Commutative और associative: क्रम और grouping आज़ाद क्यों हैं

0:00छत के बीचोंबीच से एक drone उड़ता है, और हम हर ऊँचाई छत से ही नापेंगे। वह drone 6 मीटर ऊपर चढ़ता है, और फिर 4 मीटर नीचे आता है। अब वह छत से कितनी ऊँचाई पर है? ऊँचाई है 2 मीटर, और इसकी line बनती है 6 घटा 4। पर घटा के साथ क्या करना है, यह हम जानते हैं, उसे जमा में बदलते हैं। तो line बनती है 6 जमा negative 4।

0:28इसके 2 terms हैं, 6 और negative 4, drone की हर चाल के लिए एक term। और हर term का चिह्न बताता है कि drone किस दिशा में गया, ऊपर या नीचे। अब अगर इन terms की जगह आपस में बदल दें, तो क्या होगा? तब line बनती है negative 4 जमा 6। यह ऐसा drone है जो पहले 4 मीटर नीचे जाता है, और फिर 6 मीटर ऊपर। वह पहले छत से 4 मीटर नीचे चला जाता है, जहाँ पहला drone कभी गया ही नहीं।

1:01उड़ान बिल्कुल अलग है, रास्ता भी अलग है, पर आख़िर में वह कहाँ पहुँचता है? छत से 2 मीटर ऊपर, ठीक उसी जगह जहाँ पहला drone पहुँचा था। यानी terms को किसी भी क्रम में लिखो, total पर कोई फ़र्क नहीं पड़ता। यह बात सीधी नहीं है, क्योंकि रास्ते अलग थे, बस आख़िरी ऊँचाई एक सी निकली। अब वह गलती, जो यह बात अपने साथ लाती है, और यह बड़ी गलती है।

1:28अगर 6 घटा 4 में जगह बदल सकते हैं, तो क्या 6 घटा 4, 4 घटा 6 के बराबर है? बिल्कुल नहीं, 6 घटा 4 है 2, पर 4 घटा 6 है negative 2। ये अलग अलग numbers हैं, और इनमें 4 का फ़र्क है। गलती यह थी कि हमने numbers की जगह बदली, पर घटा का निशान वहीं का वहीं छोड़ दिया। जगह terms की बदलनी है, और दूसरा term 4 नहीं, negative 4 है।

1:57चिह्न अपने term के साथ चलता है, term हिलाओ तो उसका चिह्न भी साथ जाता है। यहाँ negative 30 से 30 तक के 3721 जोड़ों में, a घटा b और उसके terms की अदला बदली, हर बार एक ही value देते हैं। पर numbers की जगह सीधे बदलने पर, 3660 जोड़ों में value बदल जाती है। और value सिर्फ़ 61 जोड़ों में बची, और वे सब ऐसे जोड़े हैं जिनमें दोनों numbers बराबर हैं।

2:26इसलिए पहले line को terms के जोड़ में लिखो, फिर क्रम बदलो, उल्टा कभी नहीं। अगला सवाल वह है, जो इस बात को सिर्फ़ एक नारा बनने से रोकता है। जब terms negative हों, तब भी क्या यह आज़ादी बनी रहती है? अब negative 7 जमा negative 11 लो, और फिर उल्टा, negative 11 जमा negative 7। दोनों तरफ़ से जवाब negative 18 है। अब एक negative और एक positive, negative 20 जमा 3, और 3 जमा negative 20।

3:02यहाँ भी दोनों तरह से जवाब negative 17। पर हमें सिर्फ़ यह नहीं जानना कि यह चलता है, यह भी जानना है कि क्यों चलता है। हर term को tokens का एक छोटा ढेर समझो, positive tokens का या negative tokens का। यहाँ terms जोड़ने का मतलब है, सारे ढेरों को मिलाकर एक बड़ा ढेर बना देना। मान लो 3 tokens का ढेर और 2 tokens का ढेर किसी भी क्रम में मिलाओ, एक ही ढेर बनता है, 5 tokens का।

3:31अब इनके साथ 4 negative tokens का एक ढेर भी जोड़ो। इन 3 ढेरों को मिलाने के 6 क्रम हैं, और हर क्रम से ठीक वही ढेर बनता है। हर negative token एक positive token को काटता है, और आख़िर में 1 token बचता है, यानी 3 जमा 2 जमा negative 4। एक positive token और एक negative token मिलकर शून्य बनाते हैं, इसलिए ऐसे जोड़े ढेर से हटा सकते हैं।

3:58और जोड़े बनाते समय यह मायने नहीं रखता कि कोई token किस ढेर से आया था, या कब आया था। कौन सा ढेर पहले मिलाया, इससे ढेर नहीं बदलता, इसीलिए terms का क्रम आज़ाद है। अब तक 2 terms की बात हुई, अब 3 terms लेते हैं। यहाँ line है negative 7 जमा 10 जमा negative 11। कहीं से तो शुरू करना होगा, तो पहले शुरू वाले 2 terms जोड़ते हैं।

4:25यहाँ negative 7 और 10 से बनता है 3, फिर 3 और negative 11 से negative 8। अब दूसरा तरीका, पहले आख़िरी 2 terms को आपस में जोड़ो। यहाँ 10 और negative 11 से बनता है negative 1, फिर negative 7 और negative 1 से negative 8। जवाब फिर से negative 8 ही आया। पर बीच वाला number बदल गया, एक रास्ता 3 से होकर गया, और दूसरा negative 1 से।

4:53बीच के numbers अलग, पर आख़िरी जवाब एक, यही देखने वाली बात है। एक तीसरा रास्ता भी है, और असल में तुम शायद यही चुनोगे। पहले दोनों negative terms को आपस में जोड़ो, negative 7 और negative 11 से negative 18। फिर negative 18 और 10 से negative 8। इस बार रास्ता negative 18 से होकर गया, और जवाब फिर भी negative 8। इन 3 terms के हर क्रम और हर grouping को आज़मा सकते हैं।

5:24कुल मिलाकर 6 क्रम हैं, और हर क्रम में 2 groupings, यानी 12 तरीके। यानी 12 तरीके, और जवाब हर बार negative 8। अब negative 20 से 20 तक के हर a, b और c पर, a घटा b जमा c को उसके terms में लिखकर जाँचा गया। उसके terms को 6 में से किसी भी क्रम में जोड़ो, 68921 में से 68921 बार value वही रही। पर symbols की जगह सीधे बदलो, यानी a घटा c जमा b, तो 67240 बार value बदल गई।

5:59यानी terms को सिर्फ़ line में आगे पीछे ही नहीं, किसी भी तरह से group भी कर सकते हैं, और यह एक अलग आज़ादी है। इन दोनों आज़ादियों के नाम हैं, और इन्हें अलग अलग रखना ज़रूरी है। जोड़ में terms का क्रम बदलना, commutative गुण कहलाता है। जैसे 6 जमा negative 4, या negative 4 जमा 6, total वही। कौन से terms पहले आपस में जुड़ें, यह बदलना associative गुण कहलाता है।

6:28शुरू वाले जोड़े पर bracket लगाओ या आख़िरी जोड़े पर, total वही। एक गुण बताता है कि terms कहाँ बैठे हैं, दूसरा बताता है कि कौन पहले मिलते हैं। इन्हें आपस में मिला देना आसान है, इसलिए एक छोटी सी जाँच याद रखो। अगर कोई term line में खिसका, तो वह commutative है। अगर सब terms अपनी जगह रहे और bracket खिसका, तो वह associative है। अब जाँचो, bracket में negative 7 जमा 10, फिर जमा negative 11, बदलकर negative 7 जमा, bracket में 10 जमा negative 11, यह कौन सा गुण है?

7:05यह associative है, क्योंकि तीनों terms अपनी जगह पर रहे, सिर्फ़ bracket एक जोड़े से दूसरे जोड़े पर खिसका। और 6 जमा negative 4 से negative 4 जमा 6, यह commutative है, क्योंकि terms ने जगह बदली। अक्सर दोनों गुण एक साथ काम करते हैं, जैसे तीसरे रास्ते में, जहाँ पहले terms खिसके और फिर नया जोड़ा बना। और दोनों गुण terms के जोड़ के बारे में हैं, किसी ऐसी line के बारे में नहीं, जिसे अभी terms में लिखा ही नहीं गया।

7:36अब यह बात सिर्फ़ सिद्धांत नहीं रहती, असली काम में आती है। कोई हाथ से 5 numbers का एक column जोड़ रहा है। ये numbers हैं 1342, 774, 8611, 9055 और 1022। काफ़ी मेहनत के बाद total आता है 11749। फिर पता चलता है कि एक number छूट गया, चौथा number, 9055, जोड़ा ही नहीं गया। क्या अब पूरा हिसाब फिर से करना पड़ेगा? नहीं, जो total पहले से है, उसमें बस 9055 जोड़ना है।

8:13जवाब आता है 20804, और काम पूरा। यानी 4 जोड़ों की जगह बस 1 जोड़, और यह इसलिए चलता है क्योंकि क्रम आज़ाद है। छूटा number column के बीच में था, पर वह आख़िर में जुड़ सकता है, 5 में से किसी भी जगह रखो, total 20804। और सारे 5 numbers के 120 क्रम भी 20804 ही देते हैं। आख़िर से पहले एक बात, उन lines की जिनके terms में गुणा बैठा है।

8:43जैसे 30 जमा 5 गुणा 4, इसके terms हैं 30, और 5 गुणा 4। पहले हर term निपटाओ, 30 और 20। फिर किसी भी क्रम में जोड़ो, जवाब हर बार 50। अब एक लंबी line, 5 गुणा, bracket में 3 जमा 2, फिर जमा 7 गुणा 8, और जमा 3। इसके terms बनते हैं 25, 56 और 3। इन्हें जोड़ने के 6 क्रम हैं, और हर क्रम 84 देता है।

9:15यानी आज़ादी terms की है, जब हर term की value तय हो जाए। पर इसका मतलब यह नहीं कि गणित में क्रम कभी मायने ही नहीं रखता। जैसे 8 भाग 2 है 4, पर 2 भाग 8 है सिर्फ़ एक चौथाई। यहाँ 1 से 11 तक के 110 अलग अलग जोड़ों में, भाग का क्रम बदलने पर हर बार जवाब बदल गया। घटाना भी ऐसा ही है, 6 घटा 4 और 4 घटा 6 अलग हैं।

9:45आज़ादी जोड़ के terms की है, घटा और भाग वाली lines की सीधे नहीं। आख़िर में, क्रम कब मायने रखता है, यह जाँचने का एक तरीका, जो गणित के बाहर भी चलता है। पहले टोपी पहनो फिर जूते, या पहले जूते फिर टोपी। नतीजा बिल्कुल एक सा, क्योंकि टोपी और जूते अलग अलग जगह जाते हैं। अब पहले मोज़े फिर जूते, और फिर इसे उल्टा करके देखो। पहले जूते और ऊपर से मोज़े, वही 2 चीज़ें, पर सुबह बिल्कुल अलग।

10:17फ़र्क इस बात का है कि दोनों काम एक ही जगह को छूते हैं या नहीं। जगह अलग, तो क्रम आज़ाद, और जगह एक, तो क्रम ही सब कुछ तय करता है। जोड़ के terms अलग अलग ढेर हैं, जो आख़िर में एक ढेर बनते हैं, इसीलिए वे किसी भी क्रम में आ सकते हैं। पहले घटा को inverse के जोड़ में बदलो, फिर terms का क्रम बदलो। याद रखो, 6 घटा 4 के terms 6 और negative 4 किसी भी क्रम में 2 देते हैं, पर 4 घटा 6 है negative 2।

10:51जोड़ में terms का क्रम बदलना commutative गुण है, और grouping बदलना associative गुण। और negative 7, 10 और negative 11 को जोड़ने के 12 तरीके हैं, और जवाब हर बार negative 8। और छूटा हुआ number आख़िर में भी जोड़ा जा सकता है, पूरा हिसाब दोबारा करने की ज़रूरत नहीं।