इकाई और 4 दसवें है।

सिर्फ़ हथेली, 6 इकाई और 7 दसवें। बीच वाली उंगली कितनी लंबी है? किसी भी घटाने की तरह, दसवों से शुरू करो, 4 दसवों में से 7 दसवें। नहीं हो सकता, वहाँ इतने दसवें हैं ही नहीं। तो ले आओ, 12 में से 1 पूरी इकाई निकालो, और उसे तोड़कर 10 दसवें बना लो। अब बचे 11 इकाई और 14 दसवें, वही हाथ, बस अलग तरह से लिखा। दसवों में 14 में से 7, बचे 7।

इकाइयों में 11 में से 6, बचे 5। तो बीच वाली उंगली की लंबाई है 5 इकाई और 7 दसवें। दसवों में भी, 124 में से 67, यानी 57 दसवें, वही जवाब। यहाँ एक गलती बहुत आसानी से हो जाती है। दसवों के खाने में 4 में से 7 नहीं होता, तो कोई उल्टा 7 में से 4 कर देता है। इससे मिलता है 6 इकाई और 3 दसवें। जाँचने का एक पक्का तरीका है, उंगली को हथेली में वापस जोड़ो, पूरा हाथ मिलना चाहिए।

सही जवाब, 57 और 67, कुल 124, पूरा हाथ। गलत जवाब, 63 और 67, कुल 130, यानी 6 दसवें ज़्यादा। यह गलती ठीक उन्हीं घटावों में होती है, जहाँ इकाई तोड़नी पड़ती है। उन 10000 जोड़ों में से ऐसे 5050 हैं, जिनमें पहली लंबाई छोटी नहीं, और इकाई तोड़ना सब 5050 में सही है। इनमें से 2025 में तोड़ना पड़ता है, और उल्टा घटाना ठीक उन्हीं 2025 में गलत निकलता है, न एक ज़्यादा, न एक कम।

अब 2 बहुत छोटी मछलियाँ, और इस बार असली सेंटीमीटर में। बड़ी वाली 2 और 4 दसवें सेंटीमीटर, और छोटी वाली बस 9 दसवें। दोनों को एक ही ruler पर रखो, जिसका हर सेंटीमीटर 10 हिस्सों में कटा है। बड़ी वाली कितनी ज़्यादा लंबी है? दसवों में 4 में से 9 नहीं होता, तो फिर 1 इकाई तोड़ो, बचे 1 इकाई और 14 दसवें। दसवों में 14 में से 9, बचे 5, और इकाइयों में 1 में से 0, बची 1।

फ़र्क है 1 और 5 दसवें सेंटीमीटर। दसवों में, 24 में से 9, यानी 15 दसवें, वही। छोटी वाली 2 बार रखो, तो 18 दसवें, अब भी बड़ी से कम, और 3 बार रखो, तो 27, बड़ी से आगे। आखिरी बात, और सब कुछ एक बार में अभ्यास करने का अच्छा तरीका। दसवों में एक अनुक्रम, 4 इकाई, 4 और 3 दसवें, 4 और 6 दसवें। हर कदम कितना है?

इन्हें गिनती में बदलो, तो 40, 43 और 46 मिलते हैं। हर बार 3 दसवें। तो अगला 49 दसवें, यानी 4 और 9 दसवें। उसके बाद 52 दसवें, और यहाँ एक इकाई पार होती है, 5 और 2 दसवें। एक और, 7 और 6 दसवें, फिर 8 और 7 दसवें। यहाँ कदम 11 दसवें है, यानी 1 और 1 दसवाँ, पूरी इकाई से भी बड़ा, और कदम ऐसे भी हो सकते हैं।

आगे, 9 और 8 दसवें, फिर 10 और 9 दसवें। और ज़रूरी नहीं कि वे चढ़ें, 13 और 5 दसवें, फिर 13 इकाई, फिर 12 और 5 दसवें। हर बार 5 दसवें नीचे, तो अगला ठीक 12 इकाई, फिर 11 और 5 दसवें। ऐसे 6 अनुक्रमों में से 3 नीचे की ओर चलते हैं, और तरकीब वही है, सब कुछ दसवों में लाओ, तो वह पूरी संख्याओं की कतार बन जाता है।

याद रखो, एक लंबाई के 2 नाम होते हैं, इकाई और दसवें, या सिर्फ़ दसवों की गिनती। दोनों को जोड़ने वाली बात एक ही है, 10 दसवें, 1 इकाई। जोड़ने में दसवें 10 या उससे ज़्यादा हों, तो 10 दसवें 1 इकाई से बदलो। घटाने में दसवें कम पड़ें, तो 1 इकाई तोड़कर 10 दसवें बनाओ। और किसी गिनती को लंबाई मानने से पहले पूछो, 1 इकाई कितनी है? यह कोई नया गणित नहीं, वही पुराना गणित है, जो अब इकाई से भी नीचे तक पहुँचता है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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